数学建模方法详解模糊数学

数学建模方法详解--模糊数学

在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念

1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数

一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ?，有A x ∈或A x ?，二者有且仅有一个成立。于是，对于子集A 定义映射

}1,0{:→U A μ

即

??

??∈=,0,

,1)(A x A x x A ，μ

则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ?描述。若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。

定义1.1 设U 是一个论域，如果给定了一个映射

]1,0[)(]1,0[:∈→x x U A A μμα

则就确定了一个模糊集A ，其映射A μ称为模糊集A 的隶属函数，A μ称为x 对模糊集A 的隶属度。

定义1.1表明，论域U 上的模糊集A 由隶属函数A μ来表征，A μ的取值范围为闭区间]1,0[，A μ的大小反映了x 对模糊集A 的从属程度，A μ值接近于1，表示x 从属A 的程度很高，A μ值接近于0，表示x 从属A 的程度很低，使5

.0=A μ

的点

x 称为模糊集A 的过渡点。

当A μ的值域为}1,0{时，A μ退化为普通集的特征函数，模糊集A 蜕变为普

通集，所以模糊集是普通集概念的推广。

对于一个特定论域U 可以有多个不同的模糊集，记U 上的模糊集的全体为)(U F ，即}]1,0[:{)(→=U A U F A μ，

则)(U F 就是论域U 上的模糊幂集，显然)(U F 是一个普通集，且)(U F U ?。 2.模糊集的表示法

当论域},{,2,1n x x x U Λ=为有限集时，若A 是U 上的任一模糊集，其隶属度为),,2,1)((n i x i A Λ=μ，通常有如下三种表示方法：

1）Zadeh 表示法：

n n

A A A n

i i i A x x x x x x x x A )()()()(22111

μμμμ+++==∑=Λ

在论域U 中，0)(>i

A x μ的元素集称为模糊集合A 的支集。

2）序偶表示法：将论域中的元素i x 与其隶属度)

(i A x μ构成序偶来表示A

))}

((,)),(()),({(,2,21,1n A n A A x x x x x x A μμμΛ=

此种表示方法隶属度为0的项可不写入。

3）向量表示法：

)}

(,),(),({21n A A A x x x A μμμΛ=

在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。

当论域U 为无限集时，则U 上的模糊集A 可以表示为

?=U A

x x A )(μ

3.模糊集的运算

模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。

定义1.2 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(,)(x x B A μμ。

1）若对任意U x ∈，有)()(x x A B μμ≤，则称A 包含B ，记A B ?； 2）若A B ?且B A ?，则称A 与B 相等，记为A B =。

定义 1.3 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(,)(x x B A μμ，则称B A B A I Y ,分别为A 与B 的并集与交集；称C A 为A 的补集或余集，它们的隶属函数分别为

))(,)(m ax ()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∨=Y ))(,)(m in()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∧=I

)

(1)(x x A A C μμ-=

其中"",""∧∨分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh 算子。并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。

1.1.2 隶属函数的确定方法

正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。

1. 模糊统计方法

模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：

1）论域U 。

2）U 中的一个固定元素0x

。

3）U 中的一个随机变动的集合*

A （普通集）。

4）U 中的一个以*A 作为弹性边界的模糊集A ，对*

A 的变动起着制约作用。

其中*

∈A x 0或*

?A x 0，致使0x

对A 的隶属关系是不确定的。

假设做n 次模糊统计试验，则可计算出

0x 对A

的隶属频率n

A x 的次数*∈=0

事实上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x

对A

的隶属度，即

n A x x n A 的次数

*∞→∈=00lim

)(μ

2. 例证法

例证法是Zadeh 在1972年提出的，主要思想是从已知有限个A μ的值来估计

论域U 上的模糊子集A 的隶属函数。 3. 指派方法

指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数。如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实

际测量数据确定其中所包含的参数。

若以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布。

实际中，根据研究对象的描述来选择适当的模糊分布。偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间的模糊现象。但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。常用的

4. 其他方法

实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客

观尺度”作为模糊集的隶属度。如果论域U 表示机器设备，在U 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A 的隶属度。如果U 表示产品，在U 上定义模糊集A =“质量稳定”，可以用“正品率”作为A 的隶属度。如果U 表示家庭，在U 上定义模糊集A =“贫困家庭”，则可以用Engel 系数=（食品消费）/（总消费）作为A 的隶属度。

1.2 模糊关系与模糊矩阵

1.2.1模糊关系与模糊矩阵的概念

模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。 定义1.4 设论域V U ,，称V U ?的一个模糊子集)(V U F R ?∈为从U 到V

的模糊关系，记为V U R

?→?

