计数原理专题训练
计数原理专题训练
1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )
A ．48种
B ．72种
C ．96种
D ．216种
2．二项式? ??
???x ＋
12x n 的展开式前三项系数成等差数列，则n 等于( )
A ．6
B ．8
C ．7
D ．9
3．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中
A ，
B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则
不同的试种方法数为( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
4．岳阳高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( ) A ．24种 B ．36种 C ．42种 D ．60种
5．二项式?
??
??
3x ＋
1
3
x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
6．若二项式(3－x )n ()
n ∈N *展开式中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则b a ＋a
b
的最小值为( )
A ．2 B.52 C.136 D.9
2
7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2等于( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．56
8．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )
A ．16种
B ．18种
C ．20种
D ．24种 9．在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2的系数是( ) A ．220 B ．165 C ．66 D ．55
10．若(x 2＋2)
? ??
??
1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C ．±
2 D ．±2
11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( ) A ．540 B ．300 C ．180 D ．150 12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，
要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( )
A ．96
B ．72
C ．48
D ．24
13．一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答)
14．多项式? ??
??
2＋1x ()2＋x 5的展开式中，含x 2的项的系数是________；常数项是________．
15．若(1－2x )2 018＝a
0＋a 1x ＋…＋a 2 018
x 2 018(x ∈R)，则
a 12
＋a 2
22＋…＋a 2 018
2
2 018的值为________．
16．(2x－1)n展开式中二项式系数的
计数原理专题训练答案
1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )
A ．48种
B ．72种
C ．96种
D ．216种 答案 C
解析 按照以下顺序涂色，
A ：C 14→
B ：
C 13→
D ：C 12→C ：C 12→
E ：C 11→
F ：C 12，
所以由分步乘法计数原理得总的方案数为
C 14·C 13·C 12·C 12·C 12＝96.
2．二项式? ??
?
??x ＋
12x n 的展开式前三项系数成等差数列，则n 等于( )
A ．6
B ．8
C ．7
D ．9
答案 B
解析 展开式的通项为T k ＋1＝? ??
??12k C k n 32
k n x
－， 其前三项的系数分别是1，n 2，1
4
C 2n ，
据已知得n ＝1＋
n n －1
8
，
解得n ＝8(n ＝1舍弃)．
3．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中
A ，
B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则
不同的试种方法数为( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48 答案 B
解析 因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4， 所以一共有4A 33＝24(种)试种方法．
4．岳阳高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( ) A ．24种 B ．36种 C ．42种 D ．60种 答案 D
解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站，
则有A 33
＝6(种)； 若三名同学从2个不同的检票通道口进站，
则有C 23C 23A 22A 22
＝36(种)；
若三名同学从1个不同的检票通道口进站，
则有C 13A 33
＝18(种)． 综上，这3个同学的不同进站方式有60种．
5．二项式?
??
??
3x ＋
1
3
x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3 答案 A
解析
二项式?
??
??
3x ＋
1
3
x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n ＝20， ?
??
??3x ＋
1
3
x 20展开式的通项为
T k ＋1
＝C k 20
()3x 20－
k ? ??
??
13
x k ＝()
320－k C k
204203
k
x
－，
展开式的有理项满足20－4
3k (k ∈N)的值为整数，
据此可得，k 可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个．
6．若二项式(3－x )n ()
n ∈N *展开式中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为
b ，则b a ＋a
b
的最小值为( )
A ．2 B.52 C.136 D.9
2
答案 B
解析 令x ＝1，可得二项式(3－x )n (n ∈N *)展开式中所有项的系数之和为a ＝2n ，令x ＝－1，
可得(3－x )n 展开式中所有项的系数的绝对值之和为 b ＝4n ，则
b a ＋a b ＝4n 2n ＋2n
4n ＝2n ＋1
2
n ，故当n ＝1时，b a ＋a
b 取得最小值5
2
.
7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2等于( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．56 答案 B
解析 (2x －1)4＝[]1＋2x －1
4
，
故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，
所以a 2＝4C 24＝24.
8．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )
A ．16种
B ．18种
C ．20种
D ．24种 答案 C
解析 任意相邻两天组合一起，
包括①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，一共有6种情况， 若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，
若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，
故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种)． 9．在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2的系数是( ) A ．220 B ．165 C ．66 D ．55 答案 A
解析 展开式中x 2的系数为
C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 211，
由组合数的性质得，
C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 211 ＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 211 ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 211
… ＝C 312＝
12×11×10
3×2×1
＝220.
