随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换： ，及雅克比行列式：
我们有 的联合分布密度为：
因此有：
且V 和 相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且
所以 。
（4） 由于： 所以 因此 当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明： (1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
当i =j 时；否则
令 ，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：
P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
（2）由齐次马氏链的性质，有：
，
因此：
P112/9．解：
（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得： ；
计算有： ，递推得到，因此有：
P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：
（2） （1）
由此可得特征值为：，及特征向量：
，
令矩阵
则有：
因此有：
P112/12．解：
设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：
第四讲作业：
P113/13．解：画出状态转移图，有：
P113/14. 解：画出状态转移图，有：
P113/16．解：画出状态转移图，有：
（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。
（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。
（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。第六讲作业：
P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：
（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：
解得极限分布即可。
P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，
因此可计算极限分布如下：
解以上方程，得极限分布：
P115/19．解：见课上讲稿。
P116/21．解：记，则有：
（1）因为：
(A)
当时，有：
由（A ）可得：
当且时，有：
由（A ）可得：
当且时，有：
由（A ）可得：
另外：下列等式是明显的
因此我们有：
即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：
（2）画出转移矩阵图，可得：
由：及，并且取，由递归可得：
（3）由于：
因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。
（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：
随机过程习题解答（二）
P228/1。证明：由于t s <，有
{}{}{}
{}{}
n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-?==
=
====
==)(})({)()()(,)()(/)(
其中
{})
()!
())((!)(})({)(s t k n s k e k n s t e k s k n s t N P k s N P ------?=-=-?=λλλλ
{}t
n e n t n t N P λλ-==!
)()(
所以
{}k
n k k n k n k k t
n s t k n s k k s k s k n k n k n t
s t t s e n t e k n s t e k s n t N k s N P --------??? ??-??? ?????? ??=--=--?=
==1)!(!!
)(!)()!
())((!)()(/)()
(λλλλλλ 证毕。
P229/3. 解：（1）因为}0),({≥t t N 是一Poission 过程，由母函数的定义，有：
()(
)
()()
(
)()
)
()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(0
0000000)(s s s j t N P s
l t N P s l k t N P s
l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P l t N P s k t N P s t N t N j j
l l
l k l
k l l
l l
k l k l k k
l l k l k k k l k k
t t N ?∞
=∞
=∞
=-∞
=∞
=∞
=-∞
==-∞
==∞
=?+ψ?ψ=?=??==?-=??==??
?????-=???==???????-=???==????
???-=??==?==ψ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）有上面（1）的结果，可得：
t
s s t s s s t
s s t
s t N t t N t N t N t N t t N t t N t t N ?-ψ?ψ=?ψ-ψ?ψ=?ψ-ψ=?ψ??→??→??+→?1
)()()
()()()
()(?)()(0
)()()()(0
)()(0
)(lim
lim
lim
（3）当t ?充分小时，由于：
[][]∑∑∞
=∞
=???+??+?+??+?-=?=?=ψ2
100)()()()(1})({)(k k
k k
t N s t s t t s t t s s t N P s οολολ
因此，当1
)1()()(1
)(20)(0
lim lim
-=???+??+?+?-=?-ψ∑∞=→??→?s s t
t t t s t t t
s k
k t t N t λοολλ
由（2）的结果，我们有：
)()1()()()(s s t
s t N t N ψ-=?ψ?λ
P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：
t s t N N t N t N e s s s s t s )1()()0()()()(1)()()1()
(-=ψ???
?
?
?=ψψ-=?ψ?λλ （2）由于)()(s t N ψ是随机过程)(t N 的母函数，且t s t N e s )1()()(-=ψλ，将函数t s e )1(-λ关于)1(
∑∞
=--??==ψ0
)1()(!)()(k k
t k t
s t N s e k t e
s λλλ
由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：
Λ2,1,0,!
)(})({=?==-k e k t k t N P t
k λλ
P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：
{}
{
}
[]
{}
{}()
n
Y u i n t
n Y Y Y u i n t
n t X u i n t X u i t X e E e n t e E e n t n t N e E n t N P e E u n 1
210
)(0)
()(!)(!)()(})({)(??=??==?===Φ∑∑∑∞
=-++∞
=-∞=λλλλΛ
令{}
)(11u e E Y Y u i φ=，则有：
[]{}
1)(exp !
