简谐运动的能量

§14－5 简谐运动的能量

Energy of Simple Harmonic Vibration

引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。

一、简谐运动的能量

1．能量表达式

（1）推导

以弹性振子为例。假设在t 时刻质点的位移为x ，速度为v ，则 ()?ω+=t A x cos

()?ωω+-=t A v sin 则系统动能为：()?ωω+==t mA mv E k 2222sin 2

121 系统势能为：()?ω+=t kA kx E p 222cos 2121＝ 因而系统的总能量为

()()?ω?ωω++=

t kA t mA E E E p k 22222cos 21sin 21＋＋＝ 考虑到m

k ＝2ω，则 2222

121kA mA E ＝＝ω （2）结论

弹簧振子作简谐运动的能量与振

幅的平方成正比。

（3）解释

由于系统不受外力作用，并且内力为

保守力，故在简谐运动的过程中，动能与

势能相互转化，总能量保持不变。

（4）说明

1）E ∝A 2，对任何简谐运动皆成立；

2）动能与势能都随时间作周期性变化，

变化频率是位移与速度变化频率的两倍，

而总能量保持不变；且总能量与位移无

关。

动能E k =E -E p

2．能量曲线

注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。

二、能量平均值

定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T 内的平均值定义为

()?=T

t t f T f 0

d 1 因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为 ()22202224

141d sin 211kA mA t t mA T E T

k ==+=?ω?ωω 因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为 ()?==+T

p mA kA t t kA T E 0222224

141d cos 211ω?ω＝ 结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。

三、应用

1．应用1——记忆振幅公式

由能量守恒关系可得：k A 2/2= mv 02/2+ kx 02/2

解之即得： 2020??

? ??+ωv x A ＝ 2．应用2——推导简谐运动相关方程

在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有

()0d d =+p k E E t

将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。

此方法对于研究非机械振动非常方便。

例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。

解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即

C kA kx mv ==+2222

12121 两边对时间求导，得

0d d 221d d 221=?+?t x x k t v v m 即

0d d 22=?+?xv k t

x v m 0d d 22=+x m k t

x 令m

k ＝2ω，则 0d d 222=+x t

x ω 其解为