参数方程
（一）参数方程的概念
1.1参数方程的定义及用途 1.2参数方程化为普通方程 1.3普通方程化为参数方程
（二）直线的参数方程
2.1直线的参数方程化为标准参数方程
2.2直线的标准参数方程的三种应
用
（三）圆锥曲线参数方程
3.1圆锥曲线的参数方程及参数的几何意义
3.2圆锥曲线参数方程应用于表示曲线上一点坐标
（四）参数法求动点轨迹方程
（五）同步练习
（一）参数方程的概念
1.1参数方程的定义及用途
(1)参数方程的定义：一般来说参数方程是指：在直角坐标系中，一动点的坐标x 和y 同时可以独立地表示成第三个变量t
的函数。即
且满足(1)对于[a ，b]中的任何一个t 1，则①得到的(x 1，y 1)点都在曲线l 上；(2)曲线上的任意一点P(x 0，y 0)的坐标x 0，y 0通过①在[a ，b]上可求得一个t.那么上述方程叫曲线l 的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线l 的直角坐标方程，简称普通方程。
(2)参数方程定义的几点说明：①在曲线的参数方程中，应明确参数t 的取值
范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。如方程 θ为参数，
θ∈[0,2π)，是表示中心在原点，焦点在x
轴上，长轴8的椭圆；而方程
θ为参数，θ∈[0,π]，只是表示上述椭圆的x 轴上方的部分。在
没有明确注明参数的取值范围时，可由参数的物理或几何意义，或由两个函数x=f(t)，y=g(t)的定义域的交集点去确定；②一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以是多个。当我们选择的参数不同时，一条曲线的参数
方程可以是多个；③一条曲线可能存在参数方程，但不一定存在普通方程。课本
中圆的渐开线的参数方程是，其普通方程很难得出，不会理它。
(3)参数方程的用途：引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面：
①有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出；
②有些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t 后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。本讲第四部分专讲参变量此功能；
③可以用曲线的参数方程表示曲线上的一点坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决。圆锥曲线的参数方程主要功能就是它。本讲第三个问题就要再次阐明此用途。
④有些曲线参数方程的参变量t有几何意义。若能利用参变量的几何意义解题，经常取得想不到的效果。若利用直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使很多难题化易，繁题化简。若不信请看此讲第二个部分。
总之，我们引进参数方程才能更广泛地研究曲线。
1.2参数方程化普通方程消去参数是参数方程化普通方程的根本途径。参化普要注意两个问题：(1)参化普的方法和技巧。通常常用方法有代入消元法（包括集团代入法）、加减消元法、参数转化法和媒介恒等法（又称三角代换法）等。参化普是较灵活的，要多研究，多总结。(2)参化普的等价性。在参数方程中的x，y含有的限制条件在转化过程中消失了，所以在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性。这种条件实质上就是函数y=f(t)，y=g(t)的值域问题。
例1.化参数方程普通方程，并画出方程的曲线.
解法一：由①得③，代入②得2x+3y-4=0
由③得x≠-1
∴化为普通方程2x+3y-4=0(x≠-1)
解法二：把参数方程化为：
2×④+3×⑤得2x+3y=4
由①，得x+xt=2-t x=-1时，成为矛盾等式∴参化普为2x+3y-4=0 (x≠-1).
例2、化参数方程为普通方程
解法一：∵t∈R，设
原方程化为
∵由得x=-a时等式不成立.
∴参化普得（x≠-a）.
解法二：把参数方程化为
①2+②2得以下同解法一
解法三：由①得得x≠-a，代入②2 得（x≠-a）.
例3 化参数方程为普通方程.
解：由x=sinα+cosα得
并两边平方，化简得
∴参化普后得
解评：在一般情况下，参化普的解法多，并不太难；难的是怎样在参数方程中，寻找变量x、y的范围，并注明在普通方程后面，从而保证其变形后的等价性.而且这种变量限制范围寻找没有规律可循，完全需靠自己本身数学基础根底。
1.3普通方程化参数方程除了参变数有其特有的几何意义，这样普通方程化为参数方程，其参数方程是定型的固定的，如前面学过的圆锥曲线参数方程和将要学的直线标准参数方程以外，其余普通方程化为参数方程，由于参变数设定的不一样，可得出各种各样的参数方程，因而答案可以不同。
例1 把直线方程
解法一：设x=t代入方程得
∴参数方程为
解法二：设
∴参数方程为
例2 化直线的点斜式y-y
0=k(x-x
) (k≠0)为参数方程.
