函数动点问题中等腰三角形存在性问题教学设计

课题：函数动点问题中的等腰三角形存在性问题

教学目标： 1、通过实际问题的探究，使学生经历画图、演算，列方程等掌握由函数动点问题产生等腰三角形存在性问题一般解题方法

2、掌握数形结合思想，方程思想，分类讨论思想的实际运用、

教学重点：探究出函数动点问题中的等腰三角形存在性问题的一般解题方法

教学难点：分类讨论思想

教学辅助：多媒体课件，圆规，尺子

教学过程：

一、情境引入

函数动点问题是近几年中考中的热点问题，也是中考试卷的压轴题。特别是在函数中由动点产生等腰三角形存在性问题居多。本节课我们将探讨解决此类问题的一般方法。

我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形，那么思考以下问题：

1、若△ABC是等腰三角形，请写出相等的边。

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知线段O D，点P是x 轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，请画出P点的位置。说说你的方法。

变式：若其他条件不变，点P是坐标轴上的一个动点。请画出点P 的位置。

（说明：通过写出相等的边，画等腰三角形。让学生回顾：知道一边时，这个边可能是底点也可能是腰，体现分类讨论思想）

二，合作探究

例题：如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式。

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理

思考（1）、求解析式我们需要求出解析式的什么？有几个未知的需要确定，确定未知的我们需要几个条件。请写出解题过程。

（2）、相似三角形的判定方程法有哪些？根据此题的已知条件，我们选用哪个方法合适？

试试看。请写出证明过程。

（3）存在与否我们怎么确定？用什么方法合适呢？不妨大家先画图试试看。若存在你能求出点P 的坐标吗

小结：通过以上问题的解题过程。你能总结一下解决此类问题都用了那些数学思想方法。

归纳

? 解题思路：

? 1、本题点的移动贯穿始终，对于等腰三角形的确定需要分类讨论，如果△PBC 是等腰

三角形，那么存在①PB ＝PC ，②BP ＝BC ，③CP ＝CB 三种情况．(分类讨论）

? 2、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合。（数

形结合）

? 解题步骤：几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（方程

思想）

三、课后小结

谈谈本节课你的收获

四、作业。

五、教后反思

附加思考如图，已知抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．

（1）求m 的值；（2）求∠CDE 的度数；

（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

221y x x m =-++-y O

A B

D E

函数动点问题中等腰三角形存在性问题优秀教学设计(教案)

课题：函数动点问题中的等腰三角形存在性问题教学目标：1、通过实际问题的探究，使学生经历画图、演算，列方程等掌握由函数动点问题产生等腰三角形存在性问题一般解题方法 2、掌握数形结合思想，方程思想，分类讨论思想的实际运用、教学重点：探究出函数动点问题中的等腰三角形存在性问题的一般解题方法教学难点：分类讨论思想教学辅助：多媒体课件，圆规，尺子教学过程：一、情境引入函数动点问题是近几年中考中的热点问题，也是中考试卷的压轴题。特别是在函数中由动点产生等腰三角形存在性问题居多。本节课我们将探讨解决此类问题的一般方法。我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形，那么思考以下问题： 1、若△ABC是等腰三角形，请写出相等的边。 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知线段O D，点P是x 轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，请画出P点的位置。说说你的方法。变式：若其他条件不变，点P是坐标轴上的一个动点。请画出点P 的位置。（说明：通过写出相等的边，画等腰三角形。让学生回顾：知道一边时，这个边可能是底点也可能是腰，体现分类讨论思想）二，合作探究例题：如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式。（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理思考（1）、求解析式我们需要求出解析式的什么？有几个未知的需要确定，确定未知的我们需要几个条件。请写出解题过程。

（2）、相似三角形的判定方程法有哪些？根据此题的已知条件，我们选用哪个方法合适？试试看。请写出证明过程。（3）存在与否我们怎么确定？用什么方法合适呢？不妨大家先画图试试看。若存在你能求出点P 的坐标吗小结：通过以上问题的解题过程。你能总结一下解决此类问题都用了那些数学思想方法。归纳解题思路： 1、本题点的移动贯穿始终，对于等腰三角形的确定需要分类讨论，如果△PBC 是等腰三角形，那么存在①PB ＝PC ，②BP ＝BC ，③CP ＝CB 三种情况．(分类讨论） 2、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合。（数形结合）解题步骤：几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（方程思想）三、课后小结谈谈本节课你的收获四、作业。五、教后反思附加思考如图，已知抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求m 的值；（2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 221y x x m =-++-

