2导数的概念经典例题

经典例题透析

类型一：求函数的平均变化率

例1、求221y x =+在0x 到0x x +?之间的平均变化率，并求01x =，12

x ?=时平均变化率的值.

思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式

00()()

f x x f x y x

+?-?=

??进行操作.

解析：当变量从0x 变到0x x +?时，函数的平均变化率为

0000()()

[2()1][21]

f x x f x x x x x

+?-+?+-+=

??042x x =+?

当01x =，12

x ?=

时，平均变化率的值为：141252?+?

总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃

而解.

举一反三：

【变式1】求函数y=5x 2+6在区间[2，2+x ?]内的平均变化率。【答案】2225(2)6(526)205y x x x ?=+?+-?+=?+?，所以平均变化率为

205y x x

?=+??。

【变式2】已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].

【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为2

s gt =，计算t 从3s 到3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度

（位移s 的单位为m ）。

【答案】要求平均速度，就是求

s t

??的值，为此需求出s ?、t ?。

设在[3，3.1]内的平均速度为v 1，则

1 3.130.1(s)t ?=-=， 2

111(3.1)(3) 3.130.305(m )2

s s s g g g ?=-=

?=。

所以1110.305 3.05(m / s)0.1

s g v g t ?=

=?。

同理222

0.03005 3.005(m / s)0.01

s g v g t ?=

=?。

333

0.0030005 3.0005(m / s)0.001

s g

v g t ?=

=?。

【变式4】过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率.

【答案】3.31

当0.1x ?=时 3

(1)1(1)(1)

(1)1

1.11 3.31(1)1

0.1

PQ y y f x f x k x x

+?-?+?-+?--=

=+?-???

类型二：利用定义求导数

例2

、用导数的定义，求函数1()y f x ==

在x=1处的导数。

解析：

∵(1)(1)1y f x f ?=+?-=

∴

y x

?=-

∴0

1'(1)lim 2

x y f x

?→?==-

?。

总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量y ?；第二步求平均变化率y x

??；第三步取极限得导数。

举一反三：

【变式1

】已知函数1y x =

（1）求函数在x=4处的导数. （2

）求曲线1y x

=-7(4,)4

P -

处的切线方程。

【答案】

（1

）0

1(2)

(4)(4)

'(4)lim

lim x x f x f x

f x

?→?→--+?-+?==??

0112)44lim x x x ?→?

?-- ?

+???

?0lim

x x

?→=?

l i m 4(4)16

x x ?→?-=-=-

+??

，

（2）由导数的几何意义知，曲线在点7(4,)4

P -处的切线斜率为'(4)f ，

∴所求切线的斜率为516-。

∴所求切线方程为75(4)4

y x +

-，整理得5x+16y+8=0。

【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）()f x c =；（2）()f x x =；（3）2()f x x =；（4）1()f x x

=。

【答案】

（1）()()0y f x x f x c c ?=+?-=-=， ∴

()()

0y f x x f x x

x ?+?-=

=??，

∴0

'lim

lim 00x x y y x

?→?→?===?。

（2）()()y f x x f x x x x x ?=+?-=+?-=?， ∴

1y x x

??==??， ∴0

'lim

lim 11x x y y x

?→?→?===?。

（3）222

()()()2()y f x x f x x x x x x x ?=+?-=+?-=??+?， ∴2

2()

2y x x x x x x

???+?==+???，

∴0

'lim

lim (2)2x x y y x x x x

?→?→?==+?=?。

（4）11()()y f x x f x x x

?=+?-=

+?()()x x x x x x x

x x x

--?-?=

+??+??，

∴

1()y x

x x x ?=-

?+??，

∴2

11'lim

lim

()x x y y x

x x x

?→?→?-===-

?+??。

例3、求曲线y=x 3+2x 在x=1处的切线方程.

思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x 3

+2x 在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.

解析：设3()2f x x x =+.

(1)(1)

'(1)lim

x f x f f x

?→+?-=?33

(1)2(1)(121)

lim

x x x x

?→+?++?-+?=?

