(word完整版)选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点,文档.docx

3.1 空间向量及其运算知识点

1． 空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (5)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的加法、减法与数乘运算

向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则

向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量

uuur uuur uuuur uuuur uuuuur OA n ＝OA 1＋A 1 A 2＋ A 2 A 3＋ ＋A n －1 A .

n

运算律：①加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ②加法结合律： (a ＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b ＋c) ③数乘分配律： λ(a ＋ b)＝ λa＋ λb.

3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理

对空间任意两个向量 a ， b(b ≠ 0)， a ∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λb .

推论： 点 P 在直线 AB 上的充要条件 是：

uuur

uuur

存在实数 λ，使得 AP

AB ①

uuur

uuur uur

或对空间任意一点

O,有 OP OA

AB ②

uuur uur uuur

或对空间任意一点

O ，有 OP

xOA yOB 其中 x ＋ y ＝ 1 ③

uuur uur uuur uur uuur uuur uur

uuur 【推论③推导过程：

OP OA AB OA (AO OB) (1

)OA

OB 】

(2)共面向量定理

如果两个向量 a ，b 不共线，那么 p 与 a ，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 （x,y ）使 p ＝ xa ＋ yb

推论： 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件 是

uuur uuur uuur

存在唯一有序实数对 （x,y ）使 AP xAB yAC ，

uuur uur uuur uuur

或对空间任意一点 O ，有 OP OA xAB yAC

uuur uur uuur uuur

或对空间任意一点 O ，有 OP xOA yOB zOC ，其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1

【推论③推导过程：

(3)空间向量基本定理

uuur uur uuur uuur uur uuur

uuur OP OA xAB

yAC (1 x y)OA xOB

yOC 】

如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ，z} ，使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 基底：把 { a ， b ， c} 叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

4． 空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

→ →

①两向量的夹角： 已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点

O ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹

π

角，记作〈 a ，b 〉，其范围是 0≤〈 a ， b 〉≤ π，若〈 a ， b 〉＝ 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a ⊥b. ②两向量的数量积： 已知空间两个非零向量 a ，b ，向量 a ， b 的数量积记作 a ·b ，且 a ·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉．

(2)空间向量数量积的运算律：

①结合律： (λa) ·b ＝ λ(a ·b)； ②交换律： a ·b ＝ b ·a ； ③分配律： a ·(b ＋ c)＝ a ·b ＋ a ·c.

5． 空间向量的坐标表示及应用

设 a ＝ (a 1，a 2，a 3) ，b ＝ (b 1， b 2， b 3)

(1)数量积的坐标运算： a ·b ＝a 1 b 1＋ a 2b 2＋ a 3 b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：

(3)模、夹角和距离公式：

|a|＝ a ·a ＝ 2

2

2

a 1＋ a 2＋ a 3，

a ·

b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 ＋a 3b 3 cos 〈 a ，b 〉＝ |a||b| 2 2 2

2 2 2 .

a ＋ a ＋ a ·

b ＋ b ＋ b

1 2 3 1 2 3

→

设 A(a 1， b 1， c 1)， B(a 2， b 2， c 2)，则 d AB ＝ |AB|＝

6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：

(1) 适当的选取基底 { a ， b ， c} ；

(2) 用 a ， b ， c 表示相关向量；

(3) 通过运算完成证明或计算问题．

)．

a 2－ a 1 2＋

b 2 －b 1 2＋

c 2－ c 1 2 .

题型一 空间向量的线性运算

用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．

例 1：三棱锥 O — ABC 中， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是△ ABC 的重心，用基向量 → → →→

OA ， OB ， OC 表示 MG ，

→ .

OG

1 →

2 → 1 → 2 → →1 →

2 1 → →→1 → 1 → 1 → →→ →

解析： MG ＝MA ＋ AG ＝

OA ＋

AN ＝ OA ＋ (ON － OA)＝ OA ＋

3 [ (OB ＋ OC)－ OA] ＝－

6

OA ＋

OB ＋ OC.

