主成分分析在分析化学中的应用

主成分分析法在分析化学

中的应用

专业：应用化学

学号：200902030134

姓名：何德聪

日期：2012.06.23

主成分分析法在分析化学

中的应用

摘要：主成分分析法( Princ ipal Components Ana lysis)也称定量分析。由Ho telling 于1933 年首先提出，主要是利用降维思想,把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。这些指标是原指标的线性组合, 且彼此不相关, 它可以在力保原始数据丢失最少情况下, 对高维变量空间进行降维。随着计算机技术及其应用的发展, 作为化学计量学基础的主成分分析方法，在分析化学中应用越来越广泛。尤其在仪器分析中应用较为广泛，本文就主成分分析方法在化学分析及仪器分析中的具体应用进行综述。

关键词：主成分分析法分析化学仪器分析化学分析

1.主成分分析法

1.1主成分分析法介绍

主成分分析(principal component analysis) 是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析。由Ho telling 于1933 年首先提出, 主要是利用降维思想, 把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。这些指标是原指标的线性组合, 且彼此不相关, 它可以在力保原始数据丢失最少情况下, 对高维变量空间进行量降维［1］。由原始变量线性组合的主成分, 以揭示数据结构特征, 提取化学信息。在进行化学变量多元分析的时候，我们用多个变量去描述样本的性质，这些变量也可以称之为特征。对于复杂体系，特征数可能达到成百上千，计算量十分巨大，而且变量之间

可能存在关联，即存在冗余。使用主成分分析即可将彼此间具有关联的变量整合成少数几个综合型变量，新得到的变量间不存在关联。

1.2主成分分析的原理［2］

设P个进行综合评价的原始指标: x1, x2, ..., xp, 并假定这些指标在n 个单位之间的初始目标是将这些原始指标组合成新的相互独立的综合指标y1, y2, ..., yp, 这些综合指标表现为原始指标的线性函数:yi ∑Iijxj ( i = 1, 2, ...,p )式中, 指标yi互不相关。因为每个新指标yi 都是原始指标的线性组合。实际上, 主成分分析是将p 个原始指标的总方差分解为p 个不相关的的综合指标yi 的方差之和λ1 +λ 2 + ..., + λp, 而且使第一个综合

指标yi 的方差达到最大(贡献率最大) ;第二个综合指标y1, y2, ..., yr ( r < p ), 即包括总方差中的绝大部分信息。我们称它们为原始指标的第一, 第二, ..., 第r个主成分。即: 主成分分析法可以使原始指标的大部分方差“集中”于少数几个主成分上, 通过对这几个主成分的分析, 实现对总体的综合评价。

1．3主成分分析法分析的主要步骤

( 1) 列出指标数据矩阵X;

( 2) 计算X 的协方差矩阵S;

( 3) 计算协方差矩阵S (或相关矩阵R ) 的特征值和特征向量L (即指标X的系数) ; ( 4) 计算贡献率和累计贡献率, 并据以确定主成分(即综合指标y1 ) 的个数, 建立主成分方程;

( 5) 解释各主成分的意义, 并将各单位的原始数据代入方程中, 计算综合评价进行分析比较。2主成分分析在分析化学中的应用

2 .1主成分分析在仪器分析中的应用

2.1．1在色谱( 气相色谱和液相色谱) 分析中的应用

气相色谱在广泛应用于环境监测、农药残留量的分析、汽油、柴油等石油化工产品组成成分的分析。尤其是多维毛细管气相色谱和色谱-质谱法, 运用PCA 方法可降低快速气相色

谱-质谱法测量中低含量组分的噪音［3］。而对于汽油、柴油、农药残留量这样组成复杂的

样品分析, 鉴于分离手段和检测方法的有限, 最终得到的色谱峰中存在大量严重重叠的谱

峰难以识别。而化学计量学方法又不能适当地在复数范围内模拟从一个变量到另一个变量转换的信息, 使色谱-质谱法中保留时间的变化成为了化学计量学方法在色谱数据分析中应用的主要障碍。例如: KEVIN 采用一种化学计量学方法分析气相色谱数据保留时间校正-高速谱峰匹配运算法则, 通过保留化学选择性而减小色谱-质谱法中保留时间的变化, 以增加应用在柴油色谱中模式识别方法的效率, 得到了较好的结果［4］

AOAC在20世纪80年代就对大部分有机磷农药建立了气相色谱分析法，近年来，AOAC又对近半数的有机磷农药建立了HPLC检测法。我国食品卫生国家标准GB/T17331-1998才用的事气相色谱分析法检测有机磷农残。该法的适用范围是粮食、蔬菜中有机磷和氨基甲酸酯类农药残留的检测。基于这种方法，固定相和不同的流动相组分中, 根据理论塔板和对称因素值对色谱柱及其流出物进行分类和研究十分重要。毛细管柱的极性选择与待测物的极性相匹配。因此可以利用主成分分析方法进行评价。选择适合的分析条件。