10．若(x 2＋2)? ??
??
1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为( ) A.
2 B ．2 C ．±
2 D ．±2
答案 C
解析
(x 2＋2)
? ????1x 2－mx 5展开式中x 2项是由? ??
??
1x 2－mx 5展开式中常数项与()x 2＋2的二次项
之积和? ????1x 2－mx 5展开式中二次项与()x 2＋2的常数项之积组成的． ∵? ??
??
1x 2－mx 5的展开式的通项为 T k ＋1
＝C k 5·
? ??
??
1x 25－k ·(－mx )k ＝(－m )k C k 5x 3k －10， 令3k －10＝0，解得k ＝10
3，不合题意，应舍去；
令3k －10＝2，解得k ＝4， ∴(x 2＋2)
? ??
??
1x 2－mx 5的展开式中x 2项的系数为2·(－m )4C 45＝40，即m 4＝4，
解得m ＝±
2.
11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( ) A ．540 B ．300 C ．180 D ．150 答案 D
解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，
分成1,1,3时，有C 35·A 33种分法； 分成2,2,1时，有C 25·C 23
A 22
·A 33
种分法， 由分类加法计数原理得，
共有C 35·A 33
＋C 25·C 23
A 22
·A 33＝150(种)不同的分法．
12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( )
A ．96
B ．72
C ．48
D ．24 答案 C
解析 第一类，先选择一个小品插入到2个歌曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形
成了5个空，将相声插入其中一个，故有A 22A 12A 12A 15＝40(种)；第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两边，有A 22A 22＝4(种)；第三类，相声插入小品之间，再把歌曲插入小品两边，有A 22A 22
＝4(种)，根据分类加法计数原理可得，共有40＋4＋4＝48(种)． 13．一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答) 答案 36
解析 根据题意，分2步完成：
①将3名女生全排列，有A 33＝6(种)顺序，
②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这3个空位中任选2个，安排2名男生，有A 23＝6(种)情况， 则有6×6＝36(种)符合题意的排序方式．
14．多项式? ??
??
2＋1x ()2＋x 5的展开式中，含x 2的项的系数是________；常数项是________．
答案 200 144 解析 根据题意，()
2＋x
5的展开式的通项为
T k ＋1＝C k 52
5－k ·x k . ∴当k ＝2时，有T 3＝C 2523·x 2＝80x 2； 当k ＝3时，有T 4＝C 35
22·x 3＝40x 3； 当k ＝0时，有T 1＝C 05
25·x 0＝32； 当k ＝1时，有T 2＝C 15
24·x 1＝80x . ∴多项式? ??
??
2＋1x ()2＋x 5的展开式中，
含
x 2的项为2×80x 2＋
1
x
·40x 3＝200x 2，
即含x 2的项的系数是200； 常数项是2×32＋1
x
·80x ＝144.
15．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R)，则
a 12
＋a 2
22＋…＋a 2 018
2
2 018的值为________． 答案 －1
解析 在(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R)中，
令x ＝0时，可得(1－2×0)2 018＝a 0，即a 0＝1， 令x ＝1
2
时，
可得?
????1－2×122 018＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 018
22 018， 即a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 018
22 018＝0， 又a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 018
2
2 018＝－1.
16．(2x －1)n 展开式中二项式系数的和为32，则(2x 2＋x －1)n 展开式中x 3的系数为________． 答案 －30
解析 由(2x －1)n 展开式中二项式系数的和为32，可得2n ＝32，解得n ＝5，(2x 2＋x －1)5＝(x ＋1)5(2x －1)5，
根据二项式定理可以求得(x ＋1)5的展开式中，
三次项、二次项、一次项的系数和常数项分别是10,10,5,1， (2x －1)5的展开式中，
常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是－1,10，－40,80， 所以展开式中x 3项的系数为－10＋100－200＋80＝－30.
专题10 计数原理(解析版)
专题10 计数原理 【要点提炼】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 4.排列与组合的概念 5.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 6.排列数、组合数的公式及性质
考向一计数原理 考向一分类加法计数原理的应用 【典例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法. (2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________. 解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法. (2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1. 若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4； 若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3； 若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案(1)12(2)13 规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本典例(2)中易漏a＝0这一类. 考向二分步乘法计数原理的应用 【典例2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________. (2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有
2017年高考概率与统计、计数原理专题分析
概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分.