解：设直线倾角为
则
设上述比值为t，取t为参数
得
这就是经过P(x
0，y
)，倾角为的直线的参数方程.
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（二）直线的参数方程
2.1直线的标准参数方程当直线L过定点M
0(x
，y
)，其倾角为θ，则L：
（t为参数）称为直线的标准参数方程.其中参数t的几何意义是：
t是有向直线L上已知点M
0(x
，y
)到点M(x，y)的有向线段M
M的数量，且
|M
0M|=|t|. 当t>0时，点M在定点M
的上方（或右侧）；t=0时，点M与定点
M 0重合；当t<0时，点M在点M
的下方（或左侧）.
形如时，也称为直线标准参数方
程，参数t亦有上述的几何意义.
直线的其他形式的参数方程称为直线的一般参数方程，其参变量就没有上述的几何意义.这就需要化为标准参数方程.
当a2+b2=1时，可把参数(t为参数)化为
，则可得到直线L的参数方程
t′即有以上的几何意义
例1 直线的倾角为（）
A. B.arctg(-2) C. D.
分析：1°可由直线标准参数方程知斜率k=-2，α=π-arctg2；
2°.
例2 直线l的参数方程是(t为参数)，过(4，-1)点且与l平行
的直线在y轴上截距是（）
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
分析：过(4，-1)点且平行于l的直线为，当x=0时，t=-5，代入.选D
例3 直线(t为参数)与直线x+y=0交点到点(-1，2)的距离d=（）
A.6
B.5
C.3
D.1
分析：首先把直线参数方程化为直线标准参数方程：其中t′=-5t. t′即表示到(-1，2)点数量值. 代入直线x+y=0，
. 故选（B）
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2.2直线标准参数方程的三种应用
(1)有关弦长最值题型
例1 已知椭圆过点P(1，0)作一直线l，l交椭圆于A、B两点，
则|AB|的最大值为（）
A.9
B.6
C.3
D.1
分析：设l的方程为(t为参数)代入椭圆方程2x2+y2=4，并化
简得
(sin2α+3cos2α)t2+4tcosα-2=0
令即u(cos2α)2+(2u-3)cos2α+u-1=0，由于cos2α∈R，
△=(2u-3)2-4u(u-1)≥0，u≤∴当且仅当cos2α=时，u有最大值
∴当cos2α=时，故应选C
解评：过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B
两点分别用参变量t
1、t
2
表示。一般情况A、B都在定点两侧，t
1
，t
2
符号相反，
故|AB|=|t
1-t
2
|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，
因此此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的睛睐。
(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型
例1 椭圆中斜率为2的平行弦的中点轨迹为（）
A.直线x+3y=0中一段
B.直线x+2y=0中一段
C.直线3x+y=0中一段
D.直线2x-y=0 中一段
分析：设斜率为2的平行弦的中点为M(x
0，y
)，倾斜角为α，即tgα=2，
则弦所在的直线的标准方程为(t为参数)代入椭圆方程化简得
若直线与椭圆相交于两点A(t
1)、B(t
2
)，定点M(x
，y
)是AB的中点，则
t 1+t
2
=0，即：2x
cosα+3y
sinα=0即2x
+3y
tgα=0 由tgα=2，于是2x
+6y
=0.
∴斜率为2的平行弦中点的轨迹是直线x+3y=0含在椭圆内的一
条线段.
例2 已知直线l过点P(2，0)，斜率为.直线l和抛物线y2=2x相交于A、
B两点，设线段AB的中点为M. 求(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)M点的坐标；
(3)线段AB的长|AB|.