2.1.2主成分分析方法的其他应用

随着计算机的发展及仪器制造技术的进步, 作为化学计量学基础的PCA 方法, 在各仪器分析中的应用越来越广泛, 除了在上述气液相色谱分析中的应用外, PCA 方法已逐渐被

推广到其他仪器分析的应用中。

在红外及近红外光谱中的应用，PCA 方法常被用来解析混合物的近红外光谱图［4］

从而提取所需的化学信息, 根据纯物质的物理化学性质预测混合物的物理化学性质, 鉴定官能团及分子结构PCA 方法也经常被用在傅里叶变换-红外光谱解析中。如: 研究人员将PCA 方法应用到傅里叶变换-红外光谱中, 分别测定了聚甲基丙烯酸丁酯LB(LangmuirBlodg ett) 膜玻璃化转变温度和牛的血清蛋白( BSA) 在极性溶液中的水合作用和二次结构发生转变的温度

PCA 方法是核磁共振光谱数据多变量分析中常用的运算法则, 它充分地减小了含大量相关

变量的数据的复杂性, 使计算机的效率最优化, 降低仪器噪音, 同时使小化学位移的变化

最小化, 预测复杂结构的核磁共振光谱参数, 从而分离复杂体系。PCA 方法可以同时对数据集中所有的谱进行分解,来获取它们的基本特征, 即主成分, 它不需要预先对波谱的形状等进行假定, 即不需要有关的先验知识;另一方面, MRS 数据集中, 各谱一般恰恰具有这种

共同的基本信息, 如基本的波形函数等, 所以在MRS 参数量化及校正中, PCA 方法有着独特的优势。例如: BROWN 证明, PCA 方法能够检测很小的频率和相位变化; HUFFEL 展示它有比相关法更好的幅度估计

2 .2主成分分析在化学分析中的应用

2.2.1在重量分析中的应用

重量分析方法是经典化学分析方法的一种，硅酸盐矿物和岩石的分析中，需要测定的项目比较多，经常测定的是主要成分十三项。凡是涉及硅酸盐作材料或以硅酸盐为产品的国民经济各部门和企业都要对硅酸进行分析。如对水泥、玻璃、陶瓷等硅酸盐产品及原料的分析、冶金原料中硅酸盐的分析。主成分分析有助于让我们确定主成分个数，可以将哪些类型的化学成分话分为一个主成分，了解哪些化学成分对硅酸盐石的贡献最大。例如

SiO2,Al2O3,Fe2O3,FeO,MnO,TiO2,CaO,MgO,Na2O,K2O,P2O3,H2O+,H2O-为硅酸盐的主要成分，

Cr2O3,V2O5,ZrO2,(Ce,Y)2O3,SrO,BaO,BeO,CuO,NiO,CoO,Li2O,B2O3为硅酸盐的次要成分。根据确定主要成分来进行硅酸盐分析，对次要成分的分析，通常应根据岩石鉴定、化学定性分析、光谱分析等资料，确定需要分析的项目。

2.2．2在容量分析中的应用

PCA 方法在滴定分析中应用的基本原理是将已知混合液测定数据中能代表多组分特性的有效信息, 以主成分向量形式逐步提取出来, 把代表测量误差的次要成分向量忽略, 进而建立回归形式的数学模型, 以测定试液中各组分浓度或含量。应用主成分分析法, 将电位滴定、数学计算法和计算机技术三者有机地结合在一起, 用现代数学分离法代替繁琐的化学分离或掩蔽法, 其突出优点是无需知道酸的电离常数, 也无需对电极系统进行严格校正, 只需准确测定几个pH 点所消耗滴定剂的体积即可。张传宇用PCA 方法研究了用电位滴定法直接同时测定磷酸和亚磷酸［5］。马继平采用主成分回归法同时测定油品中的铁、钴、镍、钒的含量及油品的安定性［6］张大伦将PCA 方法用于同时单点pH 络合滴定［7-8］, 讨论了方法原理, 指定了pH 值的选择, 建立了PCA 方法常数矩阵, 并用于测定EDT A 络合物稳定常数相近的金属离子混合物的各组分浓度, 获得满意结果; 他还将PCA方法用于对极弱酸碱、多组分极弱碱混合试样的pH 值滴定进行了研究, 并将PCA 用于pM 滴定及单点R 滴定［9-12］.

3参考文献

[ 1] 何晓群. 现代统计分析方法与应用[M ] . 北京: 中国人民大学出版社, 2003 .

