三角函数与解三角形(解析版)

三角函数与解三角形 【考生存在问题报告】

（一）概念理解不透彻

概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等.

【例1】（2020·安徽高三期末）若函数()x x f 2sin =的图象向右平移

6

11π

个单位得到的图象对应的函数为()x g ，则下列说法正确的是（ ）

A ．()g x 的图象关于12

x π

=-

对称

B ．()g x 在[]0π，上有2个零点

C ．()g x 在区间5

36ππ??

??

?，上单调递减 D ．()g x 在 02π??

-????，上的值域为 0?????

?

【解析】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633

g x x x x πππ

=-

=-=+， 1()sin()12632

g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π

=-不是对称轴，A 错；

由()sin(2)03

g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=

-，其中5,36ππ

是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππ

ππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,

)312

ππ是递减，在75(,)126

ππ

上递增，C 错；

[,0]2

x π

∈-

时，22[,]3

33x π

ππ+

∈-

，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ．

【评析】本题有两个考查重点，即三角函数图象变换和三角函数的性质．三角函数图象变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标，单调区间等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为()??

?

?

?

-

=6112sin πx x f ，或者将正弦函数的单调区间直接搬来等．在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程． （二）整体意识较薄弱

在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等． 【例2】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末）若02

π

α<<

，02π

β-

<<，1cos 43πα?

?+= ??

?，

cos 42πβ??

-=

???cos 2βα??+ ???等于（ ）

A B ．3

-

C ．

9

D ．9

-

【解析】02

π

α<<

Q ，34

4

4π

π

πα∴

<+

<

，则sin 43πα??+== ???，

02

π

β-

<

4

4

2

2

π

π

β

π

<

-

<

，所以，sin 423

πβ??-==

???， 因此，cos cos 2442βππβαα???

?

????+

=+-- ? ? ????

??

?????

1cos cos sin sin 44244233ππβππβαα?????

???=+-++-==

? ? ? ?????????

， 故选C ．

【评析】面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，不能正确地利用方程思想，解出角的函数值，进一步利用两角和的正弦公式求值，事实上，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径． （三）恒等变形欠灵活

化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误.

【例3】【2016年课标卷Ⅲ理5】若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425 B ．4825 C ． 1 D ．1625