解：(1)直线l过点P(2，0)，斜率，若其倾角
为α，则. 直线l
的标准参数方程为
(t为参数)，代入抛物方程y2=2x中，整理可
得8t2-15t-50=0
. 由M为线
段AB的中点，根据t 的几何意义，得
(2)∵中点M 对应的参数为
M 点的坐标为
(3)
解评：直线标准参数方程和曲线两交点A(t
1)、B(t
2
)的中点坐标相应的参数
；若定点恰为AB为中点，则t
1+t
2
=0 . 这些参数值都很容易由韦达
定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。
(3)有关两线段长的乘积（或比值）的题型
例1. 设M、N是抛物线y2=2px (p>0)的对称轴上的
相异两点，且|OM|=|ON|（O为坐标轴原点），过M、N作
两条相互平行的直线，分别交抛物线于P
1、P
2
两点和Q
1
、
Q 2两点.求证：|MP
1
|·|MP
2
|=|NQ
1
|·|NQ
2
|
证明：设点M、N的坐标为M(a，0)，N(-a，0) (a>0)，
两平行线P
1P
2
，Q
1
Q
2
的的倾角为α，则直线P
1
P
2
的标准参数方程为
(t为参数)代入抛物线方程y2=2px，得t2sin2α-2ptcosα-2pa=0 由t的几何意义得
同理Q
1Q
2
的参数方程为
得
∴|MP
1|·|MP
2
|=|NQ
1
|·|NQ
2
|
例2 双曲线x2-y2=a2的一条准线与实轴交于A点，过A引一条直线和双曲线交于M、N两点。又过中心另一侧的焦点F引一直线垂直于MN，它和双曲线交于P、Q两点，求证：|FP|·|PQ|=2|AM|·|AN|
证明：由x2-y2=a2得左准线为
. 设过F的直线PQ为：
(t为参数)
代入双曲线方程x2-y2=a2得
若t
1、t
2
分别为P
1
Q对应的t的值.由韦达定理得
∵MN⊥PQ ∴MN的倾角为，设MN的方程为
代入双曲线x2-y2=a2得：,由t′的几何意义
得
∴|FP|·|FQ|=2|AM|·|AN|
解评：若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t
1
、
t 2.则|FP|·|FQ|=|t
1
t
2
|，由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线
相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好
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（三）圆锥曲线的参数方程
3.1圆锥曲线的参数方程及参数的几何意义：
(1)圆的参数方程
(2)椭圆的参数方程
其中θ为椭圆的离心角（参看右图）
(3)双曲线的参数方程
其中θ为双曲线的离心角
(4)抛物线的参数方程
（在抛物线中，设平方数的变量为t，这种参数方程非
常实用）
3.2圆锥曲线参数方程应用于表示曲线上一点的坐标：椭圆和双曲线的参数方程中的参数虽有几何意义，但在实际应用中极少遇到能用其几何意义解的题，而参数方程的主要用途，是用在表示曲线上某点坐标，因而把二元运算问题转化为一元运算而使运算简捷，这在前面学习曲线时分别都讲过了。这里只举几个例子加以复习。
例1 过椭圆(a>b>c>0)的短轴的一个端点(0，-b)作椭圆的弦，则此弦的最大值为（）
A.2a
B.2b
C.a+b
D.a-b
分析：设A为椭圆上除B以外的另一点A(acosθ，bsinθ)，
当0 故选B. 例2 已知直线y=2x+b，与抛物线y2=4x相交于A、B两点，且|AB|=， 则b的值为（） A.2 B.0 C.-2 D.-4 分析：设抛物线代入直线方程y=2x+b，并整理得t2-2t+2b=0，t 1+t 2 =2， t 1t 2 =2b，且t 1 、t 2 是抛物线上的点A、B分别对应的参数t的 值.. b=-4. 故选D. 例3 求证：等轴双曲线x2-y2=a2(a>0)上任意一点P到两个焦点F 1、F 2 的距 离之积等于P点到其中心的距离的平方. 证明：设P(asecθ,atgθ)，F 1(-a,θ)，F 2 (a,0)，离心率e=.依 据双曲线的第二定义，双曲线上一点到焦点距离等于此点到准线距离乘以离心率. 故 ∴|PF 1|·|PF 2 |=a2(2sec2θ-1)=a2(sec2θ+tg2θ)=(asecθ)2+(atgθ)2=|OP|2 ∴|PF 1|·|PF 2 |=|OP|2 解评：从上面三个例子再一次说明圆锥曲线的参数方程主要是为表示曲线上一点坐标，以前所有的题是直线代入曲线方程，例2说明曲线参数方程亦可代入直线。只要注意交点坐标亦用曲线参数方程即可。 返回主题 （四）参数法求动点轨迹方程求动点轨迹方程是解析几何最重要的题型之一。求动点轨亦可用直接列方程法或参数法两种。若动点(x，y)的轨迹，坐标x与y 的关系依题意能直接列出方程，只要列出方程后加以化简即可，称为直接列方程 法；若x与y的关系不好找，引入一个或多个参变数后，等量关系很好找，则列出比引进参变量数多1的方程（可称为参数方程组），经消参数后即可得动点轨迹方程，称为参数法。一般来说较难的求动点轨迹题都用参数法。 例1 已知定点P(-2，2)、Q(0，2)及直线l：y=x，长为的线段AB在l 上移动，求直线PA和QB的交点轨迹. 解：由于A、B两点在直线y=x上移动，故设A(a，a)， B(b，b) (b>a).设M(x，y).这里a、b是参数. PA的方程为 PB 方程为 则 消去参数a、b，由(1)得，由(2)代入 (3)得 .整理得动点M的轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0. 解评：在求动点轨迹题中，除已知量和动点坐标(x，y)外，设的其他字母（动量），都视为参数，要列出比参数个数多1的方程组，消去参数即得轨迹方程。“两条动直线交点轨迹”只要写出动直线方程，联立消参数，即得结果。 例2 已知线y=x+m与曲线c：x2+2y2+4y-1=0交于A、B两点，点P在l上，且|PA|·|PB|=2.求：当m变化时，P点的轨迹. 分析：因为有“两线段积”的信息，用直线标准参数方程来解较为简便. 解法一：设P(x 0，y )，则l参数方程为代入曲线C的方程得 ∵P(x 0，y )、A(t 1 )、B(t 2 )依据t的几何意义 ∴ 得或∴或 即，此两式即为P点轨迹： . 最后求变量范围. 由方程组得方程 3y2+(4-2m)y+m2-1=0.令△=(4-2m)2-12(m2-1)=0得2m2+4m-7=0 ∴和是两切线 ∴P点轨迹是点(0，-1)及椭圆夹在两切线及 之间的部分. 解法二设P(x，y)、A(x 1，y 1 )、B(x 2 ，y 2 ) 由方程组得3x2+4(m+1)x+2m2+4m-1=0.令△=16(m+1)2-12(2m2+4m-1)=0得2m2+4m-7=0 ∴和是两条切线. 由韦达定理得 又∵ ∴|PA|·|PB|=2|x2-(x 1+x 2 )x+x 1 x 2 |=2 即： ∴P点轨迹的参数方程为 消去参数得x2+2y2+4y-4=0或x2+2y2+4y+2=0 即： ∴P点轨迹为点(0，-1)或椭圆夹在直线及 之间的部分. 返回主题（五）同步练习 1.化参数方程为普通方程得（） A. B. C. D. (2)已知参数方程(a、b、λ均不为零，0<θ≤2π)，当①t 是参数；②λ是参数；③θ是参数，则下列结论成立的是（） A.①②③均为直线 B.①②是直线③是圆 C.只有②是直线 D.②是直线①③是圆锥曲线 (3)直线(t为参数)的倾角是（）（1992年高考题） A.20° B.70° C.110° D.160° (4)已知椭圆过其左焦点F 1作一直线交椭圆于M、N两点，F 2 是右 焦点，设∠F 2F 1 M=α（0≤α<π).若|MN|恰等于椭圆短轴的长，则α=（） A. B. C. D. 答案：1.B 2.B 3.C 4.D 提示：(3)化为直线标准参数方程α=110°；或消去t：y=tg110°(x-3) α=110°. (4)直线MN参数方程 (t为参数) 代入椭圆方程，得(cos2α+9sin2α)t2-(4 cos α)t-1=0 . 返回主题 1.参数方程的图象是（） A. B. C. D. 2.直线的参数方程为，则直线上任意一点P 到（x 0，y ）点的距离为（） A.t B.|t| C. D. 3.直线相切，则直线的倾斜角θ为（） A. B. C. D. 4.椭圆过定点M（1，2），以y 轴为准线，离心率，则其左顶点的轨迹方程是（） A. B. C. D. 1A2c3a4b 高中数学回归课本校本教材24 （一）基础知识 参数极坐标 1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2.