，其隶属函数为映射 ),(),(),(]1,0[:y x R y x y x V U R R =→?μμα

并称隶属度),(y x R 为),(y x 关于模糊关系R 的相关程度。

由于模糊关系就是直积V U ?的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。

对于有限论域},{,

2,

1m

x x x U Λ=，},{,

2,

1n

y y y V Λ=，则U 到V 的模糊关系

R 可用n m ?阶模糊矩阵表示，即

n

m ij r R ?=)(

其中]1,0[)(,∈=j i ij y x R r 表示)(,j i y x 对模糊关系R 的相关程度。

定义1.5 设矩阵n

m ij r R ?=)(，且

]1,0[∈ij r ;,,2,1(m i Λ=)

,,2,1n j Λ=

则称矩阵R 为模糊矩阵。 若}1,0{∈ij r ，则模糊矩阵变成布尔（Boole ）矩阵。

1.2.2 模糊等价关系与模糊相似关系

定义1.6 若模糊关系)(U U F R ?∈满足

1)自反性：1),(=x x R μ 。 2)对称性：),(),(x y y x R R μμ=。

3)传递性；R R R ?ο

（即),()),(),((),(y x y z z x y x R R R R R μμμμ≤∧∨=ο）。 则称R 是U 上的一个模糊等价关系。其中隶属度),(y x R 表示),(y x 的相关程度。

当论域}

,{,2,1m x x x U Λ=为有限论域时，U 上的模糊等价关系可表示为n n ?阶模糊等价矩阵．

定义1.7 设论域}

,{,2,1m x x x U Λ=，模糊矩阵

n

n ij r R ?=)(，I 为单位矩阵，

若R 满足：

1)自反性：R I ≤ （即n

i r ii ,21;1Λ，，==）。

2)对称性：R R T =（即n

j i r r ji ij ,21,;Λ，，==）。

3)传递性；R R R ≤ο （即n j i r r r ij kj ik n

k ,21,;)(1

Λ，，=≤∧∨=）

。 则称R 为模糊等价矩阵。

定义1.8 设论域},{,2,1m x x x U Λ=，模糊矩阵n n ij r R ?=)(，I

为单位矩阵，若R 满足：

1)自反性：R I ≤ （即n

i r ii ,21;1Λ，，==）。

2)对称性：R R T =（即n

j i r r ji ij ,21,;Λ，，==）。 则称R 为模糊相似矩阵。

1.2.3 λ截矩阵与传递矩阵

定义1.9 设n n ij r R ?=)(为模糊矩阵，对任意的][

１，０∈λ， 1）如果

??

?<≥=,0,,1)(λλλij ij ij r r r ，;,,2,1(m i Λ=),,2,1n j Λ=

则称n m ij r R ?=))((λ为R 的λ截矩阵。

2）如果

??

?≤>=,0,

,1)(λλλij ij ij r r r ，;,,2,1(m i Λ=),,2,1n j Λ=

则称n m ij r R ?=))((λ为R 的λ强截矩阵。 显然，截矩阵为布尔矩阵。

定义1.10 设R 是n n ?阶模糊矩阵，如果满足

R R R R ≤=2ο（即n

j i r r r ij kj ik n

k ,21,;)(1Λ，，=≤∧∨=）

则称R 为模糊传递矩阵。将包含R 的最小的模糊传递矩阵称为R 的传递闭包，记为)(R t 。

1.3 模糊聚类分析方法

在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准(相似程度或亲疏关系)进行分类。例如，根据生物的某些性状，可对生物分类；根据土壤的性质，可对土壤分类等等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类往往具有模糊性，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。

在进行多指标评价时，同类指标的评价效果基本上是等价的，因此，可以通过对同类指标的选择，达到指标筛选的目的。其基本思想是：首先根据各指标之间相似程度，构造评价指标的模糊相似矩阵，然后通过平方法求传递闭包，得到模糊等价矩阵，以此为依据进行聚类。模糊聚类的步骤及其关键算法：设论域}

,,,{21n x x x U Λ=为待分类的指标集，用m 维向量描述样本，也就是说每个指标

i x 由m

个分量组成，即T =),,,(21mi i i i x x x x Λ，故原始数据矩阵形式如公式(1)所示

?????????

