最新(高等数学)第六章定积分(全部)
(高等数学)第六章定积分(全部)
第六章定积分
第一节概念及性质
一.定积分问题举例
1.引例1.曲边梯形的面积
引：在农业生产中，我们经常会遇到丈量土地面积的问题.在工厂中，又会遇到计算生产材料的面积问题.如果所遇到的需要计算面积的图形（见图1）是不规则的，人们一般采用分割法.
（1）曲边梯形的概念
设函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上非负、连续，由直线?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...?所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线?Skip Record If...?称为曲边.
（2）求曲边梯形的面积?Skip Record If...?.
第一步（分割）：在?Skip Record If...?内任意插入?Skip Record If...?个分点：?Skip Record If...?，把?Skip Record If...?分成n个小区间.第?Skip Record If...?个小区间记为：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，同时?Skip Record If...?也代表第i个小区间的长度(?Skip Record If...?
?Skip Record If...?),则?Skip Record If...?.
第二步（代替）：注意到由于?Skip Record If...?是连续函数，只要划分足够细，每个小曲边梯形的高在对应的小区间上可近似看作不变，即可以任取一点?Skip Record If...?，以?Skip Record If...?的值作为?Skip Record If...?的高.则这时的小曲边梯形可近似看作小矩形.
所以?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?.
第三步（求和）：?Skip Record If...?.
第四步（取极限）：为精确值，要求把?Skip Record If...?无限地细分下去，即要使每一个小区间的长度都趋于零.这时，所有窄矩形的面积之和的极限可定义为曲边梯形的面积.记?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?.
2.引例2.求变速直线运动的路程.
设某物体做直线运动，已知速度?Skip Record If...?是时间间隔?Skip Record If...?上t的连续函数，
且?Skip Record If...??Skip Record If...?.试计算在这段时间内物体所经过的路程?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?.
注意：上述两个引例的背景相差很大，但两问题的最终解决却都归结为求一个特殊和式的极限.这种极限的得到可归纳为九个字思想：分割、代替、求和、取极限，而最终是要求一个特殊形式的和式的极限。为此，引入定积分的概念。
二.定积分定义及其几何意义
1.定义1：设函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有界，在?Skip Record If...?中任意插入n-1个分点：?Skip Record If...?，把?Skip Record If...?分成n个小区间?Skip Record If...??Skip Record If...?.在每一个小区间?Skip Record If...?上任取一点?Skip Record If...?，做乘积?Skip Record If...?，求和?Skip Record If...?，令?Skip Record If...?.如果当?Skip Record If...?时，无论对?Skip Record If...?如何划分，也无论?Skip Record If...?如何选取，?Skip Record If...?总存在而且相等，则称?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上可积，并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上的黎曼（Riemann）积分，简称定积分，记为?Skip Record If...?.?Skip Record If...?分别称为积分的下、上限.
注意：（1）?Skip Record If...??Skip Record If...?用?Skip Record If...?定义应怎样叙述？
如果对于?Skip Record If...?总?Skip Record If...?使无论对?Skip Record If...?如何划分，也无论?Skip Record If...?如何选取，
只要?Skip Record If...?，就有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上的定积分；
（2）?Skip Record If...?；
（3） ?Skip Record If...?，称为积分和式，问积分和式
（a）与被积函数有关吗？
（b）与被积区间有关吗？
(c)和被积区间的划分有关吗？
(d)与点?Skip Record If...?的选取有关吗？
（4）?Skip Record If...??Skip Record If...?
（a）与被积函数有关吗？
（b）与被积区间有关吗？
(c)和被积区间的划分有关吗？
(d)与点?Skip Record If...?的选取有关吗？
（5）定积分与积分变量的记号无关.
（6）问?Skip Record If...?与?Skip Record If...?等价吗？（一般说不行，但在等分时可以）
（7）注意：定积分的定义中并不要求?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上非负、连续.
（8）定积分的几何意义----曲边梯形面积的代数和.
例1.利用定积分的几何意义计算：
（1）?Skip Record If...?；
（2）?Skip Record If...?；
（3）?Skip Record If...?.
三.定积分的存在性
1.设函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续，则?Skip Record
If...?一定存在；
2.设函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有界，且只有有限个第一
类间断点，则?Skip Record If...?一
定存在.
例2.根据定积分的定义计算?Skip Record If...?.