常见的曲线的极坐标方程 （1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系： 正弦定理 sin sin OP OM OMP OPM =∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理； （3）圆锥曲线极坐标：1cos ep e ρθ = -，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01 e <<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程3 24cos ρθ =-表示的曲线 是 双曲线 3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22 221x y a b +=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ== （3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00 cos sin x x y y t θθ --==， 即00cos sin x x t y y t α α =+?? =+?注：0cos x x t θ-= ，0 sin y y t θ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP u u u r 的数量00000()00. t l M M x y M M M M M M t M M t >? =?=抛物线的参数方程为：为参数．由于，因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣ 4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ 【参数方程和普通方程的互化】 例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点． 解：把代入 得：两式平方相加可得 ∴（舍去） 于是即所求二曲线的交点是（，－）． 说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方 程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解． 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且 ） 解法一：因，，故 ∴ 设。取为参数，则得所求参数方程 解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M与 的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下 方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数． 过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由 此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”． ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便． ③如果取为参数，则得直线参数方程 一般地，直线的参数方程的一般形式是 （，为参数） 但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义． 例3求椭圆的参数方程． 分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设 解法一：设（为参数），则 ∴ 故 因此，所得参数方程是 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（， ），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点． 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义． 解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为 终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）． 由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆 的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知 也是半径OB的转角）． 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上 任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则： 参数方程题型大全 参２７．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2 π (ρ∈R) 对称 D ．重合 ２８．极坐标方程 4ρsin 2 2θ =5 表示的曲线是( )。 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 ２９．点 P 1(ρ1,θ1) 与 P 2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P 1、P 2 两点 的位置关系是( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于θ=2 π所在直线对称 D ．重合 ３０．椭圆?? ?Φ +-=Φ +=sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )。 A ．(-3, 5)，(-3, -3) B ．(3, 3)，(3, -5) C ．(1, 1)，(-7, 1) D ．(7, -1)，(-1, -1) 六、1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 2 3 B ．23- C ． 32 D ．3 2 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（ ） A ．1( ,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ． 2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2 cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） 参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________ 参数方程化普通方程 [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 [例题分析] 1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数) 解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2, 又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3) (2)(θ∈R，θ为参数） 解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。 又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ ∴|x|≤，|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3)(t≠1, t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2, ∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。 法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t, ∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。 极坐标与参数方程测试题 一、选择题 １.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 222t y t x (t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数) Ｃ、 ???-=-=121t y t x （ｔ为参数） D 、? ??+==1sin 2sin θθy x (t 为参数） ２.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ) ?A ．0 ?B.1 ?C ．-2 D.8 3.已知??? ? ?