2

3 2 3

2

2 3

3

→→

→

→

→ →

→

→

→ →

OG ＝OM ＋ MG ＝

1

OA －

1OA ＋1OB ＋ 1

OC ＝

1

OA ＋

1

OB ＋1

OC.

2

6

3

3 3

3

3 uuur uuur uuur uuur

→ 1 → →→

, 例 2：如图所示， ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形． 若 AE ＝ EC ，A 1F ＝ 2FD ，且 EF =x AB+y AD+z AA

2 1 试求 x 、 y 、 z 的值．

.解

→ → →

→ 1 → 1

→ →

连接 AF ，EF ＝EA ＋AF .

∵ EA ＝－

3 AC ＝－

（ AB ＋ AD ）

3

→

→ → → → → 1 →

→ 1 →

→

2 uuur 1

uuur

→ → → 1 uuur 1 uuur 1 uuur

AF ＝ AD ＋ DF ＝ AD －FD ＝ AD －

1 ＝ AD － （ A 1

＋ AD ）＝

3 AD

3

A 1

A

∴ EF ＝ EA ＋ AF ＝

3 AD

3

AA

1

3 AB

3A D

3

A

题型二

共线定理应用

向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b ，化简得出 a ＝

b ，从而得出 a ∥ b ，即

a 与

b 共线．

→ →

点共线问题 ：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明

A 、

B 、

C 三点共线，即证明

AB 与 AC 共线．

a ⊥b? a ·

b ＝0? a 1b 1＋ a 2b 2＋ a 3b 3＝ 0(a ， b 均为非零向量

a ∥b? a ＝ λb? a 1＝ λ

b 1，a 2 ＝λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈ R)，

→

→

例 3：如图所示，四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形且不共面，

M ，N 分别是 AC ， BF 的中点，判断 CE 与 MN

是否共线？

uur uur uur CE CB BE

∵

uuur uuur uur

uuur

1 uuur uur 1 uur uur

1 uuur uur uur 1 uur

1 uur

1 uur

MN

MC

CB

BN

AC CB

2

( BA BE)

2

( AC BA) CB

BE

CB

BE

2

2

2

2

→ → → → → →

∴ CE ＝ 2MN ，∴ CE ∥MN ，即 CE 与MN 共线．

→

→

→

例 4：如图所示，在正方体

ABCD － A 1 B 1C 1D 1 中， E 在 A 1D 1 上，且 A 1E ＝ 2ED 1， F 在对角线 A 1C 上，且 A 1F ＝ 2

F C .

3

求证： E ， F ， B 三点共线．

→

→

→

证明： 设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c.

→→ → ＝ 2 →→→→ → → → →

∴ A 1 ＝ 2ED 1=2 1 ＝2 FC ＝ 2

12 (AC －AA 1 2 (AB ＋ AD － AA 1 2 2 2 c

AD ， A F 35 A C= ＝ ＝ a ＋ －

3 3 5 5

5 5 5 → → → 2 4 2 2 2 → → → → 2 2 ＝ A 1 － A 1 ＝ ＝EA 1＋ A 1 ＋ AB ＝－

∴ E F 5a － 15b －5c ＝ 5a － b － c

3b －c ＋ a ＝ a －3b － c ， F E 3 ， EB

A →

→

2

∴ EF ＝ 5EB.所以 E ， F ， B 三点共线．

题型三

共面定理应用

→

→

点共面问题 ：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明

→ → → → → → →

P 、A 、B 、 C 四点共面，只要能证

明 → → PA ＝ xPB

＋ yPC ，或对空间任一点 O ，有 OP ＝OA ＋ xPB ＋ yPC 或 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC(x ＋y ＋ z ＝ 1)即可

→

2

→

→

→

例 5：已知 A 、 B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点 O ，若 OP ＝

1

2

5OA ＋ OB ＋ OC ，则点 P 是否与 A 、 B 、C

5

5

一定共面？试说明理由．

1 uur

2 uuur

uuur uur 1

uuur 2 uur

1 uur

2 uuur

uuur 2 uur

2 uuur uur 2 uuur uuur 解析： ∵ OP

OA

OB

OC

5 (OP+PA)

(OP+PB)

3(OP+ PC)=OP+ PA+

PB+

PC

5 5 3 5

5 5 3

→

→

→

1

2

∴ AP ＝ 5AB ＋ 5AC ，故 A 、 B 、C 、 P 四点共面 .

