二次函数优秀教案

课堂教学设计例3．已知正方形周长为Ccm，面

积为S cm2．

（1）求S和C之间的函数关系式，

并画出图象；

（2）根据图象，求出S=1 cm2时，

正方形的周长；

（3）根据图象，求出C取何值时，

S≥4 cm2．

分析此题是二次函数实际应用

问题，解这类问题时要注意自变

量的取值范围；画图象时，自变

量C的取值应在取值范围内．

课堂练习：书上。

课堂小结：

通过本节课的学习你有哪些收

获？

家庭作业：习题

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都

在坐标原点．

不同点：2

y 的图象开口向上，

顶点是抛物线的最低点，在对称轴的

左边，曲线自左向右下降；在对称轴

的右边，曲线自左向右上升．

学生独立完成。

二次函数的性质。

作业

布置

练习册

板书设计1、复习引入

2、新课探究

3、练习

4、小结

5、作业

教学反思

单元 2 教学内容二次函数的图象与性质（2）课时 3

教学目标1、会画出k

=2这类函数的图象。

2、通过比较，了解这类函数的性质．

教学重点难点重点：通过画图得出二次函数性质难点：识图能力的培养

教具

学具

资料

准备

多媒体课件

课堂教学设计

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）情境导入

同学们还记得一次函数

=与1

y的图象的关

系吗？

你能由此推测二次函数2x

与1

y的图象之间的关系

吗？，那么

y=与2

y的图象之间

又有何关

系？．

探究新知

例1．在同一直角坐标系中，画

出函数2

y=与2

22+

y的

图象．

解列表．

描点、连线，画出这两个函数

的图象。

学生回答完成

探索观察这两个函数，

它们的开口方向、对称轴

和顶点坐标有那些是相同

的？又有哪些不同？你

能由此说出函数2

y=与

22-

y的图象之间的关系吗？

单元 2 教学内容二次函数的图象与性质（3）课时 4

教学目标会画出2)

=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．．

教学重点难点重点：通过画图得出二次函数性质难点：识图能力的培养

教具

学具

资料

准备

多媒体课件

课堂教学设计

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）情境导入

我们已经了解到，函数

=2的图象，可以由函

数2

y=的图象上下平移所

得，那么函数2)2

(

y的图

象，是否也可以由函数2

平移而得呢？画图试一试，你

能从中发现什么规律吗？

探究新知

例1．在同一直角坐标系中，画

出下列函数的图象．

y=，2)2

(

y，

(

y，并指出它们的开

口方向、对称轴和顶点坐标．

解列表．

描点、连线，画出这三个函数

的图象，如图26．2．5所示．

学生回答完成

单元 2 教学内容二次函数的图象与性质（4）课时 5

教学目标1．掌握把抛物线2

y=平移至2)

=+k的规律；

2．会画出2)

=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

教学重点难点重点：通过画图得出二次函数性质识图能力的培养

难点：

教具

学具

资料

准备

多媒体课件

课堂教学设计

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）情境导入

由前面的知识，如何平移，才能得到

函数2

(22+

y的图象呢？

探究新知

例1．在同一直角坐标系中，画出下

列函数的图象．

y=，2)1

(

y，

(

y，并指出它们的开

口方向、对称轴和顶点坐标．

解（1）列表：略

（2）描点：

（3）连线，画出这三个函数的

图象，如图

学生回答

单元 2 教学内容二次函数的图象与性质（5）课时 6

教学目标1．能通过配方把二次函数c

=2化成2)

