第一章概率论解析答案 习题解答

第一章 随机事件与概率

I 教学基本要求

1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算；

2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质；

3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题；

4、理解事件的独立性概念.

II 习题解答

A 组

1、写出下列随机试验的样本空间

(1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量.

解：(1) {2,3,,12}Ω= ；

(2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω= ； (3) {0,1,2,}Ω= ； (4) {|0}t t Ω=≥.

2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生.

解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C .

3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC .

解：(1) AB 为“命中5环”；

(2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”.

4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则

{(0,0),(1,1)}A =，从而1

()2

p A =

. 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率：

(1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？

解：从52张扑克中任取4张，有4

52C 种等可能取法.

(1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413

C 种取法，于是4

13

452

()C p A C =；

(2) 设B 为“同花”，则B 有4

134C

种取法，于是

413

452

4()C p B C =；

(3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4

13种取法，于是4

452

13()p C C =；

(4) 设D 为“同色”，则D 有426

2C 种取法，于是426

452

2()C p D C =.

6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？

解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12

3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有

硬币”，则A 有12

2种结果，于是12

2()()3

p A =.

7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？

解：从两个袋中各任取一球，有11

810

C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1

111

5436C C C C

?+?种取法，于是

1111

543611

81019

()40

C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？

解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1

()10!15

p A ?=

=. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

解：5个人从第二层开始走出电梯，有5

10种等可能结果，记A 为“5个人在不同楼层

走出”，则A 有510

P 种结果，于是510

5()10

P p A =.

10、n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率？

解：设甲已坐好，只考虑乙的坐法，则乙有1n -种坐法，记A 为“甲乙两人相邻而坐”，则A 有2种坐法，于是2

()1

p A n =

-. 11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是可能的，若甲船的停泊时间为一小时，乙船的停泊时间为两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率？

解：设x 、y 分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则{(,)|0,24}x y x y Ω=≤≤，其面积224S Ω=，记A 为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，于是

{(,)|12}A x y y x x y =-≥-≥或，

其面积

221

(2322)

2

A S =+，从而

22

2

2322()0.879224A S p A S Ω+===?.

12、在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率？

解：设x 、y 分别为取出的两个数，则{(,)|0,1}x y x y Ω=≤≤，其面积1S Ω=，记A 为“两数之和小于6/5”，于是6

{(,)|}5A x y x y =+<，其面积2

141()25

A S =-

，从而17()0.6825

A S p A S Ω=

==. 13、设0a >，有任意两数x 、y ，且0,x y a <<.试求2

4

a xy <的概率？

解：由题意知{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，其面积2

S a Ω=，记2

{(,)|}4

a A x y xy =<，

则其面积

24

44

22

2

23ln 4()()(1)444

a a a

x

a a

a

A a S a dy dx a a dx a x =-=--=-+???

从而3ln 4

()10.596644

A S p A S Ω=

=-+=. 14、从0、1、2、…、9这十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率：

(1) 1A 为“三个数字中不含０和５”； (2) 2A 为“三个数字中不含０或５”； (3) 3A 为“三个数字中含０但不含５”？

解：记A 为“三个数字不含０”、B 为“三个数字不含５”，则

393107()10C p A C ==、393107()10C p B C ==、383107

()15

C p AB C ==

于是有

(1) 17

()()15

p A p AB ==

； (2) 27714()()()()()2101515

p A p A B p A p B p AB ==+-=?-= ； (3) 3777()()()()101530

p A p AB p B p AB ==-=

-=. 15、某工厂的一个车间有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，求选出的3个代表中至少有1个女工的概率？

解：设A 为“选出的3个代表中至少有1个女工”，则

373117

()33

C p A C ==

726()1()13333

p A p A ?=-=-

=. 16、从数字1、2、…、9中重复地取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率？

解：记A 为“至少取到一次５”、B 为“至少取到一次偶数”，则

8()9n n p A =、5()9n n p B =、4()9

n

n p AB =

于是，所求概率为

854()1()1()()()1999

n n n

n n n p AB p A B p A p B p AB =-=--+=--+ .

17、已知事件A 、B 满足()()p AB p AB =，记()p A p =，求()p B ？

解：由()()()1()1()()()p AB p AB p A B p A B p A p B p AB ===-=--+

1()()0p A p B ?--= ()1()1p B p A p ?=-=-.

18、已知()0.7p A =，()0.3p A

B =－，求()p AB ？

解：由()()()0.3p A B p A p AB =-=－和()0.7p A = ()0.4p AB ?=

()1()0.6p AB p AB ?=-=.

19、设1

()()2

p A p B ==

，试证：()()p AB p AB =. 证明：由1

()()2

p A p B ==

()1()1()()()()p AB p A B p A p B p AB p AB ?=-=--+= .

20、某班级在一次考试中数学不及格的学生占15％，英语不及格的学生占5％，这两门课都不及格的学生占3％.

