初中数学 中考复习综合专题训练(含答案解析)

中考复习综合专题训练（含答案解析）

1. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。

请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）

为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）

【答案】

解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分

设抛物线的函数解析式为

2

y ax =,………………2分

由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分

所以8=a×24，解得a=1

2,故所求抛物线的函数解析式为

2

1

2

y x

=

………………4分

（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分则点A、D关于OC对称。

连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分

（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，

所以点B的坐标为（2，2）………………7分

又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8） (8)

设直线BD的函数解析式为 y=kx+b， (9)

则有2248k b k b +=??

-+=?

………………10 解得k=-1,b=4.

故直线BD 的函数解析式为 y=-x+4，………………11 把x=0代入 y=-x+4，得点P 的坐标为（0，4）

两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。 (12)

2. 某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x 取整数)之间的函数关系如下表：

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x 取整数)之间存在如图所示的变化趋势：

(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x 之间满足的一次函数关系式；

(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x 满足关系式p1＝0.1x ＋1.1(1≤x≤9，且x 取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x ＋2.9(10≤x≤12，且x 取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月

销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025) 【答案】(1)y1 与x 之间的函数关系式为y1＝20x ＋540， y2与x 之间满足的一次函数关系式为y2＝10x ＋630．

(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w ＝ p1(1000－50－30－y1) ＝(0.1x ＋1.1)(1000?50?30?20x ?540) ＝(0.1x ＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x ＋418 ＝－2( x －4)2＋450，(1≤x≤9，且x 取整数)

∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x ＝4时，w 最大＝450(万元)； 去年10至12月时，销售该配件的利润w ＝ p2(1000－50－30－y2) ＝(－0.1x ＋2.9)(1000－50－30－10x －630)

＝(－0.1x ＋2.9)(290－10x)＝( x －29)2，(10≤x≤12，且x 取整数)， 当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x 增大，函数值w 减小， ∴当x ＝10时，w 最大＝361(万元)，∵450＞361， ∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．

(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），

今年原材料的价格为：750+60=810（元）， 今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元）， 由题意，得5××1.7（1－0.1a ﹪）=1700，

设t= a ﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=99±940120，∵972＝9409，962＝9216，而

9401更接近9409．∴9401=97．

∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980． ∵1.7（1－0.1a ﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10． 答：a 的整数值为10．

3. 2018年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/

千克、11元/千克.

（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y 关于x 的函数关系式；

（2）2018年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？ （3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？

【解】（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+， 将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得

8,726.k m k m +=??+=?解之，得5,3.m k =??=?

∴函数解析式为35y x =+.

当712x ≤≤时，设

2

y ax bx c =++， 将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入

2

y ax bx c =++，得： 49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=??++=??++=?解之，得1,

22,131.a b c =??=-??=?

∴函数解析式为2

22131y x x =-+.

（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大， ∴当

1

x =最小值时，

3158

y =?+=最小值.

当712x ≤≤

时，()2

2221311110

y x x x =-+=-+，

∴当11x =时，

10

y =最小值.

所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克. （3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.

将8x =，10x =和11x =分别代入

2

22131y x x =-+，得19y =，11y =和10y =. ∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11.

∴年平均价格为

177191411101146

15.3

123y ?+++++=

=≈（元/千克）.

当3x =时，1415.3y =<，

∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.

4. 某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．

(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；

(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为

1

O 和

2

O ，且

1

O 到AB 、BC 、AD 的距离与

2

O 到CD 、BC 、

AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．

【答案】（1）

1800)30(2)2120(2

+--=-=x x x S ，当30=x 时，S 取最大值为1800． （2）如图所示，过1O 、2O 分别作到AB 、BC 、AD 和CD 、BC 、AD 的垂直，垂足如图，根据题意可知，I O H O G O J O F O E O 222111=====；当S 取最大值时，AB=CD=30，BC=60，

所以

1521

O O O O 2211==

===AB I G J F ，

∴15O O 21==H E ，

∴301515602121=--=--=H O E O EH O O ，

∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD 和BC 与两圆相切，不能留0.5米的平直路面.

6.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C)。 (1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这

次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？

【答案】

解：(1)当0 < x ≤ 20时，y = 8000．……………………………………………………(1分) 当20 < x ≤ 40时，设BC 满足的函数关系式为y = kx + b ，则

???20k + b = 8 00040k + b = 4 000

．………………(2分) 解得k = ?200，b = 12 000，∴y = ?200x + 12 000． ………………(4分) (2)当0 < x ≤ 20时，老王获得的利润为w = (8000 ? 2800)x …………(5分) =5 200x ≤ 104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元．…………(6分)

当20 < x ≤ 40时，老王获得的利润为w = (?200x + 12 000 ? 2800)x …………(7分)

