.6 指数与指数函数(教学案)-2015年高考数学(理)一轮复习精品资料(新课标)(精品解析版)
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】 第二章
函数与基本函数I
第六节 指数与指数函数
一、课前小测摸底细
1.【基础经典试题】0143
23
1)12(356.2)7
1
(027.0-+-+-----
【答案】19 【解析】
1
3
1)2()7()271000()12(3256)71(027
.043
8231014323
1+-+--=-+-+-----
.
19131
6449310131249)310(631
33 =+-+-=+-+-=
2.【基础经典试题】指数函数()(1)x
f x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．2a > C ．01a << D ．12a <<
3. 【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2
R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. -1 【答案】A
【解析】因为((1))15f g ==，所以(1)0,g =即10, 1.a a -==选A. 4.【基础经典试题】已知集合{1,1},{|124}x
A B x =-=≤<,则A B 等于（ ）
A ．{-1,0,1}
B ．{1}
C ．{-1,1}
D ．{0,1} 【答案】B
【解析】由已知得，{|02}B x x =≤<，故{1}A
B =，选B ．
5.【改编自2011年高考山东卷】若点(,81)a 在函数3x
y =的图象上，则tan
6
a π
的值为（ ） A ．3- B ．3
3-
C ．
D ．
【1-1】21
3
218()(
)
4
-÷=
A ．
B ．2
C ．4
D ． 【答案】B
【解析】2211
32
3
32218()(2)(2)4224
---÷=÷=÷=，故选B ．
【1-2】
化简3234
[(5)]-的结果为（ ）
A ．5
B ．
C ．﹣
D ．﹣5
.
【基础知识重温】
1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1
a a =；
2. ()(1,
)n n a a n n N +=>∈,,||,n n
a n a a n ?=?
?为奇数
为偶数
；
3. 1(0,,,)n m
n m
n a a m n N m
a
-+=
>∈且
为既约分数，=a a αβαβ（）. 1
13
2
02581()9274e π-
????-++ ? ?????
【答案】2
【解析】原式=
52
12233
--+=. 【变式二】1.5－13×76??- ???0＋80.25×42＋32×362
3
23?? ???
【答案】110
【解析】原式＝11
313
3
23
44
22 2223210811033??
??
??=+= ?
???
??
＋＋－. 三、易错试题常警惕
易错典例：计算下列各式的值．
（133(8)-（22(10)-；（344(3)π-；（42
()()a b a b ->. ,||,n
n
a n a a n ?=?
?为奇数为偶数
，不注意n n
n a 要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用． 正确解析：（13
3(8)8-=-；
（2|10|10=-=；
（3|3|3ππ=-=-；
（4||()a b a b a b =-=->. 温馨提醒：
(1) n 中实数a 的取值由n 的奇偶性确定，只要 n
有意义，其值恒等于a ，即n a =；
(2)
n 的奇偶性限制，a R ∈n 的奇偶性影响.
【2-2】已知,a b 是方程2
640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.
【答案】
5
【解析】由已知，6
4
a b ab +=??
=?，
所以21
.
5
===
因为a b >>>
5= 【基础知识重温】 1. 0a >时，0;b a >
2. 0a ≠时， 0
1a =；
3. 若,r s
a a =则r s =；
4. 11112
22222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112
2
2
2
()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.
【变式一】已知12,9,x y xy +==且x y <，求
1122112
2
x y x y
-+的值.
三、易错试题常警惕
易错典例：已知
112
2
3a a
-+=，求332
2112
2
a a
a a
--
--的值.
易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．
正确解析：由于33113
3
2
2
22()()a a a a --
-=-，所以
3311111
2
2
2
2
2
2
1
1112
2
2
2
()()
a a a a a a a a a a
a a
-
-
-
-----++?=
--=11
18.a a -++=
温馨提醒：
条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.
考点3 指数函数的概念、图象、性质及其应用 【题组全面展示】
【3-1】已知函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值.
【3-2】函数x
y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ） A ．
12 B.2 C.4 D.14
【3-4】设a =25
35?? ???
, b =35
25??
???
, c =25
25??
???
