临界力和欧拉公式

第二节临界力和欧拉公式

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杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限度称为临界力P cr。它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。

为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：

(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即

(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即

(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即

(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数μ，列于表1-10。

表1-10 压杆长度系数

为计算方便，写成

细长中心受压直杆临界力的欧拉公式

对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力

cr P ，的作用下处于不稳定直线

形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。这是压杆稳定问题中最简单的一种。由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。现假设压杆轴线在临界力

cr P 作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。在图示的坐标系下，压力cr

P 取正值，位移忙V=f(x)以沿y 轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。压杆任一x 截面上弯矩为

将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界

条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力cr P 。

这个临界

力实际也就是使压杆维持微弯平衡的最小压力．．．．．．．．．．．．．．。将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得

其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。令

公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程

其通解为

式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。由x =0，v =0的边界条件可得

因此式(7-1e)可化为

利用杆的另一边界条件x =L ,

v =0代入式(7-1f)可得

这就要求A =0或sin k L =0。若A =0，则由式(7-1f)可得v =0，即杆的挠度为零，这和假定杆在临界力

cr P 作用下维持微弯状态的平衡的前提相矛盾。

因此，只可能

这就是压杆有可能在微弯形态下维持平衡的必备条件。由此还可进一步求出压杆的临界力cr P 。

由式(7-1g)可知

故

将此关系代入式(7-lc)得

所以

由于使杆维持微弯平衡的最小压力才是临界力，故在公式(7-1i)中应取n =l 。于是得欧拉(L.Euler)在1774年推得的公式，常称欧拉公式，即

由于杆的两端系球铰，它对端截面的转动约束在各方向上都是相同的，而杆的弯曲变形总是发生在抗弯能力最弱的主惯性平面内，故上式中的，应是横截面的最小形心主惯性矩

min I 。

另外，当x =2L 时，令v =δ代入式(7-1f)，考虑到当n =l 时，k =π

故式(7-1f)可化为

δ的具体值无法确定，似乎压这说明两端铰支压杆的挠曲线是一个半波正弦曲线。式(7-2b)中

δ可取任意值。之所以这样，是因为推导杆在临界压力作用下于微弯状态时的平衡是随遇的，

过程中采用了挠曲线近似微分方程的缘故。若采用挠曲线的精确微分方程，则挠曲线中点的挠

δ与轴向压力P存在一一对应关系(见图7-2(b))。

度

不同杆端约束-F 细长压杆临界力的

欧拉公式·压杆的长度系数

在工程中，除了两端铰支的压杆外，还会遇到其他不同形式的杆端约束的情况。对于这些情况下压杆临界力的公式，可用与上节相同的方法来推导。当然这里我们仍然强调，压杆在临界力的作用下于微弯状态时仍处于弹性范围内。压杆的临界力也可通过变形类比的方法得出。以一端固定、一端自由的细长压杆为例，其在微弯状态的平衡如图7-4(b)所示。将它和两端铰支杆在微弯形态下的挠曲线(图7-4(a))相比较，可见它的变形曲线和两端铰支杆的变形曲线的上半部是一样的。设想将图7-4(b)所示的曲线对称的延长一倍，所得的曲线将完全和图7-4(a)所示的曲线一样。在弹性范围内，相同的变形对应相同的力，故一端固定，一端自由，长为L 的压杆的临界力就等于两端铰支但长度为2L 的压杆的临界力，故此种压杆的临界力应为

对于两端固定的细长压杆，其失稳后挠曲线如图7-4(c)所示。在距两端为上4L 处，挠曲线有拐点，此处的弯矩为零，因而可把该处视为一个铰，这样就可把其中长为2L 的中间部分当作是两端铰支的杆。因此，由前面相似的论证可知，两端固定，长为L 的压杆的临界力就等于两端铰支但长度为2L 的压杆的临界力，故此种压杆的临界力应为

同样，对一端固定，一端铰支的细长压杆，其失稳后挠曲线如图7-4。对于这种情况可近似地把长为0.7L 他的那一部分杆当作两端铰支杆，故

综上所述，以上各式可统一写成

这就是细长压杆欧拉公式的普遍形式。式中L μ是把不同支座约束条件下的压杆折算成和其临界力相当的两端铰支杆时所用的一个折算长度，称为相当长度。称为长度系数，图7-4中列出了各种情况下压杆的长度系数。

以上几种约束只是几种典型的情况，实际问题中压杆的支座还可有其他形式。例如杆端与其他弹性构件固接的压杆，这种情况相当于压杆的端面是介于固定支座和铰支座之间的弹性支座。另外，作用在压杆上的荷载也可以有不同的形式。例如压力可以是沿压杆轴线分布而不是集中作用在杆的两端。所有这些因素对压杆临界力的影响，可以用不同的长度系数μ值来反映。在有关的设计规范中对各种压杆μ值的选取均有具体的规定。