例 6：如图所示，已知

P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结

PA 、PB 、PC 、PD ，点 E 、F 、 G 、H 分别为

△ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：

E 、

F 、

G 、

H 四点共面．

证明：分别延长 PE 、 PF 、 PG 、 PH 交对边于 M 、 N 、 Q 、 R.

∵ E 、 F 、 G 、H 分别是所在三角形的重心，∴ M 、 N 、 Q 、 R 为所在边的中点

→ → →

→ →

→ →→

顺次连结 M 、 N 、 Q 、 R ，所得四边形为平行四边形，且有

2

2

2 2

PE ＝ PM

， PF ＝ PN

，PG ＝ PQ ， PH ＝ PR.

3

3

3 3

→ → → 2 →

2 → 2 →

2 → → 2 → → 2 → → 2

3 → 3 → 2 3 → 3 → ∴ EG ＝PG － PE ＝ PQ －

PM ＝ MQ ＝ ( MN ＋ MR)＝ (PN － PM)＋ (PR － PM)＝

( PF － PE)＋ ( PH － 2 PE)

3

3

3

3

3

3

3 2

2

3 2

→ →

＝ EF ＋ EH . ∴由共面向量定理得

E 、

F 、

G 、

H 四点共面 .

→ → →

例 7：正方体 ABCD － A 1 B 1C 1 D 1 中， E ， F 分别是 BB 1 和 A 1D 1 的中点，求证向量 A 1B ， B 1C ， EF 是共面向量．

→

→

→

→ → → → →→

→ → →

＝1 － A ＋ 1 ＝ 1 ＋BC ＝ 1

－ A 证明： 如图所示， EF ＝ EB ＋ BA ＋ A

(B 1B )－A 1B 1B. 11F

B B

1B

2A D 2 B C

2

2

→ → →

由向量共面的充要条件知

A 1

B ，B 1

C ， EF 是共面向量．

题型四 空间向量数量积的应用

例 8：①如图所示，平行六面体

ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为

1，且两两夹角为 60°.

(1) 求 AC 1 的长；

(2) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值．

解析： → → →

(1)记 AB ＝ a ，AD ＝ b ，AA 1＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1，〈 a ，b 〉＝〈 b ，c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60°， ∴ a ·b ＝ b ·c ＝ c ·a ＝ 1

.

2

→

2(a ·b ＋ b ·c ＋ c ·a)＝ 1＋ 1＋ 1＋ 2×

1 1 1

→

|＝ 6，

|AC 1|2

＝ ( a ＋ b ＋ c)2

＝ a 2

＋ b 2

＋ c 2

＋

2 ＋ ＋

2＝ 6， ∴ |AC 1

2

即 AC 1 的长为 6. → → → (2)BD 1＝ b ＋ c － a ， AC ＝ a ＋ b ，∴ |BD 1|＝

→ → → → 6 BD ·AC

∴ cos 〈BD 1，AC 〉＝ 1

＝ 6 .∴ AC → → |BD 1||AC|

→ → →

2， |AC|＝ 3， BD 1·AC ＝ (b ＋ c － a) ·(a ＋ b)＝ b 2－ a 2＋ a ·＋cb ·＝c 1. 6 与 BD 1 夹角的余弦值为

6 .

→ →

②已知空间四边形

ABCD

的每条边和对角线的长都等于

a ，点

E 、F

分别是

BC 、AD

的中点，则AE ·AF 的值为

(

)

2A ．a B.1a 2

2

C.1a 2

4

D.