[ 2] 刘永才. 统计分析中主成分分析法与应用[ J ]. 电工理工,2005, ( 2) .

[ 3] ST AT HEROPOUL OS M . Noise reducti on of f as t, r epet it iveGC/ MS measu rement s us ing principal componen t analysis( PCA) [ J] . Analyt ica C himica Act a, 1999, 401: 35-43.

[ 4] 任玉林, 逮家辉, 郭晔, 等. 近红外漫反射光谱的主成分分析[ J ] . 光谱学与光谱分析, 1996, 16( 6) : 31- 35.

[ 5] 张传宇. 同时直接测定磷酸与亚磷酸的研究[ J] . 化学工程师,2000, 79( 4) : 62-64 [ 6] 马继平. 主成分回归法同时测定油品中铁钴镍钒[ J ] . 理化检验-化学分册, 1999, 35( 9) : 36- 38.

[ 7] 张大伦. 主成分分析同时测定多组分金属离子[ J ] . 化学分析计量, 1999, 8( 4) : 16-18

[ 8] 张大伦. 主成分分析同时单点pH 络合滴定法[ J] . 分析化学,1996, 24( 7) :

820-823.

[ 9] 张大伦. 主成分分析同时单点pH 滴定法研究[ J] . 武汉化工学院学报, 1999, 21( 4) : 1-4.

[ 10] 张大伦. 极弱酸碱的pH 滴定法研究[ J ] . 分析试验室, 1993,12( 6) : 45-48. [ 11] 张大伦. 主成分分析同时单点pM 滴定法研究[ J ] . 分析试验室, 1995, 14( 6) : 64-67.

[ 12] 张大伦. 主成分分析同时单点R 滴定法研究[ J ] . 分析科学学报, 1998, 14( 3) : 196-198.

主成分分析法运用

统计学简介及在实践中的应用 --以主成分分析法分析影响房价因素为例姓名：阳飞学号：2111601015 学院：经济管理学院指导教师：吴东武时间：二〇一七年一月六日

1 简介统计语源最早出现于中世界拉丁语的Status，意思指各种现象的状态和状况。后来由这一语根组成意大利语Stato，有表示“国家”的概念，也含有国家结构和国情知识的意思。根据这一语根，最早作为学名使用的“统计”的是在十八世纪德国政治学教授亨瓦尔（G.Achenwall)。他在1749年所著《近代欧洲各国国家学纲要》一书的绪言中，就把国家学名定义为“Statistika”（统计）这个词。原意是指“国家显著事项的比较和记述”或“国势学”，认为统计是关于国家应注意事项的学问。自此以后，各国就相继沿用“统计”这个词，更把这个词译成各国的文字，其中，法国译为Statistique；意大利译为Statistica；英国译为Statistics；日本最初译为“政表”、“政算”、“国势”、“形势”等，直到1880年在太政官中设立了统计院，这个时候才确定以“统计”二字正名。在我国近代史上首次出现是在1903年（清光绪廿九年）由钮永建、林卓南等翻译了四本由横山雅南所著的《统计讲义录》一书，这个时候才把“统计”这个词从日本传到我国。1907年（清光绪卅三年），由彭祖植编写的《统计学》在日本出版，同时在国内发行。这本书是我国最早的一本“统计学”书籍。自此以后“统计”一词就成了记述国家和社会状况的数量关系的总称。关于“统计”这个词，后来又引申到了各种各样的组合，包括：统计工作、统计资料、统计科学。统计工作是指利用科学的方法搜集、整理、分析和提供关于社会经济现象数量资料的工作的总称，它是统计的基础，也称统计实践或统计活动。是在一定统计理论指导下，采用科学的方法，搜集、整理、分析统计资料的一系列活动过程。

PCA主成分分析原理及应用

主元分析(PCA)理论分析及应用什么是PCA? PCA是Principal component analysis的缩写，中文翻译为主元分析/主成分分析。它是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合。因此应用极其广泛，从神经科学到计算机图形学都有它的用武之地。被誉为应用线形代数最价值的结果之一。在以下的章节中，不仅有对PCA的比较直观的解释，同时也配有较为深入的分析。首先将从一个简单的例子开始说明PCA应用的场合以及想法的由来，进行一个比较直观的解释；然后加入数学的严格推导，引入线形代数，进行问题的求解。随后将揭示PCA与SVD(Singular Value Decomposition)之间的联系以及如何将之应用于真实世界。最后将分析PCA理论模型的假设条件以及针对这些条件可能进行的改进。一个简单的模型在实验科学中我常遇到的情况是，使用大量的变量代表可能变化的因素，例如光谱、电压、速度等等。但是由于实验环境和观测手段的限制，实验数据往往变得极其的复杂、混乱和冗余的。如何对数据进行分析，取得隐藏在数据背后的变量关系，是一个很困难的问题。在神经科学、气象学、海洋学等等学科实验中，假设的变量个数可能非常之多，但是真正的影响因素以及它们之间的关系可能又是非常之简单的。下面的模型取自一个物理学中的实验。它看上去比较简单，但足以说明问题。如图表 1所示。这是一个理想弹簧运动规律的测定实验。假设球是连接在一个无质量无摩擦的弹簧之上，从平衡位置沿轴拉开一定的距离然后释放。