= ?200(x2 ? 46x) = ?200(x ? 23)2 + 105 800．………………………………(8分) ∴当x = 23时，利润w 取得最大值，最大值为105 800元．………………………(9分) ∵105 800 > 104 000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元．………………………………………………………(10分) 7. （本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．

（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值范围．

4 000 8

【答案】解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)

（2）设矩形苗圃园的面积为S 则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x

∴S=－2(x －7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x＜15∴当x=7.5时,S 最大值＝112.5 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）6≤x≤11

8. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投

资收益为：每投入x 万元，可获得利润

()2

16041100P x =-

-+（万元）．当地政府拟在“十

二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润

()()2

99294101001601005Q x x =-

-+-+（万元）

⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

【答案】解：⑴当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元． ⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．

后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ，

所以y=P ＋Q=()216041100

x ??--+????+2992941601005x x ??

-++???? =2

60165x x -++=()2

301065

x --+，

表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，

故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ⑶有极大的实施价值．

9. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）．

设竖档AB=x 米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD 、AB 平行）

（1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积为3平方米？（4分）

（2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？（4分）

（3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档，那么当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？

○1 ○2 ○3 （第25题图） 【答案】解：

（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC=12-3x 3=4-x ，

∴x（4-x ）=3． 解得，x=1或3．

（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=12-4x

3，矩形框架ABCD 的面积

S=x·12-4x 3=-43x2+4x ．

当x=-4

2×（-43

）

=3

2时，S=3． ∴当x=3

2

时时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为3平方米．

（3）当不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档时，BC=a-nx

3

，矩形框架ABCD 的面积

S=x·a-nx 3=-n 3x2+a 3

x ．

当x=-

a 3

2×（-n 3

）

=a 2n 时，S=a2

12n ∴当x=a 2n 时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为a2

12n 平方米

10．利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 【答案】（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．

根据题意，得???x+y=53(x+1)+2(2y-1)=19 解得???x=2y=3

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． （2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则 s=(1-m)(500+100×m 0.1)+(5-3-m)(300+100×m

0.1)

即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705. ∴当m=0.55时，s 有最大值，最大值为1705.

答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.

11. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投

资收益为：每投入x 万元，可获得利润

()2

16041100P x =-

-+（万元）．当地政府拟在“十

二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润

()()2

99294101001601005Q x x =-

-+-+（万元）

⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

【答案】解：⑴当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元． ⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．

后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ， 所以y=P ＋Q

=()216041100x ??--+????+

2992941601005x x ??-++???? =2

60165x x -++=()2

301065x --+，

表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元， 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ⑶有极大的实施价值．

12. （2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.

型 号 金 额

Ⅰ型设备 Ⅱ型设备

投资金额x （万元） x 5 x 2 4 补贴金额y （万元） y1=kx

(k≠0)

2

y2=ax2+bx (a≠0)

2.4

3.2

（1）分别求出1y 和2y 的函数解析式；

（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=52

∴

x y 52

1=

②???=+=+2.34164.224b a b a ，解之得：???????=-=5851b a ，∴

x x y 585122+-= （2）设购Ⅱ型设备投资t 万元，购Ⅰ型设备投资（10-t ）万元，共获补贴Q 万元

∴

t t y 524)10(521-=-=

，t t y 58

5122+-=

529)3(5158515242221+

--=+--=+=t t t t y y Q

∴当t=3时，Q 有最大值为529

，此时10-t=7(万元)

即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元.

13. 在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B 、C. （1）当n ＝1时，如果a=－1，试求b 的值；

（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O ，

①试求出当n=3时a 的值； ②直接写出a 关于n 的关系式.

∴所求抛物线解析式为

2

48

1

33

y x x

=-++

；……4分

（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，

设所求抛物线解析式为

2

y ax bx =+，

过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，

∴

1

3

OD OC

CD BC

==

,

设OD=t，则CD=3t，

∵

222 OD CD OC

+=，

∴

222

(3)1

t t+=，

∴

t==

,

∴C（

, 又 B

0），

∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得

010

1

.

1010

a

a

?=

?

=+

，

解得

:a=3

-

；……2分

②

a

n

=-

. ……2分

14. 已知,如图11,二次函数

223

y ax ax a

=+-(0)

a≠图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l

:

y=+

对称.

(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;

(2)求二次函数解析式;

(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN NM MK

++和的最小值.