(1) 已知一个学生数学不及格，他英语也不及格的概率是多少； (2) 已知一个学生英语不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：记A 为“数学不及格”、B 为“英语不及格”，则

()0.15p A =、()0.05p B =、()0.03p AB =

(1) ()0.03

(|)0.2()0.15p AB p B A p A =

==； (2) ()0.03

(|)0.6()0.05

p AB p A B p B =

==. 21、掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，求(|)p A B 和(|)p B A ？

解：掷两颗骰子的样本空间为

(1,1)

(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)

(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)

(6,6)????

????

Ω=?

?????

????

由于{(4,6),(5A =、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)B ????

=??????、

{(4,6)}AB =，于是

3()36p A =

、15()36p B =、1

()36

p AB =

()1(|)()15p AB p A B p B ?=

=、()1

(|)()3

p AB p B A p A ?==. 22、设10件产品中有4件不合格品，从中任取二件，已知其中一件是不合格品，求另一件

也是不合格的概率？

解：记i A 为“第i 次取出不合格品”(1,2)i =，B 为“有一件不合格品”，C 为“另一件也是不合格品”，则121212()()()B A A A A A A = ，于是

1212124664432

()()()()1091091093

p B p A A p A A p A A ???=++=

++=??? 432

()10915

p BC ?=

=? ()1

(|)()5

p BC p C B p B ?=

=. 23、已知()0.3p A =、()0.4p B =、()0.5p AB =，求(|)p B A B ？

解：由()0.3p A =、()0.4p B =、()0.5p AB =

()()()()0.70.60.50.8p A B p A p B p AB ?=+-=+-=

再由()()()0.7()0.5p AB p A p AB p AB =-=-=()0.2p AB ?= 从而(())()0.21

(|)()()0.84

p B A B p AB p B A B p A B p A B =

=== .

24、两台车床加工固焊零件，第一台出次品的概率是0.03，第二台出次品的概率为0.06，

加工出来的零件放在一起且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.

(1) 求任取一个零件是合格品的概率；

(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率？ 解：记A 为“取到第一台车床加工的零件”、B 为“取到合格品”，则

2

()3

p A =

、(|)0.97p B A =、(|)0.94p B A = (1) 21

()()(|)()(|)0.970.940.9633p B p A p B A p A p B A =+=?+?=；

(2) 1

0.06

()()(|)1

3(|)()1()0.042

p AB p A p B A p A B p B p B ?=

===-. 25、已知男人中有5％是色盲患者，女人中有0.25％是色盲患者，现从男女人数相等的人群

中随机挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？

解：记A 为“选到色盲患者”、B 为“选到男人”，则

1

()2

p B =

、(|)5%p A B =、(|)0.25%p A B = 于是，所求概率为

()(|)0.50.05

(|)0.9524()(|)()(|)0.50.050.50.0025

p B p A B p B A p B p A B p B p A B ?=

==+?+?.

26、证明：()

(|)1()

p B p B A p A ≥-

，其中()0p A >. 证明：由于()()()()()()1()()p AB p A p B p A B p A p B p A p B =+-≥+-=-

()()()()

(|)1()()()

p AB p A p B p B p B A p A p A p A -=

≥=-

. 27、设A 、B 为任意两个事件，且A B ?、()0p B >，证明：()(|)p A p A B ≤.

证明：由A B ?得

()()

(|)()()()

p AB p A p A B p A p B p B =

=≥. 28、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，已知目标被击中，

求它是甲击中的概率？

解：记A 为“目标被击中”、1B 为“甲击中目标”、2B 为“乙击中目标”，则

121212()()()()()0.60.70.60.70.88p A p B B p B p B p B B ==+-=+-?=

再由1B A ?可得所求概率为

111()()0.6

(|)0.682()()0.88

p B A p B p B A p A p A =

===.

29、设电路由A 、B 、C 三个元件组成，若元件A 、B 、C 发生故障的概率分别是0.3、

0.2、0.2，各元件独立工作，求下列三种情况下电路发生故障的概率.

(1) A 、B 、C 三个元件串连； (2) A 、B 、C 三个元件并联； (3) B 与C 并联后再与A 串联？

解：记A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 发生故障. (1) 所求概率为

()1()1()()()10.70.80.80.552p A B C p ABC p A p B p C =-=-=-??= ；

(2) 所求概率为

()()()()0.30.20.20.012p ABC p A p B p C ==??=；

(3) 所求概率为

(())()()()()()()()()()p A BC p A p BC p ABC p A p B p C p A p B p C =+-=+- 0.30.20.20.30.20.20.328=+?-??=.

30、若()0.4p A =、()0.7p A B = ，在下列情况下求()p B .