主成分分析PCA(含有详细推导过程以及案例分析matlab版)

主成分分析法(PCA) 在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问题，而且在多数情况下，多个变量之间常常存在一定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的相关性，势必增加了分析问题的复杂性。如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表原始变量的绝大多数信息，又互不相关，并且在新的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时就需要进行主成分分析。 I. 主成分分析法(PCA)模型（一）主成分分析的基本思想主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F ，自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望)(1F Var 越大，表示1F 包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的，故称1F 为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息，再考虑选取2F 即第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，用数学语言表达就是要求 0),(21=F F Cov ，称2F 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。（二）主成分分析的数学模型对于一个样本资料，观测p 个变量p x x x ,,21，n 个样品的数据资料阵为： ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x X 21 222 21112 11()p x x x ,,21=

主成分分析法的原理应用及计算步骤..

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点： ↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即 11112121...p p F a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不

SPSS软件进行主成分分析的应用例子

SPSS软件进行主成分分析的应用例子 2002年16家上市公司4项指标的数据[5]见表2，定量综合赢利能力分析如下：第一，将EXCEL中的原始数据导入到SPSS软件中；【1】“分析”|“描述统计”|“描述”。【2】弹出“描述统计”对话框，首先将准备标准化的变量移入变量组中，此时，最重要的一步就是勾选“将标准化得分另存为变量”，最后点击确定。【3】返回SPSS的“数据视图”，此时就可以看到新增了标准化后数据的字段。

数据标准化主要功能就是消除变量间的量纲关系，从而使数据具有可比性，可以举个简单的例子，一个百分制的变量与一个5分值的变量在一起怎么比较？只有通过数据标准化，都把它们标准到同一个标准时才具有可比性，一般标准化采用的是Z标准化，即均值为0，方差为1，当然也有其他标准化，比如0--1标准化等等，可根据自己的研究目的进行选择，这里介绍怎么进行数据的Z标准化。所的结论：标准化后的所有指标数据。注意： SPSS 在调用Factor Analyze 过程进行分析时, SPSS 会自动对原始数据进行标准化处理, 所以在得到计算结果后的变量都是指经过标准化处理后的变量, 但SPSS 并不直接给出标准化后的数据, 如需要得到标准化数据, 则需调用Descriptives 过程进行计算。 factor过程对数据进行因子分析（指标之间的相关性判定略）。【1】“分析”|“降维”|“因子分析”选项卡，将要进行分析的变量选入“变量”列表；

【2】设置“描述”，勾选“原始分析结果”和“KMO与Bartlett球形度检验”复选框；【3】设置“抽取”，勾选“碎石图”复选框；【4】设置“旋转”，勾选“最大方差法”复选框；【5】设置“得分”，勾选“保存为变量”和“因子得分系数”复选框；【6】查看分析结果。所做工作： a.查看KMO和Bartlett 的检验 KMO值接近1.KMO值越接近于1,意味着变量间的相关性越强，原有变量越适合作因子分析； Bartlett 球度度检验的Sig值越小于显著水平0.05，越说明变量之间存在相关关系。所的结论：符合因子分析的条件，可以进行因子分析，并进一步完成主成分分析。注意： 1.KMO（Kaiser-Meyer-Olkin) KMO统计量是取值在0和1之间。当所有变量间的简单相关系数平方和远远大于偏相关系数平方和时，KMO值接近1.KMO值越接近于1,意味着变量间的相关性越强，原有变量越适合作因子分析；当所有变量间的简单相关系数平方和接近0时，KMO值接近0.KMO值越接近于0,意味着变量间的相关性越弱，原有变量越不适合作因子分析。 Kaiser给出了常用的kmo度量标准: 0.9以上表示非常适合；0.8表示适合；0.7表示一般； 0.6表示不太适合；0.5以下表示极不适合。 2.Bartlett 球度检验：巴特利特球度检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到的，如果该值较大，且其对应的相伴概率值小于用户心中的显著性水平，那么应该拒绝零假设，认为相关系数矩阵不可能是单位阵，即原始变量之间存在相关性，适合于做主成份分析；相反，如果该统计量比较小，且其相对应的相伴概率大于显著性水平，则不能拒绝零假设，认为相关系数矩阵可能是单位阵，不宜于做因子分析。 Bartlett 球度检验的原假设为相关系数矩阵为单位矩阵，Sig值为0.001小于显著水平0.05，因此拒绝原假设，说明变量之间存在相关关系，适合做因子分析。所做工作： b. 全部解释方差或者解释的总方差(Total Variance Explained)

