第06讲 一元一次方程概念和等式性质

第06讲 一元一次方程概念和等式性质 考点·方法·破译

1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．

2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．

经典·考题·赏析

【例１】 下面式子是方程的是( )

A ．x ＋3

B ． x ＋y ＜3

C ．2x 2 ＋3 ＝0

D ．3＋4 ＝2＋5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x 2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C ．

【变式题组】

01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－13

x ＝x ＋l ，④2x ＋y ＝3中方程的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的13

，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( )

A ． 272＋x ＝

13 (196－x ) B ． 13

(272－x ) ＝196 –x C ．12×272 ＋x ＝196－x D ．13 (272 ＋x ) ＝196－x 03．根据下列条件列出方程：

⑴3与x 的和的2倍是14 ⑵x 的2倍与3的差是5 ⑶x 的

15与13的差的2倍等于1

【例２】下列方程是一元一次方程的是( )

A ．x 2－2x －3＝0

B ．2x －3y ＝4

C ．1x

＝3 D ．x ＝0 【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D ．

【变式题组】

01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy ；④x ＝2；⑤3x ＝1；⑥3x x

-＝4x ；⑦（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ；⑧ax ＋b 其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．

02．（江油课改实验区）若（m －2）23m x -＝5是一元一次方程，则m 的值为( )

A ．±2

B ．－2

C ．2

D ．4

03．（天津）下列式子是方程的是( )

A．3×6＝18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1

【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( )

A．8 B．3 C．

8

3

-D．

8

3

【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，

k＝8

3

故选择D．

【变式题组】

01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )

A．3x＝2x－1 B．3x－2x＋2 ＝0 C．3x－1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2 02．（自贡）方程3x＋6 ＝0的解的相反数是( )

A．2 B．－2 C．3 D．－3

03．（上海）如果x＝2是方程1

1

2

x a

+=-的根，那么a的值是( )

A．0 B．2 C．－2 D．－6

04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：

(1)某数的3倍比这个数大4；

(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？

【例4】（太原）c为任意有理数，对于等式1

2

a＝2×0.25a进入下面的变形，其结

果仍然是等式的是( )

A．两边都减去－3c B．两边都乘以1 c

C．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c

【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．【变式题组】

01．（青岛）如果ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( )

A．ma＋1＝mb＋1 B．ma?3＝mb?3 C．

1

2

-ma＝

1

2

-mb D．a＝b

02．（大连）由等式3a?5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )

A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a－5）

C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a－5）

03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )

A．如果2x?3 ＝7，那么2x＝7?x B．如果3x?2＝x＋l，那么3x?x＝1?2

C．如果－2x＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－1

3

x＝1，那么x＝－3

【例5】 利用等式的性质解下列方程：

⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －

13

x ?5 ＝4 ⑴解：两边都减去7得 x ＋7 ?7 ＝19 ?7

合并同类项得 x ＝12 ⑵解：两边都乘以15

-

得x ＝ －6 ⑶解：两边都加上5得－13

x ?5＋5 ＝4 ＋5 合并同类项得－13x ＝9 两边都乘以－3得x ＝－27

【解法指导】 要使方程x ＋7 ＝19转化为x ＝a （常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x ＝a 的形式．

【变式题组】

01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是1v ，回来的速度是2v ，则他的

平均速度为( )

A ．122

v v + B ．12122v v v v + C ．12122v v v v + D ．1212v v v v + 02．（杭州）已知11x y =??=-?

是方程2x ?ay ＝3的一个解，那么a 的值是( ) A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－1

03．（郑州）下列变形正确的是( )

A ．由x ＋3＝4得x ＝7

B ．由a ＋b ＝0，得a ＝b

C ．由5x ＝4x －2得x ＝2

D ．由

6x ＝0，得x ＝0 04．（南京）解方程2332x -

= ( ) A ．同乘以23- B ．同除以32 C ．同乘以－32 D ．同除以32

【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）

【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．

解：设他存入的本金是x 元，则5个月的利息是2%×5x ＝0.1x 元，需交利息税0.lx ×20%＝0.02x 元，根据题意得：x ＋0. lx ?0.02x ＝ 1080．

【变式题组】

01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销

售，则该商品现在售价是( )

A ．160元

B ．128元

C ．120元

D ．8元

02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：

(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；

(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，

【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p 、q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l ．求代数式40p ＋l 0lq ＋4的值．

【解法指导】用代入法可得到p 、q 的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．

解：把x ＝l 代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 中必有一个数是偶数：

(1)若p ＝2，则Sq ＝ 95，q ＝19，40p ＋l 01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；

(2)若5q 为偶数，则q ＝2，p ＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l 0lq ＋4的值为2003.

