函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析 （同济大学第六版高等数学）

一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=

，其定义域为 。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2

x f y =的定义域为 。

6、43

2lim

23=-+-→x k

x x x ，则k= 。 7、函数x

x

y sin =

有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x

x

x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222n

n n

n n n n n 。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。

11、=++++∞→3

52352)

23)(1(lim

x x x x x x 。 12、3)2

1(lim -∞

→=+e n

kn n ，则k= 。

13、函数2

31

22+--=x x x y 的间断点是 。

14、当+∞→x 时，

x

1

是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x

e y 1=在x=0处是第 类间断点。

17、设1

1

3

--=

x x y ，则x=1为y 的 间断点。

18、已知33=⎪⎭

⎫

⎝⎛πf ，

则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设⎪⎩

⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x

x

x f x 若)(lim 0

x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2

-+=x x

x y 水平渐近线方程是 。 21、1

14)(2

2-+

-=

x x x f 的连续区间为 。

22、设⎩

⎨⎧>≤+=0,cos 0

,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数

a= 。

二、计算题

1、求下列函数定义域 （1）2

11

x

y -= ； （2）x y sin = ；

（3）x

e y 1= ；

2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2

== ；

（2）2)(,)(x x g x x f == ；

（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；

3、判定函数的奇偶性

（1）)1(22x x y -= ； （2）3

23x x y -= ；

（3）)1)(1(+-=x x x y ；

4、求由所给函数构成的复合函数 （1）22

,sin ,x v v u u y === ；

（2）21,x u u

y +== ；

（3）x v e u u

y v

sin ,,2=== ；

5、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++

∞

→ ； （2）2

)

1(321lim

n n n -++++∞→ ；

（3）35

lim 22-+→x x x ； （4）1

12lim 221-+-→x x x x ；

（5）)1

2)(11(lim 2x x x -+∞→ ； （6）2232)

2(2lim -+→x x x x ；

（7）x x x 1

sin lim 2

0→ ； （8）x

x x x +---→131lim 21 ；

（9）)1(lim 2

x x x x -++∞

→ ；

6、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x

x

x 5sin 2sin lim 0→ ；

（3）x x x cot lim 0

→ ； （4）x

x x

x )1(

lim +∞

→ ；

（5）1

)1

1(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1

0)1(lim -→ ；

7、比较无穷小的阶

（1）3

2

2

20x x x x x --→与，时 ；

（2）)1(2

1

112x x x --→与，时 ；

8、利用等价无穷小性质求极限

（1）3

0sin sin tan lim x x

x x -→ ； （2）),()(sin )sin(lim

0是正整数m n x x m n x → ；

9、讨论函数的连续性

。

在⎩⎨⎧=>-≤-=11

,31

,1)(x x x x x x f

10、利用函数的连续性求极限

（1）)2cos 2ln(lim 6

x x π→

； （2）)(lim 22

x x x x x --

++∞

→ ；

（3）x x x sin ln

lim 0

→ ； （4）x x x

2)1

1(lim +∞→ ；

（5）)1

1

(lim ,)1(lim )(1

--=+

→∞

→t f n

x x f t n

n 求设 ；

（6）)1

1

ln(

lim +-∞

→x x x x ；