【解析】思路1： 对所求式子作等价变形：22

222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2cos sin tan 1

ααααααααα+++==

++，再将

3tan 4

α=

代入，可求得264cos 2sin 225αα+=．选A ．

思路2 ：将所求的式子等价变形为22cos 2sin 2cos 4sin cos ααααα+=+，由3

tan 04

α=

>，可知sin cos 0αα>，可得3412sin cos 5525αα=?=，所以2161264

cos 2sin 24252525

αα+=+?=．选A ．

思路3：由3tan 4α=，可知cos 0α≠，则22cos 2sin 2cos (14tan )αααα+=+，将3tan 4

α=，216

cos 25α=

代入，可得216364

cos 2sin 2(14)25425

αα+=+?=．选A ．

【评析】在本题的解答中，学生存在的主要问题是不能快速地识别、选择、应用三角公式，如面对待求式

2cos 2sin 2αα+，不会巧妙地利用22sin cos 1αα+=，将待求式恒等变形为

214tan tan 1

α

α++；

将待求式2cos 2sin 2αα+化为2cos 4sin cos ααα+之后，无法从3

tan 4

α=

求出它的值.三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的． （四）形数结合不灵巧

形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强．

【例4】（2016年课标卷Ⅰ文6）将函数π2sin(2)6y x =+的图象向右平移1

4

个周期后，所得图象对应的函数

为

A ．π2sin(2)4y x =+

B ．π

2sin(2)3y x =+

C ．π2sin(2)4y x =-

D ．π

2sin(2)3

y x =-

【解析】思路1： 求出给定三角函数的最小正周期，依据函数图象平移的一般方法，把已知函数图象平移．因

为π2sin(2)6y x =+的最小正周期为πT =，所以π

2sin(2)6y x =+的图象向右平移π44T =个单位长度后，所

得图象对应的函数为ππ2sin[2()]46y x =-+，即π

2sin(2)3

y x =-，选D ．

思路2 ：根据给定三角函数的特殊点，确定平移后的三角函数的初始相位．在已知函数π

2sin(2)6

y x =+的

图象中找到一点π(,0)12-

，点π(,0)12-向右平移π44T =个单位长度后为点π

(,0)6

．由于三角函数图象的平移不改变原来三角函数的振幅、周期，假设平移后的三角函数为2sin(2)y x ?=+，则π

2sin(2)06

y ?=?+=，

故可取π3?=-，即平移后的函数为π

2sin(2)3

y x =-，选D ．

【评析】本题看似简单，但答题仍存在如下问题：①审题不细致，本题用给定函数的周期作为图象平移的条件，也就是将函数的图象向右平移

π4个单位长度，但学生却误认为是1

4

个单位长度，致使结果不正确；②概念不清晰，对三角函数三种表征的理解与变换不熟练，如平移后的函数解析式表示为

ππ2sin(2)46y x =-

+，或表示为ππ

2sin[2()]46

y x =++．本题用给定函数的周期作为图象平移的条件，是将函数周期性的代数表示转化为函数周期性的几何表示，其实质就是将满足()()f x T f x +=的函数()y f x =，将其图象沿x 轴方向平移(0)kT k >个单位长度后，判断其图象与()y f x =的图象是哪种关系．函数

sin()y A x ω?=+的图象的平移和伸缩变换，以及根据图象确定,,A ω?问题是高考的热点，题型大多是选

择题或填空题，在这类问题中，考生要熟练掌握三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性），建立三角函数的解析式表征与图象表征之间的关联． （五）定理应用欠思考

三角函数与解三角形这部分内容的突出特点是，公式多、定理多．学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关sin()y A x ω?=+的问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因.

【例5】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

2

74sin cos 222

A B C +-=. （1）求角C ；

（2）若ABC S ?=

，c =a ，b 的值. 【答案】（1）3

C π

=

；（2）23a b =??

=?或3

2a b =??

=?

【解析】（1）由已知得，()()()

2

7

21cos 2cos 12

A B C -+--=

， 所以()2

2cos 10C -=， 所以1cos 2C =

，3

C π=.

（2）1sin 2ABC S ab C ?=

=

6ab =.（1） 又由()()2

221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）

（1）与（2）联立得：23a b =??

=?或3

2

a b =??

=?. 【评析】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及条件中角的隐含的范围，从而正确求得结果.

（六）知识交汇不顺畅

高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇．如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数sin()y A x ω?=+问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分．不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分．

【例6】【2016年课标卷Ⅰ文12】若函数1

()sin 2sin 3

f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范

围是

A ．[1,1]-

B ．1[1,]3-

C ．11

[,]33- D ．1[1,]3

--

【解析】思路1： 函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，等价于当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '≥．

而2245

()1cos2cos cos cos 333f x x a x x a x '=-+=-++，所以当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '≥，等价于当

(1,1)t ∈-时，245

()033

g t t at =-++≥．利用二次函数的性质，当且仅当(1)0g -≥且(1)0g ≥时，()0g t ≥，

可得11

33

a -≤≤．选C ．

思路2： 函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，等价于当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '≥．由题设可得

2245()1cos2cos cos cos 333f x x a x x a x '=-+=-++224335(cos )38163

x a a =--++，

当3||18a ≥，即8

||3a ≥时，取2πx k =或(21)πx k =+，可知当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '≥不恒成立； 当3||18a <，即8||3a <时，由于当3cos 8

x a =时，()0f x '≥，故当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '≥等价于当cos 1x =±

时，()0f x '≥，可得11

33

a -≤≤．选C ．

思路3：函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，等价于当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '≥．由题设可得

2245

()1cos2cos cos cos 333f x x a x x a x '=-+=-++．

①当π

π2

x k =+时，cos 0x =，()0f x '≥；

②当cos 0x >时，()0f x '≥等价于214545(cos )cos cos 3333cos a x x x x ≥-=-

．由于45

33t t

-在(0,1]为增函数，4533t t -在(0,1]的最大值为13-，故13

a ≥-； ③当cos 0x <时，()0f x '≥等价于214545(cos )cos cos 3333cos a x x x x ≤-=-

．由于45

33t t

-在[1,0)-为增函数，45

33t t -在[1,0)-的最小值为13

，故13a ≤， 综上可得11

33

a -≤≤．选C ．

【评析】本题精心构造函数()f x ，使得()f x '的研究可以化为一个二次函数的研究．虽然问题情境非常熟悉，但涉及的是含参数的恒成立问题，所考查的知识内容多、要求高，不论采用何种思路，综合性都很强，而且运算量也不小，对学生在矩时间内完成该问题，是不小的考验．细节决定成败，细微之处见真功，只有我们扎扎实实搞好每一个章节的复习，让知识复习做到全覆盖，才能突破思维障碍，在高考中取得好成绩．