[()35]

lim

x x x x x

?→??+?+=?2

lim [()35]x x x ?→=?+?+5=

由f(1)=3，故切点为（1，3），

切线方程为y ―3=5(x ―1)，即y=5x ―2.

总结升华: 求函数()y f x =图像上点P 00(,)x y 处的切线方程的求解步骤：

① 求出导函数在0x x =处的导数0'()f x （即过点P 的切线的斜率）， ② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：

【变式】在曲线y=x 2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x ―5；（2）垂直于直线2x ―6y+5=0；（3）与x 轴成135°的倾斜角。【答案】2

()()

()'()lim

lim

2x x f x x f x x x x

f x x x

?→?→+?-+?-===??，

设所求切点坐标为P （x 0，y 0），则切线斜率为k=2x 0

（1）因为切线与直线y=4x ―5平行，所以2x 0=4，x 0=2，y 0=4，即P （2，4）。

（2）因为切线与直线2x ―6y+5=0垂直，所以01213

x ?=-，得032

x =-

，094

y =

，

即39

(,)24

P -

。（3）因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x 0=―1，得012

x =-，014

y =

，

即11

(,)24

P -

。

例4．已知函数()f x 可导，若(1)3f =，'(1)3f =，求2

()3lim

x f x x →--

解析：2

()3()3lim

lim[

(1)]1

x x f x f x x x x →→--=?+-- （(1)3f =）

()(1)

lim[

(1)]1x f x f x x →-=?+-

221

()(1)

lim

lim (1)1

x x f x f x x →→-=?+- （令t=x 2

，x →1，t →1）

()(1)2lim

t f t f t →-=-

2'(1)236f ==?= 举一反三：

【变式】已知函数()f x 可导，若(3)2f =，'(3)2f =，求3

23()

lim 3

x x f x x →--

【答案】3

23()

(26)63()

lim

x x x f x x f x x x →→--+-=--

3[2()]

lim{2}3

x f x x →-=+-

(3)()

23lim

3x f f x x →-=+-

()(3)

23lim 3

x f x f x →-=--

23'(3)23(2)8f =-=-?-=

类型三：利用公式及运算法则求导数例5．求下列函数的导数：

（1）4

1y x

；（2）y =

（3）222log log y x x =-；（4）y=2x 3―3x 2

+5x ＋4

解析：（1）4

14'(

)'()'44y x x

----===-=-=-

（2）3

33''()'5

y x x

===

（3）∵2

222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2

y x x ==

（4）322

'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+

总结升华：

①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.

举一反三：

【变式】求下列函数的导数：

（1）y = （2）2

2sin

(12cos

x x y =--

（3）y=6x 3

―4x 2

+9x ―6 【答案】

（1）3

3'('()'2

y x x -====

（2）2

2sin

(12cos

x x y =--2

2sin (2cos

1)2

x x =-2sin

cos

sin 2

x x x ==

∴'cos y x =.

（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889y x x x x x =-+-=-+ 例6．求下列各函数的导函数

（1）2()(1)(23)f x x x =+-；（2）y=x 2

sinx;

（３）y=

1e -+x

x ；（４）y=

x x x sin cos ++

解析：

（1）法一：去掉括号后求导.

()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+

法二：利用两个函数乘积的求导法则

'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++?-

=2x(2x －3)+(x 2+1)×2

=6x 2

－6x+2

（2）y ′=（x 2）′sinx ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx

（３）2

(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)

x x x x

y ''

+--+-=

-e 2-x

（4）2

(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )

x x x x x x x x y x x ''

++-++=

)

sin ()

cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+-

cos sin sin cos x x x x x x --+--

举一反三：

【变式1】函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】D

法一： 22'[(1)]'(1)(1)(1)'y x x x x =+-++- 222(1)(1)(1)321x x x x x =+?-++=+-

∴1'|4x y ==.

法二：∵22(1)(1)(1)(1)y x x x x =+-=-+321x x x =+--

∴322'()'()''1'321y x x x x x =+--=+- ∴1'|4x y ==.