计数原理专题拓展版答案解析
计数原理专题拓展版答案解析 第1题答案 B 第1题解析 由题意可知，这名教师去个地区有两种情况，一是甲、丙和另外一人（不是乙）共同去一地，另外名教师分别去一个地区，有中不同的方法；二是有两个地区去人（甲、丙已经确定一组），另外一 个地区去人，有种不同的方法，所以共有种方案． 第2题答案 C 第2题解析 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有种不同的分配方法。则满足条件的不同的分配方案有（种）。 第3题答案 D 第3题解析 若不含有红球，则有种不同取法；若含有一个红球，则有种不同取法，则共有． 第4题答案 D 第4题解析 首先将黑球和白球排列好,再插入红球. 情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入个球组成的个空中即可,因此共有种; 情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”、“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同的颜色的球之中,共种,综上所述,共有 种. 第5题答案 B 第5题解析 ∵有个元素,则由到上的一一映射中,分两步:先挑出个数字 和自身对应共有种方法,剩余三个元素都不与自身对应共有种对应方式,所以,有个数字和自身对应 的映射个数是种.
第6题答案 A 第6题解析 ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含的有个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有个的有个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有个的有个． 故共有符合条件的点的个数为个，故选A. 第7题答案 C 第7题解析 要求个数的和为奇数，则当个数都为奇数时，有种取法，两个偶数一个数时，共有种取法． 第8题答案 C 第8题解析 根据题意,把位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素,和剩下的一位女生, 插入到位男生全排列后形成的个空中的个空中, 故有种,故选:C . 第9题答案 C 第9题解析 第一步分步：由题意把8人可分为以下三组，分组的种数为 第二步，分配，每一种分法都有种，根据分步计数原理，共有种． 第10题答案 B 第10题解析 根据题意,有且只有个盒子的编号与放入的小球编号相同, 在六个盒子中任选个,放入与其编号相同的小球,有种选法,剩下的个盒子的编号与放入的小球编号不相同,假设这个盒子的编号为,,, ,则号小球可以放进,,号盒子,有种选法,设放入号盒子,则号球可放进,,号盒子,有种选法,,号球只有一种选法,所以恰好有个小球的标号与盒子的编号相同,则不同的放法种数为: 种放法. 第11题答案 B 第11题解析
第1讲 计数原理(专题测试)(解析版)
选修2-3 第1讲计数原理（专题测试） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2020?金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（） A．6种B．24种C．36种D．42种 【解析】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有A42种，在把2个报道的频道选1个有A21种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有A42?A21＝24种．故选：B． 【点睛】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题．2．（2019秋?东城区期末）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（） A．12条B．15条C．18条D．72条 【解析】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12种， 根据分类计数原理可得，共有6+12＝18种， 故从甲地到丁地共有18条不同的路线． 故选：C． 【点睛】本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题． 3．（2020?资阳模拟）桂林漓江主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山，小张一家人随机从这6个景点中选取2个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为（）A．B．C．D．
【解析】解：因为从6个不同景点任选2个的选法有C＝15种，不去七星岩和叠彩山的选法有C＝6种． 则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率P＝＝． 故选：D． 【点睛】本题考查利用组合数公式求概率，属于基础题． 4．（2020春?邢台期中）包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（） A．240种B．252种C．264种D．288种 【解析】解：先排甲、乙、丙外的4人，有种排法，再排甲、乙2人，有两类方法： 一类是甲、乙2人插空，又甲不排在乙的左边，则甲乙插空时顺序已定，可用组合，最后丙排在中间，位置已定． 故有A C A＝240不同的站法； 另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有＝24种不同的站法， 所以共有240+24＝264种不同的站法． 故选：C． 【点睛】本题考查排列组合的应用，本题运用插空法，捆绑法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．5．（2020春?浙江期中）现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有（）A．1440种B．1400种C．1320种D．1200种 【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，则甲乙的安排方法有12﹣2＝10种； ②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种情况， 则有10×120＝1200种安排方法； 故选：D． 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 6．（2020?抚顺一模）把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不
计数原理专题训练
计数原理专题训练 1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( ) A ．48种 B ．72种 C ．96种 D ．216种 2．二项式? ?? ???x ＋ 12x n 的展开式前三项系数成等差数列，则n 等于( ) A ．6 B ．8 C ．7 D ．9 3．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中 A ， B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则 不同的试种方法数为( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 4．岳阳高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( ) A ．24种 B ．36种 C ．42种 D ．60种
5．二项式? ?? ?? 3x ＋ 1 3 x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( ) A ．7 B ．5 C ．4 D ．3 6．若二项式(3－x )n () n ∈N *展开式中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则b a ＋a b 的最小值为( ) A ．2 B.52 C.136 D.9 2 7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2等于( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．56 8．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( ) A ．16种 B ．18种 C ．20种 D ．24种 9．在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2的系数是( ) A ．220 B ．165 C ．66 D ．55 10．若(x 2＋2) ? ?? ?? 1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C ．± 2 D ．±2 11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( ) A ．540 B ．300 C ．180 D ．150 12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，