=+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2．会利用对称性画出二次函数的图象．

教学重点难点重点：通过画图得出二次函数性质难点：识图能力的培养、配方法

教具

学具

资料

准备

多媒体课件

课堂教学设计

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）情境导入

函数2

y=的图象，如何

平移，才能得到函数

(22+

y的图象呢？

探究新知

例1．通过配方，确定抛物线

22+

y的开口方向、

对称轴和顶点坐标，再描点画

图．

注意点：（1）列表时选值，

应以对称轴x=1为中心，函数

值可由对称性得到；（2）描点

画图时，要根据已知抛物线的

特点，一般先找出顶点，并用

虚线画对称轴，然后再对称描

点，最后用平滑曲线顺次连结

各点．

学生回答。

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）

课堂教学设计

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）例2．某产品每件成本是120元，试销

阶段每件产品的销售价x（元）与产品

的日销售量y（件）之间关系如下表：

x（元）130 150

y（件）70 50

分析日销售利润=日销售量×每件产

品的利润，因此主要是正确表示出这两

个量．

．

课堂作业：

如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠

C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB

上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别

为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．

（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并

求出x的取值范围；

回顾与反思

最大值或最小值的求法，第一步确

定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有

最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵

坐标即为对应的最大值或最小值

学生交流讨论。

作

业

布

置

练习册

板书设计1、复习引入

2、新课探究

3、练习

4、小结

5、作业

教学反思

单元 2 教学内容二次函数的图象与性质（7）课时8

教学

目标

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

教学重点难点重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题

难点：

教具

学具

资料

准备

多媒体课件

课堂教学设计

教师活动（教师导航）学生活动或师生互动（学程设计）

情境导入

一般地，函数关系式中有几个

独立的系数，那么就需要有相

同个数的独立条件才能求出函

数关系式．例如：我们在确定

一次函数)0

(≠

y的关

系式时，通常需要两个独立的

条件：确定反比例函数

(≠

y的关系式时，通常

只需要一个条件：如果要确定

二次函数

(

2≠

y的关系

式，又需要几个条件呢？

探究新知

例1．某涵洞是抛物线形，它的

截面如图26．2．9所示，现测

得水面宽1．6m，涵洞顶点O

到水面的距离为2．4m，在图中

直角坐标系内，涵洞所在的抛

物线的函数关系式是什么？

学生会答

单

元

2 教学内容小结与复习

课

时

教

学

目

标

1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题

教

学

重

点

难

点

重点：能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值

难点:会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题.

教

具

学

具

资

料

准

备

多媒体课件

课

堂

教

学

设

计

教师活动（教师导航）

学生活动或师生互动

（学程设计）复习建构

一、知识结构：

：

二、注意事项

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象

的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利

用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

复习题组

见学案

学生理解知识机构图。

教师强调，学生理解。

学生完成后师生共同评

议。

初中数学《二次函数》的教学案例分

初中数学《二次函数》的教学案例分析及反思一、教材研读与剖析１．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法. ２．教学目标：第一，理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；第二，会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；第三，会用待定系数法求二次函数的解析式；第四，从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. ３．教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计（１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠ ０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■ （ｘ是不为０的常数）的形式. （２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念：我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值，激发其学习的热情. （３）利用图像激发兴趣. 学习性质最好的方法就是根据图像来探索. 例如，教师可以给出以下的问题，让学生进行自由探索：填空：根据下边已画好抛物线ｙ＝－２ｘ２的顶点坐标是＿＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而增大；在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而减小.当ｘ＝＿＿＿＿＿时，函数ｙ的最大值是＿＿＿＿. 当ｘ＿＿＿＿０时，ｙ＜０. 教师让学生根据问题进行探究，并归纳出：二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）的图像和性质，顶点坐标与对称轴，位置与开口方向，增减性与最值. （４）小组合作探索二次函数与一元二次方程. 教师向学生展示二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ，ｙ＝

二次函数的教学案例

《二次函数》教学案例一、教学目标: 1.通过探索归纳理解二次函数的定义. 2.能据实际问题，列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学重点：对二次函数概念的理解教学难点：由实际问题确定二次函数关系式，并求出自变量的取值范围教学过程：一、问题情境： 1.水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积A与半径r之间的函数关系式是。 2.用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，生物园的面积y㎡与长方形的长x m之间的函数关系式为。 3、要给边长为x m的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y= 。二、问题归结：上述函数函数关系有哪些共同特征？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？一般地，形如y=ax +bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数。其中x是自变量，y是x的函数。