【变式2】下列函数的导数

（1）2

(1)(231)y x x x =++-；（2）3

231

x x y

=【答案】

（1）法一：13232223-++-+=x x x x x y 12522

3-++=x x x ∴26102y x x '=++

法二：)132)(1()132()1(2

2'-+++-+'+='x x x x x x y =1322

-+x x +)1(+x )34(+x 26102x x =++

（2）2

123

32-

-+-=x

x y

∴2

321

232

33---+-+

='x

x x

x y

【变式3】求下列函数的导数.

（1）2

11()y x x x

=++

；（2

）11)y =-；

（3

）y x

=【答案】

（1）321y x x -=++，∴23'32y x x -=-.

（2

）11

21)

y x

x -

=-，

∴312

11'2

y x

（3）∵33

sin y x x

x x -

-=++，

∴52

3'3()'sin (sin )'2y x x

x x x x ---=-

332sin cos 2

x x

x -

--=-

-+.

类型四：复合函数的求导例7．求下列函数导数. （1）4

1(13)

y x =

-；（2）ln(2)y x =+；

（3）21e x y +=；（4）cos(21)y x =+.

思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.

解析：（1）4

y u

-=，13u x =-.

'''()'(13)'x u x y y u u

x -=?=?-

4(3)1212(13)

u u

x --=-?-==-.

（2）ln y u =，2u x =+

∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =?=?+ 1112

u x =

（3）e u

y =，21u x =+.

∴'''(e )'(21)'u x u x y y u x =?=?+ 212e 2e u x +== （4）cos y u =，21u x =+，

∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =?=?+ 2sin 2sin(21)u x =-=-+. 总结升华：

①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；

②求复合函数的导数的方法步骤：

（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；

（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数. 举一反三：

【变式1】求下列函数的导数： (1)82)21(x y +=；（2）

y =

（3）y=ln （x ＋21x +）；（4）()(cos sin )x f x e x x -=+ 【答案】

(1)令212u x =+,8u y =,

.)21(3248)21()(7

x x x u x u u y y x

u x +=?='+'=''='∴ （2）令,,31

u y x x u =+=

.31131)31

1(31

)()(32

231

3232

???

?+???

? ??+=+?='+?'='∴--

x x x x u x x

u y x （

3）''y x

（4）'()()'(cos sin )(cos sin )'x

f x e x x x e

x x --=?-++?+

(cos sin )(sin cos )x

e x x e x x --=-++-+ (sin cos cos sin )x

e x x x x -=-+-- (2sin )x

x -=-

2sin x e x -=-?

类型五：求曲线的切线方程

例8．求曲线y=x 3

+2x 在x=1处的切线方程. 解析：2'32y x =+，

1'|3125x y ==?+=

x=1时，y=3，

∴切点为（1，3），切线斜率为5 切线方程为y ―3=5(x ―1)，即y=5x ―2.

总结升华: 求函数()y f x =图像上点P 00(,)x y 处的切线方程的求解步骤：

③ 求出函数()y f x =的导函数'()y f x =

④ 求出导函数在0x x =处的导数0'()f x （即过点P 的切线的斜率）， ⑤ 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线1y x =在点1

(,2)2

处的切线的斜率，并写出切线方程.

解析：∵2

'()'y x x

==-

∴切线的斜率12

4x k y =

==-.

∴切线方程为124()2

y x -=--

，即440x y +-=.

【变式2】已知(1,1)P -，(2,4)Q 是曲线2

y x =上的两点，则与直线PQ 平行的曲线2

y x =的切线方程是________.

【答案】2

y x =的导数为'2y x =.

设切点00(,)M x y ，则0

0'|2x x y x ==.

∵PQ 的斜率41121

P Q k -=

=+，又切线平行于PQ ，

∴0

0'|21x x k y x ====，∴012

x =

，∴切点11

(,)24

M ，

∴切线方程为114

y x -

，即4410x y --=.

【变式3】已知曲线3

:C y x =.

