解三角形问题及其简单应用易错笔记

第十七讲 解三角形问题及其简单应用 1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究

1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解

1.3 由cos 0A =产生的漏解现象

2.解三角形出现增解的应对策略

2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定 2.2根据两角正弦值大小剔除增解 2.3 根据三角函数值的范围剔除增解 3．几何法判断三角形解的个数

3.1画图观察直观判断三角形解的个数 3.2 根据三角形解的个数求字母参数范围

4.三角形形状的判定

4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角 4.2化边为角判定三角形形状

4.3化角为边判断判定三角形形状

5.三角形中的取值范围与最值问题 5.1三角形形状隐含角的范围

5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用 5.3利用余弦定理、基本不等式求最值 5.4化归为三角函数的最值与值域问题

6. 三角形中几种常见的变换方法 6.1 两角和与第三角的三角函数关系 6.2 不能遗忘的“切化弦”

7.常见的解三角形实例 7.1距离的测量问题 7.2高度的测量问题 7.3角度的测量问题 7.4是否进入某区域问题

7.5与最值有关的实际应用问题

1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究

1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 【典例】在ABC ?，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，且1,a c ==

（1）若3

C π=，则A = _______；(2)若6

A π=，则b = _______．

【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6,8,45b c B ===，则cos C = .

【变式2】已知在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，45a b B =， 试判断符合条件的ABC ?有多少个？

1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解

【典例1】在ABC ?

中，1,30AB AC B ==，求ABC ?的面积.

【变式1】若ABC ?

的面积为5,8AB AC ==，则BC 等于 ．

【变式2】ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ?

A cos 与a 的值.

【变式3】已知(

)2sin 2f x x x =+，A 是ABC ?的内角，且()1f A =，求A 的大小.

【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，sin cos c C c A =-

(1)求角A ； (2)若2a =，ABC ?

,b c .

【典例2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果有性质B b A a cos cos =,试问这个三角形的形状具有什么特点？

【变式2】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 1cos2cos 1cos2b C C c B

B

+=+，判断ABC △的形状.

【变式3】在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b ≠，=-B A 22cos cos A A cos sin 3B B cos sin 3-．求角C 的大小．

1.3 由cos 0A =产生的漏解现象

【典例】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,3

c C π

==.若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积.

【变式1】若θ是三角形的内角，则cos θ可能为0，但0sin >θ

在△ABC 中，已知角

60=B .若cos()cos sin 2B A C A --=，求角A 的大小.

【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立

在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos a b c B c A -=-，判断ABC △的形状.

2.解三角形出现增解的应对策略

2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定

【典例】在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若a 2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .

【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角

在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π,13

A a b ==，则边长c 等于（

）

A.1

B.2 1 D.3

【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3a =，b 3

2π

=∠A ，则B ∠= ．

【变式3】已知在ABC ?中，1,2,6

AB AC C π===

，则ABC ?的面积为___________.

【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3

a c C π==，则角A =______.

【变式5】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角,,A B C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，则角=C .

【变式6】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB .求C 2sin 的值.

2.2根据两角正弦值大小剔除增解

【典例】在ABC ?中，5

4sin =B ，13

5cos =A ，则C cos 的值为___________.

【变式1】在ABC ?中，求证：sin sin A B A B >?>.

【变式2】在ABC ?中，若53sin =A ，13

5cos =B ，则C cos 的值为 ．

【变式3】在ABC ?中，12sin 13B =，4cos 5

A =，则C cos 的值为___________.

2.3 根据三角函数值的范围剔除增解

【典例】在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，λ=a ，λ3=b ， 45=A ，则满足此条件的三角形有（ ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

【变式1】钝角ABC ?的面积是

12

，1=AB ，2=BC ，则=AC ( )

A ．5 B. 5 C ．2 D ．1

【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论 已知在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， ,A B 为锐角，且532cos =

A ，10

10sin =B ，则B A +的值为 ．

【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解 在?ABC 中，已知3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则角C = .

3．几何法判断三角形解的个数

3.1画图观察直观判断三角形解的个数 【典例】已知在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，045,2,3===B b a ， 试判断符合条件的ABC ?有多少个？

【变式1】已知在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，不解三角形，则下列判断正确的

（1）4,5,30a b A ===有两个解； （2）5,4,60a b A ===有一个解；

（3）120a b B ==

=有一解；

（4）60a b A ==无解.

