初三二次函数动点问题(教师版)

二次函数动点问题

1、如图，已知二次函数y=42

3

412++-

x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ． (1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ；

(2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个?

2、已知抛物线

)0(2≠++=a c bx ax y 经过点B （2，0）和点C （0，8），且它的对称轴是直线2-=x 。

（1）求抛物线与x 轴的另一交点A 坐标； （2）求此抛物线的解析式；

（3）连结AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B ）不重合，过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连结CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；

（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的

坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由。

3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=4，OB =2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．

（1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？ （3）当t 为何值时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似？

4、如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x

轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从

图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当t=

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

2

5

5.已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式；

（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．

6、如图，二次函数y = -x 2

+ax +b 的图像与x 轴交于A (-

2

1

，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出

D 点的坐标；

(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出

P 点的坐标；若不存在，说明理由。

7．如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点

B (1，m )、

C (2，2)． (1)求直线与抛物线的解析式．

(2)若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tan α的值．

(3)若动点P 保持(2)中的运动线路，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的 8

15？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：1、

2、解（1）∵抛物线

C bx ax y ++=2的对称轴是直线2-=x ∴由对称性可得A 点的坐标为（-6，0）

（2）∵点C （0，8）在抛物线

C bx ax y ++=2的图象上8=∴C 将A （-6，0）、B （2，0）代入表达式得

???++=+-=824086360b a b a 解得???

????-

=-=38

32b a ∴所求解析式为83832+--=x x y [也可用(6)(2)y a x x =+-代入C(0,8)求出a ] （3）依题意，AE=m ，则BE=8-m ∵OA=6，OC=8，∴AC=10∵EF//AC ∴BEF ?≌BAC ?

4540m EF AB BF AC EF -=

=∴

即过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则54

=∠=∠CAB S FEG S in in m m FG EF FG -=-?=∴=∴845405454BFE BCE S S S ??==∴)8)(8(218)8(21m m m ---?-=m m 42

12+-= （4）存在.理由如下：02

18)4(214212

2<-+--=+-=且m m m S ∴当m=4时，S 有最大值，S 最大值=8

∵m=4∴点E 的坐标为（——-2，0）BCE ?∴为等腰三角形

3、解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC=AB =4．∴A （4，2），B （0，2），C （－4，0）．∵抛物线y =a x 2

+b x +c 过点B ，∴c=2． 由题意，有16420,1642 2.

a b a b -+=??

++=? 解得1,16

1.4

a b ?=-

????=??

∴所求抛物线的解析式为

211

2164

y x x =-

++． （2）将抛物线的解析式配方，得()2112216

4

y x =--+．∴抛物线的对称轴为x =2．∴D （8，0），E （2，2），F （2，0）．

欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP =QE ．即BP=FQ ．∴t =6－3t ，即t =32．

（3）欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似，

∵∠PBO =∠BOQ =90°，∴有BP OQ OB BO =或BP BO OB OQ

=，即PB=OQ 或OB 2

=PB ·QO ．

①若P 、Q 在y 轴的同侧．当PB=OQ 时，t=8－3t ，∴t =2．当OB 2=PB ·QO 时，t (8－3t )=4，即3t 2

－8t+4=0．解得12

223

t t ==，．

②若P 、Q 在y 轴的异侧．当PB=OQ 时，3t －8=t ，∴t =4．当OB 2=PB ·QO 时，t (3t －8)=4，即3t 2

－8t －4=0．解得

t =

t

．故舍去，∴t

．∴当t =2或t =2

3或t =4或

P 、B 、O 为顶点的三角形与以点

Q 、B 、O 为顶点的三角形相似．

4、解：（1）（2）①点P 不在直线ME 上②依题意可知：P （,），N （，）

当时，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形是四边形PNCD ，依题意可得：

=

+=+== ∵抛物线的开口方向：向下，∴当=

，且时，=当时,点P 、N 都重合，此时以P 、N 、C 、D

为顶点的多边形是三角形.依题意可得，==3综上所述，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积S 存在最大值21/4．