2018年中考数学专题等腰三角形存在性问题(题型全面)压轴题

专题等腰三角形存在性问题题型一：几何图形 1、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）直接写出∠ABC的度数；（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程； ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，求△ACP的面积．（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）变式二：如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A 开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC 的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？

变式三：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．变式四：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E 与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

高中数学：三角函数单调性题库

1 三角函数单调性题库 9.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]4 π上出现两次最大值2，则ω的范围 1218ω≤< （1）为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值1，则ω的最小值是答案：π2 197 （2）已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，求w 的值解析：函数tan y x =的图像与直线1y =的交点间的最小距离是一个周期T ，所以函数wx y tan =最小正周期3T π=，,3ππ==w T .31,0=∴>w w Θw 的值13 。（3）ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么（） A ．230≤<ω B ．20≤<ω C ．7240≤<ω D ．2≥ω 解析: 研究特殊的函数y=2sin α,它的一个单调增区间是,22ππ??-??? ?，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，则α=,34x πωπωω??∈-???? 。因此，,34πωπω??-?????,22ππ??-???? 。所以，正确答案230≤<ω。（4）已知函数]4 ,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间 x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于 2

2 （5）已知()2sin (0)f x x ωω=>在[,]34 ππ-上的最小值是2-，最大值不是2，则ω的范围 322 ω≤≤ （6）已知ω是正实数，x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么则实数ω的取值范围是 230≤<ω。（7）（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2π π上单调递减.则ω的取值范围是 ()22πωππω-≤?≤,3()[,][,]424422 x ππππππωωπω+∈++? 得:315,2424224 π π π π πωπωω+≥+≤?≤≤ （8）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ??????=+>= ? ? ???????，，且()f x 在区间63ππ?? ???，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143

浅谈目前教学设计中存在的问题及对策

浅谈目前教学设计中存在的问题及对策翁源县新江镇中心小学黄保群几天来，我利用课余时间花了十几个小时学习了：专题讲座《新课标下的小学数学教学设计》，使我懂得教学设计是指教育实践工作者以各种学习和教学理论为基础，依据教学对象的特点和自己的教学理念、风格、运用系统的观点和方法，遵循教学过程的基本规律，对教学活动进行的系统规划、安排与决策。同时知道教学设计的意义是：课堂教学是实现教育目的、提高学生素质的最基本的途径，有效地设计教学是教学成功的基础条件。但在目前的的教学设计中仍然存在着许许多多的问题，就我镇的教学设计现象来说普遍存在的问题是：一、抄袭现象抄袭的现象不单是我镇有，其实到处都有抄袭现象。抄袭他人作品、抄袭他人论文……。部分教师为了应付教学检查：年轻的教师懂得电脑的从网上直接下载他人的教学设计，改成自己的大名就可以了，根本不看其内容，我镇村一级小学教学设备还很落后，没有先进的教学设备，但有教师的教学设计经常是设计有用多媒体上课的设计；年长的教师不懂得电脑，但现在的书店有很多“教学设计与作业”，不用自己去设计，买来照抄，也同样不问内容，不问出处。这种抄袭的现象如果真正认真检查真的是洋相百出。二、简单现象有些虽然没有抄袭的现象，但仍然存在较简单的现象。

1、教学目的设计简单如:有的教师，特别是年老教师的教学目的设计就那么一句话“让学生掌握……”，就是一节课40分钟的教学目的。 2、教学过程的设计简单：教学过程的设计只是讲解一道例题，然后是学生做书上相对应的练习题。 3、练习、作业的设计简单：一节课后学生的练习或作业，就是完成课本上相对应的部分练习题，无针对性的其他练习设计。针对存在的问题，我认为：1、教育教学工作中必须杜绝“抄袭”现象，发现“抄袭”现象取消评优评先资格，必要时通报批评；同时教师的教学设计一律手写，既可以练字，又可以减轻有计算机后，教师不常写字望字的现象，达到一举多得。2、教学设计的各个环节必须具备、完善。如：教学目的设计必须有三维目标；教学过程的设计必须有“复习、引入、新课、练习、小结、巩固练习、质疑、总结等环节”。3、练习、作业的设计除完成课本上相对应的练习题外，还要设计一些新课后学生练习中存在的问题的针对性的练习和作业。总之，课堂教学设计要坚持以生为本，在开发利用各种学习资源的同时，要根据学生学习情况与课堂教学的实际情况来优化教学设计。

三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习

三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性例题1:判断下列函数的奇偶性（1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x f x x +-=+ 例题2:求下列函数的单调区间（1）()sin 33f x x π?? =- ??? （2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π ∈ 例题3：求下列函数的值域（1）32cos 6y x π? ?=-+ ?? ?，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+ 例题4：已知函数3cos 216y x π? ?=++ ?? ?，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作出该函数的图像. 同步练习： 1、写出下列函数的周期：（1）5sin 23y x π? ?=--+ ?? ?（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π??=- ???