【变式2】已知在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形：

①B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )

A ．①只有一解，②也只有一解．

B ．①有两解，②也有两解．

C ．①有两解，②只有一解．

D ．①只有一解，②有两解．

【变式3】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若18,24,45a b A ===，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定

【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2,6,30

a b A ===，则满足此条件的三角形的个数是几个？

3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的范围

【典例】如果满足60B =，12,AC BC k ==的三角形ABC 恰好有一个解，那么实数k 的取值范围是

【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2b a ==，此三角形有解，则角A 的取值范围是 .

【变式2】若满足条件3=AB ，A C >， 60=C 的ABC ?有两个，则边长BC 的取值范围是 .

【变式3】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,4

b B π

==，且此三角形只有一个解，则边长a 的取值范围是 .

4.三角形形状的判定

4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角 【典例】在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，用余弦定理证明：当角C 为钝角时，222a b c +<；当角C 为锐角时，222a b c +>.

【变式1】在ABC ?中，若222sin sin sin B C A +>，则ABC ?的形状是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

【变式2】在ABC ?中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

【变式3】在ABC ?中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若三边满足333a b c +=，则ABC ?的形状是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

4.2化边为角判定三角形形状 【典例】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知

c

b a =

=，判定ABC △的形状.

【变式1】在ABC △中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos cos c

A B C a

b

==，判定ABC △的形状.

【变式2】在ABC △中，已知sin 2sin cos A B C =，判定ABC △的形状.

【变式3】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos a b C =，判定ABC △的形状.

【变式4】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知A c a sin =，B A C cos sin 2sin =，判定ABC △的形状.

【变式5】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin cos A B C =，))((a c b c b a -+++bc 3=，判定ABC △的形状.

4.3化角为边判断判定三角形形状 【典例1】在ABC △中，角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =?，判断ABC △的形状.

【变式1】在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B =，2b a c =+，试判断ABC ?的形状．

【典例2】在△ABC 中，若 2

2

tan tan A a B b =

，试判定△ABC 的形状.

【变式1】在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状 .

【变式2】在△ABC 中，若B

A B

A C cos cos sin sin sin ++=

，则△ABC 的形状如何？

5.三角形中的取值范围与最值问题 5.1三角形形状隐含角的范围

【典例】设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，求cos sin A C +的取值范围．

【变式1】在锐角ABC ?中，6=AC ，A B 2=，则BC 的取值范围是 .

【变式2】锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 设2C B =，则

c

b

的取值范围是 .

【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则m 的取值范围是 .

【变式4】在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则cos AC A

的值等于 ，AC 的取值范围为 .

【变式5】锐角△ABC 满足不等式tan 0,tan 0,tan 0A B C

>>>同时成立

锐角ABC ?中，若tan 1,tan 1A t B t =+=-，则t 的取值范围是 .

5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用 【典例】在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，边长1,2a b ==，则边长c 的取值范围是 .

【评注】ABC ?为锐角三角形cos 0,cos 0,cos 0A B C ?>>>同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若

A 是钝角，则cos 0A <且

b c a +>.

【变式1】锐角ABC ?的边长分别为a ，3，1，则a 的取值范围是 .

【变式2】在钝角ABC ?中，三边长分别为4,5，x ，则实数x 的取值范围为_______________.

5.3利用余弦定理、基本不等式求最值

【典例1】若ABC ?的内角A 、B 、C 满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 .

【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件，即取最值的条件。 【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）

12

D. 12-

【变式2】利用2()2

a b ab +≤，求角的取值范围

在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，c b a 2≥+,则角C 的取值范围是 .

【变式3】在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若a 、c 、b 成等差，则角C 的取值范围是 .

【变式4】在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若a 、c 、b 成等比，则角C 的取值范围是 .