???mn m m n n x x x x x x x x x ΛM M M ΛΛ21

2222111211 （1） 具体的聚类方法按下列步骤进行： 1.3.1 数据标准化

不同的数据具有不同的量纲，为了使有不同量纲的量进行比较，对数据进行无量纲化处理，而且根据模糊矩阵的要求，需要将数据压缩在区间]1,0[上。

数据标准化的具体算法包括两个步骤： 1、平移·标准差变换

n k m i s x x x k k ik ik

,,2,1;,,2,1,ΛK ==-=' （2） 其中

∑∑==--==m

i k ik k m i ik k x x m s x m x 1

21)(11,1

变换后的每个变量的均值为0，标准差为1，实现了数据的无量纲化，但是

这样还不能保证ik x '

都在区间]1,0[上。

2、平移·极差变换

}{min }{max }{min 111ik m

i ik

m

i ik m

i ik

ik

x x x x x '-''-'=''≤≤≤≤≤≤ （3）

其中n k m i ,,2,1;,,2,1ΛK ==.显然所有的ik x '

'都在区间]1,0[上，同时也消除了量纲的影响。

1.3.2 标定（建立模糊相似矩阵)

对论域},,,{21n x x x U Λ=而言，i x

和j y 的关系可用),(j i y x R 来描述。建立模糊相似矩阵的方法有很多，如距离法、相关系数法、主观打分法等。现采用相关系数法建立模糊相似矩阵，通过计算指标之间的相关系数，以相关系数的绝对值作为模糊相似矩阵的元素，见式（4）

∑∑∑===----=

=m

k j kj

m

k i ki

m

k j kj i ki

ij j i x x

x x

x x x x

r y x R 1

2

1

2

1

)()()

)((),( （4）

其中n j i x m x x m x m

k kj j m k ki i ,,2,1,,1,11

1Λ===∑∑==.

矩阵形式如式（5）所示：

?????????

???=nn n n n n r r r r r r r r r R ΛM M M ΛΛ2

12222111211 （5） 由（4）式可知，ji

ij ii r r r ==,1，故该矩阵满足自反性和对称性，满足模糊相似矩阵的要求。 1.3.3 聚类

采用基于等价矩阵的聚类方法。首先通过平方法求传递闭包得到模糊等价矩阵。具体算法是：从模糊相似矩阵出发，依次求平方

ΛΛ→→→→→i

R R R R 2

42 （6）

当第一次出现k k k R R R =ο时，k

R 就是传递闭包，也就是模糊等价矩阵。方阵的自乘运算是用模糊集合运算中的交和并取代通常矩阵乘法中的乘积与求和操作

)(1

kj ik n

k ij R R A R R A ∧∨=?==ο （7）

等价矩阵建立之后，具体的聚类过程就是从大到小依次赋给λ不同的值，通过计算λ截矩阵的方法获得不同的分类。在具体的分类选择中，通常根据实际需要选择λ值，换言之就是根据特定的λ值选择分类[1]。

1.4 模糊模型识别方法

己知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别。这里主要介绍模糊模型识别的两种基本方法——最大隶属原则和择近原则。

模型识别在实际问题中是普遍存在的。例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它届于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别。它们有两个本质的特征：一是事先己知若干标准模型（称为标准模型库)，二是有待识别的对象。上述例子中，事先建立的植物标本室、信封背面提供的10个标准阿拉伯数字都是标准模型库，采集到的植物、分拣的每一封信都是待识别的对象。因此，模型识别粗略地讲，就是要把一种研究对象，根据其某些特征进行识别并分类。

1.4.1模糊模型识别中的最大隶属原则

定义1.11 设论域}

,{,2,1n x x x U Λ=上有m 个模糊子集m A A A ,,,21Λ，其隶属函数为)

,,2,1)((m i x i

A Λ=μ，而

)

,,,(21m A A A A Λ=为模糊向量集合族。对于普通向量

)