3a 2

4

→

→ →

解析： 设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，AD ＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a ，且 a ， b ， c 三向量两两夹角为 60°.

→

→ → →

1 1 1 1 1 1 1

AE ＝

(a ＋ b)， AF ＝ c ，∴ AE ·AF ＝

(a ＋ b) ·c ＝ (a ·c ＋ b ·c)＝ (a 2cos60

°＋ a 2cos60 °)＝ a 2.

2

2 2 2 4 4 4

题型五 空间向量坐标运算

例 9：如图所示， PD 垂直于正方形

→ →

3 ABCD 所在平面， AB ＝ 2， E 为 PB 的中点， cos 〈 DP ， AE 〉＝

，若以 DA ，

3

DC ， DP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ()

A ． (1,1,1) B. 1， 1， 1 C. 1， 1， 3

D ． (1,1,2)

2 2

设 PD ＝ a (a>0) ，则 A(2,0,0) ， B(2,2,0) ，P(0,0， a)， E 1， 1，

a

2 ，

→ → a → →

3

， ∴ a 2 2＋ a 2 3

， ∴ a ＝ 2.∴ E 的坐标为 (1,1,1) ．

∴ DP ＝ (0,0， a)， AE ＝ － 1， 1，

2 ， cos 〈DP ， AE 〉＝

3＝ a 4 ·

2

3

例 10：已知 a ＝ (2，－ 1,3)， b ＝(－ 1,4，－ 2)，c ＝ (7,5， λ)．若 a ， b ， c 三向量共面，则实数 λ=________________

33 t ＝ 7

，

7＝ 2t － μ，

17，

解析：由题意得 c ＝ ta ＋ μb ＝(2t － μ，－ t ＋ 4μ， 3t － 2μ)，∴ 5＝－ t ＋4μ，∴ μ＝

7

λ＝3t －2μ. 65

λ＝ 7

.

例 11：已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) ， B(2,2,2) ， C(3,2,4) ，试求△ ABC 的面积

→

→

→

→

→ →

AB ＝(1,1,1) ， AC ＝ (2,1,3) ， |AB|＝ 3， |AC|＝ 14， AB ·AC ＝ 2＋1＋ 3＝ 6，

→ → 6 6 36＝ 1

∴ cosA ＝ cos 〈 AB ， AC 〉＝ ＝ .∴ sinA ＝ 1－ .

3· 14 42 427

→ → 1 1 6

1 ＝ × 3× 14× ＝

∴ S △ABC ＝ |AB| |AC ·| sinA · 27.

2 2

例 12：已知 a ＝ (λ＋ 1,0,2)， b ＝(6,2μ－ 1,2λ)，若 a ∥ b ，则 λ与 μ的值可以是 (

)

A ． 2，

1

B ．－ 1，1

C ．－ 3,2

D ． 2,2

2

3 2

λ＋ 1＝ 2 ，

λ＝ 2，

λ＝－ 3，

解析 由题意知：

6

2λ

解得

1或 1

2μ－ 1＝ 0，

μ＝2

μ＝2.

例 13：已知空间中三点

→ →

A(－ 2,0,2) ， B(－ 1,1,2) ， C(－3,0,4) ，设 a ＝ AB ， b ＝ AC.，若 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，

求实数 k 的值．

方法一 ∵ ka ＋b ＝ (k － 1，k,2) ．ka － 2b ＝ (k ＋2， k ，－ 4)，且 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，

∴ (k － 1， k,2) ·(k ＋ 2， k ，－ 4)＝ (k － 1)(k ＋ 2)＋ k 2

－ 8＝ 0， ∴ k ＝2 或－ 5

， 2

方法二

由 (2) 知 |a|＝ 2，|b|＝ 5，a ·b ＝－ 1，∴( ka ＋b) ·(ka － 2b)＝ k 2a 2－ ka ·b － 2b 2＝ 2k

2

5 ＋ k － 10＝ 0，得 k ＝2 或－ .