【命题专家现场支招】

（一）重温概念来龙去脉，理清知识网络

重温概念来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念与性质．高考对三角函数的考查，尤其是选择题、填空题对三角函数的考查，往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想． 【例7】（2020·江苏南通一中期末）已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=3

5

，则m 等于（ ） A ．﹣3

B ．3

C ．

163

D ．±3

【解析】

3

sin 5

θ=

=

，解得3m =.故选B.

【例8】（2020·江苏盐城中学高三期末）已知函数f （x ）=1

2

2cos x . （Ⅰ）求f （x ）的最小周期和最小值，

（Ⅱ）将函数f （x ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象.当x ∈,2ππ??

?

???

时，求g （x ）的值域.

【答案】（Ⅰ）π， 2-

，（Ⅱ）12[,22

-.

【解析】（1）211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =

-=-+

1sin 22sin(2)23x x x π==-,

因此()f x 的最小正周期为π，最小值为.

（2）由条件可知：g()sin()3

x x π

=--

. 当[

,]2x π

π∈时，有2[,]363

x π

ππ-

∈，

从而sin()3x π-的值域为1

[,1]2

，

那么sin()3

x π

-

的值域为.

故g()x 在区间[

,]2π

π上的值域是12[22

-. 【评析】本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. （二）强化公式记忆，关注公式的“变”用

理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待

求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 【例9】（2020四川高三期末）已知()sin f x x =，

2

π

απ<<，02

π

β<<

，2(

)2

3

f α

β-=

，1

()2

29f β

π

α-

+

=-，求cos 2

αβ+的值.

【解析】（1）∵

2

π

απ<<，∴

4

2

2

π

α

π

<

<

，∵02

π

β<<

，∴04

2

π

β

-

<-

<，

∴

4

2

π

β

απ<-

<，4

2

2

π

α

π

β-

<

-<

，

又12

0,02923cos sin βααβ????-=--=

? ?????

， ∴

,02

2

2

2

π

β

α

π

απβ<-

<<

-<

，

∴2923sin cos βααβ????-==

-== ? ????? ∴2

222222cos

cos cos cos sin sin αβ

βαβαβααβαβαβ??+????????????=---=--+-- ? ? ? ? ? ????

?????????????

12939327??=-?+=

???

. 【例10】【2016课标卷Ⅰ文14】已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则π

tan()4θ-= ．

【解析】思路1： 考虑到πππ()()442θθ+--=，令ππ,44αθβθ=+--，则π

2

βα=-，因为θ是第四象

限角，所以cos 0α>，故4cos 5

α=

，所以πcos 4tan tan()2sin 3αβαα=-=-=-．

思路2：考虑ππ

()44θθ+-=，运用两角和的正切公式．令π4αθ=+，则π4

θα=-，因为θ是第四象限角，

所以cos 0α>，故4cos 5

α=，从而sin 3tan cos 4ααα==，所以πtan tan()4θα=-tan 1

tan 1αα-=

+ 17

=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+．

思路3：π

cos()

πtan 1cos sin 44tan()π41tan sin cos 3sin()4

θθθθθθθθθ+---=

=-=-=-+++．

思路4：展开π3sin()45θ+=求出sin θ，运用两角和的正切公式．因为π3

sin()45θ+=，

所以sin cos θθ+=，

7

sin cos 50

θθ=-

，因为θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>

，解得sin θ=

，cos θ=，所

以1tan 7θ=-，故πtan 14

tan()41tan 3

θθθ--==-+．

思路5： 运用两角和的正弦公式求出sin θ，再运用两角和的正切公式．因为π3

sin()45

θ+=，θ是第四象限

角，所以π

4cos()4

5

θ+=

，从而ππ

sin sin()44θθ=+-

ππ))44θθ=+-+

34()55=-=

cos θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14

tan()41tan 3

θθθ--==-+．

【评析】三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如21cos22cos αα+=，21cos22sin αα-=，