三、概念巩固：判断下列函数哪些表示y是x的二次函数（1）y=ax +bx+c （a、b、c是常数）（2）y= （3）y=x +5x-7 （4）y=-x 点评：对二次函数的判断必须注意：（1）二次项系数不可为0；（2）自变量x不可做分母；（3）自变量x的指数的最大值是2。四、自变量的取值函数自变量取的值通常有一定范围，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？点评：要注意结合问题实际确定自变量的取值，如上述问题（１）中的ｒ＞０，问题（２）中０＜ｘ＜８，问题（３）中ｘ＞０。一般的，二次函数y=ax +bx+c的自变量ｘ可以是任意实数。五、例题教学例：写出下列函数关系式及自变量的取值范围，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S cm与棱长a cm之间的函数关系； ⑵菱形的两条对角线的和为26cm，其中一条对角线的长为x cm，求菱形的面积S cm与对角线x cm之间的函数关系 ⑶圆的面积y cm与它的周长x cm 之间的函数关系； ⑷某种储蓄的年利率是x，存入10000元，两年后本息和y元与年利率x之间的函数关系；六．知识反馈 1课本练习第7页2.3.4题

二次函数复习课教学案例分析

二次函数复习课教学案例分析一、复习课的目的是通过用多种方法求二次函数的解析式,从而培养学生的一题多解能力及探索意识. 二、教学目标： 1.理解二次函数的意义；会求二次函数的解析式； 2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性； 3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想的认识。教学重点：二次函数的意义；会求二次函数的解析式。教学难点：在求二次函数的解析式的过程中加深对于数形结合思想的认识。三、探究与讨论问题:已知二次函数的图象过点(1,0),在y轴上的截距为3,对称轴是直线x=2,求它的函数解析式. 1: 两点代入二次函数一般式再想到对称轴,从而以三元一次方程组解得a,b,c, 2:还有没有其他方法,请大家再思考一下. 3:再想想看,是否还有其他解题途径. 4: 函数本身与图形是不可分割的,能数形结合,试用双根式解此题. 5: 最后,请同学们想一下,通过本堂课的学习,你获得了什么? 四、回顾与反思 1.每一个学生都有丰富的知识体验和生活积累,每一个学生都会有各自的思维方式和解决问题的策略.而我对他们的能力经常低估,在以往的上课过程中,总喋喋不休,深怕讲漏了什么,但一堂课下来,

学生收获甚微.本堂课,我赋予学生较多的思考和交流的机会,试着让学生成为数学学习的主人,我自己充当了一回数学学习的组织者,没想到取得了意想不到的效果,学生不但能用一般式,顶点式解决此题,还能深层挖掘巧妙地用两根式解决此题,学生的潜力真是无穷. 2.通过本堂课的教学,我想了很多.新课程改革要求教师要有现代的教学观、学生观，才能培养出具有创新精神和实践能力的下一代。所以教师应当走下“教坛”，与学生在民主、平等的氛围中交流意见，共同探讨问题。学生的主动参与是学习活动有效进行的关键所在，因此教师还应该在学生“学”上进行改革，从学生的实际出发，从学生的生活出发，才能把学生从被动听的束缚中解放出来，使学生真正成为学习的主人.本节课教师始终与学生保持着平等和相互尊重，为学生探究学习提供了前提条件. 在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题.这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论.题是无穷尽而活的,只有让学生主动探索,才能真正地理解,巩固知识点,从而运用知识点,即真正知其所以然.今后,我将不断尝试,不断完善自身,使学生的讨论和思考更有意义.

九年级数学二次函数教学案

第 14周第 1课时总第 43课时课题：二次函数的定义【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。【学习重难点】重点：二次函数的概念。难点：确定实际问题中二次函数的关系式。【学习过程】一、预习交流 1．思考：（1）已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。（2）已知一个矩形的周长是60m ，一边长是Lm ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？ 2.归纳：（1）函数解析式均为整式；（2）自变量的最高次数是2。 3.定义：一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。【注意】这里b ，c 没有限制，而a ≠0。练习一：下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？（1）y=2-3x 2；（2）y=x (x-4)；（3）y= 2 1x 2-3x-1；（4）y= 4 1x 2+3x-8；（5）y=7x （1-x ）+4x 2；（6）y=（x-6）（6+x ）。 (7 ) y= 2 2561 x x - （8）y=(x-2)2 - x 2 ；练习二：若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数，则m 为二、精讲点拨

例1．当k 为何值时，函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系； ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．例3.已知二次函数2y ax =，当3x =时，5y =-。当5x =-时，求y 的值．三、拓展延伸 1.考察下列函数：①2 13y x =+，②2 251y x x =-+，③3(1)y x x =-， ④3y x =-， ⑤234v t t =-（t 是自变量）中，二次函数是：。 2.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ，则 ___________y =，其中x 的取值范围是。 3.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数关系式：y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数，求m 的值．四、系统总结学生谈谈自己的收获五、限时作业