专题47两个基本计数原理知识点
1．两个计数原理 分类加法计数原理分步乘法计数原理 条 件 完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结 论 完成这件事共有N m n =+种不同的方法完成这件事共有N m n =?种不同的方法 【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理． 2．两个计数原理的区别与联系 原理分类加法计数原理分步乘法计数原理 联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、 一次的，且每次得到的是最后结果，只需一 种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都 不能独立完成这件事，缺少任何一步也不 可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复 也不能遗漏 1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种 C．54种D．720种 2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示： A大学B大学 生物学数学 化学会计学 医学信息技术学 物理学法学
工程学 如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有 A．4种B．5种 C．9种D．20种 3．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有 A．8种B．12种 C．16种D．20种 4．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有 A．30种B．80种 C．96种D．960种 5．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有 A．510种B．105种 C．50种D．以上都不对 6．(2013年高考山东卷) 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A．243 B．252 C．261 D．279
专题47 两个基本计数原理知识点
1 ．两个计数原理 分类加法计数原理分步乘法计数原理 条 件 完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结 论 完成这件事共有N m n =+种不同的方法完成这件事共有N m n =?种不同的方法 【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则 就分步处理． 2．两个计数原理的区别与联系 原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、 一次的，且每次得到的是最后结果，只需一 种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都 不能独立完成这件事，缺少任何一步也不 可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种 C．54种D．720种 2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示： A大学B大学
生物学数学 化学会计学 医学信息技术学 物理学法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有 A．4种B．5种 C．9种D．20种 3．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有 A．8种B．12种 C．16种D．20种 4．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有 A．30种B．80种 C．96种D．960种 5．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有A．510种B．105种 C．50种D．以上都不对 6．(2013年高考山东卷)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A．243 B．252 C．261 D．279
高考理科数学专题十 计数原理第三十讲 排列与组合
专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每 个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同 的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安 排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的 2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加 公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A ．60 B ．90 C ．120 D ．130
计数原理(解析版)
专题13 计数原理 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 【答案】A 【解析】由题意得x 3的系数为31 44C 2C 4812+=+=，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9 )x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项 的个数是__________． 【答案】 5 【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==L ，当0r =时，可得常数项为 0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故 答案为：5． 【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确． 3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N L ．已知2 3242a a a =． （1）求n 的值； （2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值． 【答案】（1）5n =；（2）32-． 【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥L ，， 所以2 323(1)(1)(2) C ,C 26 n n n n n n n a a ---== ==， 44(1)(2)(3) C 24 n n n n n a ---==． 因为2 3242a a a =， 所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3) [ ]26224 n n n n n n n n n ------=??， 解得5n =． （2）由（1）知，5n =．
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题附答案
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考复习知识点(1) 一、选择题 1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ． 827 B ． 56 C ． 23 D ． 13 【答案】D 【解析】 【分析】 列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】 以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种， 其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个， 因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163 =. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题. 2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数 (),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ?0.8585.71y x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】 根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】 因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；