例题7-1 例题7—1图(a)所示为两端固定，但上端可有水平位移的等截面细长中心受压直杆，其长度为l ，抗弯刚度EL 。试推导其临界力

cr P ，的欧拉公式，并求出挠曲线方程。

解：在临界力

cr P 作用下，

压杆可在图(b)所示的微弯状态下维持平衡。此时杆上端B 处有支反

力偶矩m ，转向如图示。杆任意x 横截面上的弯矩为

此时，压杆挠曲线近似微分方程为

引入参数

可得

此微分方程通解为

其一阶导数为

由下端A 处的边界条件x =0, v =0, '

v =0可得

于是由式(7-5a)有

再由上端B 处的边界条件x =l ，

v = ,'v =0可得

由式(7-5e)可知，使压杆微弯条件下维持平衡的条件为

满足此条件的最小非零解为

故此压杆临界力的欧拉公式为

将kl π=代入式(7-5d)得

将

代入式(7-5c)，压杆挠曲线方程

现在讨论此挠曲线的拐点。为此，取二阶导数

当

故杆的中点C 即为挠曲线的拐点，亦即该点处的弯矩

()2

=又由式(7-5f)可知，该点处挠

度为2δ

。

欧拉公式的应用

欧拉公式的应用绪论本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数

目录绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)

一、绪论欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用．二、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用．欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法．证明令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈．首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+．因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ，所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．

欧拉公式的证明和应用

数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一.序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 极限法 --------------------------------------3 指数函数定义法-------------------------------4 分离变量积分法-------------------------------4 复数幂级数展开法-----------------------------4 变上限积分法---------------------------------5 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用求高阶导数-----------------------------------7 积分计算------------------------------------8 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 求函数级数展开式----------------------------9 三角级数求和函数----------------------------10 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言

欧拉公式推导

欧拉公式推导：图4.3所示的两端铰支杆件，受轴向压力N 作用而处于中性平衡微弯状态，杆件弯曲后截面中产生了弯矩M 和剪力V ，在轴线任意点上由弯矩产生的横向变形为1y ，由剪力产生的横向变形为2y ，总变形21y y y +=。 y 图4.3 两端铰支的轴心压杆临界状态设杆件发生弯曲屈曲时截面的临界应力小于材料比例极限p f ，即p f ≤σ（对理想材料取y p f f =）。由材料力学可得： EI M dz y d -=2 12 由剪力V 产生的轴线转角为： dz dM GA V GA dz dy ?=?==ββγ2 式中 A 、I ——杆件截面面积、惯性矩； E 、G ——材料的弹性模量、剪切模量； β—— 与截面形状有关的系数。因为 222 22dz M d GA dz y d ?=β 所以 2222122222d y d y d y M d M dz dz dz EI GA dz β=+=-+? 由 y N M ?=得： 2222dz y d GA N y EI N dz y d ?+?-=β

01=?+??? ??-''y EI N GA N y β 令 ??? ??-=GA N EI N k β12 得常系数线性二阶齐次方程 20y k y ''+= 其通解为：sin cos y A kz B kz =+ 由边界条件：;0,0==y z 0=B ，kz A y sin =。再由0,==y l z 得： 0sin =kl A 上式成立的条件是0=A 或0sin =kl ，其中0=A 表示杆件不出现任何变形，与杆件微弯的假设不符。由0sin =kl ，得πn kl =（=n 1，2，3…），取最小值=n 1，得π=kl ，即 2 221N k N l EI GA πβ==??- ??? 由此式解出N ，即为中性平衡的临界力cr N 12222222211Ι11γππβππ?+?=?+?=l ΕΙl ΕGA l ΕΙl ΕΙ N cr （4.6）临界状态时杆件截面的平均应力称为临界应力cr σ 12 22211γλπλπσ?+?==ΕΑΕA N cr cr （4.7）式中 1γ——单位剪力时杆件的轴线转角，)/(1GA βγ=； l ——两端铰支杆得长度； λ——杆件的长细比，i l /=λ； i ——杆件截面对应于屈曲轴的回转半径，A I i /=。如果忽略杆件剪切变形的影响（此影响很小）则式（4.6）、（4.7）变为： 22cr E πσλ = （4.8）

欧拉公式的证明(整理)Word版

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。方法一是不严格的。再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2