注意到：?Skip Record If...?，而?Skip Record If...?说明就此例来说，可通过先求不
定积分得到原函数，然后，对原函数再代入上、下限做差的办法求出定积分的值
那么，是否对任何的定积分都可用此法来求解？我们这里暂且不讲，放在后面再
讲。我们仅指出：这种方法是可行的，而且绝大多数定积分是用此法算出来的. 即?Skip Record If...?，此公式称做牛—莱公式，又叫做微积分基本
公式.我们将在以后给以证明，这里允许大家提前用.
例3．求?Skip Record If...?
解：?Skip Record If...?
例4．求?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
注意：?Skip Record If...?属广义积分，其求法以后再讲.
四．定积分的性质
1．两点补充规定：（1）?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?
2.定积分的性质
性质1.?Skip Record If...?.
性质2.?Skip Record If...?.
推论：?Skip Record If...?.
性质3.如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设?Skip Record If...?，则
?Skip Record If...?.
证明：因为函数 ?Skip Record If...?存在，所以不论把?Skip Record If...?怎样分，积分和的极限总是不变的.因此，可在划分区间时，使c永远是一个分点，那么?Skip Record If...?上的积分和等于?Skip Record If...?上的积分和加上?Skip Record If...?上的积分和.记为：
?Skip Record If...?=?Skip Record If...??Skip Record If...?.
令?Skip Record If...?，上式两端同时取极限，即得：?Skip Record If...?.
注意：(1)性质3称为定积分对积分区间具有可加性；
(2)其实，无论?Skip Record If...?相对位置如何，总有等式
?Skip Record If...?成立。比如：?Skip Record If...?，
由于
?Skip Record If...? ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?.
性质4.?Skip Record If...?.
性质5.（比较性质）.如果在区间?Skip Record If...?上?Skip Record If...?，则
?Skip Record If...?.
证明：因为?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，又由于?Skip Record If...?，
因此，?Skip Record If...?.令?Skip Record If...?，即可得要证的不等式.
推论1.如果在区间?Skip Record If...?上?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?. 推论2.?Skip Record If...?.
性质6.设?Skip Record If...?分别是函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上的最大值与最小值，则?Skip Record If...?.
证明：因为?Skip Record If...?，所以由性质5之推论1，可得：
?Skip Record If...?.
注意：（1）性质6又称估值定理。利用这个性质，可以估计积分值的范围；
（2）当?Skip Record If...?时，性质6的几何意义是：以曲线?Skip Record If...?为顶、以?Skip Record If...?为底的曲边梯形的面积介于以m及M为高且有共同底的两矩形的面积之间（作图）.
性质7.（积分中值定理）如?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续，则在?Skip Record If...?上至少有一点?Skip Record If...?，
使：?Skip Record If...?。
证明：因为?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续，所以?Skip Record If...?必可在区间?Skip Record If...?上取到最小值m及最大值M.由性质6，得： ?Skip Record If...?
上式两边同除以?Skip Record If...?得：
?Skip Record If...?，所以，由闭区间上连续函数的介值定理，知：
在?Skip Record If...?上至少有一点?Skip Record If...?，使：?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?.
高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+ 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+? 第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d （3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间， 高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边 梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2 梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 （如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ， 将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区 授课单元12教案 教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b?????? 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x 第5章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 若()()F x f x '=，则()d ()f x x F x C =+?， C 为积分常数不可丢！ 性质1()d ()f x x f x ' ??=???或 d ()d ()d f x x f x x =?或()d ()d f x x f x dx ??=??? 性质2()d ()F x x F x C '=+?或d ()()F x F x C =+? 性质3[()()]d f x g x x αβ±?()d ()d f x x g x x α β=±?? 或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x += +??? ；()d ()d kf x x k f x x =??. 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式 d k x =?k x C +d x x μ=?111x C μμ+++(μ为常数且1μ≠-) 1d x x =?ln x C + e d x x =?e x C +d x a x =?ln x a C a + cos d x x =?sin x C +sin d x x =?cos x C -+ 2d cos x x =?2sec d x x =?tan x C +2d sin x x =?2csc d x x =?cot x C -+ sec tan d x x x =?sec x C +csc cot d x x x =?csc x C -+ 2d 1x x =+?arctan x C +（arccot x C -+）=arcsin x C +（arccos x C -+） 直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法： 1.第一类换元法（凑微分法） ()()()d (())()d (())d () ()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ??????=='====+????. 注 (1)常见凑微分： 2111(), (),2), (ln ||) 2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+ 21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==- 授课单元12教案 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的近似值，即表成乘积i i x f ?ξ)(的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分 ()()i n i i b a x f dx x f ?ξ=∑?=→λ1 lim （即整体量） ． 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实际应用时，为了方便，一般把计算在区间[]b a ,上的某个量Q 的定积分的方法简化成下面的两步：： （1） 确定积分变量x ，求出积分区间],[b a （2） 在区间],[b a 上，任取一小区间],[dx x x + ，并在该小区间上找出所求量Q 的微分元素 dQ ＝dx x f )( （3） 写出所求量Q 的定积分表达式 dx x f Q b a ?=)( 用以上两步来解决实际问题的方法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 1、．由)(x f y =，b x a x ==,及ox 轴所围成图形面积公式 ()b a A f x dx = ? 1'、(),,x y y c y d ?===及y 轴所围成图形面积公式()d c A y dy ?=? 例 求曲线3 x y =与直线2,1=-=x x 及x 轴所围成的图形面积 解 4 17 2 30 1 3= +- =?? -dx x dx x s 2、由两条连续曲线()x y y 2=和()()()()x y x y x y y 211≤=与直线)(,b a b x a x <==所围成平面图形（如图1）的面积()()[]dx x y x y A b a ?