2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π? ?-≥ ?? ?. 3、比较下列各数的大小：sin1?、sin1、sin π? 4、已知()cos 4 n f n π =，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________. 5、方程lg sin 3x x π? ?=+ ?? ?实数根的个数为___________. 6、如果4 x π ≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值. 7、写出函数1 3tan 2 3y x π??=+ ???的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像. 8、对于函数()f x 定义域,22ππ?? - ??? 中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论：（1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4） 1212 ()() 0f x f x x x ->- （5） 1212()()22x x f x f x f ++??> ??? 当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高： 1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π?? ???? 上最大值是2，求w . 2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值. 3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数．三角函数的图象变换例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ? ?=--+ ?? ?的图象．

一次函数中(特殊三角形)的存在性问题优秀教学设计

《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计【教学目标】 1、知识与技能（1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。（2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。 2、过程与方法（1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。（2）学生与其他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。（3）在自己动手画图的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 3、情感态度与价值观（1）通过新媒体手段和个性化的学习方式，培养学生交流合作的意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心，培养学生良好的学习习惯。（2）以小组活动形式对本节内容进行综合探索，在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。【教学重、难点】教学重点：（1）一次函数中的动点问题；（2）两圆一中垂线求等腰三角形；外K全等求等腰指教三角形。教学难点：（1）分类讨论思想的运用；（2）学会以静制动【学情分析】学生已经初步掌握了用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图像的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积以及用铅锤法表示有顶点是动点的三角形的面积，但是对一次函数中特殊三角形的存在问题还存在一定的困难。【教学活动策略及教法设计】 1.活动策略课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流中，主动发现特殊三角形中动点坐标的规律。学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等教学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。 2、教法演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律讨论法：在学生进行了自主探索之后，进行小组讨论，让他们进行合作交流，使之互

(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为．三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

三角函数的单调性和最值

三角函数的单调性和最值问题例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间．解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2.

平行四边形的存在性教学设计

平行四边形的存在性教学目标：1.探究用对点法判定平行四边形的顶点坐标 2.能用对点法判定平行四边形的顶点坐标教学重点：能用对点法判定平行四边形的顶点坐标教学难点：探究用对点法判定平行四边形的顶点坐标教学过程：一、知识链接如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (４，1)，则点A'的坐标是________. 分析：根据平移过程中对应点横坐标移动的距离相等，纵坐标移动的距离相等。可以假设点A'的坐标是（ｘ，ｙ）， ? ??.１－（－１）＝ｙ－２－２）４－（－３）＝ｘ－（为了计算的简便性，把减法运算改为加法运算 ???１＋２＝－１＋ｙｘ４＋（－２）＝－３＋二、类比探究在平面直角坐标系中，□ABCM 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、M (x 4,y 4)，已知A,B,C,3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点M 的坐标？

分析：利用平移的知识，得到???y3+y2 =y4+ y1x3+ x2=x4+x1 文字叙述：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等三．初战告捷平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，点D 是平面内一动点，若以点A 、B 、 C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是___________________________. 若题中四边形ABCD 是平行四边形，则点D 的坐标只有一个结果________. ? ??y +2- =1+0x +1 =3+1-并求出其解x = 1，y = 3 设点D （x ，y ），根据对点法，分类讨论①点A 与点B 相对，②点A 与点C 相对，③点A 与点D 相对。得到三个方程组，求出点D 的坐标。四．变式训练 ⑴三个定点一个动点已知，抛物线y = - x 2 + x +2 与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，点M 是平面内一点，判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐标．分析：先求出A(-1,0)，B (2,0)，C(0,2) 设点M （x ，y ），根据对点法，分类讨论，列出方程组，可求解 ⑵两个定点两个动点如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x 2 + x 与x 轴相交于点B (4，0)，点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点P 的坐标. 分析：已知B (4，0)，O （0，0）设Q (2, a)，P(m, -0.25m2+m).