初中数学《二次函数》的教学案例分析

初中数学《二次函数》的教学案例分析一、教材研读与剖析１．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法. ２．教学目标：理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；会用待定系数法求二次函数的解析式；从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. ３．教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计（１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课

堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠ ０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■ （ｘ是不为０的常数）的形式. （２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念：我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导

二次函数的应用教学案例

二次函数的应用教学案例一、教学目标 1.知识目标：学生能够利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而熟练运用数形结合的方法解决问题。 2.技能目标：培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题。 3.情感目标：经历“问题情境——自主探究——交流与讨论——猜想结论——得出结论”的数学思维、活动过程，体验成功的喜悦，感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣。二、教学重、难点 1.教学重点：把二次函数转化为方程的数学思想。 2.教学难点：把实际问题转化为与二次函数有关的数学问题。三、教学用具多媒体四、教学过程（一）引入练习： 1.已知一次函数23+=x y ，当x = 时，1-=y 。【设计意图】利用简单的一次函数，学生体验“已知函数值求自变量取值”的方法，为下面的练习做铺垫。 2.已知二次函数322--=x x y ，当1=x 时，y = ；当x = 时，5=y 。【设计意图】在上一题基础上解决二次函数中的问题，由此总结二次函数与一元二次方程之间的关系。（学生独立完成，体验二次函数与一元二次方程的联系，得出结论：）（二）二次函数与一元二次方程：（展示图片，联系实际，学生通过用自己做了解的交通常识来回答一系列问题，从而调动起学习的兴趣和解决问题的积极性，同时实现师生之间的互动。）情境：甲、乙两车在限速为40km/h 的湿滑弯道上相向而行时相撞。事后勘察测得，甲车刹车距离为12m ，乙车刹车距离超过10m ，但小于12m 。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离甲S （m ）与车速x （m ）之间的关系为201.01.0x x S +=甲，乙车的刹车距离乙 S （m ）与车速x 之间的关系为x S 4 1= 乙；（先由学生独立思考，再分小组与同学交流意见，讨论“用什么来衡量甲、乙谁违章”，打开解决问题的窗口），即求：⑴甲车刹车前的行驶速度？甲车是否超速？ ⑵乙车刹车前的行驶速度？乙车是否超速？【设计意图】联系实习生活，体现“二次函数与一元二次方程的联系”在实际生活中的应用。利用交通事故案例，贴近生活，充分调动学生的积极性与学习兴趣，展开讨论，做出判断。再独立解题。 c bx ax y ++=2一元二次方程 m c bx ax =++2二次函数 y=m

高中数学新课程创新教学设计案例二次函数修订稿

高中数学新课程创新教学设计案例二次函数 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

10 二次函数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与 a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）2＋k的形式．教学目标 1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力． 2. 掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值． 3. 能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力．任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，（a≠0）的图像与a的关系以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程．教学设计一、复习引申 1. 什么是二次函数？ 2. 在同一坐标系中作出下列函数的图像．（1）y＝－3x2．（2）y＝－2x2．（3）y＝－x2．（4）y＝－0.5x2．（5）ｙ＝0.5x2．（6）y＝x2．（7）y＝2x2．（8）y＝3x2． 3. 学生讨论：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系？ 4. 教师明晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．二、问题情境已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6．（1）求它与x轴的交点坐标．（2）问：它有没有最值若有最大（小）值，最大（小）值是多少试求出此时对应的自变量ｘ的值．（3）画出它的图像．（4）它的图像有没有对称轴如果有，位置如何（5）确定函数的单调区间． 1. 先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．

一元一次方程与二次函数之间的关系教学案例

一元一次方程与二次函数之间的关系教学案例一、教材分析：本节是（人教版）九年级上册第二十一章第二节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，进一步探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。这样，学生结合实际问题就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而利用二次函数的图象求一元二次方程的解。从而把数与形有机的结合起来。利用函数解决方程以及实际问题。本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

方法与过程 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。情感态度与价值观 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学的奥妙，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2.从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。 2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。三、教学重点、难点：教学重点： 1．一元一次方程的解与二次函数图像之间的关系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