2

例 14：已知空间三点 A (0,2,3)， B (－ 2,1,6)，C(1，－ 1,5)．

→ →

(1)求以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积；

(2)若 |a|＝ → →

3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，求向量 a 的坐标．

→ → － 2＋ 3＋6

7 1 → →

3

→ →AB ·AC

解 (1)cos 〈 AB ， AC 〉＝ → →

＝

14× 14 ＝ 14＝2.∴ sin 〈AB ， AC 〉＝

2

，

|AB||AC|

→ →

1 → → → → 3 3.

∴ 以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积为

S ＝ 2× |AB | |AC ·| ·sin 〈 AB ， AC 〉＝ 14×

＝ 7 2

2

x 2＋ y 2＋z 2＝ 3

x ＝1 x ＝－ 1

（ 2）设 a ＝ (x ， y ，z)，由题意得 － 2x － y ＋ 3z ＝0 ，解得

y ＝ 1 或 y ＝－ 1 ，

x － 3y ＋ 2z ＝ 0

z ＝ 1

z ＝－ 1

2 1

例 15：如图所示， 在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别在 A 1D 、AC 上，且 A 1E ＝ A 1D ，AF ＝ AC ，则 ()

3 3

A ． EF 至多与 A 1D 、 AC 之一垂直

B ． EF 与 A 1D 、 A

C 都垂直 C ．EF 与 B

D 1 相交

D ． EF 与 BD 1 异面

解析： 设 AB ＝1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 1 所在直线为

z 轴建立空间直角坐标

11 2 1 →

系，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，

3 ，F

3，

3， 0 ， B(1,1,0) ，D 1 (0,0,1) ，A 1D ＝(－ 1,0，－ 1)，

→ → 1 1

1 → →1 → → → → →

AC ＝ (－ 1,1,0)，EF ＝ 3， 3，－

3

，BD 1

＝

(－1，－

1，1)，EF

＝－

3BD 1

，A 1

D ·EF ＝

AC ·EF ＝

0，从而

EF

∥

BD 1

，EF

⊥ A 1

D

，

EF ⊥ AC.

→ →

例 16：已知 O(0,0,0)， A (1,2,3) ， B(2,1,2) ， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取最小值时，点 Q 的坐标

是 __________．

→ → → →

解析： 设 OQ ＝λOP ＝ (λ， λ， 2λ)，则 QA ＝ (1－ λ，2－ λ， 3－ 2λ)， QB ＝ (2－ λ， 1－ λ，2－ 2λ)．

→ →

4

2

∴ QA ·QB ＝ (1－ λ)(2－ λ)＋ (2－ λ)(1 － λ)＋ (3－2λ)(2－ 2λ)＝ 6λ2－ 16λ＋ 10＝6( λ－ 3)2－ 3.

→ → →

4 4 8 4 2

∴当 λ＝3时， QA ·QB 取最小值为－ 3.此时， OQ ＝ ( 3， 3，

3)，

综合练习

一、选择题

1、下列命题：其中不正确 的所有命题的序号为 __________．

．．．

①若 A 、 B 、 C 、D 是空间任意四点，则有 → → → → ＝ 0； ② |a|－ |b|＝ |a ＋ b|是 a 、 b 共线的充要条件；

AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ③若 a 、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；

④对空间任意一点 → → → →

O 与不共线的三点 A 、 B 、 C ，若 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC (x 、 y 、z ∈ R )，则 P 、 A 、 B 、C 四点共 面． ⑤设命题 p ： a ， b ， c 是三个非零向量；命题

q ： { a ， b ， c} 为空间的一个基底，则命题 p 是命题 q 的充要条件

解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当

a 、

b 同向时，应有 | a | ＋ | | ＝| ＋ | ；③中 a 、

b

a b

b 所在直线可能重合；④中需满足

x ＋ y ＋ z ＝ 1，才有 P 、 A 、B 、 C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作