(1) A 、B 不相容； (2) A 、B 独立； (3) A B ?？

解：(1) 由于A 、B 不相容，从而()()()p A B p A p B =+ ，于是

()()()0.70.40.3p B p A B p A =-=-= ；

(2) 由于A 、B 独立，从而()()()()()p A B p A p B p A p B =+- ，于是

0.70.4()0.4()p B p B =+- ()0.5p B ?=；

(3) 由于A B ?，从而A B B = ，于是

()()0.7p B p A B == .

B 组

1、一个书架上有6本数学书和4本物理书，求指定的3本数学书放在一起的概率？

解：6本数学书和4本物理书在书架上有10!种等可能放法，记A 为“指定的3本数学书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1

()10!15

p A ?=

=. 2、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任一间去住()n N ≤，求下列事件的概率.

(1) 指定的n 间房间里各有一个住； (2) 恰有n 间房各住一人？

解：将n 个人分配到N 个房间中去住，有n

N 种等可能分法.

(1) 记A 为“指定的n 间房间里各有一个住”，则A 有!n 种分法，于是!()n

n p A N =

； (2) 记B 为“恰有n 间房各住一人”，则B 有!n

N C n 种分法，于是!

()n N n

C n p B N =.

3、公安人员在某地发现一具尸体，经分析认为凶手还在该地的概率为0.4，乘车外逃的概率为0.5，自首的概率为0.1，现派人追捕，在该地抓到凶手的概率为0.9，若外逃则抓到凶手的概率为0.5，问此次凶手在该地或外逃被抓到的概率是多少？

解：记1A 为“凶手还在该地”、2A 为“凶手已乘车外逃”、B 为“凶手被抓到”，则

1()0.4p A =、2()0.5p A =、1(|)0.9p B A =、2(|)0.5p B A =，于是所求概率为

12121122(()())()()()(|)()(|)p A B A B p A B p A B p A p B A p A p B A =+=+

0.40.90.50.50.61=?+?=.

4、有两箱零件，第一箱装50件，其中10件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中任取一箱，然后从该箱中先后取出两个零件，试求在第一次取到一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率？

解：记i A 为“第i 次取到一等品”、B 为“取到第一箱”，则

111110118()()(|)()(|)0.4250230

p A p B p A B p B p A B =+=

?+?= 121212()()(()|)()(()|)p A A p B p A A B p B p A A B =+

1109118170.194232504923029

??=

?+?=?? 于是12211()0.19423

(|)0.4856()0.4

p A A p A A p A =

==.

5、掷均匀硬币n m +次，已知至少出现一次正面，求第一次正面出现在第n 次实验的概率？

解：记A 为“至少出现一次正面”、B 为“第一次正面出现在第n 次实验”，则

0()1()1(0.5)

1(0.5)n m n m n m p A p A C +++=-=-=- 1()0.5(0.5)(0.5)n n p B -=?=

再由B A ?可得所求概率为

()()(0.5)(|)()()1(0.5)

n

n m

p AB p B p B A p A p A +===-. 6、甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者再与第三人比，依次循环，直至

有一人连胜二局为止，此人即为冠军，假设每次比赛双方取胜的概率均为0.5，若甲、乙两人先比，求甲得冠军的概率？

解：记A 为“甲得冠军”；i A 、i B 、i C 分别为“第i 局中甲、乙、丙获胜”，则

121234512345678()[()()()]p A p A A p AC B A A p AC B A C B A A =++++ 12341234567[()()]p B C A A p B C A B C A A ++ 25847(0.50.50.5)(0.50.5)=++++++

2433

0.50.5510.510.514

=+=--. 7、乒乓球单打比赛采用五局三胜制，甲、乙两名运动员在每局比赛中获胜的概率各为0.6和0.4，当比赛进行完二局时，甲以2:0领先，求在以后的比赛中甲获胜的概率？

解：记B 为“甲获胜”、i A 为“甲在第i 局比赛中获胜”，由于甲以2:0领先，因而

334345()()B A A A A A A =

334345()()()()()()()p B p A p A p A p A p A p A ?=++

20.60.40.60.40.60.936=+?+?=.

8、保险公司把被保险人分为“谨慎”、“一般”、“冒失”三类，统计资料表明上述三种人在一年中发生事故的概率分别是0.05、0.15、0.3；如果“谨慎”的被保险人占20%，“一般”的被保险人占50%，“冒失”的被保险人占30%，现知某保险人在一年内发生了事故，则他是属“谨慎”客户的概率是多少？

解：记1A 为“谨慎客户”、2A 为“一般客户”、3A 为“冒失客户”、B 为“保险人在一年内发生事故”，则1()0.2p A =、2()0.5p A =、3()0.3p A =、1(|)0.05p B A =、

2(|)0.15p B A =、3(|)0.3p B A =，于是

1113

1

()(|)

0.20.052

(|)0.20.050.50.150.30.335

()(|)

i

i

i p A p B A p A B p A p B A =?=

=

=?+?+?∑.