《二次函数与一元二次方程关系》教学案例

《二次函数与一元二次方程关系》教学案例一、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。二、教学重点、难点：教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。三、教学方法：启发引导合作交流四：教具、学具：课件五、教学媒体：计算机、实物投影。六、教学过程： [活动1] 检查预习引出课题预习作业： 1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0. 2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知问题 1．课本P16 问题. 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? （结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。）师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2－4ac 两个交点两个相异的实数根 b2－4ac > 0

《二次函数的图像及性质》教学案例反思

《二次函数的图像及性质》教学案例反思【课堂实录】教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃，一下写出了十多个) 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生：(讨论了3分钟)四大类!有 y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了!同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材! 教师启发学生利用函数中的列表，描点，连线的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再加工，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗?

学生;不一样. 教师：有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的) 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟，放手让学生一搏) 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a0时，图象在原点的上方，当a0时，图象在原点的下方。学生E:当a0时，图象开口向上;当a0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后，教师确定了思路) 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题----

二次函数的最值几何应用教学案

二次函数的最值几何应用教学案【教学目标】 1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何问题中的应用，特别是用来求几何图形面积的最大值或最小值． 2．理解二次函数在求解几何问题中的一般方法和步骤．【重点、难点】重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何中的应用. 难点：如何将几何问题转化为二次函数的图象和性质问题. 【知识要点】 1．一次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点，考察该函数的最值； 2．二次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点考察该函数的最值； 3．函数的最大值与最小值最大值： ()()()()()()(). 0max 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y ==≤=记作叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (1) 函数图像的最高点，纵坐标最大的值在将一条平行于横坐标的直线从y 坐标。 ()()()()()()().0in 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y m ==≥=记作的最小值，叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (2) 函数图像的最高点，纵坐标最小的值 (3) 在将一条平行于横坐标的直线从y 轴的负向向正向平移的过程中，与函数的第一个交点的纵坐标。【经典例题】例1．求下列函数的最值(自变量范围是R). 132)1(2+-=x x y 32)2(2++-=x x y

例2．已知实数a,b 满足等式5)3(22=+-b a ，求 a b 的最大值和最小值。例3．已知二次函数2 (1)2y x =-- （1）当23x ≤≤时，求函数的最值。（2）当03x ≤≤时，求函数的最值。例4．方程()()22160x m x m +-+-=有一根不大于1，另一根不小于1。（1）求m 的取值范围（2）求方程两根平方和的最大值与最小值

二次函数教学反思

二次函数单元教学反思第二十六章《二次函数》是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。下面是我通过本单元的的教学后的的几点反思： “二次函数概念”教学反思关于“二次函数概念”教后做如下反思：我的成功之处是：教学时，通过实例引入二次函数的概念, 让学生明确二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。通过学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；大部分学生重视了二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。绝大多数学生理解了二次函数的概念；掌握了二次函数的一般表达式以及二次项和二次项的系数、一次项和一次项的系数及常数项。不足之处表现在：少数学生不能正确判定一个函数是否是二次函数。 “二次函数的图像及性质”教学反思关于“二次函数的图象和性质”教后做如下反思：我的成功之处是：在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现"主体参与、自主探索、合作交流、指导引探"的教学理念。通过引导学生在坐标纸上画出二次函数y=ax2的图象。画图的过程包括列表、描点、连线。列表过程是我引导学生取点的，其间我引导学生要明确取点注意的事项，比如代表性、易操作性。学生在我的引导下顺利地画出了函数的图象。紧接着我让学生观察图像自主探讨当a>0时函数y=ax2的性质。当a<0时函数y=ax2的性质。探讨函数的性质主要从开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标和最值方面入手，让学生从特殊函数来归纳总结一般函数的性质。通过观察自己画出的两个图象，它们代表函数y=ax2的两种情况，找出a的符号不同时他们的相同点、不同点和联系点。绝大多数学生通过观察图像理解并掌握了y=ax2图像的性质，紧接着，我引导学生通过坐标平移作出y=ax2+c、 y=a（x-h）2、 y=a（x-h）2+c 的图像，绝大多数学生很快掌握了图形平移的规律，理解了平移后图像的性质。达到了学习目标中的要求。不足之处表现在： 1、课堂上讲的太多。让学生自主观察总结的机会少，学生还是被动的接受。 2、学生作图能力差。简单的列表、描点、连线。学生做起来就比较困难。作图中单位长度不准确，描点不正确，连线时不会用光滑的曲线，而是画出很难看的图形。 3、合作学习的有效性不够。对于老师提出的问题，各组汇报讨论结果的效果不明显。说明自主、探究、合作的学习方式没有落到实处，没能培养学生的创新能力。