主成分分析法的步骤和原理

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。[2] 采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。（二）主成分分析法代数模型假设用p个变量来描述研究对象，分别用X1，X2…X p来表示，这p个变量构成的p维随机向量为X=(X1，X2…X p)t。设随机向量X的均值为μ，协方差矩阵为Σ。对X进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z=μX+μX+…μX Z=μX+μX+…μX ……………… Z=μX+μX+…μX 主成分是不相关的线性组合Z1，Z2……Z p，并且Z1是X，X…X的线性组合中方差最大者，Z2是与Z1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z是与Z1，Z2……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n，选取的财务指标数为p，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij)m×p，其中x ij表示第i家上市公司的第j项财务指标数据。第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。其中，R ij（i，j=1，2，…，p）为原始变量X i与X j的相关系数。R为实对称矩阵

SPSS软件进行主成分分析的应用例子

SPSS软件进行主成分分析的应用例子 2002年16家上市公司4项指标的数据[5]见表2，定量综合赢利能力分析如下：公司销售净利率（X1）资产净利率（X2）净资产收益率（X3）销售毛利率（X4）歌华有线五粮液用友软件太太药业浙江阳光烟台万华方正科技红河光明贵州茅台中铁二局红星发展伊利股份青岛海尔湖北宜化雅戈尔福建南纸43.31 17.11 21.11 29.55 11.00 17.63 2.73 29.11 20.29 3.99 22.65 4.43 5.40 7.06 19.82 7.26 7.39 12.13 6.03 8.62 8.41 13.86 4.22 5.44 9.48 4.64 11.13 7.30 8.90 2.79 10.53 2.99 8.73 17.29 7.00 10.13 11.83 15.41 17.16 6.09 12.97 9.35 14.3 14.36 12.53 5.24 18.55 6.99 54.89 44.25 89.37 73 25.22 36.44 9.96 56.26 82.23 13.04 50.51 29.04 65.5 19.79 42.04 22.72 第一，将EXCEL中的原始数据导入到SPSS软件中；注意：导入Spss的数据不能出现空缺的现象，如出现可用0补齐。【1】“分析”|“描述统计”|“描述”。【2】弹出“描述统计”对话框，首先将准备标准化的变量移入变量组中，此时，最重要的一步就是勾选“将标准化得分另存为变量”，最后点击确定。【3】返回SPSS的“数据视图”，此时就可以看到新增了标准化后数据的字段。所做工作： a. 原始数据的标准化处理

主成分分析法概念及例题

主成分分析法 [ 编辑 ] 什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在统计学中，主成分分析（ principal components analysis,PCA ）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标（称为第一主成分）上，第二大方差在第二个坐标（第二主成分）上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 [ 编辑 ] ， PCA ）又称：主分量分析，主成分回归分析法主成分分析（ principal components analysis

主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [ 编辑] 主成分分析法的基本原理主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [ 编辑] 主成分分析的主要作用

