一次函数详细讲义

1变量和函数

一、变量

1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.

2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。

注意：

（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；

（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量

二、函数

1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：

①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。

②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。

③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系

④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．

⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取

值可以相同．例如:函数

2

(3)

y x

=-中，2

x=时，1

y=；4

x=时，1

y=．

2.函数的三种表示形式

（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．

（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤

（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程

（2）用汉字变量的式子表示函数

4确定自变量的取值范围

（1）分母不为0

（2）开平方时，被开方数非负性

（3）实际问题对自变量的限制。

注意：

（1）整式型：一切实数

（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．

（4）复合型：不等式组

（5）应用型：实际有意义即可

2.函数图象

一、函数图象的概念

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 注意：函数解析式与函数图象的关系

（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 二、描点法画函数图象的步骤

（1）列表； （2）描点； （3）连线．

2.1 正比例函数

1、正比例函数的定义：

一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 注意：

①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。 ②自变量x 的指数只能为1 2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数y=kx （k 为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k ）的一条直线，我们称它为直线y=kx.①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大，y 也增大； ②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 注意：

①解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） ②必过点：（0，0）、（1，k ）

③走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 ④增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 ⑤倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k ，其基本步骤是： （1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程； （3）解方程，求出待定系数k ；

（4）将求得的待定系数的值代回解析式.

2.2 一次函数

一、一次函数的定义

一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数． 注意：

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断 是否能化成以上形式．

⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑶一次函数的自变量取值范围是全体实数。

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 二、一次函数的图象及其画法

1、图象：一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．

2、画法：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，

，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ??

- ???

，，即直线与两坐标轴的交点．

注意：由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条

直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+． 三、一次函数的性质

⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小． 注意：

①一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号

一次 函数

()0k kx b k =+≠

k ，b 符号

0k >

0k <

0b >

0b <

0b =

0b >

0b <

0b =

图象

O

x y

y

x O

O

x y

y

x O

O

x y

y

x

O

性质

y 随x 的增大而增大

y 随x 的增大而减小

②字母k ，b 的作用：k 决定函数趋势，b 决定直线与y 轴交点位置，也称为截距 ③倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 ④图像的平移：

b ＞0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx ＋b b ＜0时，将直线y ＝kx 的图象向下平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx －b 口诀：“上＋下－”

将直线y ＝kx 的图象向左平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x ＋m ） 将直线y ＝kx 的图象向右平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x －m ） 口诀：“左＋右－”

⑤直线y=kx ＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx 与x 轴、y 轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx ＋b 与x 轴交点坐标为(，0)与 y 轴交点坐标为(0，b)．

四、用待定系数法求一次函数的解析式

1、定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做

待定系数法．

2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

②将x y ，

的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；

③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 注意：直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠

（3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k

3 用函数观点看方程和不等式

一、一次函数与一元一次方程的关系： 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k

-，b

k -就是

直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系：

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=b

c

x b a +-

的图象相同. （2）二元一次方程组???=+=+2

22111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c

x b a +-和y=2222b c x b a +-的图

象交点.

4 方案选择

1．生产方案的设计

例1 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件。已知生产一件A 种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

(1)要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)生产A 、B 两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，

并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

(98年河北)

解 (1)设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品是(50-x)件。由题意得

?

??≤-+≤-+290)50(103360

)50(49x x x x )2()1(

解不等式组得 30≤x ≤32。

因为x 是整数，所以x 只取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。

所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件；第二种生产方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件；第三种生产方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件。

(2)设生产A 种产品的件数是x ，则生产B 种产品的件数是50-x 。由题意得

y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x 只能取30，31，32。)

因为 -500<0, 所以 此一次函数y 随x 的增大而减小， 所以 当x=30时，y 的值最大。

因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500(元)。

本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。 2.调运方案设计

例2 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。如果从北京运往汉口、重庆

的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。求： (1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台? (2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案? (3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?

解 设上海厂运往汉口x 台，那么上海运往重庆有(4-x)台，北京厂运往汉口(6-x)台，北京厂运往重庆(4+x)台，则总运费W 关于x 的一次函数关系式：

W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x 。

(1) 当W=84(百元)时，则有76+2x=84,解得x=4。 若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台。

(2) 当W ≤82(元)，则?

??≤+≤≤822764

0x x

解得0≤x ≤3，因为x 只能取整数，所以x 只有四种可的能值：0、1、2、3。

答：若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案。

(3) 因为一次函数W=76+2x 随着x 的增大而增大，又因为0≤x ≤3，所以当x=0时，函数W=76+2x 有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低总运费是7600元。

此时的调运方案是：上海厂的4台全部运往重庆；北京厂运往汉口6台，运往重庆4台。

本题运用了函数思想得出了总运费W 与变量x 的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。并求出了最低运费价。

3． 营方案的设计

例3 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元。由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2。

表1 表2

商品

每1万元营业额

商品

每1万元营业额

所需人数

所得利润 百货类 5 百货类 0．3万元 服装类 4 服装类 0．5万元 家电类

2

家电类

0．2万元

商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元)、y(万元)、z(万元)(x,y,z 都是整数)。

(1) 请用含x 的代数式分别表示y 和z ；

(2) 若商场预计每日的总利润为C(万元)，且C 满足19≤C ≤19.7，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?