5、解：（1）方法一：∵抛物线过点C （0，－6）∴c ＝－6，即y ＝ax 2

＋bx －6

由2,21441260

b

a a

b ?-

=???+-=?解得：116a =，14b =- ∴该抛物线的解析式为2116164y x x =--

方法二：∵A 、B 关于x ＝2对称∴A （－8，0） 设(8)(12)y a x x ＝＋－ C 在抛物线上，∴－6＝a ×8×(12)-，即a ＝1/16

∴该抛物线解析式为：211616

4

y x x =--

（2）存在，设直线CD 垂直平分PQ ，在Rt △AOC 中，AC

＝10＝AD ∴点D 在抛物线的对称轴上，连结DQ ，如图： 显然∠PDC ＝∠QDC ，由已知∠PDC ＝∠ACD ∴∠QDC ＝∠ACD ，∴DQ ∥AC DB ＝AB －AD ＝20－10＝10 ∴DQ 为△ABC 的中位线 ∴DQ ＝

1

2

AC ＝5 AP ＝AD －PD ＝AD －DQ ＝10－5＝5 ∴t ＝5÷1＝5（秒） ∴存在t ＝5（秒）时，线段PQ 被直线CD 垂直平分 在Rt △BOC 中，BC

∴CQ

＝∴点Q

（3）存在．如下图，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，则QH ＝3，PH ＝9 在Rt △PQH 中，PQ

① MP ＝MQ ，即M 为顶点，设直线CD 的直线方程为y ＝kx ＋b （k ≠0），则：

602b k b -=??

=+?

，解得：3

6k b =??=-? ∴y ＝3x －6 当x ＝1时，y ＝－3 ∴M 1(1，－3)

②当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且P 为顶点，设直线x ＝1上存在点M （1，y ），由勾股定理得：42

＋y 2

＝90，即y

∴M 2（1

；M 3（1，

② PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且Q 为顶点．过点Q 作QE ⊥y 轴于E ，交直线x ＝

1于F ，则F （1，－3） 设直线x ＝1存在点M （1，y ）由勾股定理得：2

2

(3)590y ++=，即y ＝－3

M 4（1，－3

；M 5（1，－3

综上所述，存在这样的五个点：M 1(1，－3)；M 2（1

；M 3（1

；M 4（1，－3

；M 5（1，－3

x x y 42+-=t t t t t 42

+-30

t PNC PCD S S S +=OD CD ?21BC PN ?21

2321??()

242

12?-+-t t t 332++-t t 421)23(2+

--t t 233230 =t 最大S 4

21

03或=t ABCD

S S 矩形2

1=322

1

?

?

6、(1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2

+ax +b 中，得?????=++-=+--0

2402141b a b a ，解这个方程，得

a =23，

b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+2

3x +1，当 x =0时，y =1，∴点C 的坐标为(0，1)。∴在△AOC 中，AC =22OC OA +=221)21(+=2

5。在△BOC 中，BC =2

2OC OB +=2212+=5。

AB =OA +OB =21+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=4

25=AB 2

，∴△ABC 是直角三角形。

(2) 点D 的坐标为(2

3

，1)。(3) 存在。由(1)知，AC ⊥BC 。

若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线BC 的解析式为y = -2

1

x +1，直线AP 可以看

作是由直线 BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y = -21x +b ，把点A (-2

1

，0)代入直线

AP 的

解析式，求得b = -41，∴直线AP 的解析式为y = -21x -4

1

。∵点

P 既在拋物线上，又在直线AP 上，

∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1= -21x -41，解得x 1=25，x 2= -21(舍去)。当x =25时，y = -2

3，

∴点P (25，-23)。

若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代入直线BP 的解析式，求得b = -4，

∴直线BP 的解析式为y =2x -4。∵点P 既在拋物线上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2

+

23x +1=2x -4，解得x 1= -2

5，x 2=2(舍去)。当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-25，-9)。综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-2

5

，-9)。

7、解：（1）将点C （2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时，y=3，所以B 点的坐标为（1，3） 将B 、C 、O 三点的坐标分别代入抛物线y=ax 2

+bx+c ，

可得 解得 ，所以所求的抛物线为y=-2x 2

+5x

（2）因为ON 的长是一定值，所以当点P 为抛物线的顶点时，△PON 的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（ ），此时tan

∠PON=

（3）存在；把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A （0，4），把y=0代入抛物线y=-2x 2

+5x 得x=0或x= ，所以点N （ ，0），设动点P 坐标为（x ，y ），其中y=-2x 2

+5x （0＜x ＜ ）则得：S △OAP = |OA|?x=2x ，S △ONP = |ON|?y= ?（-2x 2+5x ）= （-2x 2

+5x ）

由S △OAP = S △ONP ，即2x=

（-2x 2+5x ），解得x=0或x=1，舍去x=0得x=1，由此得y=3所以得点P 存在，其坐标为（1，3）．