【答案】解:(1)依题意,得2230

ax ax a

+-=(0)

a≠

解得13

x=-,

2

1

x=

∵B点在A点右侧

图11

备用图

∴A 点坐标为(30)-,,B 点坐标为(10), ∵直线l

:y =

当3x =-时

,(3)0y =-

∴点A 在直线l 上

(2)∵点H 、B 关于过A 点的直线l :y x 对称

∴4AH AB ==

过顶点H 作HC AB ⊥交AB 于C 点 则12

2AC AB ==,HC = ∴顶点(H -

把(H - 代入二次函数解析式,解得a =

∴二次函数解析式为

2y =+ (3)直线AH 的解析式为y =+

直线BK 的解析式为y =-

由y x y ??=??=-? 解得{

x y == 即K ,则4BK =

∵点H 、B 关于直线AK 对称

∴HN MN +的最小值是MB ,过K 作KD x ⊥轴于D 点。KD KE == 过点K 作直线AH 的对称点Q ,连接QK ,交直线AH 于E

则QM MK =

,QE EK ==AE QK ⊥

∴BM MK +的最小值是BQ ,即BQ 的长是HN NM MK ++的最小值 ∵BK ∥AH

∴90BKQ HEQ ∠=∠=? 在Rt BKQ 由勾股定理得8QB = ∴HN NM MK ++的最小值为8 （不同解法参照给分）

15. 已知关于x 的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）． （1）求c 的值； （2）求a 的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S1，△PAB 的面积为S2，当0＜a ＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数． 【答案】（1）c=1

（2）将C （0，1），A （1，0）得 a ＋b ＋1=0 故b=―a―1 由b2－4ac ＞0，可得 (－a －1)2－4a ＞0 即(a －1)2＞0

故a≠1，又a ＞0

所以a 的取值范围是a ＞0且a≠1． 由题意0＜a ＜1，b=―a―1可得－b

2a ＞1，

故B 在A 的右边，B 点坐标为(－b

a －1，0)

C （0，1），

D （－b

a ，1）

|AB|=－b a －1－1=－b

a －2

|CD|=－b

a

S1－S2＝S△CDA－SABC=12×|CD|×1－1

2×|AB|×1

=12×（－b a ）×1－12×（－b

a －2）×1

=1

所以S1－S2为常数，该常数为1．

16. 如图，抛物线y=ax2+bx （a 0）与双曲线y=x k

相交于点A ，B. 已知点B 的坐标为（-2，

-2），点A 在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）把点B （-2，-2）的坐标，代入y=x k ，

得：-2=2-k

，∴k=4．

即双曲线的解析式为：y=x 4

．

设A 点的坐标为（m ，n ）。∵A 点在双曲线上，∴mn=4．…①

又∵tan∠AOx=4，∴n m

=4， 即m=4n ．…②

又①，②，得：n2=1,∴n=±1.

∵A 点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A 点的坐标为（1，4）

把A 、B 点的坐标代入y=ax2+b x ，得：?

?

?-=-+=b a b a 242,4解得a=1，b=3；

∴抛物线的解析式为：y=x2+3x ；（2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x ，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）． ∴C 点的坐标为（-4，4），且AC=5，

又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=21

×5×6=15 ；

（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积. 过点C 作CD∥AB 交抛物线于另一点D ．

因为直线AB 相应的一次函数是：y=2x+2，且C 点的坐标为（-4，4），CD∥AB， 所以直线CD 相应的一次函数是：y=2x+12.

解方程组???+=+=,122,32x y x x y 得?

??==,18,

3y x 所以点D 的坐标是（3，18） 17. 如图，在直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2

（a≠0）与x 轴交与点A （-1,0）、B

（3,0）两点，抛物线交y 轴于点C （0,3），点D 为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． (1)求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？

(3)设E 为线段OC 上的三等分点，链接EP ，EQ ，若EP=EQ ，求点P 的坐标．

【答案】：（1）由题意，得：

?????==++=+-30390c c b a c b a 解得：?????==-=321

c b a

∴322++-=x x y =

4)1(2

+--x ，顶点坐标为（1，4）. （2）由题意，得 P(x, x-1) ，Q (x, 322

++-x x )，

∴ 线段PQ=322++-x x -( x-1)= 42

++-x x = 41

4)21(2+--x 当x=21

时，线段PQ 最长为414

。

（3）∵E 为线段OC 上的三等分点，OC=3, ∴E(0，1)，或E(0，2) ∵EP=EQ，PQ 与y 轴平行， ∴ 2×OE=322

++-x x +( x-1)

当OE=1时，x1=0，x2=3，点P 坐标为（0，-1）或（3，2）。 当OE=2时，x1=1，x2=2， 点P 坐标为（1，0）或（2，1）。

18. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ． (1)求△OAB 的面积；

(2)若抛物线

2

2y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；

②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OAB

的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．

【答案】 解：(1) ∵点A 的坐标是（－2，4），AB⊥y 轴， ∴AB =2，OB ＝4，

∴11

244

22OAB S AB OB ?=??=??=

(2)①把点A 的坐标（－2，4）代入2

2y x x c =--+， 得

2

(2)2(2)4c ---?-+=，∴c＝4 ②∵

22

24(1)4y x x x =--+=-++， ∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2），

∴m 的取值范围为l