))(()(110
)(-=?=Φ∑
∞
=-u t e n u t u Y n t n
Y t X φλφλλ （*）
若),2,1(Λ=n Y n 的概率分布为：
2
122
11}1{,
}1{λλλλλλ+=
-=+=
=n n Y P Y P
则
{}u i u i Y u i Y e e e E u n
n
-?++
?+=
=2
122
11)(λλλλλλφ （**）
将（**）代入（*），我们有：
{}
t
e t e t e e t u u i u i u
i u i t X )(exp 1)(exp )(212121221121)(λλλλλλλλλλλλ+-+=??
??
????????-?++?++=Φ--
P230/7. 解：先求}0),({0≥t t N 的特征函数：
{}{}
{}{}
{}{
}{}
t e
t e t e e t e e t e m e t e n e t e
e m t e e n t e
E e
E e E e E u u
i u i t
u i t u i m t
m
u i n t n
u i m
u i m t m n u i n t n t N u i t N u i t N t N u i t N u i t N )(exp exp exp !)
(!)(!)(!)()(2
1
2
1
)(210
)
(201)(0201)
()()
())
()(()()(212121212100λλλλλλλλλλλλλλλλ+-+=???=???=?????=?===Φ----∞
=--∞
=--∞=-∞
=---∑∑
∑∑
由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0≥t t N 是复合Poission 过程。
P231/10. 解：由于
{}{}{}
n t X t X t X P n t X t X t X j t X k t X P n t X t X t X j t X k t X P =++=++===
==++==)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121
因为)(t X i 的母函数为：
{}t s s i t N )1(ex p )()(-=ψλ，
由独立性，可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为：
()(){}∏=-++=ψ=ψ3
1321)
()(1ex p )()(i t X
t X t s s s λλλ，
所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程，即
{}()()()t
n e
n t n t X t X t X P 3
21
!
)()()(3213
21λλ
λλλλ++-++==++
因此我们有：
{}()()()()()()n
j
k n j k t
n t
k
j n t j
t k
j k n j k n e
n t e
k j n t e j t e k t n t X t X t X j t X k t X P )()!(!!!
!
)!
(!!
)()()()(,)(32132132111132121321321λλλλλλλλλλλλλλλλλλ++?
--=++--?
?
=
=
=++==--++------
P231/12. 解：（1）由
{}())
(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(t o t P k t X P t P k t X P t X k t X P t X k t X P k t t X P r r ?+?-=+?-==+=?-=+=?===
=?+λλΛ 令0→?t ，有
)()()
(1t P P t P P dt
t dP k r k r k -=+λλ 解得
{}t
P k r r e k t P k t X P λλ-==!
)()(
（2）由（1）知，)(t X 服从参数为r P λ的泊松分布。
P232/15. 解：（1）以)(t ξ表示t 时刻系统中不正常工作的信道数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：}2,1,0{=S ，Q 矩阵为：
???
?? ?
?-+--=μμλμλμ
λ
λ220)(022Q （2）令：
????
?
??=)()
()()()()
()()()
()(222120
121110020100t p t p t p t p t p t p t p t p t p t P 则前进方程为：
???
??==?3
3)0()()
(I P Q t P t
d t P d （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,0,1()0(,))(),(),(()(210==p t p t p t p t p ρ
ρ
写出福克－普朗克方程：
???
??==)
0,0,1()0()()(p Q t p t
d t p d ρρ
ρ
即有：
??????
??
???===-=++-=+-=0
)0(,0)0(,1)0()(2)()
()(2)()()(2)()()(2)
(2102122101100p p p t p t p t d t p d t p t p t p t
d t p d t p t p t d t p d μλμμλλμλ 做Laplac
e 变换，令：
2,1,0,))(()(==n t p L s n n π
则有：
???
??-=++-=+-=-)
(2)()()(2)()()(2)()()(21)(212
2101100s s s s s s s s s s s s s πμπλππμπμλπλππμπλπ 由上解得：
)
()(2)]()][(2[2)3()(220μλμλμλμλμλμπ++++++=+++++++=s C
s B s A s s s s s s
其中：
2
2222)(2,)(,)(μλμλμλλμλμ+=+=+=C B A
因此求
))(()(010s L t p π-=
即可。
（4）t t t B A B A e e e t T P t T P t T t T P λλλ2}{}{},{---==>>=>>
P233/16. 解：（1）令)(t ξ表示t 时刻系统中正在用电的焊工数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：},,2,1,0{m S Λ=。 （2）Q 矩阵为：
???????
? ?
