第十章 第三节 二项式定理及应用
第十章 第三节 二项式定理及应用
1.(2009·重庆高考)(x 2＋2
x )8的展开式中x 4的系数是 ( )
A ．16
B ．70
C ．560
D ．1 120 解析：由二项展开式通项公式得
T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x
)r ＝2r C r 8x 16－3r
. 由16－3r ＝4，r ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D 2．(x
)12的展开式中的常数项为 ( )
A ．－132 0
B ．1 320
C ．－220
D ．220
解析：展开式的通项是T r ＋1＝C r 12x
12－
r (
)r ＝C r 12
(－1)r
x 12－4r 3，令12－4r 3＝0， 得r ＝9，故展开式的常数项是T 10＝C 912(－1)9
＝－220.
答案：C
3．(2009·湖南高考)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为 ________(用数字作答)．
解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.
答案：7
4．若????x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为5
2，则a ＝__________(用数字作答)． 解析：通项T r ＋1＝C r 6·
a －
r x 12－3r
，
当12－3r ＝3时，r ＝3， 所以系数为C 36·a －
3＝52，得a ＝2. 答案：2
5.在? ?
1x ＋51x 3??
?
n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数 是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792
解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系 数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －
1＝1 024，∴n ＝11，∴展
开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 6
11＝462.
答案：B
6．(2009·江西高考)(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为 ( ) A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5
解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值 为(1＋|a |)n ＝32＝25，
∴n ＝5，?????
1＋|b |＝3，1＋|a |＝2.
答案：D
7．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. (用数字作答)
解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32， 令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1， 故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：31
8.在2
n
x
? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为
( )
A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28
解析：
依题意，n 2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为2x ?- ?8
，易得常数项为C 68????x 22
? ?
6
＝7. 答案：B
9．(2010·佛山模拟
n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的 和之比为64，则(1－x )n 的展开式中系数最小的项的系数等于________． 解析：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n ＝ 64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－C 36＝－20. 答案：－20
10．二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最 大的一项的值为5
2
，则x 在(0,2π)内的值为________．
解析：由已知可得C n －
1n ＋C n
n ＝n ＋1＝7，即得n ＝6，
二项式系数最大的一项为 C 36·sin 3x ＝20sin 3x ＝52， 解得sin x ＝1
2，又x ∈(0,2π)，
∴x ＝π6或5π6.
答案：π6或5π6
11.若
的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．10 D ．12
解析：T r ＋1＝C r n (3x )
n －
r
(
r
＝C r n (3)
n －
r (－1)r
r ·x n －
r ·x －r 3
＝C r n (3)
n －
r
(－
)r xn －4r
3，
令n －43r ＝0，得n ＝4
3
r .
∴n 取最小值为4. 答案：B
12．令a n 为(1＋x )n
＋1
的展开式中含x n
－1
项的系数，则数列{1
a n
}的前n 项和为 ( )
A.n (n ＋3)2
B.n (n ＋1)2
C.n n ＋1
D.2n n ＋1 解析：∵T r ＋1＝C r n ＋1·
x r ， ∴a n ＝C n －
1n ＋1＝C 2n ＋1＝
n (n ＋1)
2
， 1a n ＝2n (n ＋1)， ∴∑i ＝1n
1
a n ＝2???
?1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2????1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：D
13．已知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与(x ＋5
4
)4的展开式中x 3的系数相等，则cos θ
＝__________.
解析：(x cos θ＋1)5＝(1＋x cos θ)5，展开式中x 2的系数为C 25cos 2
θ.
(x ＋54)4＝(54＋x )4，展开式中x 3的系数为54C 34，
由题意可知C 25cos 2θ＝54C 34，∴cos 2θ＝12， ∴cos θ＝±22.
答案：±2
2
14．关于二项式(x －1)2 005，有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；
②该二项展开式中第六项为C 62 005x
1 999
； ③该二项展开式中系数最大的项是第1 002项； ④当x ＝2 006时，(x －1)2 005除以2 006的余数是2 005.