【变式题组】

01．（广东省竞赛题）已知x ＝3x ＋1，则（64x 2 ＋48x ＋9）2009＝_______． 02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a 、b 、c 、d ，定义新运算：a b

c d ＝ ad ?

bc ，已知24

1x x -＝18，则x ＝( )

A ．－1

B ．2

C ．3

D ．4

演练巩固 反馈提高

01．下面四个式子是方程的是( )

A ．3 ＋2 ＝5

B ．x ＝2

C ．2x ?5

D ．a 2 ＋2ab ≠b 2

02，下列方程是一元一次方程的是( )

A ．x 2 ?2x ?3＝0

B ．2x ?3y ＝3

C ．x 2?x ?1＝ x 2＋1

D ．110x

-= 03．“x 的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )

A ．12x ＝7?x

B ．12x ＋7 ＝?x

C ．12＋7 ＝x

D ．12

＝x ＋7 04．（石家庄）把1200g 洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g 外，其余

四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg 洗衣粉，列方程为( )

A ．5x ＋15＝ 1200

B ．5x －15 ＝1200

C ．4x ＋15＝ 1200

D ．4（x ＋15)＝1200

05．在方程①3x ?4 ＝7；②2

x ＝3；③5x ?2 ＝3；④3（x ＋1）＝2（2x ＋1）中解为x ＝1的方程是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

06．如果方程2n＋b＝n?1的解是n＝－4，那么b的值是( )

A．3 B．5 C．－5 D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝a2＋b则（－2）△x＝10中x为( ) A．－6 B．6 C．8 D．－8

08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是( )

A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a?10)(b＋l) ＝3000

C．3000

1

b-

＝a＋10 D．

3000

10

a+

＝b?1

09．已知关于x的方程(m＋2)x m＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x?2＝10 ＋x的解是_______．

11．（福州）已知3

4

m?1＝

3

4

n，试用等式的性质比较m、n的大小．

12.（西宁）已知方程a?2x＝－4的解为x＝4，求式子a3?a2?a的值．

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？

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01．下列判断中正确的是( )

A ．方程2x －3 ＝1与方程x (2x －3)＝x 同解，

B ．方程2x －3 ＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解．

C ．方程x (2x －3)＝x 的解是方程2x －3 ＝1的解．

D ．方程2x ?3 ＝1的解是方程x (2x －3)＝x 的解．

02．方程2009122320092010

x x x ++???+=???的解是( ) A ．2008 B ．2009 C ．2010 D ．2011

03．（江苏省竞赛题）已知a 是任意有理数，在下面各题中

(1)方程ax ＝0的解是x ＝l (2)方程ax ＝a 的解是x ＝l

(3)方程ax ＝1的解是x ＝1a

(4)a x a =的解是x ＝±1 结论正确的的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x 的一元一次方程(3a ＋8b )x ＋7 ＝0无解，则ab 是( )

A ．正数

B ．非正数

C ．负数

D ．非负数

05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3?3

a 2?5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )

A ．1个

B ．3个

C ．6个

D ．9个

06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程5x -＋（x ?5）＝0的解的个数为( )

A ．不确定

B ．无数个

C ．2个

D ．3个

07．若x ＝9是方程

123x a -=的解，则a ＝______；又若当a ＝1时，则方程123

x a -=的解是______． 08．方程1322035y y +--=的解是_____，方程()3115

x x -=+的解是_____． 09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知39901995x + ＝1995，那么x ＝____．

10．（“希望杯”邀请赛试题）已知2x x =+，那么19x 99 ＋3x ＋27的值为____．

11．（广西竞赛）解关于x 的方程x a b x b c x a c c a b

++++++++＝－3．

12．a 为何值，方程()16326

a x x a x +=--有无数个解．

13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m 本，则余14本；每人9本，则最后

一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？

14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队

人数的k （是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？