?---+---+--=μμ
λ
λμμλλμμλλm m m m m m m m Q 0
00)2(])2(2[20
00
)1(])1([000M ΛO O M M ΛΛΛ （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,,0,0,1()0(,))(,),(),(),(()(210Λρ
Λρ==p t p t p t p t p t p m
写出福克－普朗克方程：
???
??==+?)
1(1)0,,0,0,1()0()()(m p Q t p t d t p d Λρ
ρ
ρ
（4）画出状态转移率图，可得∞→t 时的平衡方程：
?????
???
??
??
?==+++-=+-+=+-=∑=-+-1)1()1(])[(2])1[(0
1
1
12011
0m n n m
m n n n p p
m p p n p n m p n n m p
p m p m p p m μλμλμλμλμλμλM M 由此可得：
)1()1()(1011=-=
=-+-=+---+p p m p n p n m p n p n m n n n n μλμλμλΛ
即有：
0)1()(1=+--+n n p n p n m μλ
m n p n n m p n n ,,2,1,0,)1()(1Λ=??+-=
+μ
λ
由此可以求得：
m n p C p m n n m n n m p n
n m n
n ,,1,0,11)()1(00ΛΛ=???
? ??=????? ?????--?+-=μλμλ 由 10
=∑=m
n n p ，即可确定0p ，最终得到所要的结果。
P233/17. 解：（1）由于：)0,,(,>=+=a n a n n n μλμ
μλλ
可以得到此过程的Q 矩阵：
?????????
?
?
?+++-+++-+++--=O
O
O
O O O ΛΛΛa
n a n n a
a a
a a a Q λμλμ
λμλμ
λμλμ]
)([02)
22(2000)
(000
令：
})({)(j t P t p j ==ξ
),)(,),(),(),(()(210ΛΛρ
t p t p t p t p t p n =
写出福克－普朗克方程：
?
??????
?????
???+++++-+-=+++-+=+++-=+-=+-M M )()1()(])([)(])1[()
()
(3)(])(2[)()()
()
(2)(])[()()()()()
(1132122
101100t p n t p a n t p a n t d t p d t p t p a t p a t
d t p d t p t p a t p a t d t p d t p t p a t d t p d n n n n μμλλμμλλμμλμ 初始条件：)(0)0(,
1)0(00n j p p j n ≠==。
（2）由数学期望的定义：
∑∑∞
=∞
====1
)()()(?)}({n n n n t p n t p n t M t E ξξ
由此，我们有：
{}[]
[]
)
()()()()()1()()()()1()()()1()()()()1()()()()1()(])([)(])1[()()()(1
1
110
1
1111
11111
1t M a t p n a t p n t p n t p n n t p a t p n t p n t p n n t p na t p na t p n t p a n t p a n n t d t p d n t p n t d d t
d t M d n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ξξμλμλμμλλμμλλμμλλ-+=-+=+++--+=+++--++
-=++++-+-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞
=∞
=+-∞=∞
=+-∞
=∞
=-∞=+-∞
=∞
=
即可得到描写)(t M ξ的微分方程：
??
?
??=-+=0)0()()()
(n M t M a t
d t M d ξξξμλ （3）解上面的微分方程，我们有：
[]
t t e a
e n t M )()(01)(μλμλξλ
μ----+
=
P233/19. 解（1）根据题意得到Q 矩阵为
?????????
?
??
???
????
?+-+-+--=M M M M M M ΛΛΛM M M M M M
ΛΛΛλλμμλλμμλλμμλλ
)(0)2(2000)(000n n Q 由福克－普朗克方程得：
?????≥+++-=+-=+-)1()()1()()()()
()
()()
(11100n t p n t p n t p dt
t dp t p t p dt t dp n n n n μμλλμλ （2）
∑∑∑∑∑∞
=-∞=∞
=+∞
=+-∞
=++-==+++-+++-='=??0
1
1
11110
0)()()()()]()1()()()([)()()(),(n n n n n
n n n n n n n n n n n n
u t p n u t p n u
t p t p n t p n t p t p t p u t p t t u G μμλλμμλλμμλ
而
∑∞
=--=??-0
1)()1()
,()1(n n n u t np u u t u G u μμ
因此
左边=∑∑∞
=∞
=+-0
01
)()(n n n n n n u t p u
t p λλ
右边=∑∑∑∞
=∞
=+∞=-=-=-0
1
)()()()1(),()1(n n n n n n n n
n u t p u
t p u t p u t u G u λλλλ
左边=右边，证毕。
（3）将)]1([),(-=-u e f e
t u G t u μμ
λ代入左边。
右边
),()1()]1([)1())]1([)]1([()1()()1()]1([左边=-=-???-=?-'+-???-+?-?-?-'?=-----t u G u u e f e
u e u e f u e f e u e u u e f e
t u u t t u t
t u λλμ
λμμμμ
λμ
λ
μμμλ
μμμ
λ
（4）由1)0,(=u G ，有
1)1(=-u f e
u μ
λ
即
u e
u f μ
λ-
=-)1(
进而有
)
1()(+-=u e
u f μ
λ
所以
)1)(1())1((),(t e u t
u e
u e
f e
t u G μμ
λ
μμ
λ----=-=
（5）令
x e t =--)1(μμ
λ
，由(4)的结论 ΛΛ+-++-+-+==-!