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
解析：二项式(x －1)2 005所有项的系数和为0，其常数项为－1，非常数项的系数和是
1，即得①正确；二项展开式的第六项为－C 52 005x
2 000
，即得②错误；二项展开式中 系数绝对值最大的项为C 2 005－12 2 005x 1 003＝C 1 0022 005x 1 003，－C 2 005＋12
2 005x 1 002＝－ C 1 0032 005x 1 002，得系数最大的项是第1 003项C 1 0022 005·
x 1 003，即③错误；当x ＝2 006时，(x －1)2 005除以2 006的余数是2 006－1＝2 005，即④正确． 答案：①④
二项式定理的十大应用
二项式定理的十方面应用 一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)( 1 x2-1)5的展开式的常数项是（） (A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D 【解析】第一个因式取x2，第二个因式取 1 x2得：1?C1(-1)4=5 5 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2?(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3. 2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2- 1 x )5的二项展开式中，x的系数为（） （A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 解：ΘT r+1 =C r x11-r(-1)r 11 ∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的 11 系数为C5(-1)5=-462 11 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013(x∈R)， 则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 010******** )=_______。(用数字作答) 解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013中，令x=0，则a=1， 令x=1，则a+a+a+a+Λ+a 01232004 =(-1)2013=1 故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 0102030 精品资料 2013 )
高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、
考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座， 有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类 计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、 戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩 余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.
最新二项式定理应用常见题型大全(含答案)
二项式定理应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012?重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 2．（2012?桃城区）在的展开式中，有理项共有（） 2012 4．（2008?江西）展开式中的常数项为（） n*5 6．（2006?重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 88 29211 2006 10．（2004?福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） 12．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）
C 10 14．的展开式中第三项的系数是（） ．C． 4n+1 n 17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是 [[，[ 18．在的展开式中系数最大的项是（） 6 8 2010
参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．（2012?重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 的展开式通项公式中，令 的展开式通项公式为 = 2．（2012?桃城区）在的展开式中，有理项共有（） ??， 2012
+ 4．（2008?江西）展开式中的常数项为（） 的展开式的通项为 的展开式的通项为= 的通项为= ，时，展开式中的项为常数项 n*5
6．（2006?重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 则展开式的常数项为 88 29211 2006
分别取， 时，有）（ 时，有）（ （ 10．（2004?福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 中，化简可得答案． ， x= =2 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） ∴二项式的通项为 的展开式中的常数项为=160
二项式定理的推广与应用
二项式定理的推广及应用 曲靖市麒麟高级中学 车保勇 [摘 要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围． [关键词] 二项式定理 推广 方幂 应用 1 引言 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：() 0,(,,0)n n r n r r n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．
2 问题的提出 虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围． 3 二项式定理的推广 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为： 011r n r r n n ()n n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +0 ,(,,0)n r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑ 其中r n r r r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!! r n n C r n r =-叫做二项式系数． 若令 -n r q =， 则 ! !! r n n C r q = ，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一 在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广． 先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式: ()[()]n n a b c a b c ++=++ ()n r r r n C a b c -=+++ ( )r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++ 若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式： (,,p q r n)r q p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=， 其中()()!(r)!! !!q!q !!q!p! r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2] 类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为 ! (,,,)!!!s! p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ， 其中 ! !!!s! n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为： 定理１12()n m a a a +++12 121212!!! !m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．
二项式定理二项式定理的应用教案
排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案 教学目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等. 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题. 3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力． 教学重点与难点 数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在． 教学过程设计 师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题: (1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少? （2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项． （全体学生参加笔试练习) ６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答: （1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x） （2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６. 其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.
师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件． 第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用. 下面我们看二项式定理的一些应用． 师:请同学们想一想，例１怎样解？ 生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等 比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明. 师:请同学们根据生甲所讲，写出证明． （找一位同学板演) 证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得: 师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题. 练习 生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
1.3.1二项式定理(教案)