-3,5πM ,下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ) Ａ、??? ?? -3,5π B 、??? ?? 34,5π ??Ｃ、??? ??-32,5π ? D 、?? ? ?? --35,5π 4.极坐标系中,下列各点与点P(ρ,θ）（θ≠ｋπ，k ∈Ｚ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A.（－ρ,θ)B ．(－ρ，-θ)Ｃ．(ρ，2π-θ） D.（ρ，2π＋θ） 5.点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、??? ??3,2π ? Ｂ、??? ??34,2π ??C 、??? ??-3,2π ?Ｄ、?? ? ?? -34,2π 6.直角坐标系xo ｙ中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数)和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( )． A ．1 B ．2 Ｃ.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+???=?为参数表示的曲线是（ ) Ａ．一条直线 Ｂ.两条直线 Ｃ．一条射线 D.两条射线 8.()124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） 选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结 坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点 (,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 (,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(,)2r π ,半径为r 的 圆 2sin (0)r ρθθπ=≤< 圆心为(,)2r π ,半径为r 的 圆 2sin (0)r ρθθπ=≤< 坐标系与参数方程 一、知识点梳理 (一)平面直角坐标系中的伸缩变化 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换? ??>?='>?=').0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称 ?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 （二）极坐标系与极坐标 1定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点 M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标 系。 2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位； 图1 (4)角度单位及它的方向。 3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。 4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点） （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示： （2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是），（y x ,极坐标是），（θρ，于是极坐标与直角坐标的互化 公式如图一： （图一） （图二） 5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。 （三）常见曲线的极坐标方程 （四）参数方程 1参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 高中数学全参数方程知识点大全 高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤ 参数方程化普通方程 1．参数方程? ????x ＝cos 2 θ y ＝sin 2 θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 解析：选＝cos 2 θ∈[0，1]，y ＝sin 2 θ∈[0，1]，∴x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段． 2．(1)参数方程? ????x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________． (2)参数方程? ????x ＝1＋cos θ y ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________． 解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝1 2x . (2)参数方程变形为??? ? ?x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ， 两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2 ＝1. 答案：(1)y ＝12 x (2)(x －1)2＋(y －1)2 ＝1 3．曲线C ：?????x ＝12t y ＝t 2 ，(t 为参数)的形状为____________． 解析：因为t ＝2x ，代入y ＝t 2 ，得y ＝4x 2 ，即x 2 ＝1 4 y ，所以曲线C 为抛物线． 答案：抛物线 4.将下列参数方程化为普通方程： (1)???x ＝t ＋1 y ＝1－2t ，(t 为参数)； (2)? ????x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)； (3)?????x ＝1＋3 2t y ＝2－1 2t ，(t 为参数)； (4)?????x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2 ，(t 为参数)． [解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)． (2)由?????x ＝5cos θ y ＝4sin θ－1得?????cos θ＝x 5sin θ＝y ＋14 ， ① ② ①2 ＋②2 得x 2 25＋（y ＋1） 2 16 ＝1. (3)由?????x ＝1＋32t y ＝2－12t 得?????x －1＝3 2t y －2＝－12t ， ① ② ②÷①得 y －2x －1＝－33，∴y －2＝－3 3 (x －1)(x ≠1) ∴3x ＋3y －6－3＝0， 又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由???? ?x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2得? ??? ?x 2＝4t 2 （1＋t 2）2 y 2＝1＋t 4－2t 2（1＋t 2） 2 ， ① ② ①＋②得x 2＋y 2 ＝1. 参数方程 目标认知 学习目标： 1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程； 2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。 重点、难点： 理解参数方程的概念及转化方法，重点掌握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；以及利用参数建立点的轨迹方程。 知识要点梳理: 知识点一：参数方程 1. 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数： ，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系 间的关系的变数叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等. 把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化围。互化时，必须使坐标x, y的取值围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。 知识点二：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程 （1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）； 其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）； 其中的几何意义为：若是直线上一点，则。 （3）若直线l的倾角a=0时，直线l的参数方程为. 2．圆的参数方程 （1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为： 参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程 αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg 曲线的参数方程(孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 １、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,形 成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一)曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时,蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时,蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、Ｂ、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、ｔ,方向忽略不计 (1)第一组图中，A与B角速度之间的关系是__＿＿_________＿_； (２）第二组图中，A与C角速度之间的关系是_________＿_____; B与C角速度之间的关系是_＿________＿___＿＿; 思考2： 思考: 若齿轮A、Ｂ、Ｃ的半径分别为4、1、2,他们转动时的角速度分别是x、y、t,方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是__＿_＿＿__＿_____＿__； (2） 第二组图中,它们角速度之间的关系是_＿_＿_____＿＿_____＿; 引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 (1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣；２、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；４、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） (二)曲线的参数方程 例１、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点,半径为r ,0OP 所在直 线为x 轴,如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以 匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如 何建立呢？（其中r 与ω为常数,t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知: ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω,运动所用的时间为t ,则角位移t ωθ=,那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得:),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力） （３)方程①、②是否是圆心在原点,半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知:对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t (或θ）的值,使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =,θcos r x =)都成立。 对于变数t （或θ)的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上; (1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;２、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明以上由变数t (或θ)建立起来的方程是圆的方程；） （４）若要表示一个完整的圆,则t 与θ的最小的取值范围是什么呢? ? )2,0[sin cos ωπωω∈???==t t r y t r x , )2,0[sin cos πθθ θ∈???==r y r x (5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①(或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 (６)圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ)参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 是否表示同一曲线?为什么？ 14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数） ，答：x t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 . 吴老师2015一对一辅导教案 学生姓名 年级 高三 上课时间 学科 数学 教学课题 坐标系与参数方程(4-4) 教学目标 1． 掌握定义及应用公式 教学重点与难点 结合考点特点，灵活应用 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任 意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则? ?? ?? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，? ??? ? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 2．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20 －r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ??? ?a ，π 2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. (1)将参数方程化为普通方程，再利用相关知识解决，注意消参后x ，y 的取值范围． (2)观察参数方程有什么几何意义，利用参数的几何意义解题． 2．已知直线l 的参数方程为? ???? x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2 ＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距 离的最大值． [例3] (2013·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ??? ?θ－π 4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标； (2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为???? ? x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)， 求a ，b 的值． 3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为??? x ＝3cos α， y ＝sin α (α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ??? ?θ＋π 4＝4 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标． 一、解答题 1 1 .已知直线l 的参数方程为?? ?=+=t y t x 32 (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为12cos 2 =θρ (1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.极坐标和参数方程基础知识及重点题型word版本
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