主成分法及其应用

【作者简介】苏键（1985-），男，广西钦州人，助理工程师，研究方向：食品科学。1主成分分析法何谓主成分分析，就是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析[1]。主成分分析的中心思想是缩减一个包括很多相互联系着的变量的数量集，在数量集中保留尽可能多的有用的变量。主成分分析的原理是设法将原来变量重新组合成一组新的相互无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的总和变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上处理降维的一种方法。主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P 个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P 个指标作线性组合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var （F1）越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P 个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现再F2中，用数学语言表达就是要求Cov （F1,F2）=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P 个主成分[2]。主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的，而后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形[2]。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。但是，在用统计分析方法研究这个多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。主成分分析是对于原先提出的所有变量，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。 2主成分分析法在食品领域的应用 2.1主成分分析在食品风味方面的应用目前，主成分分析应用还是比较广泛的，但是就食品风味方面，关于该分析方法的文献鲜见报道。戴素贤等[3]人对七种高香型乌龙茶中的香气成分进行了主成分分析,他们尝试用主成分分析法来研究茶业香型的变化，并进而找到影响这些香型变化的主要化合物，同时还发现了不同的茶别中香气化合物变化的趋势并进行了模拟量化，直观地表现了各种香气化合物对香气的贡献程度。李华等[4]运用多元统计分析确定葡萄酒感官特性，多元统计分析中的主成分分析等数学工具能够把大量的描述葡萄酒感官特性的描述语精简成较少的综合性更强的描述语，这些精简后的描述语不但能够反映精简前描述语的信息，还可以筛选出科学合理的描述符，描述符是描述分析的语言和工具，根据描述符可以分类不同的葡萄酒。邵威平等[5]应用主成分分析法完成了不同品牌啤酒风味差异性的评价，同一品牌啤酒风味一致性的评价，同一品牌不同生产厂之间一致性的评价以及同一生产厂啤酒一致性的评价这些工作。啤酒是个多指标的风味食品，主成分分析法可以帮助我们更好地研究啤酒理化指标和啤酒风格之间的相关性，从而达到更好地理解啤酒风味的目的。岳田利等[6]人则通过利用主成分分析的方法建立了苹果酒香气质量的评价模型，并以此来对苹果酒样品香气组分进行客观的统计分析。S.Kallithraka 等[7]采用高效液相色谱法和气相色谱法研究了希腊国内不同产地葡萄酒的化合物成分和感官特性，并运用了PCA 法（主成分分析法）对所得参数进行多元分析，最终达到给葡萄酒评价和分类的目的。2.2主成分分析在食品品质方面的应用食品品质的评价往往是非常复杂的过程。因为影响食品品质的因素大量存在，非人为因素如食品环境中的微生物，温度及pH 等的变化带来的影响。另一方面，由于人为的因素掺假也会造成食品品质的低劣，进而损害广大销售者和消费者的利益。如黎海红等[8]人运用主成分分析法对掺伪芝麻油的检测方法进行研究分析。根据主成分分析的实验原理，可以选择芝麻油的折光率、酸价、色泽、水分及挥发物、皂化值和碘价等理化指标作为变量，将这些变量的所测数据做矩阵处理最后分析就轻工科技 LIGHT INDUSTRY SCIENCE AND TECHNOLOGY 2012年9月第9期（总第166期）食品与生物主成分分析法及其应用苏键，陈军，何洁（广西轻工业科学技术研究院，广西南宁530031）【摘要】介绍了主成分分析法的定义、原理，概述了该法在食品及一些仪器分析领域的应用，目的是为其他还未应用该分析方法的学术领域提供一种参考和借鉴，使得主成分分析法能够在越来越多的学术领域中得以推广和应用。【关键词】主成分分析；应用；概述【中图分类号】TS262【文献标识码】A 【文章编号】2095-3518 （2012）09－12－02

主成分分析法的步骤和原理

主成分分析法的步骤和原理 (总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。[2] 采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。（二）主成分分析法代数模型假设用p个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2 …X p 来表示，这p个变量构成的p维随机向量为X=(X 1，X 2 …X p )t。设随机向量X的均值为μ，协方差矩阵为Σ。假设 X 是以 n 个标量随机变量组成的列向量，并且μk 是其第k个元素的期望值，即，μk= E(xk)，协方差矩阵然后被定义为： Σ=E{(X-E[X])(X-E[X])}=(如图对X进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z1=μ11X1+μ12X2+…μ1p X p Z2=μ21X1+μ22X2+…μ2p X p ……………… Z p=μp1X1+μp2X2+…μpp X p 主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2 ……Z p ，并且Z 1 是X1，X2…X p的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1 不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p是与Z 1 ， Z 2……Z p-1 都不相关的线性组合中方差最大者。（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n，选取的财务指标数为p，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij ) m×p ，其中x ij 表示第i家上市公司的第j项财务指标数据。第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。其中，R ij （i，j=1，2，…，p）为原始变量X i 与X j 的相关系数。R为实对称矩阵（即R ij =R ji ），只需计算其上三角元素或下三角元素即可，其计算公式为：

主成分分析法概念及例题

主成分分析法主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法 [编辑] 什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析方法及matlab运用解释