专题十 计数原理第三十讲 排列与组合答案
专题十 计数原理第三十讲排列与组合 答案部分 1．C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有210C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15 ==P ，故选C ．2．D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有2 4C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36?=种．故选D ． 3．C 【解析】不放回的抽取2次有1198C C 9872=?= ，如图可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有11542C C =40，所求概率为405728 =．4．B 【解析】由题意可知E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318?=种走法，故选B ． 5．D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有13A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有4 4A 种方法，所以其中奇数的个数为1434A A 72=，故选D ． 6．B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ?个；若万位上排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个，选B ．7．D 【解析】4422728 P -==．8．D 【解析】易知12345||||||||||x x x x x ++++=1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：
计数原理专题
计数原理专题 [考情考向分析] 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注． 热点一两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1 (1) 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( ) A．120种B．156种 (2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( ) A．9 B．10 C．11 D．12 思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
跟踪演练1 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A．18种B．24种 C．36种D．48种 (2)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( ) A.9种B．18种 C．12种D．36种 热点二排列与组合 例2 (1)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有( ) A．240种B．480种 C．720种D．960种 (2)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( ) A．25种 B．60种 C．90种 D．150种 跟踪演练2 (1)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有________种． (2)郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( ) A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 热点三二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n，其中各项的系数C k n(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第k＋1项T k＋1＝C k n a n－k b k(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式．
高考数学真题专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理答案
x x 5 5 5 n n 专题十 计数原理 第三十一讲 二项 式定理答案部分 1. C 【解析】T = r 2 5-r 2 r = C r 2r x 10-3r ，由10 - 3r = 4 ，得 r = 2 ，所以 x 4 的系 r +1 C 5 (x ) ( ) x 5 数为C 2 ? 22 = 40 ．故选 C ． 2. C 【解析】(1+ 1 )(1+ x )6 展开式中含 x 2 的项为1?C 2 x 2 + 1 ?C 4 x 4 = 30x 2 ，故 x 2 前系 x 2 数为 30，选 C ． 3. C 【解析】(2x - y )5 的展开式的通项公式为： T 6 x 2 6 = C r (2x )5-r (-y )r ， r +1 5 当 r = 3 时， x (2x - y )5 展开式中 x 3 y 3 的系数为C 3 ? 22 ?(-1)3 = -40 ， 当 r = 2 时， y (2x - y )5 展开式中 x 3 y 3 的系数为C 2 ? 23 ?(-1)2 = 80 ， 所以 x 3 y 3 的系数为80 - 40 = 40 ．选C ． 4．A 【解析】通项T = C r x 6-r i r (r = 0,1, 2,???,6) ，令 r = 2 ，得含 x 4 的项为C 2 x 4i 2 = -15x 4 ， r +1 6 6 故选A ． 5．D 【解析】因为(1+ x )n 的展开式中的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以C 3 = C 7 ， 解得n = 10 ，所以二项式(1 + x )10 的展开式中奇数项的二项式系数和为 1 ? 210 = 29 ． 2 6．C 【解析】由(x +1)n = (1+ x )n = 1+ C 1 x + C 2 x 2 +???+ C n x n ，知C 2 = 15 ， n n n n ∴ n (n -1) = 15 ，解得n = 6 或n = -5 (舍去)，故选 C ． 2 7．D 【解析】T 5 -r = C r (-1)r a r x 2 ，令 r = 1 ，可得-5a = 30 ? a = -6 ，故选 D ． r +1 5 8．C 【解析】由题意知 f (3, 0) = C 3 C 0 ， f (2,1) = C 2 C 1 ， f (1, 2) = C 1 C 2 ， f (0,3) = C 0 C 3 ， 6 4 6 4 6 4 6 4 因此 f (3, 0) + f (2,1) + f (1, 2) + f (0,3) =120 ． 9. A 【解析】由二项展开式的通项可得，第四项T = 3 1 2 -2 y ) 3 = -20x 2 y 3 ，故 x 2 y 3 的系数为－20，选 A ． 1 4 n - 5 r C 5 ( 2 x ) ( 5 10. B 【解析】通项 C r (3x ) n -r ( )r = C r 3n -r x 2 ，常数项满足条件n = r ，所以r = 2 n n 2
高考专题练习 计数原理 含答案
重点难点突破（选修模块） 专题二计数原理、概率 第1讲计数原理 (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．(1－3x)5的展开式中x3的系数为()．A．－270B．－90 C．90D．270 解析(1－3x)5的展开式通项为T r ＝C r5(－3)r x r(0≤r≤5，r∈N)，当r＝3时， ＋1 该项为T4＝C35(－3)3x3＝－270x3，故可得x3的系数为－270. 答案 A 2．(2020·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()． A．－4B．－3 C．－2D．－1 解析(1＋ax)(1＋x)5中含x2的项为：(C25＋C15a)x2，即C25＋C15a＝5，即10＋5a＝5，解得a＝－1. 答案 D 3．(2020·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ()． A．11种B．20种 C．21种D．12种 解析当第一组开关有一个接通时，电路接通为C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式； 当第一组有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.