为空间的一个基底，应改为必要不充分条件

2、有下列命题：其中真命题的个数是 ( ) ①若 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面； ②若 p 与 a ，b 共面，则 p ＝ xa ＋yb ；

→ → →

→ → → ③若 MP ＝ xMA ＋ yMB ，则 P ， M ， A 、 B 共面； ④若 P ， M ， A ， B 共面，则 MP ＝ xMA ＋ yMB. A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 解析 其中 ①③ 为真命题． ② 中，若 a ， b 共线，则 p ≠xa ＋ yb ；

→ → → 3、已知 A(1,0,0)， B(0，－ 1,1)，OA ＋ λOB 与 OB 的夹角为 120°，则 λ的值为 (

)

6 6 6

A ． ±6 B. 6 C ．－ 6 D ． ± 6

→ → λ＋ λ 1 6

6

6 解析： OA ＋ λOB ＝ (1，－ λ，λ)，cos120°＝ ，得 λ＝ ±

不合题意， 舍去， ∴ λ＝－

＝－ 2 6.经检验 λ＝

66 .

1＋ 2

2λ· 2

4、 如图所示，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝ 120 °，PA ＝ AB ＝ BC ＝6，则 PC 等于

( )

A ．6 2

B ． 6

C ．12

D ． 144

→ 2

→ → → 2

→ 2 → 2 → 2

→ →

→

解析 PC ＝ (PA ＋ AB ＋ BC) =PA ＋ AB ＋ BC ＋ 2AB ·BC ＝36＋ 36 ＋36＋ 2× 36cos 60 °＝ 144∴ |PC |＝ 12

→

→ →

→ → → → 3 → 1 3

1

1

c ， 证明 设 AB ＝ a ，AC ＝b ， AD ＝ c ，则 BG ＝ BA ＋ AG ＝ BA ＋ AM ＝－ a ＋ (a ＋ b ＋ c)＝－

4 a ＋ b ＋ → → → → 1 → →

1

1 4 → 4

4

4 4

→ →

，即 B 、G 、N 三点共线．

BN ＝ BA ＋ AN ＝ BA ＋ (AC ＋ AD )＝－ a ＋

b ＋

c ＝ BG.

∴ BN ∥BG

3

3

3

3

5、正方体 ABCD — A 1B 1C

→ 1 →

→

1D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM ＝ MC 1， N 为 B 1B 的中点，则 |MN |为 ()

2

A.

21 6 a

B.

6 6 a

C.

15 6 a

D.

15 3

a

解析

以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz ，则 A(a,0,0)，C 1

a ， a ，

a

2

.

(0，a ，a)，N

设 M(x ， y ， z)． ∵ 点 M 在 AC 1 → 1 →

1

上且 AM ＝

MC 1， ∴ (x －a ， y ， z)＝ (－ x ， a － y ， a － z)

2

2

2 a a 2a a a

， ∴

→

2 a

2＋

a － a 2＝ 21

∴ x ＝ a ，y ＝ ， z ＝ .∴M

， ， 3|MN |＝

a － a 2

＋ a －

3 2 3 a.

3

3

3

3

3

3

6

π

→

→

6、如图所示，已知空间四边形

OABC ，OB ＝ OC ，且∠ AOB ＝∠ AOC ＝ 3，则 cos 〈 OA ， BC 〉的值为 (

)

1 3

2

A ． 0

B. 2

C. 2

D. 2

解析

→ → →

π

设 OA ＝ a ，OB ＝ b ， OC ＝ c ，由已知条件〈

a ，

b 〉＝〈 a ，

c 〉＝ ，且 |b|＝ |c|，

1 1

3

→ →

→ →

OA ·BC ＝ a ·(c － b)＝a ·c － a ·b ＝ |a||c|－ |a||b|＝ 0，∴ cos 〈 OA ， BC 〉＝ 0.