1． 3．1二项式定理 教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4 a ，3 a b ，22 a b ，3 ab ，4 b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4 a 的系数是0 4C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3 a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有2 4C 种，22 a b 的系 数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4 b 的系数是4 4C ， ∴4 4 13 2 22 33 44 44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课： 二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++ +++∈ ⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ， ⑵展开式各项的系数： 每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0 n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，
3,二项式定理
3．???? x2－ 2 x35展开式中的常数项为()A．80 B．－80 C．40 D．－40 4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 二项式定理的应用 [典例](1)求? ? ? ? 3x＋ 1 x 4的展开式； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [活学活用] 1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为() A．x4B．(x－1)4 C．(x＋1)4D．x4－1． 2．设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·C k n·2n－k＋…＋(－1)n·C n n＝________． [典例](1)求二项式???? 2x－ 1 x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求???? x－ 1 x9的展开式中x3的系数． 求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别． 与展开式中的特 定项有关的问题 题点一：求展开式中的特定项 1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()
第三节 二项式定理-高考状元之路
第三节 二项式定理 预习设计 基础备考 知识梳理 1．二项式定理 =+n b a )( 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；= +1r T 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为.1+n (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 (3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． (4)二项式的系数从 ,,1 n C 一直到,1-n n C 3．二项式系数的性质 (1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -= (2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式 系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和： n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n = 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 =+++=+++ 42531 n n n n n C C C C c α 典题热身 1．在62)1(x x -的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D 答案：C 2．已知n ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D 答案：B
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用 一、求某项的系数： 【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407） （2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（5 6x） 二、证明组合数等式： 练习 （12345） 例2 计算：1.9975（精确到0.001）． 师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．
例3：（1996年全国高考有这样一道应用题） 某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ 例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？ 生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数． 受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用 数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了． 师：请同学们在笔记本上完成此题的解答 （教师请一名同学板演） 解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5
则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日． 师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？ （教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演） 解：7777-1=（76+1）77 由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？ 生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法． 师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题 例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 师：仍然由同学先谈谈自己的想法． 生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．
二项式定理及应用
莱西市数学公开课教案 课 题:二项式定理及应用 课 型:复习课 教学目标： 1、知识目标：（１）理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （２)使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。 ２、能力目标:（1)教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。 （2)进行化归思想、整体思想的渗透,培养学生的发散思维和逆向思维能力。 3、情感目标：通过对二项式定理的复习,使学生感觉到能掌握数学的部分内容,有意识地让学生演练一些历年高考试题,使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点:能利用二项式定理解决相关问题 教学难点:二项展开式系数的性质及应用 教学方法：讲练结合 教 具：多媒体 教学过程： 一、课前练习 １、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110 -++-++--- 等于…………( D ) (A ）（B ）0(C )-１（D )1 ２、（200７江西）n x x )3( 3 +展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于（C ） (A ）４ (Ｂ）5 ( C)6 （D)7 3、(2007重庆)n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为…………………(Ｂ ) (A ）１０ (B ）20 （C)30 (D)1２０ 4、(2０0７安徽）已知=- 5)1(x a ０+ａ1x+a ２x ２+a ３x 3+a 4x 4＋a 5ｘ5,则(a ０+a 2+a 4）（ａ1＋ａ3＋a 5)= －256 小结:１、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式 设计目的：复习基础知识,体验二项式定理习题的一般解题方法,锻炼逆向思维能力,让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。 二、复习提问： 1.二项式定理:n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( 教师强调展开式的特点:(１）项数 n ＋1项（2）二项式系数依次为0 n C ,C 1 n ,C 2 n ，…C n n (３)指数的特点１)ａ的指数 由n ０( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂),ｂ的指数与该项组合数的上标相等。３)a 和b 的指数和为ｎ。抓住特点会逆用。 说明：(1）、ａn-ｋb ｋ 相当于从n 个(a+b)中取出k 个ｂ,其余n －k 个（a+b ）中都取ａ,共k n C 种取法,故a n-k b k
二项式定理及应用
莱西市数学公开课教案 课 题：二项式定理及应用 课 型：复习课 教学目标： 1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （2）使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。 2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。 （2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。 3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点：能利用二项式定理解决相关问题 教学难点：二项展开式系数的性质及应用 教学方法：讲练结合 教 具：多媒体 教学过程： 一、课前练习 1、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110 -++-++--- 等于…………（ D ） （A ） （B ）0 （C ）－1 （D ）1 2、(2007江西)n x x )3( 3 +展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（C ） （A ）4 （B ）5 ( C)6 (D)7 3、(2007重庆) n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为…………………（B ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）120 4、（2007安徽）已知=- 5)1(x a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则(a 0+a 2+a 4)(a 1+a 3+a 5)= -256 小结：1、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式 设计目的：复习基础知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。 二、复习提问： 1.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( 教师强调展开式的特点： （1）项数 n+1项 （2）二项式系数 依次为0 n C ,C 1 n ,C 2 n ,…C n n (3)指数的特点 1)a 的指数 由n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂）,b 的指数与该项组合数的上标相等。 3）a 和b 的指数和为n 。抓住特点会逆用。 说明：（1）、a n-k b k 相当于从n 个(a+b)中取出k 个b ，其余n-k 个(a+b)中都取a ，共k n C 种取法,故a n-k b k