主成分分析方法在许多实际问题中,多个变量之间就是具有一定的相关关系的。因此,我们就会很自然地想到,能否在各个变量之间相关关系研究的基础上,用较少的新变量代替原来较多的变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上,这种想法就是可以实现的,这里介绍的主成分分析方法就就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。一、主成分分析的基本原理主成分分析就是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法,从数学角度来瞧,这就是一种降维处理技术。假定有n 个地理样本,每个样本共有p 个变量描述,这样就构成了一个n×p 阶的地理数据矩阵: 111212122212p p n n np x x x x x x X x x x ???=????L L L L L L L (1) 如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？要解决这一问题,自然要在p 维空间中加以考察,这就是比较麻烦的。为了克服这一困难,就需要进行降维处理,即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标,而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息,同时它们之间又就是彼此独立的。那么,这些综合指标(即新变量)应如何选取呢？显然,其最简单的形式就就是取原来变量指标的线性组合,适当调整组合系数,使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为x 1,x 2,…,x p ,它们的综合指标——新变量指标为z 1,z 2,…,zm(m≤p)。则 11111221221122221122,,......................................... ,p p p p m m m mp p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x =+++??=+++????=+++?L L L (2) 在(2)式中,系数l ij 由下列原则来决定: (1)z i 与z j (i≠j ;i,j=1,2,…,m)相互无关; (2)z 1就是x 1,x 2,…,x p 的一切线性组合中方差最大者;z 2就是与z 1不相关的x 1,x 2,…,x p 的所有线性组合中方差最大者;……;z m 就是与z 1,z 2,……z m-1都不相关的x 1,x 2,…,x p 的所有线性组合中方差最大者。这样决定的新变量指标z 1,z 2,…,zm 分别称为原变量指标x 1,x 2,…,x p 的第一,第二,…,第m 主成分。其中,z 1在总方差中占的比例最大,z 2,z 3,…,z m 的方差依次递减。在实际问题的分析中,常挑选前几个最大的主成分,这样既减少了变量的数目,又抓住了主要矛盾,简化了变量之间的关系。从以上分析可以瞧出,找主成分就就是确定原来变量x j (j=1,2,…,p)在诸主成分z i (i=1,2,…,m)上的载荷l ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,p),从数学上容易知道,它们分别就是x 1,x 2,…,x p 的相关矩阵的m 个较大的特征值所对应的特征向量。二、主成分分析的计算步骤通过上述主成分分析的基本原理的介绍,我们可以把主成分分析计算步骤归纳如

SPSS软件进行主成分分析的应用例子修订版

S P S S软件进行主成分分析的应用例子集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

SPSS软件进行主成分分析的应用例子 2002年16家上市公司4项指标的数据[5]见表2，定量综合赢利能力分析如下： 1. 第一，将EXCEL中的原始数据导入到SPSS软件中；【1】“分析”|“描述统计”|“描述”。【2】弹出“描述统计”对话框，首先将准备标准化的变量移入变量组中，此时，最重要的一步就是勾选“将标准化得分另存为变量”，最后点击确定。【3】返回SPSS的“数据视图”，此时就可以看到新增了标准化后数据的字段。进行因子分析（指标之间的相关性判定略）。【1】“分析”|“降维”|“因子分析”选项卡，将要进行分析的变量选入“变量”列表；【2】设置“描述”，勾选“原始分析结果”和“KMO与Bartlett球形度检验”复选框；

【3】设置“抽取”，勾选“碎石图”复选框；【4】设置“旋转”，勾选“最大方差法”复选框；【5】设置“得分”，勾选“保存为变量”和“因子得分系数”复选框；【6】查看分析结果。

【1】将初始因子载荷矩阵中的两列数据输入( 可用复制粘贴的方法) 到数据编辑窗口( 为中输入“F 1”，然后在数字表达式中输入“V 1 /SQR(λ 1 )”[注:λ 1 =1.897], 即可得到特征向量F 1 ；【3】然后利用“转换”|“计算变量”, 打开“计算变量”对话框，在“目标变量”文本框中输入“F 2”，然后在数字表达式中输入“V 2 /SQR(λ 2 )”[注:λ 1 =1.550], 即可得到特征向量F 2 ；【4】最后得到特征向量矩阵（主成分表达式的系数）。【1】将得到的特征向量与标准化后的数据相乘, 然后就可以得出主成分函数的表达式；中输入“Z 1 ”，然后在数字表达式中输入“0.531* Z (销售净利率)+0.594*Z (资产净利率)+0.261*Z (净资产收益率)+0.546*Z (销售毛利率)” [注:F 1 =0.531,0.594,0.261,0.546], 即可得到特征向量Z 1 ；【3】同理[注:F 2=-0.412，0.404，0.720，-0.383], 可得到特征向量Z 2 ；【4】求出16家上市公司的主成分值。

主成分分析法介绍

主成分分析方法我们进行系统分析评估或医学上因子分析等时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。第一节主成分分析方法的原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 样本，每个样本共有p 个变量描述，这样就构成了一个n×p 阶的数据矩阵： 11121212221 2 .....................p p n n np x x x x x x X x x x ?? ? ? = ? ? ??? (1)

如何从这么多变量的数据中抓住事物的内在规律性呢要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为p x x x ,,21Λ，它们的综合指标——新变量指标为Λ21,z z ，m z （m≤p)。则 )2.........(..........22112222121212121111??? ?? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 在（2)式中，系数l ij 由下列原则来决定：（1)z i 与z j （i≠j ；i ，j=1，2，…，m)相互无关；（2)z 1是x 1，x 2，…，x p 的一切线性组合中方差最大者；z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者；……；z m 是与z 1，z 2，……z m-1都不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者。

