欧拉公式的证明和应用
数学文化课程报告
欧拉公式的证明与应用
一.序言------------------------------------------------------------------------2
二.欧拉公式的证明--------------------------------------3
极限法 --------------------------------------3
指数函数定义法-------------------------------4
分离变量积分法-------------------------------4
复数幂级数展开法-----------------------------4
变上限积分法---------------------------------5
类比求导法-----------------------------------7三.欧拉公式的应用
求高阶导数-----------------------------------7
积分计算------------------------------------8
高阶线性齐次微分方程的通解------------------9
求函数级数展开式----------------------------9
三角级数求和函数----------------------------10
傅里叶级数的复数形式-------------------------10四.结语------------------------------------------------11参考文献-----------------------------------------------11
一．序言
欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数
的以其名字命名的公式。本文关注的欧拉公式x i x e ix sin cos +=，在复数域
中它把指数函数联系在一起。特别当
π
=x 时,欧拉公式便写成了
01=+πi e ，这个等式将最富有特色的五个数π,,,,10e i 绝妙的联系在一起，
“1是实数的基本单位，i 是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。i 源于代数，π源于几何，e 源于分析，e 与π在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数，居然
和谐的统一在一个式子中。”[2]公式01=+π
i e 成为人们公认的优美公式，
被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。
二. 欧拉公式的证明
欧拉公式x i x e ix sin cos +=有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是复指数函数定义法[2]；另外从对数函数特征性质x
dx x d 1
ln =或x x
e dx
de =出发[3]，利用微分方程分离变量积分法；再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]；再其次采用变上限积分法验证；最后利用Lagrange 中值定理的推论来证明[3]。 极限法
当0=x 时，欧拉公式显然成立；
当0≠x 时，考虑极限),(,)1(lim N n R x n
ix n
n ∈∈+
∞
→， 一方面，令ix
n t =
则有
ix ix t t n n e t
n
ix =+=+∞
→∞→])11[(lim )1(lim ；
（1）
另一方面，将n
ix +1化为三角式，得
))](sin(arctan ))n([cos(arcta )(112n
x
i n x n x n ix ++=+
； 由棣莫弗公式得
))]arctan(sin())arctan([cos(])(1[)1(22n
x
n i n x n n x n ix n
n ++=+，
而
,cos )arctan(lim cos ))arctan(cos(lim ,1lim ])(1[lim ])(1[lim 022
.).()(22
22
22x n
x
n n x n e e n x
n x n n n
x n n n x x n n n
n =====+=+∞→∞→∞→∞→∞→
x n
x
n n x n n n sin )arctan(lim sin ))arctan(sin(lim ==∞→∞→， 所以有
,sin cos )1(lim x i x n
ix n
n +=+
∞
→ （2）
由（1）、（2）两式得
x i x e ix sin cos +=。
指数函数定义法
因为对任何复数),(,R y x iy x z ∈+=，复指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+[4] 所以，当复数z 的实部x=0时，就得
y i y e iy sin cos +=。 分离变量积分法
设复数)(,sin cos R x x i x z ∈+=,两边对x 求导数，得
iz x i x i x i x i x i x dx
dz
=+=+=+-=)sin (cos cos sin cos sin 2，
分离变量并对两边积分，得
??=idx dz z
1
，c ix z +=ln ，
取0=x ，得
0,0sin cos ==+=c x i x z ，
故有ix z =ln ，即
x i x e ix sin cos +=。
复数幂级数展开法
+-+++-=)!
2()1(!4!21cos 242n x x x x n
n )(,)!2()1(0
2R x n x n n
n ∈-=∑+∞
=， +++++=)!
2()(!4)(!2)(1cos 242n ix ix ix x n
)(,)!
2()(02R x n ix n n
∈=∑+∞
=
++-+++-
=++)!
12()1(!5!3sin 1
2253n x x x x x n n
)(,)!12()1(0
1
22R x n x n n n ∈+-=∑+∞
=++，
++-+++-
=++)!
12()1(!5!3sin 12253n ix ix ix ix x i n n ++++++
=+)!12()(!5)(!3)(!11
253n ix ix ix ix n )(,)!