2

2

7、如图所示，在平行六面体

ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1

→ → →

的交点．若 AB ＝a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则下列

→

)

向量中与 BM 相等的向量是 (

．

1 1 1 1

1 1 1 1

A － 2a ＋ 2b ＋ c B. 2a ＋2b ＋ c C ．－ 2a － 2b ＋c D. 2a － 2b ＋ c

解析 →→→→ 1 → →

1 (b － a)＝－ 1 a ＋ 1 b ＋c. BM ＝ BB 1＋ B 1M ＝ AA 1＋ (AD － AB)＝ c ＋

2 2

2 2

8、

8、平行六面体 → → → 60°，且 →

→ → ABCD － A 1B 1 C 1D 1 中，向量 AB ，AD ，AA 1两两的夹角均为 |AB|＝ 1，|AD|＝ 2，|AA 1|＝3，则 → )[

|AC 1|等于 ( A ．5 B ． 6 C ．4 D ． 8 → → → → → →

设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则 AC 1＝ a ＋ b ＋ c ， AC 12＝ a 2＋ b 2＋ c 2

＋ 2a ·＋b 2b ·＋c 2c ·＝a 25， |AC 1|＝ 5.[

9、在下列条件中，使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是 ( )

→→→ → →→ → →

→ → →

→→ →→

A. OM ＝ 3OA － 2OB － OC B ．OM ＋OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0

C ． MA ＋ MB ＋ MC ＝ 0

D ．OM ＝1

OB － OA ＋1

OC

4

2

→ → →

解析：

C 中 MA ＝－ MB － MC .故 M 、 A 、 B 、C 四点共面．

二、填空题

10、同时垂直于 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3) 的单位向量是 ____________________ ．

解析 设与 a ＝(2,2,1) 和 b ＝(4,5,3) 同时垂直 b 单位向量是 c ＝ (p ， q ，r )，则

1

1

p 2＋ q 2＋ r 2＝ 1，

p ＝3，

p ＝－ 3，

2，

2，

1，－ 2， 2

或 － 1， 2

，－ 2

2p ＋ 2q ＋ r ＝ 0， 解得

或

所求向量为

q ＝－ 3

q ＝ 3

3 3 3 3 3 3 .

4p ＋ 5q ＋ 3r ＝0，

2，

2，

r ＝ 3

r ＝－ 3

11． 若向量 a ＝ (1，λ， 2)， b ＝ (2，－ 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8

，则 λ＝ ________.

9

解析 由已知得 8 a ·b ＝ 2－ λ＋ 4 ， ∴ 8 2

－λ)，解得 λ＝－ 2 或 λ＝ 2 .

＝

5＋ λ＝3(6

55

2

12． 在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)、 B(10，－ 1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角

形，则实数 x 的值为 ________．

解析 由题意知 → → → →

AB ·AC ＝ 0， |AB|＝ |AC|，可解得 x ＝ 2.

13． 已知 a ＋3b 与 7a －5b 垂直，且 a － 4b 与 7a －2b 垂直，则〈 a ， b 〉＝ ________.

解析 由条件知 (a ＋ 3b) ·(7a － 5b)＝ 7|a|2＋ 16a ·b － 15|b|2＝ 0，及 (a －4b) ·(7a －2b)＝ 7|a|2＋ 8|b|2－ 30a ·b ＝0.

1

两式相减，得 46a ·b ＝ 23|b|2，∴ a ·b ＝ |b|2.

2

1

代入上面两个式子中的任意一个，即可得到

|a|＝ |b|.∴ cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b

2|b|2

1

＝ 2 ＝

.∴ 〈a ， b 〉＝ 60°.

|a||b| |b| 2

π

， 2

， ⊥ ， ⊥ ， 在平面 内， 在 上， 14. 如图所示，已知二面角 α— l — β的平面角

为 ∈ 0

AB BC BC CD AB BC l θ θ β

CD 在平面 α内，若 AB ＝ BC ＝ CD ＝ 1，则 AD 的长为 ________．

→→ → →

2=

→→→→ →→ →→ →

π－ θ＝) 3－ 2cos θ.