欧拉公式的应用

滨州学院毕业设计（论文）题目欧拉公式的应用系（院）数学与信息科学系专业数学与应用数学班级 2004级本科四班学生姓名杨明证学号 2004040635 指导教师徐化忠职称讲师 2008年04月18日

欧拉公式的应用摘要本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数

Euler's Formula for the Application Abstract This text first introduced the Euler's formula and the generalized Euler's formula, and then briefly discussed the characteristics of the Euler's formula. The form of the Euler's formula is numerous ,and the application of the Euler's formula is extensive, this text researches the Euler's formula in the Triangle Function in detail, the Euler's formula in the application of the trigonometric series、the demonstration of the trigonometric identity, the solution of the problems of the trigonometry、the search of the complicated triangle ,the complex triangular transformation can be avoided , the problems can be resolved with more visualized algebraic operation . On the other hand, the use of the decreasing powers of the Euler's formula can express the sine function and the cosine function of higher-power as the algebraic addition of the function of the first power, To overcome the inconvenience of the high-power function in computation. Key words: Euler's formula trigonometric function series of decreasing powers triangular numbers

欧拉公式的证明

欧拉公式的证明文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

欧拉公式的证明着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：??? 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是 e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,

siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。方法一是不严格的。再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有:

欧拉公式的证明和应用

欧拉公式的证明和应用https://www.360docs.net/doc/6e9236033.html,work Information Technology Company.2020YEAR

数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一 .序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 1.1 极限法 --------------------------------------3 1.2 指数函数定义法-------------------------------4 1.3 分离变量积分法-------------------------------4 1.4 复数幂级数展开法-----------------------------4 1.5 变上限积分法---------------------------------5

1.6 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用 2.1 求高阶导数-----------------------------------7 2.2 积分计算------------------------------------8 2.3 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 2.4 求函数级数展开式----------------------------9 2.5 三角级数求和函数----------------------------10 2.6 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。本文关注的欧拉公式x i x e ix sin cos +=，在复数域中它把指数函数联系在一起。特别当π=x 时,欧拉公式便写成了01=+πi e ，这个等式将最富有特色的五个数π,,,,10e i 绝妙的联系在一起，“1是实数的基本单位，i 是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。i 源于代数，

欧拉公式的证明(整理)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。方法一是不严格的。再请看这2个积分 ∫sqr t(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;

欧拉公式的证明

欧拉公式的证明（是我摘录的） 2008/10/23 16:49 看到了q239urju空间里关于欧拉公式的证明。本着为人民服务的思想，我在此做一些补充：方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）（就是q239urju空间里的那个）再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。方法一是不严格的。

a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2 由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为: a^(it)=cosθ+isinθ 3 设t=u(θ),对3微商有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ整理有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有: u'(θ)=logae 4 4取积分有: T=(logae)*θ+Ψ 5 θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有: a^(iΨ)=1 即: Ψ=0 6 6代入5有: T=(logae)*θ 7 7代入3有: [a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ化简得欧拉公式: e^(iθ)=cosθ+isinθ （后两者才是真正让我震惊的！！！！）

欧拉公式的证明方法和应用

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欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，复指数定义法用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 类比法求导法通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x i x x f e ix sin cos )(+= ， 0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix sin cos += 分离变量积分法

复数欧拉公式的证明和应用

复数欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]， π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比” 。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 2.1幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 2.2复指数定义法用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 2.3类比法求导法通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x i x x f e ix sin cos )(+= ， 0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix sin cos += 2.4分离变量积分法假设x i x z sin cos +=，求导得 iz dx dz =，通过分离变量得,idx z dz =，然后两边取积分得

《欧拉公式及其应用》

华北水利水电大学题目《欧拉公式及其应用》课程名称：高等数学（2）专业班级：电子信息工程2012154 成员组成：联系方式： 2013年5月31 日

摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式，证明，应用英文题目"Euler formula and its application" Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the. Key words: Euler formula Prove application

欧拉公式的证明方法和应用

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欧拉公式的证明方法和应用

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欧拉公式 θ θθ sin cos i e i +=的证明方法和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有 1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、 π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，

欧拉公式的证明方法和应用

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欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即 01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1 是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，

欧拉公式的证明

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欧拉公式的证明着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i,e,π,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：???设z=x+iy这样e^z=e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x=e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把e^(iy)展开，就得到 e^z/e^x=e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于cosy=1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny=y-y^3/3!+y^5/5!-....

所以e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即e^(iy)=(cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinzcosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。方法一是不严格的。再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设atθ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ)1 因共轭解适合方程,用-i替换i有:

欧拉公式的证明方法和应用精编WORD版

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欧拉公式 θ θθ sin cos i e i +=的证明方法和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 2.1幂级数展开式的证明法