,,,(0020

10

m

x x x x Λ=，则称

)}

({)(01

i A m i x x i

μμ=∧=为0

x 对模糊向量集合族

A 的隶属度。

需要指出的是，普通向量0

x 对模糊向量集合族的隶属度也有其他形式的定义，如

)}

({1)(010

i A m i x m x i μμ=∑= 最大隶属原则I 设论域}

,{,2,1n x x x U Λ=上有m 个模糊子集m A A A ,,,21Λ，(即m 个模型)，构成了一个标准模型库，若对任一U

x ∈0，有

}

,,2,1{0m k Λ∈，使得

)}

({)(01

x x k

A m

k k μμ=∨=

则认为

x 相对隶属于

k A 。

最大隶属原则Ⅱ 设论域},{,2,1n x x x U Λ=上有一个标准模型0A

，待识别

的对象有n 个，U x x x n ∈,,2,1Λ，如果有某个k x

满足

)}

({)(0

1

i A m

i k A x x μμ=∨=

则应优先录取k x

。

1.4.2模糊模型识别中的择近原则

下面讨论的是第二类模糊识别问题。设在论域}

,{,2,1n x x x U Λ=上有m 个模糊子集m

A A A ,,,21Λ，(即m 个模型)，构成了一个标准模型库。被识别的对象B

也是一个模糊集，B 与i A

中的哪一个最贴近？这就是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。因此，这里涉及到两个模糊集的贴近程度问题。

（1）贴近度的概念

设论域U 上的模糊子集)(,U F B A ∈，称

))

()((x x B A B A U

x μμ∧∨=∈ο 为B A ,的内积；称

))

()((x x B A B A U

x μμ∨∧=?∈

为B A ,的外积。

定义1.12 设论域U 上的模糊子集)(,U F B A ∈，则称

)]

1([21

),(0B A B A B A ?-+=οσ

为B A ,的贴近度。

可见，当),(0

B A σ越大(亦即B A ο越大，B A ?越小)时，B A ,越贴近。

（2）单个特性的择近原则

设在论域U 上有m 个模糊子集m

A A A ,,,21Λ，构成了一个标准模型库},,,{21m A A A Λ。0A 为待识别的模型．若存在}

,,2,1{0m k Λ∈，使得

)

,(),(001

000

A A A A k m

k k σσ=∨=

则称0A 与0k A 最贴近，或者说把0A

归并到0k A 类。

（3）多个特性的择近原则

设论域U 上有两个模糊向量集合族),,,(21m A A A A Λ=，)

,,,(21m B B B B Λ=则B A ,的贴近度定义为

)

,(),(1

i i m

i B A B A σσ=∧=

由于实际问题的需要，为了解决两个模糊向量集合族的贴近程度问题，人们创造了多种贴近度。现列举如下：

设论域U 上有两个模糊向量集合族),,,(21m A A A A Λ=，)

,,,(21m B B B B Λ=则B A ,的贴近度也可定义为

1）)

,(),(1i i m

i B A B A σσ=∨=； 2）)

,(),(1i i i m i B A a B A σσ=∑=，其中

]

1,0[∈i a ，且

1

1

=∑=i m

i a ； 3）

)]

,([),(1

i i i m

i B A a B A σσ=∨=，其中

]

1,0[∈i a ，且

1

1

=∑=i m i a ；

4）)],([),(1i i i m

i B A a B A σσ∧∨==，其中]1,0[∈i a ，且11=∑=i m

i a 。 可以根据实际需要，应用不同的贴近度。

多个特性的择近原则：设在论域U 上有n 个模糊子集n

A A A ,,,21Λ，构成了

一个标准模型库},,,{21n A A A Λ。每个模型i A

由m 个特性来刻画，即

)

,,,(21im i i i A A A A Λ=，),,2,1(n i Λ=

待识别对象)

,,,(21m B B B B Λ=。 先求两个模糊向量集合族的贴近度的最小值，

即

)

,(1

j ij m

j i B A s σ=∧=，),,2,1(n i Λ=

若有

}

,,2,1{0n i Λ∈，使得

i

m

i i s s 1

0=∨=

则认为B 隶属于0i A

。

最后介绍一下模糊模型识别与模糊聚类分析的区别。 在讲完模糊模型识别以后，再回到模糊聚类分析，读者可能会产生一种错觉，以为模糊模型识别与模糊聚类分析都是分类问题，没有什么差别。实际上，二者是有差别的。

模糊模型识别所讨论的问题是：已知若干模型，或者已知一个标准模型库(优良的作物品种，印刷体的阿拉伯数字等都是标准模型库)，有一个待识别的对象，要求我们去识别对象应属于哪一个模型，即哪一类。