)1(!2)1()1(1),(22)
1(n u x u x u x e
t u G n
n u x
其中n u 对应的系数为
()()
x n n n n n n e n x n x C n x C n x -++=++++-+!
)!2()!1(!22
11Λ 所以
?
?????-=----n t e n e n e
t p t )]1([!1)()
1(μμ
λ
μλμ （6）
)1()1()]1([!1)1()]1([)!1(1)]1([!1)()()
1()
1(0)
1(1
)1(1
)
1(1
t e t e n n t t
e n n
t
e n n t e n n e e e e e n e e e n e e n ne
t np t M t
t t t t μμλ
μμ
λμμμ
λμ
μ
λ
μμ
λξμ
λ
μ
λμλμλμλ
μλμμμμμ-----∞
=----∞=---∞
=---∞=-=
?-?=-?-?=--=?
?????-==-----∑∑∑∑ （7）由(5)的结论，知
μ
λμ
λμ-
--→∞
→∞
==-e
e
t p t e t t )
1(0lim )(lim
P236/24解：
(1) 根据题意得Q 矩阵
???????
?
???
?????+-+--=M M M M M M M
ΛΛΛ
M M
M M M M M ΛΛ0)(000)(0000λλμαμαλλμαμαλλ
Q 由平衡方程，有
?????
????=++-=++-=+-+-M
M
)(0
)(0
1
121010n n n p p p p p p p p αμαμλλαμαμλλαμλ 因此有 αμλ
=+i i p p 1，进而 ),2,1,0(0Λ=???
? ??=n p p n
n αμλ
因为
11000=???
? ???=∑∑∞
=∞
=n n
n n p p αμλ 所以，当
1<αμ
λ
时系统平稳。 ),2,1,0(1Λ=?
??
? ?????? ??-=n p n
n αμλαμλ
(2) λ
αμλ
μμ
μ
-?
=
=
=∑∑
∞
=∞
=11
n n n n Q np p n
W
(3) 前)1(-n 次以概率α-1重新排队，第n 次以概率α离开，所以()αα?--1
1n 即为所求。
(4) ()
()αμ
αμαααμ
11101
01
=-=?-=∑∑
∞=-∞
=-n n n n n n
T
26．解
(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则{}3,2,1,0=S ，得Q 矩阵
?
?
???
?
???
???-+-+--=μμλλμμλλμμλ
λ3300
)2(2002)2(00
33Q
列出平衡方程
??????
?=-=-+-=++-=+-0
303)2(202)2(30
3323212
1010p p p p p p p p p p μλμμλλμμλλμλ 其中：8
110
1==μλ
解得
729
64,729
240
,729
300
,729
1253210=
=
=
=
p p p p 所以
729
972
)(3
0=
=∑=n n np t M ξ (2) 729
2432
)72964729240(8)(832=+=+=p p T
P237/28. 解：（1）设泊松分布第1-n 个事件发生与第n 个事件发生的时间间隔n X 的特征函数为：)(u n X Φ，则有：
)}1(exp{)(-=Φu i X e u n μ
由于}{n X 是独立同分布的，根据 ∑==n
k k n X S 1 以及特征函数的性质可知：
[][]
)}1(exp{)}1(exp{)
()(-=-=Φ=Φu i n
u
i n
X S e n e
u u n n μμ
因此可知n S 是服从参数为μn 的泊松分布，即：
Λ,2,1,0,!