-=12 图1 图2 2'、由两条连续曲线()y x x 2=和()()()()y x y x y x x 211≤=与直线)(,d c d y c y <==所 围成平面图形(如图2)的面积 ?-=d c dy y x y x A )]()([12 第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 2 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程 高等数学教案—定积分的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 i. 一.定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点： (1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [],a b 有关，且在该区间上具有可 加性. 就是说，F 是确定于 [],a b 上的整体量，当把 [],a b 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1 n i i F F == ∑。 (2) 所求量F 在区间[],a b 上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [],a b 的长不成正比（否则的话，F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）. 用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δn i i F F ==∑; 第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ= 第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn i i F F ==∑≈ 1()Δn i i i f x ξ=∑； 第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的 1 ()Δn i i i f x ξ=∑极限，则得 1 lim ()Δ()d n b i i a i F f x f x x λξ→===∑?. 观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为 x ；i x ?换为 d x ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [],a b 上无限累加，即在 [] ,a b 上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算定积分应用的微元法： (一)在区间 [微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上 ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为F 的微 ); (二)将微元d F 在[],a b 上积分（无 限累加），即得 ()d .b a F f x x =? 微元法中微元的两点说明： (1)()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分d F ; (2)具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 x x f F d )(d = 二、用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. （1）曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及Ox 轴所围图形，如下左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b a A f x x =?. （2）由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积 [()()]d b a A f x g x x =-?. 第六章定积分的应用 习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积： (1) y x 2 6x 8, [0, 3] ( 2) y 2x x2 , [ 0, 3] 2．求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1) y e x , y e x与x1; ( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ; (3) y 2x x2与 y x , y 0 ; ( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ; (5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ; (6) y x2 与 y x , y 2x ; (7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ; (8) y x 2 , x 2 y 2 （两部分都要计算） ; 2 8 4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。 5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积。 2 7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。 x 2 y 2 1 所围图形的面积。 8．求椭圆 2 b 2 a 9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。 10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： (1) 2a sin (a 0) ; ( 2) 2a (2 cos ) (a 0); (3) 2 2 cos 2 （双纽线） ; 12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x ( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。 13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转 体的体积。 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1) y ach x 0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ; 与 x a ( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ; (3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ; 2 ( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ; (5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ; (6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ; 15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积。 16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 17. 一立体以椭圆x 2 y2 1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25 求其体积。 第五章 定积分 教学目的： 1、 理解定积分的概念。 2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、 定积分的概念 2、 积分中值定理 3、 定积分的换元积分法分部积分法。 4、 变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔?t i , 在每个小的时间间隔?t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔?t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔?t i 内 运动的距离近似为?S i = v (τ i ) ?t i . 把物体在每一小的时间间隔?t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点 T 1=t 0< t 1< t 2 第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）； （3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间[]R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ??---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2R A =，于是 22π202π20ππ22 1d 21d R R R A A =?===??θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是 20 20π2π2d π2R r r r A R R =?==?． 问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值?-=b a x x f a b u d )(1是有限个数的算术平均值的推广． 解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,???的算术平均值为 y y y y n n y n k k n =++???+==∑()/121 1， 对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<高等数学积分公式大全
高等数学 第七章 定积分的应用
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