,则,,a b c 的大小关系是( ) (A) a c b >> (B) a b c >> (C) c a b >> (D) b c a >>
【基础知识重温】
1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x 轴是函数图像的渐近线．当01时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速度越快；当0 y a ＝的图像，应抓住三个关键点：()(1)0,1a ，、、11, a ? ?- ??? . 3．熟记指数函数11y=10,y=2,y=,y=102x x x x ???? ? ????? ，在同一坐标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图 像的位置与底数大小的关系． 【方法规律技巧】 1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况. 2.形如. () (0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论： （1） ()(0,1)f x y a a a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同； （2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定() (0,1)f x y a a a >≠＝的值域； （3）()(0,1)f x y a a a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时， ()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数. 【新题变式探究】 【变式一】函数()()01x f x a a =<<在区间[0，2]上的最大值比最小值大 4 3 ，则a 的值为（ ） A.12 B. 72 C.22 D.32 【变式三】如图，过原点O 的直线与函数y 2x ＝的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y 4x ＝的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________． 【答案】()1,2 【解析】设a C(a,4)，则a a A(a,2)B(2a,4)，．又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝42a a ，故a a 422?＝，所 以a 20＝ (舍去)或a 2＝2，即a=1，所以点A 的坐标是()1,2． 【变式四】已知x x 910390?≤－ ＋，求函数y ＝1 14x -?? ??? －412x ?? ??? ＋2的最大值和最小值． 【变式五】已知函数2 (23)x y a a =--是指数函数，求a 的值 【答案】3a >或1a <-且15a ≠± 【解析】由已知得，22230 ,231a a a a ?-->?--≠? 解得3a >或1a <-且15a ≠±. 三、易错试题常警惕 易错典例：函数22 1y=2x x -++?? ??? 的单调递增区间是________． 温馨提醒： 处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则. 四、课后训练显能力 A 基础巩固训练 1. 【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()12f x x = （B ）()3 f x x = （C ）()12x f x ??= ??? （D ）()3x f x = 3.设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2) 【答案】A 【解析】∵f (x )＝a －|x | (a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ∴a － 2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |， ∴f (－2)>f (－1)，故选A. 4.【2013-2014学年辽宁省铁岭高中】函数()210,1x y a a a -=+>≠且的图象必经过定点___________． 【答案】(2,2) 【解析】∵指数函数x y a =过定点(0,1)，∴函数2 1x y a -=+过定点(2,2)． 5. 给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 3 2 ＝a 3； ②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)； ③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠7 3}； ④若2x ＝16,3y ＝1 27，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ B 能力提升训练 1.【2014年高考数学全程总复习】已知函数f(x)=2x -2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( ) 【答案】B 【解析】|f(x)|=|2x -2|= 易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B. 2. 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3 ＝????12－1.5 ，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 4. 【2014届湖南省高三十三校第二次联考】已知函数1,01 ()12,12x x x f x x +≤ =?-≥??，设0a b >≥，若 ()(b)f a f =，则()bf a 的取值范围是____． 5.【2014届高考数学总复习考点引领】设a ＞0，f(x)＝33 x x a a ＋是R 上的偶函数． (1)求a 的值； (2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3)求函数的值域． C 思维扩展训练 1.