)(}{===-k e k n k S P n k n μ
μ
（2）由：}{}{)})({1t S P t S P n t N P n n ≤-≤==+可知：
∑∑=+-=-+-==][0
)1(]
[0!])1[(!)(})({t k n k t k n k e k n e k n n t N P μ
μμμ
附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：
一阶拟线性方程的一般形式：
),,(),,(),,(u y x c u u y x b u u y x a y x =+
一阶线性方程的一般形式：
),(),(),(),(y x d u y x c u y x b u y x a y x +=+
称：
)
,,(),,(),,(z y x c dz z y x b dy z y x a dx ==
或：
),,(),,,(),,,(z y x c dt
dz
z y x b dt dy
z y x a dt dx
=== 为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线))(),(),((t z t y t x 为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解),(y x u 为积分曲面。
有以下定理：
定理：若特征曲线γ上一点),,(0000z y x P 位于积分曲面),(:y x u u S =上，则γ整个位于S 上。
初值问题：
给定初始曲线：))(),(),((),,(:s h s g s f z y x =γ，s 为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解),(y x u z =，使满足))(),(()(s g s f u s h ≡。我们有以下定理。
定理：设曲线))(),(),((),,(:s h s g s f z y x =γ光滑，且022≠'+'g f ，在点
))(),(),((),,(0000000s h s g s f z y x P ==处行列式
0)
,,(),,()
()(00000000≠''=
z y x b z y x a s g s f J
又设),,(),,,(),,,(z y x c z y x b z y x a 在γ附近光滑，则初始问题：
??
?≡=+)
())(),(()
,,(),,(),,(s h s g s f u u y x c u u y x b u u y x a y x 在参数0s s =的一邻域内存在唯一解。
例：已知初始曲线10,2
,,:<<===s s
z s y s x γ，求初值问题：
???==+2/1s u u uu y x γ
解：由于：
02/11
2/1
1),,(),,()()(00000000≠-==''=s s z y x b z y x a s g s f J
解常微分方程的初值问题：
?????=====)
2/,,,(),,(1,1,
0s s s z y x dt dz dt dy z dt
dx
t 得：
s st t z s t y s t z ++=+=+=2/2/,,2/2
由后两式解出t s ,，并代入第一式，解得：
)
2(224),(2y y x y y x u z ---==
P233/9. 解初值问题：
?
?
?=-=+-=)1,0,(),,()1()1(0s z t u G
u G G u t u τλμ 由于：
011
)1(0
1),,(),,()()(00000000≠=-=''=s z y x b z y x a s g s f J μ
解常微分方程的初值问题：
????
?=-==-==)
1,0,,(),,()1(,1),
1(0s z y x z u d dz d dt u d du
t λττμτ 解得：
???
????-+-=+-==μλμλτμτμτ
)1()1(lnz 1
)1(s e s s e u t 在上面式子中消去参数τ,s ，得初值问题的解：
)}1)(1(ex p{
),(t e u t u G μμ
λ
---=
P311/1. 解：（1）给定 1212,k k t t ≥>时，有
（2）任取,0,21>t t 我们有：
所以Poission 过程不是平稳过程。
P311/2. 解：（1）由Poission 过程的性质，任取1212,,t t t t >假定事件：
则有：
，
因此有：
（2）由 ，且),;,(2121t t x x f ξ仅与12t t -有关，可知 是平稳过程。
P312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有：
（2）由相关函数的定义，任取，我们可得：
P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理：
引理：设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：
则 和Y 取不同符号的概率为：
引理的证明：
令：
则有：
以上式子用了变换：
由：
因此只要求：
因此有：
由于此时：
我们即可得到结论。
P313/5. 证明：由于：
故 是宽平稳过程。
分别取,4/,021π==t t ，则 ，ξ)4/sin()(2πθ+=z t ，因为 具有不同分布，所以)(t ξ不满足一级严平稳条件。
P314/10. 解：样本函数不连续。令：012≥>t t ，下面求相关函数：
因为：
因此该过程是均方连续的随机过程。
P314/11. 证明：令： ，则有
由车比雪夫不等式：
P315/13. 证明：（1）令： ，由上题的结果可知：
因此有
（2）由相关函数的定义及（1）的结果，有
P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：
由 ，可得
（2）有上面的结果知 是一宽平稳过程。令： ， ， ， ， 不具有相同的分布，所以 不是一级严平稳过程。
P318/22. 解：根据题目给定的条件，有：
，
因为：，因此有：
P318/23. 解：根据为一平稳过程，则有：
，
因此有：
P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有：
P319/28. 解：由题意，我们有：
设，则有：
令：，则有：，因此有：
P319/30. 解：（1）由于：
因此输入不是平稳的。
（2）由计算可得：
（3）计算均值函数和相关函数为：
因此输出不是平稳的过程。
P445/1．解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：
当时，
因此有：
P445/2. 解：（3）
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2期末随机过程试题及标准答案
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