初中数学《二次函数》教学的案例分析

初中数学《二次函数》教学的案例分析甘肃省华亭县西华初中张伟新课程标准指出，教师的教学研究本质上是全心全意为教学本身服务的，它的使命就是认识教学、改进教学、完善教学。古人云：“凡事预则立，不预则废”。数学教师要想在实际教学中避免单调和重复，要想使课堂教学活动从容而有意义，充分的课前研究是打造高效课堂的坚强后盾。我在进行《二次函数》教学的过程中，深切地感受到了课前研究的重要性。案例一：在设计人教版九年级下册《用待定系数法求二次函数的解析式》这一节的过程中，我发现在课本中只有一种形式，即一般式： 2y ax bx c =++。但在实际的解题中，还有另外两种形式也在广泛应用，即顶点式：()k h x a y +-=2 交点式： y ＝a(x －x 1)(x －x 2)。并且后两种形式与前一种形式可以互化，且针对有些题目，后者更加便捷。基于以上思考，在课前备课中，我作了全面合理的课堂设计，结合课本内容，充分搜集资料，我将三种形式都在导学案中有所涉及，还准备了典型的训练题目，为学生的灵活运用埋下了伏笔。教学实践证明，学生的学习过程顺利，他们全面地掌握了二次函数解析式的求法，为解决问题做好了准备。案例二：数学方法及解题技巧的研究在课前也显得非常重要。在学习《实际问题与二次函数》求函数最值这一问题的时候，课本中的方法是利用一般式推导出的公式a b x 2-=，a b a c y 442-=求函数的最值。根据我的经验及题目特点，我发现有些题目中数值较大，若用公式法代入计算将导致学生计算量大，

出现错误。于是，我认真思考并集思广益，最后我选择指导学生灵活使用代入法或配方法求最值，灵活使用代入法即将a b x 2-=，代入未化成一般式的函数解析式，从而求出函数最值。这样的好处是计算量会大大降低，从而避免错误的出现。在后来的教学实践中，学生用后两种方法求最值解题效率极高，多种方法给了学生多样选择，激活了学生的思维，提高了学生的解题效率。案例反思：从以上案例分析，我认为教师课前研究要做好以下几点：一、研究教材，丰富知识储备教师要在通读教材的基础上，积极地审视教材，理解教材的编排体系，把握重难点，捕捉教材传递的隐性信息，善于挖掘教材中蕴含的思想，并结合实际教学，科学地处理加工教材，针对部分章节的重难点增加课时安排，对教材中部分不全面的内容做有效的补充，同时删减与实际教学不相符的内容，让教材知识与学生的实际学习与未来考试相结合，让课堂学习，紧贴学生考试中的考点，做到对教材的灵活使用，用丰富的实用的知识储备指导教学活动。二、研究方法，立足学生需要解题方法犹如通向成功的道路，好方法便是捷径。在数学课前准备中，教师要细致分析题目特点，精心研究解题方法，并设计好课堂教学中如何渗透这些方法。对于同一道题目，我们在课前准备中要仔细研究，积极探索，穷尽它所有的解法，并对比分析，论证判断出最佳解法。在实际教学中，根据学生需要，我们要努力做到“条条大路通罗马，我们选择最近的

二次函数的图像与性质教学案例

二次函数 y=ax2的图像和性质教学目标知识能力目标： 1）、能用描点法画二次函数的图像； 2）、通过图像发现和研究二次函数的性质。过程与方法目标： 1）、经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程； 2）、体会数形结合思想在数学中的应用。情感，态度与价值观目标： 1）、经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验； 2）、体验数学活动中的探索性和创造性 3）、积极参与探究活动，体验二次函数是描述现实生活的重要模型。教学重点：如何画好二次函数的图像。教学难点：通过二次函数的表达式推断出其图像性质，体会数形结合思想在函数中的应用。教学突破：我们将从直观入手，从学生的生活经验出发，开展一系列的教学活动，从活动中获取知识。教学过程：一、复习旧知，引入新知： 1）、下列哪些函数是二次函数？哪些是反比例函数，一次函数？