若函数y ＝4x －3·2x ＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为( ) A ．A ?B B ．A ＝B C ．B ?A D ．A ?B 【答案】A 【解析】∵y ＝? ???2x －322＋3 4的值域为[1,7]， ∴2x ∈[2,4]．∴x ∈[1,2]，即A ＝[1,2]．∴A ?B ，选A. 2. 【2014年高考数学考前复习冲刺】已知函数f(x)＝a x －1＋3(a>0且a≠1)的图象过一个定点P ，且点P 在直 线mx ＋ny －1＝0(m>0，且n>0)上，则 1m ＋4 n 的最小值是( ) A ．12 B ．16 C ．25 D ．24 【答案】C 【解析】由题意知，点P(1,4)，所以m ＋4n －1＝0，故 1m ＋4n ＝4m n m +＋()44m n n +＝17＋4n m ＋4m n ≥25， 当且仅当 4n m ＝4m n ，即m ＝n 时，“＝”成立，所以所求最小值为25． 3.已知2 x 2＋x ≤??? ?14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________． 【答案】????－25516，32 【解析】∵2 x 2＋ x ≤2 －2(x －2) ， ∴x 2＋x ≤－2(x －2)，解得－4≤x ≤1. 又∵y ＝2x －2－ x 在[－4,1]上是增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－ 1，故－25516≤y ≤32 . 4. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________． 5. 【2013-2014学年贵州遵义湄潭中学】已知[]2,1,4329)(-∈+?-=x x f x x （1）设[]2,1,3-∈=x t x ，求t 的最大值与最小值； （2）求)(x f 的最大值与最小值； 【答案】（1）最大值9，最小值 1 3 ；（2）最大值67，最小值3 【解析】（1）x t 3= 在[]2,1-是单调增函数 ∴932max ==t ，3 1 31min = =-t （2）令x t 3=，[]2,1-∈x ，?? ????∈∴9,3 1t 2．2 指数函数 突破思路 本节主要学习分数指数幂与指数函数． 1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质： （1）a m a n ＝a m ＋ n ；（2）a m ÷a n ＝a m － n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ； （4）（ab ）n ＝a n b n ；（5）（b a ）n ＝n n b a 若（b ≠0）． 另外规定了a 0＝1（a ≠0）、a － n ＝ n a 1 （n 为正整数，a ≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数． 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发． 从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6a ＝a 3＝2 6a ，123a ＝a 4＝3 12a ．于是我们规定： （1）n m a ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）n m a －＝ n m a 1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）； （3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋ s ；（2）（a r ）s ＝a rs ； （3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数． 3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性． （1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝ 21、4 3 等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性． 指数函数第一课时教案 一．教学目标 1. 知识与技能 ①掌握指数函数的概念，图像和性质； ②能由指数函数图像归纳出指数函数的性质； ③指数函数性质的简单应用； ④培养学生作图与读图的能力。 2. 过程与方法 师生之间，学生与学生之间合作与交流，逐步使学生学会共同学习。 3. 情感态度与价值观 ①通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的学习兴趣，体会指数函数是一种重要的函数模型，并且由广泛的用途，逐步培养学生的应用意识。 ②在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段。 二．教学重点 1. 指数函数的概念的理解； 2. 指数函数的图像和性质。 三．教学难点 底数a 对函数值变化的影响。 四．教学过程 1. 以生活实例引入新课 材料一：一把一米长的尺子第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之间的关系。 （学生思考，老师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中的有效信息，并简单板书。） 材料二：(细胞分裂问题)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ （方法同上） 从问题的解决回到数学问题：比较关系式：x y )2 1 (=，x y 2=有何异同？ （学生讨论，老师及时总结得到如下结论） 在x y ) 2 1(=和x y 2=中，每给一个x 的值都有唯一的一个y 值和它对应，因此关系式 x y )2 1 (=和x y 2=都是y 关于x 的函数，且函数形式相同，解析式的右边都是指数形式， 且自变量都在指数位置上。 由此引出函数模型x a y = 2. 讲解新课 ⑴．