【变式5】利用2

2

2b c bc +≥，求边长的最小值

在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，3

π=

A ，若△

ABC 的面积为a 的最小值为 ．

【变式6】利用222b c bc +≥，b c +≥

已知c b a ,,分别是ABC ?的三个内角C B A ,,的对边，A

C

a c

b cos cos 22=

--. （I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ?的面积3=S ，求ABC ?周长的最小值．

【典例2】已知c b a ,,分别为ABC ?三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ?面积的最大值为_________．

【评注】最值问题经常利用的不等式：222b c bc +≥，b c +≥2()2

a b ab +≤.

【变式1】利用余弦定理结合2(

)2

a b ab +≤求周长的最大值

已知c b a ,,分别为ABC ?三个内角C B A ,,的对边，2=a ，60A =，则ABC ?周长的最大值为_______．

【变式2】利用2

2

2b c bc +≥，结合余弦定理求面积的最大值

在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知(2sin(m A C =+, 2(cos 2,2cos 1)2

B n B =-，且n m //.

（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ?面积的最大值．

【变式3】已知ABC ?内接于单位圆(半径为1个单位长度的圆),且(1tan )(1tan )2A B ++=.

(1)求角C 的大小; (2)求ABC ?面积的最大值.

【变式4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A

+=+

（Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.

【变式5】已知c b a ,,分别是ABC ?的三个内角C B A ,,的对边，且cos (cos )cos 0.C A A B +=

(I)求角B 的大小；(II)若1a c +=，求b 的取值范围．

5.4化归为三角函数的最值与值域问题

【典例】在ABC ?中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为________ .

【评注】在ABC ?中， 根据2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（R 为ABC ?外接圆半径），可将边长转化为三角形内角的正弦值，进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题.

【变式1】在?ABC 中，2

22+=a c b . （1）求B ∠的大小；

（2cos cos A C + 的最大值.

【变式2】设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2

b C a

c =-

（1）求角B 的大小； （2）若1b =，求ABC ?的周长l 的取值范围。

【变式3】如图，在等腰直角OPQ 中，90POQ ∠=，N 在线段PQ 上．

(1)若ON =PN 的长；

(2)若点M 在线段NQ 上，且30MON ∠=，问：当PON ∠取何值时，OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．

6. 三角形中几种常见的变换方法

6.1 两角和与第三角的三角函数关系

【典例】在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .已知

80

A =，()2

a b b c =+，求角C.

【评注】在ABC ?中，A B C π++=，所以有sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-. 【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若3a =,2b =,3

1

)cos(=+B A ，则c =（ ）

（A ）4 （B （C ）3 （D

【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .已知2b ac =，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值为 .

【变式3】在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若b A c C a 2

32cos 2cos 22=+，则,,a b c 之间的关系可用等式表示为 ．

【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .已知3cos 2cos a C c A =，3

1

tan =A ，求B .

【变式5】已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，向量()

()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ?=，若22

1sin 23cos sin B

B B

+=--，求tan C 的值.

【变式6】在ABC ?中，已知3AB AC BA BC ?=?．(1)求证：tan 3tan B A =；(2)若cos C 求A 的值．

【变式7】已知ABC ?的内角2

1)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对

的边，求证： 8)(>+c b bc 。

【变式8】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .

6.2 不能遗忘的“切化弦”

【典例】已知锐角ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .且tan B ，则角B 的大小为_________．

【评注】在三角函数部分切弦互化是很容易想到，在解三角形问题中，遇到切也要考虑是否需要采用“切化弦”. 【变式1】在ABC ?中，已知+3AB AC ?0AB BC ?=，则=A

B

tan tan ．

【变式2】在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .6cos b a C a b

+=，则

=+B

C

A C tan tan tan tan .

【变式3】 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C C A B A tan tan tan tan tan tan +=，且3=c ，则该三角形的面积的

最大值为 .

7.常见的解三角形实例 7.1距离的测量问题 【典例】在相距2千米的

,A B 两点处测量目标点C （无法到达），若 75=∠CAB ， 60=∠CBA ，则,A C

两点之间的距离为________千米．

【评注】(1)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线（如本题中的线段AB ）．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

(2)解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．

【变式1】如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.

【变式2】要测量对岸两点,A B 之间的距离，选取相距 3 km 的,C D 两点，并测得75,45,30,45ACB BCD ADC ADB ∠=?∠=?∠=?∠=?，求,A B 之间的距离．

7.2高度的测量问题

【典例1】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取,A B 两点，从,A B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且,A B 两点间的距离为60m ，则树的高度为________m.