1tan π

tan()1tan 4

ααα+=--，

tan tan tan()[1tan ]αβαβαβ±=±m 等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如()ααββ=+-，

2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、

“化异为同”等．三角恒等变换的核心是角的变化，注意角的变化，灵活地选用三角公式是正确进行三角恒等变换的关键．

（三）重视函数三种表征的理解和应用，加强函数()sin()f x A x b ω?=++图象与性质的研究．

突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养．高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养．

【例11】【2016年课标卷Ⅰ理12】已知函数π()sin()(0,||)2f x x ω?ω?=+>≤，π4

x =-为()f x 的零点，π

4x =

为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π

(

,)1836

单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5

【解析】思路 1 由正弦型三角函数的单调性推出ω满足的关系．因为()f x 在π5π

(

,)1836

单调，所以区间π5π(,)1836

不能包含函数()f x 的最值点，即5πππ

3618ω-≤，化简得12ω≤．

因为π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图象的对称轴，所以12

π

+π, 4

ππ+π+,

42

k k ω?ω??-=????=??因此可得

ππ()24k k ?=

+∈Z ．又π||2?≤，故π4?=或π

4

?=-．

当

π

4

?=时，

11

14()

k k

ω=-∈Z，而0

ω>且12

ω≤，可得ω的可能值为1

，5，9；

当

π

4

?=-时，

11

14()

k k

ω=--∈Z，而0

ω>且12

ω≤，可得ω的可能值为3，7，11．

验证

π

()sin(11)

4

f x x

=-有一个最值点

3ππ5π

(,)

441836

x=∈，不满足题设；验证

π

()sin(9)

4

f x x

=+满足题设，故选B．

思路２：由正弦型三角函数的零点及对称轴分析ω与?满足的条件．因为

π

4

x=-为()

f x的零点，

π

4

x=为()

y f x

=图象的对称轴，所以

1

2

π

+π,

4

ππ

+π+,

42

k

k

ω?

ω?

?

-=

??

?

?=

??

因此可得

ππ

()

24

k

k

?=+∈Z，41()

m m

ω=+∈Z．又

π

0,||

2

ω?

>≤，故

π

4

?=或

π

4

?=-．

因为()

f x在

π5π

(,)

1836

单调，所以区间

π5π

(,)

1836

不能包含函数()

f x的最值点，即

5πππ

3618ω

-≤，化简得12

ω≤．当

π

4

?=时，ω的可能值为1，5，9；当

π

4

?=-时，ω的可能值为3，7，11．

验证

π

()sin(11)

4

f x x

=-有一个最值点

3ππ5π

(,)

441836

x=∈，不满足题设；验证

π

()sin(9)

4

f x x

=+满足题设，故选B．

思路３：画出()sin()

f x x

ω?

=+的示意图如下：

根据函数示意图，因为因为()

f x在

π5π

(,)

1836

单调，

5πππ

,12

3618122

T

ω

∴-=≤≤．

因为

π

4

x=-为()

f x的零点，

π

4

x=为()

y f x

=图象的对称轴，

所以12

π

+π, 4ππ+π+,

42

k k ω?ω??-=????=??因此可得ππ()24k k ?=+∈Z ，

41()m m ω=+∈Z ．又π0,||2ω?>≤

，故π4?=或π

4

?=-． 当π4?=时，ω的可能值为1，5，9；当π

4

?=-时，ω的可能值为3，7，11．

验证π()sin(11)4f x x =-有一个最值点3ππ5π(,)441836

x =∈，不满足题设；验证π

()sin(9)4f x x =+满足题设，

故选B ．

【评析】在得到ω与?的范围后，考生容易把11ω=作为ω的最大值，这个错误的原因是在由零点与最值点推导ω与?的过程，产生了增根，因此需要验证．由三角函数值的关系诱导的等式关系，往往产生增根，这是三角函数的基本性质（周期性）导致的．

（四）强化正、余弦定理的合理应用，理清量与量之间的关系．

在解决三角形问题时，要高度关注：①充分挖掘三角形中的隐含条件；②熟练掌握正、余定理及几种变形，合理选用公式；③利用正、余弦定理求边角时，尤其要关注其范围的确定．

【例12】（2020·广西高三期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c ，已知△ABC 面积为

1

(sin sin sin )2

c a A b B c C +-. （1）求角C ；

（2）若D 为AB 中点，且c =2，求CD 的最大值. 【答案】（1）3

C π

=

（2

【解析】（1）依题意得，

()11

sin sin sin sin 22

ab C c a A b B c C =+-， 由正弦定理得，()2

2

2

abc c a b c

=+-，即2

22a

b c ab +-=，

由余弦定理得，2221

cos 222

a b c ab C ab ab +-===，

又因为()0,C π∈，所以3

C π

=

.