指数函数的概念 一般的，形如x a y =的函数叫做指数函数。 （其中x 是自变量，a 称为指数函数的底。） ⑵.指数函数概念理解和辨析 ①函数2 x y =与x y 2=有什么区别？ 指数函数的教案 【篇一：指数函数教案设计】 《指数函数》教材解读 1、 教材的地位和作用 指数函数是人教版高中数学第一册上册第二章第六节的内容。本节 课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上， 进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。它既是函数内容 的深化，又是今后学习对数函数的基础，同时指数函数图像中无限 逼近渗透了极限的思想，为以后学习极限做好铺垫，对知识起到了 承上启下的作用。根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学 生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识。为此，在教学过程中 让学生自己去感受指数函数的形成过程以及指数函数图象和性质是 这一堂课的突破口。因此，以指数函数的性质、图像作为教学重点，本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像 与底数的关系 2、教材比较 与新人教版《高中数学必修1》对比发现，旧教材在各层知识采取 很精练的语言进行过渡，而新教材则在各层知识的过渡上，采用了“探究”、“思考”等小栏目进行思维上的向导，指引学生学习。因此 在使用老教材时，教师可根据学生的具体情况，制定适宜的向导性 指引，给教师更大的发挥空间。 3、教材的优点与不足 (1) 优点：所选教材较为简明，可以给教师较多的潜在发挥空间，逻 辑结构较为严谨。 (2) 不足：在各知识过渡上，教材处理得不够好。 比较传统单一，没有设定类似于新教材 中的“探究”、“思考”等小栏目，缺乏对学生思维的引导，所以要求 教师对教材理解深透。 指数函数的教案设计 一、学情分析 1、知识起点 学生学习了函数的定义、图像及性质，已经掌握了研究函数的一般 思路。 2、经验起点 指数函数及其图形 基本题： 【1】下列五个数中，何者为最小？(A) 23 1(B)2)8 1 (－(C) 41 2- (D)21 )21((E) 831 －。 [解答]：(E) 【详解】： ∵ (81)－2＝(2－3)－2＝26；(2 1)21 ＝22 1 －；831 －＝(23)31 －＝2－1 ∵ 26 ＞23 1 ＞2 4 1－ ＞2 2 1－ ＞2－1 ∴ 最小的是2－1 ＝8 3 1－ 【2】a ＞0，a ≠1，且4 3 2a a a ＝a x ，则x 之值为(A)61(B)485(C)31(D)21(E)32。 [解答]：(A) 【详解】： 3 2 a a ＝( 3 2a a )2 1＝(a 3 1)2 1＝a 6 1 a x ＝(a 2 1 )4 1．(a 6 1)4 1＝a 24 181＋＝a 24 4＝a 6 1 ∵ a ≠0，1，－1?∴ x ＝6 1 【3】6332 32 32－．－．＋值为(A)1(B)2－3(C)2＋3(D)0 (E)2 3 1＋。 [解答]：(A) 【详解】： 6 332 32 32－．－．＋=()( ) ()()2 12 16 1311 323 23232-?+=-?++ =()()[] 132322 1=-?+ 【4】化简22341062329－＋－－＝ 。 [解答]：2＋1 【详解】： 原式＝)12(41062329－＋－－＝82662329＋－－ ＝)24(62329＋－－＝1821129－－＝)29(29－－ ＝223＋ ＝12＋ 【5】化简求值： (1)[(4 1 )6．64]－4．(32)－3＝ 。 (2)(16 81)－0.25 ．21 )94(－．(0.25)－1.5＝ 。 [解答]：(1) 512(2) 8 【6】指数函数f 1 (x)＝a x ，f 2 (x)＝b x ，f 3 (x)＝c x ，f 4 (x)＝d x 的图形如图，请由大 而小写出 a ， b ， c ， d 的大小顺序： 。 [解答]：c ＞d ＞a ＞b 【详解】： ∵ f 1，f 2的图形是递减的 ∴ 0＜a ＜1，0＜b ＜1 令x ＝1，得a 1＞b 1?1＞a ＞b 又f 3，f 4的图形是递增的 ∴ c ＞1，d ＞1 令x ＝1，得c 1＞d 1?c ＞d ＞1 故c ＞d ＞1＞a ＞b 【7】比较大小：(1) 260，330，620由小而大排列为 。 (2)36433 9 27，，由小而大排列为 。 [解答]：(1) 330＜620＜260(2)43627 33 9＜＜ 【详解】： (1) 因]64)2(2[]36)6(6[]27)3(3[101066010102201010330==<==<== (2) 因]3327[ ]3333 33[ ]339[4 34343 23 43 136 2626====?===＜＜ 【8】方程式的实根个数：(1)方程式(2 1 )x ＝x ＋1的实根共有 个。 (2)方程式x 2＝2x 的实根共有 个。 [解答]：(1) 1(2) 3 【详解】： (1)绘出?????+==1 )21(x y y x 图形，找交点数 (2) 绘出???==x y x y 22图形，找交点数 指数函数与对数函数总结 一、[知识要点]： 1. 指数函数y＝a x与对数函数y＝a log x的比较： 定义图象 定义 域 值域 性质 奇 偶 性 单 调 性 过定 点 值的分布最值 y＝a x （a>0且a≠1）叫指数函数 a>1 （－ ∞，＋ ∞） （0， ＋∞） 非 奇 非 偶 增 函 数（0， 1） 即a0 ＝1 x>0时 y>1； 0 3. 几个注意点 （1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 【典型例题】 例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1 A. a ＜b ＜1＜c ＜d B. b ＜a ＜1＜d ＜c C. 1＜a ＜b ＜c ＜d D. a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。故选B 。 解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。 例2. 