解 (1)由题意得???=++=++190

24560z y x z y x ，解得 .225,2335x

z x y +=-=

(2) C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

因为 19≤C ≤19.7， 所以 9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得 8≤x ≤10。 因为 x,y,z 是正整，且x 为偶数，所以 x=8或10。

当x=8时，y=23,z=29，售货员分别为40人，92人，58人； 当x=10时，y=20,z=30，售货员分别为50人，80人，60人。

本题是运用方程组的知识，求出了用x 的代数式表示y 、z ，再运用不等式和一次函数等知识解决经营调配方案设计问题。

4．优惠方案的设计

例4 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元。

(1)设学生数为x ，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)； (2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样； (3)就学生数x 讨论哪家旅行社更优惠。

解 (1)y 甲=120x+240, y 乙=240·60%(x+1)=144x+144。 (2)根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4。 答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多。 (3)当y 甲>y 乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4。

当y 甲4。

答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。

一、 生产方案的设计

例1 （镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两

种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．

设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩x 万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；

（２）设该厂这次生产口罩的总利润是y 万元，试写出y 关于x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；

（３）如果你是该厂厂长：

①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？

②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？

分析：（１）0.5x，0.3（5－x）；

（２）y＝0.5x＋0.3（5－x）＝0.2x＋1.5，

首先，1.8≤x≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用t天生产Ａ型，则（８－t）天生产Ｂ型，依题意，得0.6t＋0.8（８－t）＝５，解得t＝７，故x最大值只能是0.6×7＝4.2，所以x的取值范围是1.8（万只）≤x≤4.2（万只）；

（３）○1要使y取得最大值，由于y＝0.2x＋1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；

○2若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生

产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．

二、营销方案的设计

例２（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y．

（１）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：（１）由已知，得x应满足60≤x≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30x份，销售（20x＋60×10）份，可得利润0.3（20x＋60×10）＝6x＋180（元）；退回报社10（x－60）份，亏本0.5×10（x －60）＝5x－300（元），故所获利润为y＝（6x＋180）－（5x－300）＝x＋480，即y＝x＋480．自变量x的取值范围是60≤x≤100，且x为整数．

（２）因为y是x的一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值100时，y最大值为100＋480＝580（元）．

三、优惠方案的设计

例３（南通市）某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：

运输单位运输速

度（千

米／

时）

运输费

用（元

／千

米）

包装与

装卸时

间（小

时）

包装与

装卸费

用（元）

甲公司60 ６４1500

乙公司50 ８２1000

丙公司100 10 3 700

解答下列问题:

（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）；

（２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为s千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运

输公司？

分析：（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为x 千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（6x ＋1500）元，乙公司为（8x ＋1000）元，丙公司为（10x ＋700）元，依题意，得

（8x ＋1000）＋（10x ＋700）＝２×（6x ＋1500），

解得x ＝216

3

2

≈217（千米）； （２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为1y ，2y ，3y （单位：元），则

三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（60s ＋４）小时；乙（50s ＋２）小时；丙（100

s

＋３）小时．从而

1y ＝6s ＋1500＋（

60s

＋４）×300＝11s ＋2700， 2y ＝8s ＋1000＋（50s

＋２）×300＝14s ＋1600，

3y ＝10ｓ＋700＋（100s

＋３）×300＝13ｓ＋1600，

现在要选择费用最少的公司，关键是比较1y ，2y ，3y 的大小．

∵s ＞０，∴2y ＞3y 总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较1y 和3y 的大小，而1y 与3y 的大小与Ａ，Ｂ两市的距离s 的大小有关，要一一进行比较．

当1y ＞3y 时，11s ＋2700＞13s ＋1600，解得s ＜550，此时表明：当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；

当1y ＝3y 时，s ＝550，此时表明：当两市距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样； 当1y ＜3y 时，s ＞550，此时表明：当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好．

四．调运方案的设计

例４ Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?

分析：根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地x 吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费y （元）也只与x （吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立y 与x 之间的函数关系．

解：设从Ａ城运往x 吨到Ｃ地，所需总运费为y 元，则Ａ城余下的（200－x ）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－x ）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－x ）吨，Ｂ城余下的300－（220－x ）＝15（220－x ）＋22（80＋x ），

即y ＝２x ＋10060，

因为y 随x 增大而增大，故当x 取最小值时，y 的值最小．而０≤x ≤200，

故当x＝０时，y最小值＝10060（元）．

因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．