（2）∵222a b c ab +-=，2c =， ∴22424ab a b ab =+-≥-，即4ab ≤．

∵D 为AB 中点，所以()

12

CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v

，

∴()

2

22124CD CA CB CA CB =

++?u u u v u u

u v u u u v u u u v u u u v ()

()2211

4244b a ab ab =++=+ ()1

4834

≤+=

当且仅当2a b ==时，等号成立.所以CD

【评析】(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到． (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． （五）重视知识的交融交汇，切实提高综合运用三角知识解决问题的能力．

从高考对三角函数考查的试题来看，每一个试题都考查多个的知识点，如以三角求值为载体，综合考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换等基础知识和基本方法；以函数

sin()y A x ω?=+为依托，考查三角函数的三种表征，考查三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等基

础知识和基本方法内容．高考复习中，要关注三角函数知识脉络，重视知识的交融交汇，既要重视三角函数间的知识交汇，也要重视三角函数与其他知识领域的交汇，如三角函数与平面向量、三角函数与平面几何、三角函数与指对数函数等知识的交融交汇等，让学生在原有的基础上有新的收获．

【例13】（2020·安徽高三期末）在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ?的面为S ，

且()2

2a b c =+-，则sin 4C π?

?

+

= ??

?

（ ）

A ．1

B ．

2 C D 【答案】D

【解析】由()2

2a b c =+-，

得222

1sin 22ab C a b c ab =+-+，

∵ 2222cos a b c ab C +-=，

∴ sin 2cos 2C ab C ab =+cos 1C C -=

即2sin 16C π?

?-= ???，则1sin 62C π??-= ??

?，

∵ 0C π<<，∴ 56

6

6

C π

π

π-<-

<

， ∴ 6

6

C π

π

-

=

，即3

C π

=

，

则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ????+=+=+= ? ?????321262

2+?+?=

，故选D ． 【评析】此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，

将问题转化为求解含

的表达式的最值问题是解题的第二个关键.

【例14】【2015年课标卷Ⅰ文17】 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，2BD DC =． （1）求

sin sin B C

； （2）若60BAC ∠=o ，求B ∠． 【解析】（1）思路1：由正弦定理得sin sin AD BD B BAD =∠,sin sin AD CD

C CAD

=

∠，因为AD 平分∠BAC ，2BD DC =，所以

sin 1

sin 2

B C =． 思路2：如图，作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ，则sin DE B DB =，sin DF

C DC

=，由AD 平分∠BAC ，得DE DF =，又2BD DC =，所以

sin 1

sin 2

B C =． F

E

D

C

B

A

（2）思路1： 因为180()C BAC B ∠=-∠+∠o ，60BAC ∠=o ，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠

31sin 2B B =

∠+∠．由（1）知2sin sin B C ∠=∠，所以3

tan B ∠=

30B ∠=o ． 思路2：由已知30DAC DAB ∠=∠=o ，3BC DC =，由正弦定理得sin sin 1

2C DAC AD CD CD ∠==

， sin sin 3

C BAC AB BC ∠==

，因此3AB =，因此222cos BD AB AD AB AD BAD AD =+-?∠=，所以30B ∠=o ．

思路3： 由正弦定理得AB 和AC 之间的关系，进而由余弦定理得BC 和AC 之间的关系． 由（1）和正弦定理得2AB AC =． 由余弦定理得222cos 3BC AB AC AB AD BAC =

+-?∠，于是22224AC BC AC AB +==，即△ABC

是直角三角形，90ACB ∠=o ，所以30B ∠=o ．

思路4： 取AB 的中点E ，连接CE ，则可证明△ACE 是等边三角形，△BCE 是等腰三角形．由（1）和正弦定理得2AB AC =，如图，取AB 的中点E ，连接CE ，则AE BE AC ==，因为60BAC ∠=o ，所以△ACE 是等边三角形，

