矩阵的特征值与特征向量(1)

矩阵的特征值与特征向量

摘要

本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章，可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。

关键词：矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式

Matrix eigenvalue and eigenvector

Zhong Yueyuan

(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)

Abstract

This paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our society develop quickly. By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.

Key word :Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial

目录

中文摘要........................................................ . (Ⅰ)

Abstract..................................................... . (Ⅱ)

引言........................................................ (1)

1 矩阵的特征值与特征向量........................................................ .. (1)

1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论 (1)

1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 (4)

2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (7)

2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化 (7)

2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向

量 (9)

3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用 (10)

3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项 (11)

3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用 (12)

4 结论........................................................ .. (15)

参考文献........................................................ (16)

致谢........................................................ . (17)

引言

矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。

1 矩阵的特征值与特征向量

1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论

定义1 设A 一个n 阶方阵，λ是一个数，如果方程

E =AX λ (1.1)

存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量。

(1) 式也可写成，

0)(=-X E A λ (1.2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 0=-E A λ (1.3)

即 0212222111211=---λλλnn n n n n a a a a a a a a a

上式是以λ为未知数的一元n 次方程，称为方多项式阵A 的特征方程。其左端λ是A 的n 次多项式，记作)(λf ，称为方阵A 的特征。

)(λf =|A －λE|=λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a

2122221

11211

n n n n n a a a ++++-=--λλλ111)1(

显然，A 的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）。因此，n 阶矩阵A 有n 个特征值。

设n 阶矩阵的特征值为,,,,21n λλλ 由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （ⅰ）;221121nn n a a a +++=+++ λλλ

（ⅱ）A n =λλλ 21.

若λ为A 的一个特征值，则λ一定是方程0=-E A λ的根, 因此又称特征根，若λ为方程0=-E A λ的重根，则称为A 的i n 重特征根。方程()0=-E A λ的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量，于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式E A λ-；

第二步：求出0=-E A λ特征方程的全部根，即为A 的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值λ，求出齐次线性方程组：

()0=-E A λ的一个基础解系,,,21s ξξξ 则A 的属于特征值λ的全部特征 向量是 )0.,,(212211的任意实数是不全为其中s s s k k k k k k ξξξ+++ 。 定义 2 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换。如果对应F 中的一个数λ，存在V 中的非零向量ξ，使得λξξσ=)( (1.4)

那么λ就叫做σ的一个特征值，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个特征向量。 显然，如果ξ是F ∈α的属于特征值λ的一个特征向量，那么对于任意F ∈α,都有 )()()(αξλξασαξσ==

(1.5)

这样，如果ξ是σ的一个特征向量，那么由ξ所生成的一维子空间{}F U ∈=ααξ在σ之下不变；反过来，如果V 的一个一维子空间U 在σ之下不变，那么U 中每一个非零向量都是σ的属于同一特征值的特征向量。

其中（1）式的几何意义是：特征向量ξ与它在σ下的象)(ξσ保持在同一直线L （ξ）上，0>λ时方向相同，0<λ时方向相反，0=λ时，()0=ξσ．

例1 在V3中，σ是关于过原点的平面H 的反

射，它是一个线性变换。那么H 中的每个非零

向量都是σ的属于特征值1的特征向量，Vλ

就是平面H 。与H 垂直的非零向量都是σ的

属于特征值 -1的特征向量，即V-1就是直

线L （见图1）。 图1

定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

证明 设m λλλ,,,21 是矩阵的不同特征值，而m ζζζ,,,21 分别是属于

m λλλ,,,21 的特征向量，要证m ζζζ,,,21 是线性无关的。我们对特征值的个数m 作

数学归纳法证明。

当1=m 时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立。

当1>m 时,假设1-m 时结论成立。

由于m λλλ,,,21 是A 的不同特征值,而i ζ是属于i λ的特征向量,因此

i i i A ζλζ=

如果存在一组实数m k k k ,,,21 ，使

02211=+++m

m k k k ζζζ

(1.6)

则上式两边乘以m λ得 0221m 1=+++m m m m ζλκζλκζλκ (1.7)

另一方面, 0)(2211=+++m m k k k A ζζζ ,即

0222111=+++m m m k k k ζλζλζλ (1.8)

(4)－(5)有

0)()()(111222111=-++-+----m m m m m m k k k ζλλζλλζλλ 。 由归纳假设,121,,,-m ζζζ 线性无关,因此

)(=-i m i k λλ

(1.9)

而m λλλ,,,21 互不相同，所以)1,,2,1(0-==m i k i 。于是（1.9）变为0=m m k ζ 因0≠m ζ,于是0=m k 。可见m ζζζ,,,21 线性无关。 1.2 求解矩阵的特征值与特征向量的方法

在求矩阵的特征值与特征向量之前，我们来讨论一下特征值与特征向量的关系，它们的关系如下：

（1）如果σ关于某个基的矩阵是A ,那么σ的特征值一定是A 的特征根，但A 的特征根却不一定是σ特征值，A 的n 个特征根中属于数域F 的数才是σ的征特值；

（2）σ的特征向量是V 中满足（1）式的非零向量ξ，而A 的特征向量是n F 中的满足00x Ax λ=的非零列向量0x ；

（3）若λ∈F 是A 的特征根，则A 的n F 中属于λ的就是σ的λ属于的特征向量关于给定基的坐标。

下面我们来介绍两种求矩阵的特征值与特征向量的方法：

1.2.1 同步求解法

定义l 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：

1．互换i ，j 两行，同时互换i ，j 列；

2．第i 行乘非零数k ，同时第i 列乘1／k ；

3．第i 行k 倍加入第j 行，同时第j 列一k 倍加入第i 列。

定理1 设A 是秩为r 的m n ?阶矩阵，且

??????*

???→???????-?-???)r m (m )r m (r n r n m m n P O B E A 列初等变换 其中B 是秩为r 的列满秩矩阵，则矩阵P 所含的r m -个列向量就是齐次线性方程组AX=0

的一个基础解系（证明略）。 定理 2 矩阵A 的特征矩阵)()(A E F -=λλ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵)(λB ，且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征值（证明略）。

例l 求??

????=2561A 的特征值与特征向量． 解：()

???? ??-→-+???? ??=104611071026015112212r r r r E A T ???

? ??--→???? ??--→+-5640110711111115116401107116116222112r r r r r r 所以，特征值4,721-==λλ,特征向量分别为()()T T 56,1121-==αα。

例2 求矩阵????

? ??--=141A 的特征值与特征向量．

解： ??????????-----??→???????????-----=-?01103420

1201034011)(31λ

λλλλλλr r E A ??????????-λλ-λ+λ-λ-???→???????????λ+λ-λ-λ-λ-???→?+λ+?λ+++)1)(2(00)1)(2(10201)1)(2(104830201)3(r r r r r )1(r r 4r 23321312

由定理1，令0)1)(2(2=-λλ- ，得矩阵A 的特征值为1,2321=λ=λ=λ。

当2=λ时，(A －λE)已是标准上三角形矩阵，由定理2得

????

??????=000010001)2(B