二项式定理及应用
定理定义 编辑 二项式定理可以用以下公式表示： 其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[1] 2验证推导 编辑 考虑用数学归纳法。 当， 假设二项展开式在时成立。 设，则： ，将a、b<乘入： ，取出的项： ，设： ，取出项： ，两者相加： ，套用帕斯卡法则： 3定理推广 编辑 牛顿广义二项式定理 二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。 其中。 牛顿二项式扩充定理 设函数： 根据二项式定理得F(x)的任意一项为： 同理上式（）中的任意一项为 如此类推我们预知最后一项存在; 那么我们得到其中 的任意一个系数为以上各式系数之积即为； 设M=0+j+....+q+p+m而且项的系数为AM 4应用例子
编辑 牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。 证明组合恒等式 二项式定理给出的系数可以视为组合数的另一种定义。因此二项式展开与组合数的关系十分密切。它常常用来证明一些组合恒等式。 比如证明，可以考虑恒等式。 展开等式左边得到：。注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到。 比较两边幂次位的项的系数可以得到：。 令，并注意到即可得到所要证明的结论。 证明自然数幂求和公式 公式具体内容: 它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。 当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N =N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数 =(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。 当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N =2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数 又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)] =2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。 其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。[2]
高中数学论文：二项式定理的七个方面的应用全国通用
二项式定理的七方面应用 一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 例1 12+的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）． A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项 策略：本题主要考查二项展开式的通项公式的有关知识． 解：12 的展开式的通项公式为1261233 6 112 12 12 r r r r r r r r r T C C x C x -+- -+==， 当0612r =，，时，含x 的项的幂指数为正整数．故选择答案B ． 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 二、利用二项式定理求展开式的系数和 例2 若2004220040122004(12)()x a a x a x a x x -=++++∈R ， 则010********()()()()a a a a a a a a ++++++ ++=_________．（用数字作答） 策略：本题考查赋值法在求解二项展开式的系数和中的应用． 解：令2004()(12)f x x =-，则0(0)1f a ==，012004(1)1f a a a =+++=， 即010********()()()()a a a a a a a a ++++++++ 0012320042003()2004a a a a a a =++++++=． 点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的． 三、利用二项式定理求幂指数n 例3 若12n x x ? ?- ?? ?展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5-，则n 等于（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 策略：要求n 的值，只需根据题目条件建立一个关于n 的方程即可． 解：21 1(2)(1)2k k n k k k n k n k k n n T C x C x x ---+??=-=- ??? ， 令22n k -=-，则22n k =-． 21(1)2r r n r n r r n T C x --+=-， 令24n r -=，则24n r =-．所以1r k -=． 由题意，得(1)25(1)2k k n k n r r n r n C C ---=--，(1)25k k r r k n r n C C ---=-． 1r k -=∵， ∴化简得2(1) 52 k k +=-，解得4k =．
高中数学完整课件——二项式定理5.二项式定理的应用2证明不等式
1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011 222 ...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 () 0,1,2,...,r n C r n =叫 做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时， 其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的知识内容 证明不等式
二项式定理的应用1证明整除或求余数
1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做() n a b +的二项展开式，其中的系数 ()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通 项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 知识内容 证明整除或求余数
①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与 1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值． 2．二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形： 对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
二项式定理应用常见类型及其解题方法
二项式定理应用常见类型及其解题方法 一、知识点回顾： 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数：展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意准确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，按降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，按升 幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数，包 含符号）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122 (1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=+++ ++ +∈ 令 1,,a b x ==- 0122 (1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0n n n C C =，···1k k n n C C -=
二项式定理在数列求和中的应用
二项式定理在数列求和中应用 班级：数学1403 ：王琪 学号:14404337
二项式定理在数列求和中的应用 【摘要】 本文利用二项式定理和辉三角的在联系，结合组合不等式，推导出形如(,,)a n a n a ==234的前n 项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。 【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一、项式定理和辉三角介绍： 1,二项式定理： ()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=+++ ++ 00111222 其中r n C 叫做二项式系数。 2,辉三角： 二项式定理的应用非常广泛, 也很重要, 主要表现在两个方面: 一是它所揭示的方法富有启发性; 二是它与高等数学联系紧密.学习与掌握它, 既有利于培养学生联想和抽象思维的能力, 也有利于其今后进一步的学习. 二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于辉的《详解九章算法》（1261）之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”.因为帕斯卡在1654 年也发现了这个结果. 而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前
夕，牛顿就开始了二项式定理的研究，值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写给奥尔登堡转给莱布尼兹的一封信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单最直接的方法来使用. 随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用，直到今天，二项式定理已经是中学数学容的重要部分，也是当今高考的难点之一. 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂的问题时常常考虑到的一个重要公式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数学分支中都可见其踪影. 二、二项式的性质 二项式定理： (a + (n . 理解二项式定理应注意： （1）二项式中，a 是第一项，b 是第二项，顺序不能变； （2）展开式中有1n +项(比指数多1)； （3）0 1 ,, ,n n n n C C C 是二项式系数； （4）a 的指数降幂，b 的指数是升幂，两者的指数的和等于n ； （5）二项式展开时要注意各项的符号规律； （6）注意二项式定理的可逆性. 二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质： 性质一 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式 系数相等，即m n m n n C C -=. 性质二 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数 之和，11m m m n n n C C C -++=. 性质三 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即 012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两