主成分分析方法在主成分分析方法中的应用

主成分分析与因子分析及SPSS实现（一）：原理与方法 (2014-09-08 13:33:57) 转载▼ 一、主成分分析（1）问题提出在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到，取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元统计分析，不仅会使模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共线性？这时，主成分分析隆重登场。（2）主成分分析的原理主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合，生成n个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则，保证第一个成分的方差最大，然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差（及变异信息）。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量X1、X2，在坐标上画出散点图如下：可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°，变成新的坐标系Y1、Y2，如下图：根据坐标变化的原理，我们可以算出： Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2 Y2 = sqrt(2)/2 * X1 - sqrt(2)/2 * X2 其中sqrt(x)为x的平方根。通过对X1、X2的重新进行线性组合，得到了两个新的变量Y1、Y2。此时，Y1、Y2变得不再相关，而且Y1方向变异（方差）较大，Y2方向的变异（方差）较小，这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分，参与后续的统计分析，因为它携带了原始变量的大部分信息。至此我们解决了两个问题：降维和消除共线性。对于二维以上的数据，就不能用上面的几何图形直观的表示了，只能通过矩阵变换求解，但是本质思想是一样的。二、因子分析（一）原理和方法：因子分析是主成分分析的扩展。在主成分分析过程中，新变量是原始变量的线性组合，即将多个原始变量经过线性（坐标）变换得到新的变量。因子分析中，是对原始变量间的内在相关结构进行分组，相关性强的分在一组，组间相关性较弱，这样各组变量代表一个基本要素（公共因子）。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解，得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征，而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量（因子）的实际意义的解释。举个例子：比如在市场调查中我们收集了食品的五项指标（x1-x5）:味道、价格、风味、是否快餐、能量，经过因子分析，我们发现了： x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1 x2 = 0.94 * z1 - 0.01 * z2 + e2

主成分分析应用实例

应用实例对全国30个省市自治区经济发展基本情况的8项指标作主成分分析，数据见程序中。其中八个指标依次为GDP、居民消费水平、固定资产投资、职工平均工资、货物周转量、居民消费价格指数、商品零售价格指数、工业总产值。SAS程序如下： data a1; input diqu $ x1-x8; cards; 北京 1394.89 2505 519.01 8144 373.9 117.3 112.6 843.43 天津 920.11 2720 345.46 6501 342.8 115.2 110.6 582.51 河北 2849.52 1258 704.87 4839 2033.3 115.2 115.8 1234.85 山西 1092.48 1250 290.9 4721 717.3 116.9 115.6 697.25 内蒙 832.88 1387 250.23 4134 781.7 117.5 116.8 419.39 辽宁 2793.37 2397 387.99 4911 1371.1 116.1 114 1840.55 吉林 1129.2 1872 320.45 4430 497.4 115.2 114.2 762.47 黑龙江 2014.53 2334 435.73 4145 824.8 116.1 114.3 1240.37 上海 2462.57 5343 996.48 9279 207.4 118.7 113 1642.95 江苏 5155.25 1926 1434.95 5943 1025.5 115.8 114.3 2026.64 浙江 3524.79 2249 1006.39 6619 754.4 116.6 113.5 916.59 安徽 2003.58 1254 474 4609 908.3 114.8 112.7 824.14 福建 2160.52 2320 553.97 5857 609.3 115.2 114.4 433.67 江西 1205.11 1182 282.84 4211 411.7 116.9 115.9 571.84 山东 5002.34 1527 1229.55 5145 1196.6 117.6 114.2 2207.69 河南 3002.74 1034 670.35 4344 1574.4 116.5 114.9 1367.92 湖北 2391.42 1527 571.68 4685 849 120 116.6 1220.72 湖南 2195.7 1408 422.61 4797 1011.8 119 115.5 843.83 广东 5381.72 2699 1639.83 8250 656.5 114 111.6 1396.35 广西 1606.15 1314 382.59 5150 556 118.4 116.4 554.97 海南 364.17 1814 198.35 5340 232.1 113.5 111.3 64.33 四川 3534 1261 822.54 4645 902.3 118.5 117 1431.81 贵州 630.07 942 150.84 4475 301.1 121.4 117.2 324.72 云南 1206.68 1261 334 5149 310.4 121.3 118.1 716.65 西藏 55.98 1110 17.87 7382 4.2 117.3 114.9 5.57 陕西 1000.03 1208 300.27 4396 500.9 119 117 600.98 甘肃 553.35 1007 114.81 5493 507 119.8 116.5 468.79