12()(01
2R x n ix n n ∈+=∑
+∞
=+ ++++
+=!
)(!2)(!112n ix ix ix e n
ix
)(,!
)(0R x n ix n n
∈=∑+∞
=，
∑∑+∞=++∞
=++=+0
1
202)!12()()!2()(sin cos n n n n n ix n ix x i x
ix n n
e n ix ==∑+∞
=0
!)(。 变上限积分法 考虑变上限积分dt t y
?+021
1
因为
y t dt t y y
arctan arctan 11
|00
2==+?
，
又因为
dt t i t i dt t y y
)111(211
100
2--+-=+??
]ln )[ln(2)]ln(ln )ln()[ln(2|)]ln()[ln(20
i
i i y i y i i i i y i y i
i t i t i y
-+-+=-+---+=--+=
)]1ln(1
)([ln 222
-+++=y i y i 。 再设 θ=y arctan ，由此得θtan =y ，即
)]1ln(1
)([ln 222
-+++=y i y i θ
)]1ln(1tan )(tan [ln 22
2-+++=θθi i ]sec )(tan [ln 222θθi i +-= ]1
)(tan cos [ln 222i i +-=θθ 222222))sin()ln(cos(2
))(sin )cos()sin(2)(ln(cos 2)sin cos sin 2ln(cos 2θθθθθθθθθθ-+-=-+--+-=--=
i i
i i i
i i
))sin()ln(cos(θθ-+-=i i ；
令 θ-=x
),sin ln(cos x i x ix +=
))sin()ln(cos()(θθθ-+-=-i i ,
即有
x i x e ix sin cos +=。
类比求导法
构造辅助函数x
i x e x f x
sin cos )(+=,为在),(+∞-∞=I 上处处有ix e 和x
i x sin cos +可导，且0sin cos ≠+x i x ，所以在区间),(+∞-∞=I 上，)(x f 处处可导，且
2
)sin (cos )
sin sin ()sin (cos )(x i x x i x e x i x ie x f x x ++--+=
' 02sin 2cos )
cos sin sin cos (=+-+-=
x
i x x i x x x i e ix ; 根据Lagrange 微分中值定理的一个重要推论“如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为0,那么)(x f 在区间I 上是一个常数”， )(x f 在区间I 上是一个常数,即存在某个常数C ， 使得),(+∞-∞=∈?I x ，都有
c x f ≡)(; 又因为1)0(=f ，所以1=c ，从而1)(≡x f ，
即
x i x e ix sin cos +=。
三. 欧拉公式在高等数学的应用举例
欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用
外
，
在
高
等
数
学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明。 求高阶导数
设)(,4cos )()(3x f x e x f n x 求-=。
解: 设3
4arctan ,4sin )(3-==-?x e x g x ,并记)()()(x ig x f x F +=，
根据欧拉公式，有
x
i n i x
i n n x i x e
e e
i F
e x i x e x F )43()43()
()43(3)5()43(,)4sin 4(cos )(+-+-+---=+-==+=?
i
x n x n
e
)4(3)5(++--=?
)]4sin()4[cos()5(3x n i x n e x n +++-=-??, 分离其实部和虚部，即可得所求之结果
)3
4
arctan 4cos()5(3)(n x e f x n n --=-。
积分计算
求不定积分：xdx xe x 3sin 2?和xdx xe x
3cos 2?。
解：记xdx xe x g xdx xe x f x x 3sin )(,3cos )(22??==，则
??+=+xdx xe i xdx xe x ig x f x x 3sin 3cos )()(22 ,
c x x x x e x x x x e c x i x i x x e c e i x x e c
e i e x i c e i e x i c e i e x i c e i e x i xde i dx x i x xe x
x x ix x x i x i x i x i x i x i x i x i x
i x +++-+-++=++?--+=+?--+=+++?-=+++?-=++-?+=++-?+=+=
+=+++++++++??]3sin )526(cos )3912[(169
]3sin )1239(cos )526[(169)3sin 3(cos ])1239()526[(169])1239()526[(1691691251693926169
1251332)32(1321]321[321321)3sin 3(cos 22232)32()32()32()32()32(2)32()32()32()32(2
分离实部和虚部（上式中c 为任意复数，1c 和2c 分别为其实部和虚部）
,]3sin )1239(cos )526[(1693cos 122C x x x x e xdx xe x
x
+-++=?