模糊聚类分析所讨论的对象是一大堆样本，事先没有任何模型可以借鉴，要求我们根据它们的特性进行适当的分类，因此，可以这样说，模糊模型识别是一种有模型的分类问题，而模糊聚类分析是一种无模型的分类问题。

但是，在对农作物病、虫害作预报时，往往是先进行模糊聚类，把它们分成若干类(即若干标准模型)，然后将待预报的因子进行模糊识别，如果它分到危害重的那一类，即可作病、虫害灾情重的预报，以便及时采取防治措施。

由上可见，由模糊聚类分析进行判别、预测预报的过程，实际上是模糊聚类与模糊识别综合运用的过程。这里的模型是在聚类过程中得到的，恰恰为模糊识别提供了标准模型库。因此，从某种意义上说，模糊聚类分析与模糊模型识别又是有联系的。

1.5 模糊综合评判方法

在实际工作中，对一个事物的评价(或评估)，常常涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价，而不能只从某一因素的情况去

评价事物，这就是综合评判。在这里，评判的意思是指按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别；综合的意思是指评判条件包含多个因素或多个指标．因此，综合评判就是要对受多个因素影响的事物作出全面评价。

综合评判的方法有许多种，这里介绍最常用的两种． 1．评总分法

即根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将评价项目所得分数累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决定方案的优劣。例如，我国高考成绩的评分方法就是如此。总分一般表示为，

i

n

i s S 1

=∑=

其中S 表示总分，i s

表示第i 个项目得分，n 为项目数。 2．加权评分法

这种方法主要是考虑诸因素(或诸指标)在评价中所处的地位或所起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待诸因素(或诸指标)。于是，就引进了权重的概念，它体现了诸因素(或诸指标)在评价中的不同地位或不同作用。这种评分法显然较评总分法合理。

加权评分法一般表示为

i

i n

i S a E 1

=∑=

其中E 表示加权平均分数，i a

),,2,1(n i Λ=是第i 个因素所占的权重，且要求

11

=∑=i n

i a 。

若取权重n

a i 1

=，则由式i i n i S a E 1=∑=求出的就是平均分。

1.5.1模糊综合评判方法 1. 模糊综合评判的提法

设},{,2,1n u u u U Λ=为n 种因素(或指标)，},{,2,1m v v v V Λ=为m 种评判，它们的元素个数和名称均可根据实际问题需要由人们主观规定。由于各种因素所处的地位不同，作用也不一样，当然权重也不同，因而评判也就不同．人们对m 种评判并不是绝对地肯定或否定，因此综合评判应该是V 上的一个模糊于集

)

(),,,(21V F b b b B m ∈=Λ

其中j b ),,2,1(m j Λ=反映了第j 种评判j v 在综合评判中所占的地位(即j v

对模

糊集B 的隶属度：j

j b v B =)()。综合评判B 依赖于各个因素的权重，它应该是U

上的模糊子集)

(),,,(21U F a a a A n ∈=Λ，且1

1

=∑=i n

i a ，其中i a 表示第i 种因素的权重。因此，一旦给定权重A ，相应地可得到一个综合评判B 。

1. 模糊综合评判的一般步骤

1）确定因素集}

,{,2,1n u u u U Λ=；

2）确定评判集}

,{,2,1m v v v V Λ=；

3）确定模糊评判矩阵m

n ij r R ?=)(；

首先，对每一个因素i u 做一个评判)(i u f )

,,2,1(n i Λ=，则可以得U 到V 的一个模糊映射f ，即

)

(),()(,)(:,2,1V F r r r u f u V F U f im i i i i ∈=→Λα

然而，由模糊映射f 可以诱导出模糊关系)

(V U F R f ?=，即

ij j i j i f r v u f v u R ==))(()(,)

,,2,1;,,2,1(m j n i ΛΛ==

因此，可以确定出模糊评判矩阵m

n ij r R ?=)(。而称),,(R V U 为模糊综合评判模型，R V U ,,称为该模型的三要素。

4）确定权重集

)

(),,,(21U F a a a A n ∈=Λ；

关于评判集V 的权重)

,,,(21n a a a A Λ=的确定，通常情况下可以由决策人凭经验给出，但往往带有一定的主观性。要从实际出发，或更客观地反映实际情况，可采用专家评估、加权统计法和频率统计法，或更一般的模糊协调决策法、模糊关系方程等来确定。