4．(2020·长春一模)高三某班6名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有 ( )． A ．120 B ．240 C ．360 D ．480 解析 先将其他4名同学排好有A 44种方法，然后将甲、乙两名同学插空，又 甲、乙两人顺序一定且不相邻，有C 2 5种方法，所以共有A 44·C 25＝240种排法． 答案 B 5．(2020·丽水模拟)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )． A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种 解析 从7人中选4人共有C 47＝35种方法，又4名全是男生的选法有C 44＝1 种．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34. 答案 D 6．(2020·金华调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3 ＋a 5的值为 ( )． A ．122 B ．123 C ．243 D ．244 解析 在已知等式中分别取x ＝0、x ＝1与x ＝－1，得a 0＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，因此有2(a 1＋a 3＋a 5)＝35＋1＝244，a 1＋a 3＋a 5＝122，a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123，故选B. 答案 B 7．(2020·郑州质检)在二项式? ????x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32， 则展开式中各项系数的和为 ( )． A ．32 B ．－32 C ．0 D ．1 解析 依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于? ? ? ??12－115＝0，选C.
专题01 两个计数原理(解析版)
专题1 两个计数原理 类型一、加法原理 【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种． 【解析】18+38=56． 【例2】若a 、b 是正整数，且6a b ≤，则以()a b ，为坐标的点共有多少个？ 【解析】66=36． 【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法， 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有98172 根据分类计数原理知共有25672 328 故选：B ． 【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【解析】由题意知本题需要分步计数，
2和4排在末位时，共有1 2 2A 种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3 4 432 24A 种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448（个)． 故选：C ． 【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数． 【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位 数字是0,1之一时，有11 2 36A A 个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 类型二、乘法原理 【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出， 则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有44 16种 【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论： 第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法， 同理第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法， 根据分步计数原理知共有即44464不同的放法， 故答案为：64． 【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种． 【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ， 故答案为120． 【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调
高考数学复习总结专题18 计数原理 (解析版)
计数原理 y 2 1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】(x )(x y)5 的展开式中 x 3y 3 的系数为（ ） x A. 5 B. 10 D. 20 C. 15 【答案】C 【解析】 【分析】 y 2 求得 (x y) 5 展开式的通项公式为 T C 5 r x 5r y r （ r N 且 r 5），即可求得 x 与 (x y) 展开式 5 r 1 x 的乘积为C r 5 x 6r y r 或C r 5 x 4r y r 2 形式，对 分别赋值为 3，1 即可求得 r x 3 y 3 的系数，问题得解. 5 展开式的通项公式为 【详解】 (x y) T C r 1 r 5 x 5r y r （ r N 且 r 5） y 2 x 5 所以 的各项与 (x y) 展开式的通项的乘积可表示为： x y 2 y 2 xT xC r 5 x 5r y r C 5 r x 6r y r T C 5 r x 5r y r C 5 r x 4r y r 2 和 r 1 r 1 x x xT C r 5 x 6r y r r 3，可得： xT C x 3 5 3 y 3 x 3 y 的系数为10， 3 在 在 中，令 ，该项中 r 1 4 y 2 y 2 T C r x 4r y r 2 中，令 r 1，可得： T C 1 5 x y 3 ，该项中 3 3 x y 3 的系数为5 r 1 5 2 x x 3 x y 3 的系数为10 5 15 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题. 2. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4 的展开式中 x 3 的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 【答案】A 【解析】由题意得 x 3 的系数为 C 3 4 2C 4 1 4 8 12 ，故选 A ． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
《计数原理》专题高考题
专题十八 计数原理 1.（15北京理科）在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 试题分析：利用通项公式，5152r r r r T C x -+=?，令3r =，得出3x 的系数为 325240C ?= 考点：二项式定理 2.（15年广东理科）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。 从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B. C. D. 【答案】． 【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以恰好个白球个红球的概率为，故选． 【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题． 3.（15年广东理科）在的展开式中，的系数为 【答案】． 【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入． 【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题． 4.（15年广东理科）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言， 2111211021 5B 2215105C =111110550C C =115010=10521B 4)1(-x x 6()()44214411r r r r r r r T C C x --+=-=-412r -=2r =x ()22416C -=640
那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】． 【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全 班共写了条毕业留言，故应填入． 【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题． 5.（15年福建理科） 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】 【解析】 试题分析： 的展开式中项为，所以的系数等于． 考点：二项式定理． （10）6.（15年新课标1理科） 的展开式中，y 2的系数为 （A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）60 【答案】A 【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其 余因式取y,故的系数为=30，故选 A. 7.（15年新课标2理科） 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则__________． 【答案】 【解析】由已知得 ，故的展开式中x 的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得． 8.（15年陕西理科）二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 15604024040391560A =?=1560()5 2x +2x 80()5 2x +2x 2325280C x =2x 8025()x x y ++2 x x 52x y 212532C C C (1)()n x n N ++∈2x n =