(1)y=3x－l (2)y＝2x2＋7 (3)y= 8x (4)y=x－2 (5)y=(x+3)2-x2 (6) y=3(x-1)2+1 2）、通常怎样画一次函数，反比例函数的图像？设计意图：首先用问题作为切入点，引出新知。学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画出一次函数，反比例函数的图像，那么，特殊的二次函数Y=-X2可否用这种方法来画呢？从而自然而然的引出数学活动1 二．教学活动： 1、数学活动1：画函数y=-x2的图像 1）、多媒体展示画法（列表，描点，连线）根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点（x,y）,再用平滑的曲线顺次连接各点，就可得到y=-x2的图像

二次函数教学案例

九年级数学《二次函数》教学案例课题：二次函数的图像与性质课时：第三课时课型：新授课教学目标： 1、继续巩固用描点法画出二次函数y=ax 2的图像，并能通过图像认识二次函数y=ax 2的性质； 2、会画k ax y +=2、2)(h x a y -=、 2()y a x h k =-+这几类函数图像，并通过几何画板演示得出平移规律； 3、在探索过程中学会二次函数的顶点式 2()y a x h k =-+，并总结概括出二次函数顶点式的性质； 4、利用计算机制作动画，让学观察抛物线的形成过程，培养学生以运动变化的观点来观察问题、分析问题、解决问题的意识； 5、在经历“观察、猜测?、探索?、验证?、应用”的过程中，渗透从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、迁移能力，实现感性到理性的升华。教学重点：二次函数的顶点式 2()y a x h k =-+的性质。教学难点：通过研究2ax y =、k ax y +=2、2 )(h x a y -=、2()y a x h k =-+这几类函数图像，得出平移规律，并总结概括出二次函数的性质。教具准备：计算机、几何画板工具，PPT 课件、导学案教学过程：一、温故知新：【课件展示】二次函数y=2x 2 的图像是什么呢？请画出图像，并根据图像说出二次函数的性质。学生：在导学案的这个提问下方画函数y=2x 2的图像，根据图像归纳函数y=2x 2的图像的性质，在导学案上填空。教师：用几何画板呈现已画好的函数图像，让学生观察图像上的点变化的过程，确认并总结函数y=2x 2的图像的性质(1)二次函数y=2x 2的图像是抛物线，并且开口向上；(2)二次函数y=2x 2的图像的对称轴是y 轴；(3)抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，那么二次函数y=2x 2的顶点坐标是(0,0)；(4)在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右边y 随着x 的增大而增大。【课件展示】二、实践探索：实践1：函数y=2x 2和y=-2x 2图像的性质，寻找两图像之间的关系：【课件展示】在同一直角坐标系下画出函数y=-2x 2的图像，观察图像，说出图像的性质，并比较函数y=-2x 2的图像和已画的函数y=2x 2的图像之间的关系。学生：画函数y=-2x 2的图像，说出函数图像的性质，观察、比较两个图像之间的关系，将结果填在导学案上。

第26章二次函数全章教学案

人教版九年级数学（下）第二十六章二次函数课时教学案 26．1二次函数（一）一、学习目标 1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。（一）前置作业、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。问题2： n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定，y 与x 之间的关系怎样示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5：什么是二次函数？形如。问题6：函数y=ax2+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？（三）尝试应用：例1．关于x 的函数是二次函数，求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是的数。例2．已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函 m m 2 21)x (m y --=