222]3sin )526(cos )3912[(1693sin C x x x x e xdx xe x
x
+++-=?。
高阶线性常系数齐次微分方程的通解 求微分方程014412'''')5(=+-y y y 的通解。 解：因为原方程的特征方程为:
0]108)6[(,0144122235=+-=+-λλλλλ即,
多面体欧拉公式的发现(一)
●教学时间 第九课时 ●课题 §9.9.1 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. ●教学重点 欧拉公式的发现. ●教学难点 使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. ●教学方法 指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. ●教具准备 投影片三张 第一张：课本P56的问题1及表1（记作§9.9.1 A） 第二张：课本P57的问题2及表2（记作§9.9.1 B） 第三张：课本P57的问题3及P58的问题4（记作§9.9.1 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方 程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别
欧拉公式
欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理学公式F=fe^ka 等。 复变函数 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 欧拉公式 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x 取作π就得到： 恒等式 e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式” 那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ =-1 那么e^iπ+1=0 这个公式实际上是前面公式的一个应用。 分式 分式里的欧拉公式：
欧拉公式的应用
欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数
目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)
一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．
欧拉公式推导
欧拉公式推导： 图4.3所示的两端铰支杆件，受轴向压力N 作用而处于中性平衡微弯状态，杆件弯曲后截面中产生了弯矩M 和剪力V ，在轴线任意点上由弯矩产生的横向变形为1y ，由剪力产生的横向变形为2y ，总变形21y y y +=。 y 图4.3 两端铰支的轴心压杆临界状态 设杆件发生弯曲屈曲时截面的临界应力小于材料比例极限p f ，即p f ≤σ（对理想材料取y p f f =）。由材料力学可得： EI M dz y d -=2 12 由剪力V 产生的轴线转角为： dz dM GA V GA dz dy ?=?==ββγ2 式中 A 、I ——杆件截面面积、惯性矩； E 、G ——材料的弹性模量、剪切模量； β—— 与截面形状有关的系数。 因为 222 22dz M d GA dz y d ?=β 所以 2222122222d y d y d y M d M dz dz dz EI GA dz β=+=-+? 由 y N M ?=得： 2222dz y d GA N y EI N dz y d ?+?-=β
01=?+??? ??-''y EI N GA N y β 令 ??? ??-=GA N EI N k β12 得常系数线性二阶齐次方程 20y k y ''+= 其通解为：sin cos y A kz B kz =+ 由边界条件：;0,0==y z 0=B ，kz A y sin =。再由0,==y l z 得： 0sin =kl A 上式成立的条件是0=A 或0sin =kl ，其中0=A 表示杆件不出现任何变形，与杆件微弯的假设不符。由0sin =kl ，得πn kl =（=n 1，2，3…），取最小值=n 1，得π=kl ，即 2 221N k N l EI GA πβ==??- ??? 由此式解出N ，即为中性平衡的临界力cr N 12222222211Ι11γππβππ?+?=?+?=l ΕΙl ΕGA l ΕΙl ΕΙ N cr （4.6） 临界状态时杆件截面的平均应力称为临界应力cr σ 12 22211γλπλπσ?+?==ΕΑΕA N cr cr （4.7） 式中 1γ——单位剪力时杆件的轴线转角，)/(1GA βγ=； l ——两端铰支杆得长度； λ——杆件的长细比，i l /=λ； i ——杆件截面对应于屈曲轴的回转半径，A I i /=。 如果忽略杆件剪切变形的影响（此影响很小）则式（4.6）、（4.7）变为： 22cr E πσλ = （4.8）
欧拉公式的证明和应用
数学文化课程报告 欧拉公式的证明与应用 一.序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 极限法 --------------------------------------3 指数函数定义法-------------------------------4 分离变量积分法-------------------------------4 复数幂级数展开法-----------------------------4 变上限积分法---------------------------------5 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用 求高阶导数-----------------------------------7 积分计算------------------------------------8 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 求函数级数展开式----------------------------9 三角级数求和函数----------------------------10 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言
欧拉公式的证明(整理)Word版
欧拉公式的证明 著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2
欧拉公式的应用
滨州学院 毕业设计（论文） 题目欧拉公式的应用 系（院）数学与信息科学系 专业数学与应用数学 班级 2004级本科四班 学生姓名杨明证 学号 2004040635 指导教师徐化忠 职称讲师 2008年04月18日
欧拉公式的应用 摘要 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数