从而BE CE =，60ACE ∠=o ，所以30B ∠=o ．

E

D C

B

A

思路5： 如图，延长AC 至点E ，使AE AB =，连接BE ，由（1）由（1）和正弦定理得2AB AC =，因为60BAC ∠=o ，所以△ABE 是等边三角形，又因为C 是AE 的中点，所以30B ∠=o ．

E

D

C

B

A

【新题好题针对训练】

一、单选题

1．（2020·甘肃高三）已知函数sin(2)y x φ=+在6

x π

=处取得最大值，则函数cos(2)y x φ=+的图象

A ．关于点(

,0)3

π

对称 B ．关于点(

,0)6

π

对称

C ．关于直线6

x π

=对称

D ．关于直线3

x π

=

对称

【答案】B

【解析】因为函数()sin 2y x φ=+在6

x π

=处取得最大值，

所以

23

2

k π

π

φπ+=+

，即26

k π

φπ=+

.

()cos 2cos 22cos 266y x x k x ππφπ???

?=+=++=+ ? ????

?,令262x k πππ+=+可得对称中心为

(

,0)26k ππ+，0k =时，可得一个对称中心为(,0)6

π，选项B 正确；令26x k π

π+=可得对称轴为

212

k x ππ

=

-，选项C,D 均错误，所以选B. 2．（2020·青海高三期末）已知函数f(x)=2sin

ωx φ+（） (其中ω>0，|φ|<2

π

)的相邻两条对称轴之间的距离

为2

π

，,则( ) A ．1φ26πω==， B ．1φ23πω==， C ．2φ6

π

ω==，

D ．2φ3

，π

ω==

【答案】D

【解析】因为函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（其中ω＞0，|φ|2

π

＜

）的相邻两条对称轴之间的距离为

2

π

，

所以T ＝π，ω＝2，因为f （0）=2=sin φ，|φ|2

π

＜，所以φ3

π

=

．

故选D ． 综上，选D ．

3．（2020·湖南长沙一中高三）若函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，||)2

π

?<图象的一个对称中心为

(

3

π

，0)，其相邻一条对称轴方程为712

x π

=

，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6

π

个单位长度 B ．向左平移12

π

个单位长度 C ．向左平移6

π

个单位长度 D ．向右平移

12

π

个单位长度

【答案】B

【解析】根据已知函数()()sin f x A x ω?=+

(其中0A >，)2π

?<

的图象过点,03π?? ???，7,112π??

-

???

， 可得1A =，

1274123

πππω?=-， 解得：2ω=．

再根据五点法作图可得23

π

?π?+=，

可得：3

π

?=

，

可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π??

=+

??

?

故把()sin 23f x x π??

=+

??

?的图象向左平移12

π

个单位长度， 可得sin 2cos23

6y x x π

π?

?

=+

+

= ??

?

的图象，故选B ． 4．（2020·河南高三期末）已知ABC ?

中，AB =

sin A =

，tan C =，则BC =( ) A

．B ．8

C

．D ．4

【答案】B

【解析】因为tan 5C =

，所以sin 6

C =

. 在ABC ?中，由正弦定理，可得sin sin AB BC

C A

=

63

=，解得8BC =. 故选：B

5．（2020·江西高三期末）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，ABC V 的面积为S

，b =

)2

22S a c b =

+-，则ABC V 的面积S 的最大值为（ ） A

．B

．6+ C

．6+ D

．9+

【答案】C

【解析】因为b =

)2

2212

S a c b =

+-

，得：()221212S a c =+- 又由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即222cos 12a c ac B +-= 则222cos 12a c ac B +=+，所以

)

2212(2cos 1212)cos 12126

S a c ac B ac B =

+-=+-=

又因为三角形面积公式1sin cos 2S ac B B =

=，

sin B B =，得tan B =

，所以6B π=. 因为111

sin sin 224

S ac B ac B ac =

==，

又因为222cos 12a c ac B +-=，即2212a c +=

又由基本不等式：22222,(2a c ac a c ac +≥+≥，即12(2ac ≥，

得12(2

ac ≤

=+.

所以11

12(2644

S ac =

≤?+=+

当且仅当a c =时，S 的最大值为6+.故选:C.