已知2x x +2 ≤（41 ）x －2，求函数 y ＝2x －2－x 的值域。 解：∵2x x +2 ≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。 又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1。 故所求函数y 的值域是［－16255，23 ］。 例3. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围。 解：由题意，得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立， 即 a ＞－x x 421+在x ∈（－∞，1）上恒成立。 又∵－x x 421+＝－（21）2x －（21 ）x ＝－［（21）x ＋21］2＋41 ， 当 x ∈（－∞，1）时值域为（－∞，－43 ）， 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 《指数函数》教学设计 连江二中柳殷 一、概述 ·本节课是高中新教材必修1模块； ·本篇课文所需课时为2课时，90分钟，本节课是第一课时； ·本节课是在学习了第一章函数的概念和性质之后，通过对《指数》三个课时的学习后安排的。也为下面的《对数》学习做准备。 ·这节课的价值在于理解指数函数的概念和意义，理解和掌握指数函数的性质。对今后进一步学习其它基本初等函数有重要意义。 二、教学目标分析 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与方法 ①展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. ②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性； ③激发起学习数学的兴趣，在民主、开放的课堂氛围中；提高分析、解决问题的能力. 三、学习者特征分析 1、学生是福建连江第二中学高一年级学生，我所任教班级的学生是高一的一个差班； 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质，并对《指数》只是有较好的认识； 3、学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣比较浓厚，对多媒体教学比较兴趣； 4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比 较敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解。 四、教学策略选择与设计 本节课教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。 教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 先行组织者策略：通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。 学法设计：教师讲授，学生探究，合作交流，组织学生对指数函数的图像和性质的学习。 教学方法上采用启发式教学，在课堂教学中坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。 采用多媒体辅助教学，激发兴趣，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。 指数函数 我本节课说课的内容是高中数学（必修1）“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从教材分析，教学目标分析，教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 2、学情分析 知识层面：学生在初中已经学习了，一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数，对函数有一定的认识和理解，在前几节课又对函数的近代定义做了详细的讲解。 能力层面：学生对函数具有一定的理解，已经初步掌握用函数的观点来分析问题和解决问题。 3、教学的重点和难点 重点指数函数的图像、性质及其运用 难点指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 4、课前思考与准备 包括学生在学习新课前的知识储备，和能力储备，这不意味着我们形式化的给予学生一个预习任务，所以我将通过课前思考题让问题引领学生自觉地投入对新知识的探究之中。我设计了几个简单问题，如下： 1 、若时,总有意义 , 求的范围? 2 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]： x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1 （－∞，＋ ∞） （0，＋∞） 非奇 非偶 增 函数 （0，1） 即a 0 ＝1 x>0时y>1；0 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 《指数函数比较大小》专题 2014年（）月（）日班级：姓名 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 【类型一】比较大小 1.比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5. 2. (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 3．已知下列不等式，比较m、n的大小． (1)2m<2n； (2)0.2m>0.2n； (3)a ma n(a>1)．指数函数
指数函数教案
指数函数的教案
指数函数及其图形
1、指数函数与对数函数对比分析总结---答案
【全国卷】2018高三理科数学总复习第五节 指数与指数函数(001)
指数函数图像与性质的教案
指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)
指数函数的教学设计方案
指数函数 教学设计方案
指数函数与对数函数对比分析总结---答案
指数函数讲义经典整理[附答案解析]
(完整版)指数函数及其性质教案
《指数函数比较大小》专题