Euler's Formula for the Application Abstract This text first introduced the Euler's formula and the generalized Euler's formula, and then briefly discussed the characteristics of the Euler's formula. The form of the Euler's formula is numerous ,and the application of the Euler's formula is extensive, this text researches the Euler's formula in the Triangle Function in detail, the Euler's formula in the application of the trigonometric series、the demonstration of the trigonometric identity, the solution of the problems of the trigonometry、the search of the complicated triangle ,the complex triangular transformation can be avoided , the problems can be resolved with more visualized algebraic operation . On the other hand, the use of the decreasing powers of the Euler's formula can express the sine function and the cosine function of higher-power as the algebraic addition of the function of the first power, To overcome the inconvenience of the high-power function in computation. Key words: Euler's formula trigonometric function series of decreasing powers triangular numbers
多面体欧拉公式的发现(二)共9页
●教学时间 第十课时 ●课题 §9.9.2 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.欧拉公式的证明. 2.欧拉公式的应用. （二）能力训练要求 1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路. 2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中. （三）德育渗透目标 继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力. ●教学重点 欧拉公式的应用. ●教学难点 欧拉公式的证明思路. ●教学方法 学导式 本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式
进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中. ●教具准备 投影片三张 问题5（1）（2）（记作§9.9.2 A） 第一张：课本P 59 第二张：本课时教案例1（记作§9.9.2 B） 第三张：本课时教案例2（记作§9.9.2 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨. Ⅱ.讲授新课 的欧拉公式的证明进行了自学，那么，［师］上节课我们已对课本P 58 谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？ ［生］将立体图形转化为平面图形. ［师］好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了. 那么课本中是怎样实现转化的呢？ ［生］把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本P 图9—85的多面体， 58
欧拉公式的证明和应用
欧拉公式的证明和应用https://www.360docs.net/doc/c93696768.html,work Information Technology Company.2020YEAR
数学文化课程报告 欧拉公式的证明与应用 一 .序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 1.1 极限法 --------------------------------------3 1.2 指数函数定义法-------------------------------4 1.3 分离变量积分法-------------------------------4 1.4 复数幂级数展开法-----------------------------4 1.5 变上限积分法---------------------------------5
1.6 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用 2.1 求高阶导数-----------------------------------7 2.2 积分计算------------------------------------8 2.3 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 2.4 求函数级数展开式----------------------------9 2.5 三角级数求和函数----------------------------10 2.6 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言 欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名 字命名的公式。本文关注的欧拉公式x i x e ix sin cos +=，在复数域中它把指数函数 联系在一起。特别当π=x 时,欧拉公式便写成了01=+πi e ，这个等式将最富有特 色的五个数π,,,,10e i 绝妙的联系在一起，“1是实数的基本单位，i 是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。i 源于代数，
欧拉公式的证明
欧拉公式的证明 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
欧拉公式的证明 着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：??? 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是 e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有:
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉公式的证明方法和 应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x i x x f e ix sin cos )(+= ， 0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix sin cos += 分离变量积分法
复数欧拉公式的证明和应用
复数欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]， π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比” 。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 2.1幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 2.2复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 2.3类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x i x x f e ix sin cos )(+= ， 0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix sin cos += 2.4分离变量积分法 假设x i x z sin cos +=，求导得 iz dx dz =，通过分离变量得,idx z dz =，然后两边取积分得
