等腰三角形的存在性问题

10．（2016省市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴

相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同

时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定

其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，

当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是

等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2016省日照市）阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交

EF于点P，那么动点P为线段AM中点．

理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：

动点P为线段AM中点．

由此你得到动点P的运动轨迹是：．

知识应用：

如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等

边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分

别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．

（1）求∠AQB的度数；

（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016省日照市）如图1，抛物线

2

3

[(2)]

5

y x n

=--+

与x轴交于点A

（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结

BC．

（1）求m、n的值；

（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求

△NBC面积的最大值；

（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是

否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2016省）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

28

y ax bx

=+-与x轴交于A，B

两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，

与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），

（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出

点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直

线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

14．（2016省市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，

动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点

N从点C出发，在CB

3的速度向点B匀速运动，设运动时间

为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

15．（2016省市）如图，抛物线

223

y ax x

=+-与x轴交于A、B两点，且B

（1，0）

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P 的坐标；

（3）如图2，已知直线

24

39

y x

=-

分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q

是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF 于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．16．（2016省市）如图1，对称轴为直线x=

1

2的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S 的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC 为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2016省凉山州）如图，已知抛物线

2

y ax bx c

=++（a≠0）经过A（﹣

1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．[来源:学_科_网] 18．（2016省）如图1，抛物线

26

y ax x c

=-+与x轴交于点A（﹣5，0）、B （﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：

3

7

AE

EC

=

；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

19．（2016省襄阳市）如图，已知点A 的坐标为（﹣2，0），直线

3

3

4

y x

=-+

与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线

2

y ax bx c =++

过A、B、C三点．

（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t （秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？20．（2016省市）如图，抛物线

2

y ax bx c

=++（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

21．（2016省市）（满分12分）如图，抛物线

2

y x bx c

=++与x轴交于点A

和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2016市）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线

2

123

3

33

y x x

=-++

与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．

23．（2016省市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线22

y ax ax c

=++经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值围）；

（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．24．（2016省市）如图，抛物线

2

y x bx c

=++与直线

1

3

2

y x

=-

交于A、B 两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

26．（2015）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l 过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是；②∠CAO=度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（直接写出答案）

（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值围．27．（2015）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（2015）在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在

x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经

过A、B、C三点的抛物

线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）

中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求

点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2014年12分）如图，抛物线

2

1

y x mx n

2

=-++

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

30．（2014年14分）如图，二次函数

2

4

y x bx c

3

=++

的图象与x轴交于A（3，

0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．31．（2014年江汉油田、潜江、天门、仙桃12分）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（

3

2，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当BQ=

1

2AP时，求t的值；

（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

32．（2014年12分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过

2

y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（18

5，

245-

），以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直于x 轴于点B ．

（1）求直线BC 的解析；

（2）求抛物线解析式及顶点坐标；

（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ?的值，并证明你的结论；[来源:学§科§网Z §X §X §K]

（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0

33．（2014年9分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数

213

y x x 2

22=-++的图像与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H

（0， m ）作平行于x 轴的直线，直线与二次函数213

y x x 2

22=-++的图

像相交于点D ，E ．

（1）写出点A ，点B 的坐标；

（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值； （3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

34．（2014年14分）如图1，抛物线y=ax2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．

（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．

（2）如图1，当点P 的横坐标为 32

时，求证：△OBD∽△ABC．

（3）如图2，若点P 在第四象限，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．

（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．

35．（2014年12分）如图，抛物线y=-x2+bx+c 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，已知经过点A ，B 的直线的表达式为y=x+3．

（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C 的坐标；

（2）如图①，点P （m ，0）是线段AO 上的一个动点，其中-3＜m ＜0，作直线DP⊥x 轴，交直线AB 于D ，交抛物线于E ，作EF∥x 轴，交直线AB 于点F ，四边形DEFG 为矩形．设矩形DEFG 的周长为L ，写出L 与m 的函数关系式，并求m 为何值时周长L 最大；

（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使点A ，B ，Q 构成的三角形是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

36．（2014年14分）如图，抛物线

2

y ax bx c

=++（a≠0）的图象过点

M ()

2,3

-

，顶点坐标为N

43

1,

??

-

?

?

??，且与x轴交于A、B两点，与y轴交

于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

37．（2014年12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线线的函数解析式．

（2）已知直线l的解析式为y x m

=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO 的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积．

②当m3

=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否

存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

38．（2014年义乌12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线线的函数解析式．

=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO （2）已知直线l的解析式为y x m

的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积．

=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否②当m3

存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．