（1）求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；

（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？

【答案】

（1）将1x =代入曲线C 的方程得1y =，∴切点(1,1)P .

∵2'3y x =，∴1'|3x y ==.

∴过点P 的切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.

（2）由3

y x y x

=-??

=?可得2(1)(2)0x x x -+-=，解得1x =或2x =-. 从而求得公共点为(1,1)P ，或(2,8)P --.

∴切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点.

例9．已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥. （1）求直线2l 的方程；

（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积. 解析：

（1）'21y x =+，1'|2113x y ==?+=

直线1l 的方程为33y x =-.

设直线2l 过曲线22y x x =+-上的点2(,2)B b b b +-，

则2l 的方程为2

2)(21)y b b b x b -+-=+-（（），即2

(21)2y b x b =+--. 因为12l l ⊥，则有1213

b +=-，23

b =-

所以直线2l 的方程为12239

y x =-

（2）解方程组33,122,

39y x y x =-???=--??

得1,65.2x y ?

=???=-?

所以直线1l 和2l 的交点坐标为15

(,)62

1l 、2l 与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、22(,0)3-

，

所以所求三角形的面积为1255125||2

S =?

举一反三：

【变式1】如果曲线103

-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程

【答案】2'31y x =+

设切点坐标为00(,)M x y ∴切线在点M 的斜率为0

0(31)

31x x x y x x ='

=+=+

切线与直线34+=x y 平行，斜率为4

∴41320=+x ，∴10±=x ???-==8100y x 或??

?-=-=12

00y x ∴切点为（1，-8）或（-1，-12）

切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y 即124-=x y 或84-=x y

【变式2】曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为________.

【答案】由题意，切线的斜率为2

1'|313x y ==?=，

∴切线方程为13(1)y x -=-，

与x 轴交点为2

(,0)3，直线2x =的交点为（2，4），

∴128|2|42

S =

【变式3】曲线2e cos 3x

y x =在（0，1）处的切线与l l 的方程.

【答案】由题意知，22'(e )'cos 3e (cos 3)'x

y x x =+ 222e cos 3(3)'(sin 3)e

x x x =+-?

222e

cos 33e

sin 3x

x x =-

∴曲线在（0，1）处的切线的斜率0'|2x k y === ∴该切线方程为1221y x y x -=?=+ 设l 的方程为2y x m =+，

则|1|

m d -==

解得4

m=.

m=-，或6

当4

m=-时，l的方程为24

=-；

y x

当6

m=时，l的方程为26

y x

综上可知，l的方程为24

=+.

y x

=-或26

y x

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则（1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

导数典型例题.doc

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等，考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='．导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

导数的概念与计算练习题带答案

导数的概念与计算练习题带答案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-

导数复习经典例题分类(含答案)说课讲解

导数复习经典例题分类（含答案）

导数解答题题型分类之拓展篇(一) 编制：王平审阅：朱成2014-05-31 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立; 经验1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4; 1 例「已知函数f(x) 3 x 3 bx 2 2x a，x 2是f (x)的一个极值点. (I)求f(x)的单调递增区间；(U)若当围. 2 2 x [1, 3]时，f (x) a —恒成立，求a的取值范 3 2x 例 2.设 f (x) , g(x) ax 5 2a(a 0)。 x 1 (1)求f(x)在x [0,1]上的值域； (2)若对于任意人[0,1]，总存在x0 [0,1],使得g(x。)f(xj成立，求a的取值范围

_ 3 2 例3.已知函数f(x) x ax 图象上一点P(1,b)的切线斜率为 3 , (t 1)x 3 (t 0) (U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域; ax 3 2ax 2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是 (U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值 x 3 2J10 例5.已知函数f (x) -y 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 ----------- ，函数 a 5 (、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3. a (1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式； (2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实数m 的 g(x) (I)求a,b 的值; (川)当x ［1,4］时，不等式f (x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围例4.已知定义在R 上的函数f(x) —11. (I)求函数f(x)的解析式; 范围?

导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5