《欧拉公式及其应用》
华北水利水电大学 题目《欧拉公式及其应用》 课程名称：高等数学（2） 专业班级：电子信息工程2012154 成员组成： 联系方式： 2013年5月31 日
摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式，证明，应用 英文题目"Euler formula and its application" Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the. Key words: Euler formula Prove application
欧拉公式的证明(整理)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 欧拉公式的证明 著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqr t(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;
欧拉公式的证明
欧拉公式的证明（是我摘录的） 2008/10/23 16:49 看到了q239urju空间里关于欧拉公式的证明。本着为人民服务的思想，我在此做一些补充： 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）（就是q239urju空间里的那个） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。
a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2 由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为: a^(it)=cosθ+isinθ 3 设t=u(θ),对3微商有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ整理有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有: u'(θ)=logae 4 4取积分有: T=(logae)*θ+Ψ 5 θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有: a^(iΨ)=1 即: Ψ=0 6 6代入5有: T=(logae)*θ 7 7代入3有: [a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ化简得欧拉公式: e^(iθ)=cosθ+isinθ （后两者才是真正让我震惊的！！！！）
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造 x i x x f e ix sin cos )(+= ，0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f , 使得x i x e ix sin cos += 分离变量积分法 假设x i x z sin cos +=，求导得 iz dx dz =，通过分离变量得,idx z dz =，然后两边取积分
多面体欧拉公式与球
第 48 讲 多面体、欧拉公式与球 （第课时） 多面体、欧拉公式与球 ????? ????? ? ? ?? ? ? ????? ????? ???????多面体的内切球 体积面积计算球面距离截面球的性质球的概念球正多面体的概念欧拉公式多面体的概念 多面体 2．欧拉公式；3．球的概念和性质。 2．了解多面体的欧拉公式；3．了解球的概念，掌握球 2．有关球的考查一般以小题出现。 围成多面体的各个多边形叫做面，两个面的公共边叫棱，棱的端点叫顶点，不在同一个面内的两个顶点间的线段叫对角线。有n 个面的多面体叫n 面体（4≥n ）。 凸多面体：若把一个多面体的任意一个面沿展成平面，其余各面都在这个平面的同侧时，则称这个多面体为凸多面体。 简单多面体：表面能通过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面体。 2．欧拉公式 对于简单多面体，有： 顶点数（V ）+面数(F)-棱数（E ）= 2 。 例．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n 等于 （ ） A . 4 ； B . 5 ； C . 6 ； D . 7 。 分析： 先计算正n 面体的棱数，然后应用欧拉公式来解。
解：由题意有 8=V ，122 8 3=?= E ，则 682122=-+=-+=V E F ，故选C 。 例．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。 解 设：三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个。 3．正多面体 ⑴ 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。 ⑵ 名称 面的形状 每个顶点的棱 顶点数（V ） 面数（F) 棱数(E) 正四面体 正三角形 3 4 4 6 正六面体 正方形 3 8 6 12 正八面体 正三角形 4 6 8 12 正十二面体 正五边形 3 20 12 30 正二十面体 正三角形 5 12 20 30 4．球 ⑴ 定义 ① 球面: 半圆绕它的直径旋转一周所生成的曲面叫做球面。 ② 球: 球面围成的几何体叫球。 ③球面距离：经过球面两点的大圆在这两点间的劣弧的长叫做这两点的球面距离。 ⑵ 性质 ① 球的任意截面都是圆。其中过球心的截面叫大圆，不过球心的截面叫小圆。 ② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且球心到截面的距离 2 2 r R d -= ，其中R 是球半径，r 是截面半径。 ⑶ 面积公式 球面的面积：等于球的大圆面积的4倍，即 24R S π=球面 ，其中R 是球半径。 ⑷ 体积公式 球的体积：等于三分之四乘以3R π，即 33 4 R V π=球 ，其中R 是球半径。 ⑸ 球的直观图的画法 ① 如图，画三条坐标轴x 、y 、z ；
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉公式的证明方法和 应用 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即 01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1 是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉公式的证明方法和 应用 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
欧拉公式 θ θθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有 1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、 π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无 理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，