解析 :AD 2＝ (AB ＋ BC ＋CD ) AB 2＋ BC 2＋ CD 2＋ 2AB ·CD ＋ 2AB ·BC ＋ 2BC ·CD ＝ 1＋ 1＋ 1＋2cos(

15． 已知 a ＝(1－ t,1－ t ， t)， b ＝(2， t ，t)，则 |b － a|的最小值为 ________．

1

9 1 3 5

解析 b －a ＝ (1＋ t,2t － 1,0)，∴ |b －a|＝

1＋ t 2

＋ 2t － 1 2＝

5 t －5 2

＋ 5 ，∴当 t ＝ 5 时，|b －a|取得最小值 5

.

三、解答题

16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱

ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， P 是 CA 1 的中点， M 是 CD 1 的中点， N 是

→ → →

C 1

D 1 的中点，点 Q 在 CA 1 上，且 CQ ∶QA 1＝ 4∶ 1，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，AA 1＝ c ，用基底 { a ， b ， c} 表示以下向量：

→ → → → (1)AP ； (2) AM ； (3)AN ； (4) AQ.

→ 1 → →

1 → →→

1

(a ＋ b ＋ c)．

(1) AP ＝ (AC ＋ AA

1)＝ (AB ＋AD ＋ AA

1)＝ 2

2

2

→ ＝ 1 → →

1

→

→ →

1

(2) AM ＋ AD

＋ 2AD ＋AA

(AC

1)＝( AB

1)＝ (a ＋2b ＋c)．

2

2

2

→ 1 →→

1

→ →→→ →

1 →→→ 1

1

a ＋

b ＋ c.

(3) AN ＝ (AC 1＋ AD 1

)＝

[( AB ＋ AD ＋AA 1)＋ (AD ＋ AA 1)] ＝ (AB ＋ 2AD ＋ 2AA

1)＝

(a ＋ 2b ＋2c)＝

2

2 2

2 2

→ → → → 4 →→1 → 4 → 1 → 1 → 4 → 1

1 4

(4) AQ ＝ AC ＋CQ ＝ AC ＋

(AA 1－AC)＝ AC ＋ AA 1＝ AB ＋ AD ＋ AA 1＝ a ＋ b ＋ c

5

5 5 5 5 5 5

5

5

17、如图，已知 M 、 N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GM ∶GA ＝ 1∶ 3.

求证： B 、 G 、 N 三点共线．

18． (13 分 )直三棱柱 ABC —A ′ B ′ C ′中，AC ＝ BC ＝ AA ′，∠ ACB ＝ 90°，

D 、

E 分别为 AB 、BB ′的中点．

(1) 求证： CE ⊥ A ′D ；

(2) 求异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值．

→ → →

(1)证明：设 CA ＝ a ，CB ＝b ，CC ′ ＝c ，根据题意， |a|＝ |b|＝ |c|且 a ·b ＝b ·c

→ 1 → 1 1 →→ 1 1 → →

，即 ∴ CE ＝ b ＋ c ， A ′ D ＝－ c ＋ b － a.∴CE · A ′ D ＝－ c 2＋ b 2＝ 0，∴ CE ⊥A ′D

2 2 2 2 2

＝ c ·a ＝ 0.

CE ⊥A ′D. → → → 5 → →

1 1 2＝ 1 2，

(2) AC ′ ＝－ a ＋ c ，∴ |AC ′ |＝ 2|a|， |CE|＝ |a |.AC ′ · CE ＝ (－ a ＋ c) · c 2b ＋ ＝ c |a|

1

2 2 2 2

→→ 2|a|

＝ 10 10 ∴ cos 〈 AC ′ ，CE 〉＝ 5 10 .即异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值为 10 .

2 · 2

|a|2