4）综合评判。模糊综合评判B 是V 上的模糊子集

R A B ο=

借助权重集A 与模糊评判矩阵R 的合成运算，可得模糊综合评判B ，一般有以下四种模型运算。

①模型),(∨∧M 法（主因素决定型）：对于权重)

(),,,(21U F a a a A n ∈=Λ，模糊

评判矩阵为m

n ij r R ?=)(，则用模型),(∨∧M 运算得综合评判为

)

()(,2,1V F b b b R A B m ∈==Λο

)

(1

ij i n

i j r a b ∧∨==，m j ,,2,1Λ=

由于11

=∑=i n

i a ，对于某些情况可能会出现ij i r a ≤，即i

ij i a r a =∧。这样可能导

致模糊评判矩阵R 中的许多信息丢失，即人们对某些因素

i

u 所做的评判信息在

决策中未得到充分的利用。从而导致综合评判结果失真。因此对权系数i a

加以修正，即

i n

i i i a m na a 1/=∑=')

,,2,1(n i Λ=

再将权系数归一化变为

i

i a m n

a )(='),,2,1(n i Λ=。

②模型),(∨?M 法（主因素突出型）：对于权重)

(),,,(21U F a a a A n ∈=Λ和m

n ij r R ?=)(，则用模型),(∨?M 运算得综合评判为

)

()(,2,1V F b b b R A B m ∈==Λο

)

(1

ij i n

i j r a b ?∨==，m j ,,2,1Λ=

③模型),(+∧M 法（主因素突出型）：对于权重)

(),,,(21U F a a a A n ∈=Λ和m

n ij r R ?=)(，则用模型),(+∧M 运算得综合评判为

)

()(,2,1V F b b b R A B m ∈==Λο

)

(1

ij i n

i j r a b ∧∑==，m j ,,2,1Λ=

④模型),(+?M 法（加权平均型）：对于权重)

(),,,(21U F a a a A n ∈=Λ和m

n ij r R ?=)(，则用模型),(+?M 运算得综合评判为

)

()(,2,1V F b b b R A B m ∈==Λο

)

(1

ij i n

i j r a b ?∑==，m j ,,2,1Λ=

在实际应用中，主因素(权重最大的因素)在综合评判中起主导作用时，建议采用模型①当模型①失效时可采用模型②、③；当需要对所有因素的权重均衡时，可选用④加权平均型),(+?M 。在模型的选择时还要特别注意实际问题的需求。

1.5.2多层次模糊综合评判

在实际问题中，遇到因素很多而权重分配又比较均衡的情况时，可采用多层次模型。具体步骤如下：

1) 将因素集},{,2,1n u u u U Λ=分成若干组}

,{,2,1k U U U U Λ=，使得

i

k

i U U 1

==Y ，

j

i U U j i ≠Φ=,I

称

}

,{,2,1k U U U U Λ=为一级因素集。

设},,{)

()(2

,

)(1i n i i i i

u u u

U Λ=);,,2,1(1

∑===k i i n n k i Λ，称为二级因素集。

2) 设评判集}

,{,2,1m v v v V Λ=，对二级因素集},,{)

()(2,)(1i n i i i i

u u u U Λ=的i

n 个

因素进行单因素评判，即建立模糊映射

),()(,)(:)

(,

)(2,)(1)()(i jm i j i j i j i i j i i r r r u f u V F U f Λα=→),,2,1(i n j Λ=

于是得单因素评判矩阵为

??????

?

??=)()(2)(1)(2)

(22

)

(21)

(1)(12)(11i m n i n i n i m i i i m i i i i i i

r r r r r r r r r R ΛM M

M ΛΛ 设

}

,,{)()(2

,

)(1i n i i i i

u u u

U Λ=的权重为

},,{)

()(2

,

)(1i n i i i i

a a a

A Λ=，则可以求得综合评

判为

},,{)

()(2,)(1i m i i i i i b b b R A B Λο==)

,,2,1(k i Λ=

其中

)

(i j b 由模型①、②、③或④确定。

3)再对一级因素集},{,2,1k U U U U Λ=作综合评判。设}

,{,2,1k U U U U Λ=的权重为),,,(21k a a a A Λ=，总评判矩阵为T

k B B B R )(,2,1Λ=。按模型①、②、③或④运算得综合评判为

)

()(,2,1V F b b b R A B m ∈==Λο。