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

三角函数的单调性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的单调性（人教A版）一、单选题(共13道，每道7分) 1.下列四个命题中，正确的个数是( )（1）在定义域内是增函数；（2）在第一、第四象限是增函数；（3）与在第二象限都是减函数；（4）在上是增函数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 2.的单调递增区间是( ) A. B. C. D.

答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 3.函数的一个单调递增区间为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 4.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B. C. D. 答案：A

解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 5.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B.或 C. D.或答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 6.的单调递增区间是( )

A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 7.关于函数，下列说法正确的是( ) A.在上递减 B.在上递增 C.在上递减 D.在上递减答案：C

解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 8.函数的最小正周期为，则( ) A.在上单调递减 B.在上单调递减 C.在上单调递增 D.在上单调递增答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 9.使函数为增函数的区间是( )

A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 10.函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 11.已知函数，则在区间上的最大值与最小值

二次函数中等腰三角形的存在性

知识回顾： 1、二次函数的三种形式： 2、已知一边，求等腰三角形周长的方法： 3、等腰三角形的特点：例题分析：例1、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．例2、已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形，并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，其斜边AB 与x 轴重合（其中OA0，

n >0），连接DP 交BC 于点E 。①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标。 ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。例4、如图9，抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角求线段OC 的长.： (2)求该抛物线的函数关系式．： (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由例5、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线2 2y ax ax =+-经过点B ．图1 图2 图3

《一类恒成立、存在性函数问题的化归》教学设计

《一类恒成立、存在性函数问题的化归》教学设计一类恒成立、存在性函数问题的化归 “恒成立”与“存在性”问题起源于全称量词与存在量词“任意”[知识点的地位作用]:1、与“存在”，是函数、方程、数列与不等式的结合点之一，也是培养数学能力的良好素材，同时也是高考的重点与热点。 2、此节内容是在学生学习完高一函数这一章后的一个专题讲座，目的是通过本节的学习，进一步深化对函数的认识，领悟数形结合的魅力。培养学生各种数学语言的相互转化的能力。 3、此内容共两个课时，此为第一课时。 1、知识目标:让学生初步能用最值及值域解决一类函数的恒成立、存在性问题。[教学目标]: ,、能力目标:培养学生的观察力，分析、解决问题的能力。归纳概括能力 3 、情感目标:通过本节学习，让学生体会的转化、化归的数学思想，享受数学中的灵动与和谐之美。对不同题型，能熟练地转化为不同的最值与值域问题。[教学重点]: 用化归思想灵活转化问题。[教学难点]: 通过生活语言与数学语言对比结合，深入浅出地处理好本节重难点。并通过多种数学[创新点]:

语言巩固，促进学生理解，加深学生印象。 ,、活动形式:问答、讨论、思考、总结。[活动设计]: powerpoint,、教具:投影仪，软件(几何画板，)，课件 [教学设计]: 第一课时一、引入: ,抛出问题,由学生近期例1:不等式|x-1|-|x+3|,a对于x?R恒成立,求a的取值范围的易错题及变式题引入～. 并让学生知道～这类问题变式1:存在 x?R，使得不等式 |x-1|-|x+3|>a成立, 则a的取是高考的热点和重点～但值范围是 .我们学习本节知识后～将会非常轻松地解决这几道变式2:方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是题。激发学生的好胜心与求. 知欲 .二、新课: 1、现实生活中存在与恒成立问题: “1)在某次考试中，我们班有同学数学分数大于,,,分最高分大于,,,分。 “2)在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于,,分最低分大于,,分。 1 “3)在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于130分的最高分小于等于130分。 ,语言对比,由现实生活中的口语来分析和理解现实生活中的一些恒成立问题和有解问题。提高学生学习兴趣～加强学生学习好这节内容的信心～让学生理解数学来源于生活～又高于生活。 2

等腰三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（ 196,0）解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