【评注】仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)．

【变式1】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .

（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈ 1.73≈）

【变式2】某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为________m.

【变式3】在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900 m 后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300 3 m 后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为________m.

【变式4】如图，在湖面BM 上高为10 m 的A 处测得天空中一朵云C 的仰角为30°，测得云C 在湖中之影D 的俯角为45°，则云C 距湖面BM 的高度CM 为________m.

【典例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.

【评注】方向角：从东、西、南、北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度．如西偏北75°，就是从西开始旋转到正北，转过的角度为75°．

方位角：从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角．

【变式1】要测量底部不能到达的东方明珠电视塔

AB 的高度，在黄浦江西岸选择,C D 两观测点，在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，

30°，在水平面上测得电视塔底部B 与C 地连线BC 及,C D 两地连线CD 所成的角为120°，,C D 两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )

A ．100 2 m

B ．400 m

C ．200 3 m

D ．500 m

【变式2】如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得BCD ∠＝15，BDC ∠＝30，CD ＝30m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝ m .

【变式3】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角

45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC =m ，则山高MN ＝ m.

【变式4】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得北侧远处一山顶D 在西偏北 30的方向上，仰角为 15，行驶4km 后

到达B 处，测得山顶D 在西偏北 45的方向上.

（Ⅰ）求山的高度；

（Ⅱ）设汽车行驶过程中，仰望山顶D 的最大仰角为θ，求θtan .

【变式5】如图，跳伞塔CD 高4，在塔顶测得地面上两点

B A ,的俯角分别是??4530，，又测得?=∠30ADB ,求AB 两地的距离.

7.3角度的测量问题

【典例】甲船A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什

么方向前进，才能最快与乙船相遇？

【评注】追及问题常用正余弦定理求解．

【变式1】两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )

A. 北偏东10°

B.北偏西10°

C. 南偏东10°

D.南偏西10°

【变式2】如图，两座相距60 m 的建筑物,AB CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．

【变式3】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．

【变式4】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在

A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并

测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/小时的速度直线航行前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

7.4是否进入某区域问题

【典例】海滨某城市A 附近海面上有一台风，在城市A 测得该台风中心位于方位角150°、距离400km 的海面P 处，并以70km/h 的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km

1.732≈）

【评注】是否进入某区域问题，一般转化为动点到定点的距离与符合某区域条件的距离的大小比较.

【变式1】如图，一船由西向东航行，在A 处,测得某岛M 的方位角为60α=，前进5km 后在B 处测得此岛的方位角为30β=，已知该岛周围4km 内有暗礁，如果继续东行，有无触礁的危险？

【变式2】外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile 以内的区域，如图，设A,B 是相距是s n mile 的两个观测站，一外轮在P 点，测得,BAP ABP αβ∠=∠=，问：αβ，满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我国海域？

【变式3】如图，某自行车手从O 点出发，沿折线O-A-B-O 匀速骑行，其中点A 位于点O 南偏东45°且与点O 相距

.该车手于上午8点整到达A ，8点20分骑至点C ，点C 位于点O 南偏东（

45α-）（其中sin 90

αα<<）且与点O 相距在同一水平面上）.

（1）求该自行车手的骑行速度；

（2）若点O 正西方向27.5千米处有个气象观测站E ，假定以点E 为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨.试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由.

7.5与最值有关的实际应用问题

【典例】如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙()1x x >米，离地面高()12a a ≤≤米的C 处

观赏该壁画，设观赏视角ACB

θ∠=.若 1.5a =，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？

【评注】应用正余弦定理将角之间的关系，转化为边之间的关系。再应用基本不等式、常见函数的单调性求最值。 【变式1】如图，直角三角形ABC ，90B =

，1,

AB BC =,M N 分别在AB AC 和上（点M 和点B 不重合），将AMN ?沿MN 翻

折，AMN ?变为A MN ?’，使顶点'

A 落在边BC 上（点'

A 和点

B 不重合）.设=AMN θ∠. (1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；

（2）求线段'A N 长度的最小值.

【变式2】如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒. （1）分析救生员的选择是否正确？

（2）在AD 上找一处C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间.