二、填空题

6．（2020·广东高三期末）若tan(2)5αβ+=，tan()4αβ+=，则tan α=________. 【答案】

121

【解析】tan(2)tan()1

tan tan[(2)()]1tan(2)tan()21

αβαβααβαβαβαβ+-+=+-+=

=+++.

故答案为：

121

7．（2020·辽宁高三期末）在ABC ?中，若()sin sin cos sin 0A B B C +-=，则角A 的值为______，当

sin 22sin 2B C +取得最大值时，tan 22tan 2B C +的值为 ．

【答案】

4

π. 9

2-.

【解析】()sin sin cos sin 0A B B C +-=， 得()sin sin cos sin()0A B B A B +-+=

()sin sin cos sin cos cos sin 0A B B A B A B +--=， ()sin sin cos 0B A A -=，由sin 0B >，

sin cos 0A A -=，tan 1A =，

0,4

A A π

π<<∴=

；

（2）由

3

,22

42

A B C

π

π

==-，

sin22sin22sin2cos2)

B C C C C?

+=-=-

其中

1

sin tan

2

???

===，

当sin22sin2

B C

+取得最大值时，

22,22,

22

C k C k k Z

ππ

?π?π

-=+=++∈，

sin()cos

2

tan2tan()2

2sin

cos()

2

C

π

?

π?

?

π?

?

+

=+===-

-

+

，

31

tan2tan(2)tan()tan

22

B C

ππ??

=-=-=-=-，

9

tan22tan2

2

B C

+=-.

故答案为: (1)

4

π

. (2).

9

2

-.

8．（2020·安徽高三月考）在ABC

?中，内角A B C

，，所对的边分别为a b c

，，，若2

sin sin cos sin

A B C C

=，则

22

2

a b

c

+

=________，sin C的最大值为_________.

【答案】3

3

【解析】因为2

sin sin cos sin

A B C C

=，由正余弦定理可得,

2

222

2222

a b b a c c

R R ab R

+-??

??= ?

??

,整理可得,

222

3

b a c

+=，即

22

2

a b

c

+

=3；

因为

222

222,cos

2

a b c

a b ab C

ab

+-

+≥=,

所以

22222

222

32

cos

33

a b c c c

C

a b c

+--

≥==

+

，

由题意可得，0

2

C

<<

π

,

所以当2

cos 3

C =

时,C 角有最大值,sin C 有最大值,

所以sin C =即sin C ==

故答案为9．（2020·辽宁高三期末）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为222

4

a b c

--，

则A =_______. 【答案】

34

π 【解析】在ABC V 中，1sin 2ABC

S bc A =V ,而2224

ABC a S b c --=V ， 由余弦定理得2222cos a b c bc A --=-，则2cos cos 42

ABC bc A bc A

S -=

=-

V , 故

11

sin cos 22

bc A bc A =-，则sin cos A A =-。 由于(0,)A π∈，则34

A π

=。

故答案为: 34

π. 三、解答题

10．（2020·云南昆明一中高三期末）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为

,,,cos 3

a b c A B C =

=. （1）求tan C ；

（2）若ABC V ，求b .

【答案】（1；（2）b .

【解析】（1）在△ABC 中,由cos A =

,结合同角三角函数关系式可得sin A =

由sin B C =得sin()A C C +=,

sin cos cos sin A C A C C +=,

C C C +=

C C =,

所以tan C =

（2

）因为tan C =由同角三角函数关系式22sin cos 1

sin tan cos C C C

C C

?+=?

?=?

?

可求得sin C =

,cos C =,

所以sin 1B C ==,

由正弦定理

sin sin b c B C

=得sin c b C =, 因为△ABC

,即11

sin sin sin 22

bc A b b C A =??

所以

21233

b ?= 解得26b =,

所以b =.

11．（2020·陕西高三月考）已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πω?ω??

?

=+>><

??

?

的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3

x π

=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π??

???

. （1）求()f x 的解析式；

（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ??????

????

??=+=++

? ? ? ? ? ????????

?????，且

3

,sin 5

m n C ⊥=

，求cos D . 【答案】（1）()2sin 26f x x π??

=-

??

?

；

（2

）4

10

【解析】（1）设()f x 的最小正周期为T ，

依题意得

71234T ππ-=，∴T π=，∴22π

ωπ

==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴

2,32

k k Z ππ

?π+=+∈，