《教学设计》形成性作业一

形成性作业一一、填空题 1．教学活动是学校实现其教育目的和培养目标的基本（），因此教学活动在学校教育的各项工作中有着重要的意义。 2. 当代认知心理学家斯腾伯格等人认为，儿童认知能力的发展并不是由于认知结构（）的变化所引起的，而是通过原有认知结构的功能的不断激活、工作有效性的不断提高以及认知结构间各元素相互作用的熟练程度的提高而逐渐实现的。 3．学校教学活动是实现人类认识和个体认识之间有效联系的重要（）。 4．教学（）是学校教育目的与培养目标的具体体现。 5．单元教学设计是介于（学科）课程与课堂教学设计之间的一种（）性教学设计。单元教学设计除了要保证教学任务的顺利实现之外，还起着协调年级教学进度等方面的作用。 6. 元认知监控是指个体在认知活动中主动地产生策略、选择策略、（）控制及调节的过程。 7. 有关的研究还表明，元认知能力的获得并不单是由于个体的成熟，而更是由于个体的学习，个体若缺乏基本（），那么即使到了成人阶段，在这方面也不一定能达到理想的水平。 8. 学习风格可以简单地定义为：学习风格是学习者带有( )特征的学习倾向与策略。 9. 每一个学习者在学习过程中都会表现出不同的学习倾向与策略，这种学习倾向与策略是与学习者的（）特征联系在一起。 10.学习风格体现出个人的( )性和时间上的稳定性，在某种意义上说是个人的一种偏好。二、单选题 1. 根据现代基础教育的学校教学活动领域所涉及的主要问题，教学设计可以归纳为三个层面。他们是指（）。 A. 学科课程教学设计、单元教学设计和课堂教学设计 B. 学校教学系统设计、单元教学设计和课堂教学设计 C. 学校教学系统设计、学科课程教学设计和单元教学设计 D. 学科课程教学设计、学期教学设计和单元教学设计 2. 按照心理学家斯腾伯格等人的观点，人的认知结构由元成分、操作成分和知识获得成分这3种成分组成。其中元成分的作用是（）。 A. 制定计划、选择策略及监控具体的过程 B. 执行具体的加工过程，包括编码、联系和反应

中考压轴题等腰三角形存在性问题 -

中考压轴题等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】（122）或（122）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】 ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作 PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，∴C （0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在 223 y x x =-++中，令y=2，可得 2232 x x -++=，解得x=12 ±，∴P点坐标为（122）或（12， 2），故答案为：（122）或（12，2）．

抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案

年级九科目数学班型一对一学生姓名第次课课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月２０日8：00——１0：00 教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程,熟练掌握解题技巧;体会分类讨论的数学思想,体验解决问题方法的多样性。教学重点.能够正确的分析问题、转化问题,合理利用条件解决问题２.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养教学难点能够正确的分析问题、转化问题,合理利用条件解决问题教学过程: 一、课前小测： 1．直角三角形的两边长分别是3和４,则第三边的长是 2．已知Rt△ABC中，∠Ｃ=9０°，AC=８，ＢC=６,动点P、Q分别同时从A、B出发,其中点Ｐ在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒;点Q在线段BＣ上向点C运动，速度是１单位每秒。设运动时间为t（秒），当t ＝秒时,△BPQ是直角三角形。二、新课学习：（一）经典模型模型再现: 已知:定点Ａ(２, 1) 、B(６, ４)和动点Ｍ(ｍ，０), 存在直角三角形ＡＢM,求点M的坐标。两线一圆找直角模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时,通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点Ｂ、点Ｍ为直角定点来构造直角三角形,然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况：比如：(1）当以点A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交ｘ轴的点即为所求；（2）当以点B为直角顶点时，过点B作AB 的垂线交x轴的点即为所求；(3)当以点M为直角顶点时,只需要以ＡB为直径作辅助圆与x轴的交点(一般情况下有两个交点,特殊情况下只有一个交点）即为所求。（二)解法：１.“K型相似”(一线三直角) 提示：竖直型,上减下;水平型，右减左。遇直角，构矩形，得相似,求结果。２.勾股定理（暴力法---两点间距离公式) 利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。其基本解题思路是列点.列线．列式。

二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性

中考数学压轴题一、等腰三角形存在性 1 解题思想：分类讨论 2 解题技巧：坐标系内线段长度表示（1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴在x轴或平行于x轴：x右-x左在y轴或平行于y轴：y上-y下（2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C）由勾股定理得：AB2= AC2= BC2= 3 解题方法（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方（2）分三种情况列方程，解方程（3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根）（2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点（2）画图，作圆法，垂直平分线法（3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．代数法：几何法：例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）试求△ABC 的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长．只能选择几何法 1 先分析三种情况 2 根据已知表示三边长度（相似） 3 列方程计算同步练习： 1．如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． A C B y x 0 1 1