《二次函数》教学案例

九年级数学《二次函数》教学案例课题：二次函数的图像与性质课时：第三课时课型：新授课教学目标： 1、继续巩固用描点法画出二次函数y=ax 2的图像，并能通过图像认识二次函数y=ax 2的性质； 2、会画k ax y +=2、2)(h x a y -=、 2()y a x h k =-+这几类函数图像，并通过几何画板演示得出平移规律； 3、在探索过程中学会二次函数的顶点式 2()y a x h k =-+，并总结概括出二次函数顶点式的性质； 4、利用计算机制作动画，让学观察抛物线的形成过程，培养学生以运动变化的观点来观察问题、分析问题、解决问题的意识； 5、在经历“观察、猜测?、探索?、验证?、应用”的过程中，渗透从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、迁移能力，实现感性到理性的升华。教学重点：二次函数的顶点式 2()y a x h k =-+的性质。教学难点：通过研究2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=、2()y a x h k =-+这几类函数图像，得出平移规律，并总结概括出二次函数的性质。教具准备：计算机、几何画板工具，PPT 课件、导学案教学过程：一、温故知新：【课件展示】二次函数y=2x 2 的图像是什么呢？请画出图像，并根据图像说出二次函数的性质。学生：在导学案的这个提问下方画函数y=2x 2的图像，根据图像归纳函数y=2x 2的图像的性质，在导学案上填空。教师：用几何画板呈现已画好的函数图像，让学生观察图像上的点变化的过程，确认并总结函数y=2x 2的图像的性质(1)二次函数y=2x 2的图像是抛物线，并且开口向上；(2)二次函数y=2x 2的图像的对称轴是y 轴；(3)抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，那么二次函数y=2x 2的顶点坐标是(0,0)； (4)在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右边y 随着x 的增大而增大。【课件展示】二、实践探索：实践1：函数y=2x 2和y=-2x 2图像的性质，寻找两图像之间的关系：【课件展示】在同一直角坐标系下画出函数y=-2x 2的图像，观察图像，说出图像的性质，并比较函数y=-2x 2的图像和已画的函数y=2x 2的图像之间的关系。

《二次函数》九年级数学教学案例

《二次函数》教学案例一、教学内容:怎样求二次函数解析式二、教学重点：求二次函数解析式的几种方法。难点：二次函数解析式的求法。三、教学案例过程: 问题:已知二次函数的图象过点(1,0),与Y轴交与点（0,3），对称轴是直线x=2,求它的函数解析式.(给学生充分的思考时间，让他们讨论交流，然后找小组代表发言。）生A: 解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把(1,0),(0,3)代入,得 a+b+c=0 c=3 又因为对称轴是x=2,所以-b/2a=2 所以得 a+b+c=0 c=3 -b/2a=2 解得 a=1 b=-4 c=3 所以所求解析式为y=-4x+3师: 两点代入二次函数一般式必定出现不定式,能想到对称轴,从而以三元一次方程组解得a,b,c,不错!除此方法外,还有没有其他方法,大家可以相互讨论一下. (同学们开始讨论,思考) 生B: 我认为此题可用顶点式,即设二次函数解析式为 y=a(x-2)2+k,把(1,0),(0,3) 代入,得 a+k=0 4a+k=3 解得 a=1 k=-1 故所求二次函数的解析式为y= (x-2)2 -1, 即y=x2-4x+3 师:同学们说对？生齐声答：对！谁也想说一下你组的结果呢？生C: 因为对称轴是直线x=2,在y轴上的截距为3,我认为该二次函数解析式可设为 y=ax2-4ax+3,在把(1,0)代入得a-4a+3=0,解得a=1,所以,求解析式为y= -4x+3 师: 设得巧妙,这个函数解析式只含一个字母,这给运算带来很大方便,很好,很善于思考.大家再想想看,是否还有其他解题途径. (学生们又挖空心思地思考起来,然后又小声讨论了起来，终于有一学生打破沉寂) 生D: 由于图象过点(1,0), 对称轴是直线x=2,故得与x轴的另一交点为(3,0),所以可用两根式设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3), 再把(0,3)代入, 得a=1, 所以二次函数解析式为y= (x-1)(x-3) ,即y=x2-4x+3 师:说得对，谢谢大家这节课的积极参与。函数本身与图形是不可分割的,能数形结合, 非常不错,用两根式解此题,非常独到.(至此下课时间快到,原先设计好的三题只完成一题,但看到学生的探索的可爱劲,不能按课前安排完成内容又有何妨呢?) 师: 最后,请同学们想一下,通过本堂课的学习,你获得了什么? 生1:我知道了求二次函数解析式方法有: 一般式,顶点式,两根式. 生2:我获得了解题的能力,今后做完一道题目,我会思考还有没有更好的方法.