圆周运动中的加速度公式推导题

圆周运动中的加速度公式推导题

1、自然坐标系的定义

切向轴：沿轨迹在该点的切向方向

单位矢量为e t ;

法向轴：沿轨迹的法线并指向曲线凹侧，

单位矢量为e n .

在自然坐标系中，速度

（1）

t

e v v ?

?=2、加速度公式推导

方法1

［1］

如图2所示，分别为质点在B 点和C 点的速度矢()()t ?+t v t v ?

?和量，作出速度的矢量三角形，在矢量

上截取一段，使其

()t ?+t v ?

长度等于v(t),作矢量和n v ??t

v ?

?t

n v v v ??????+=t v lim t v lim t

v lim

a t

t n t t ?????????????

000→→→+==（2）

t

t n n t n e a e a a a ???

?+=+=☆法向加速度：n

a ?

如图2所示两个相似三角形，

r

BC

v v n =??当时，相等，因此

0→?t s BC ?和对应的弧长

弦长图1

?

)

图2

（3）

r

v t t v t v a t t n t n 2

000S lim r v r S lim lim =

??=???=??=→?→?→??的方向：当时，n a ?0→?t v v 0,n

??度的方向趋向于垂直于速从而?→?θ的方向而指向圆心。因此的方向在任何时刻都垂直于圆的切线方向而沿着半

n a ?

径而指向圆心，从而称之为法向加速度或向心加速度。

☆切向加速度：t

a ?

（4）

dt

dv

t v t v a t t t t =??=??=→?→?00lim

lim

即等于速率的变化率。

线方向。的方向也沿着轨道的切在同一直线上，从而和方向趋向于和时，由于t t a v v 0t ??

??→?从而称之为切向加速度。

讨论：①切向加速度表示质点速率变化的快慢。

的方向相反。

的方向与速度这时表示速率随时间减小方向相同。的

的方向与速度这时表示速率随时间增大。为一代数量，可正可负②v a ,0v a ,0 t t ?

??

?<>t t t a a a 方法2［2］

☆切向加速度由：t e v v ??=为速率。加速度为

v v ?

=（5）

dt

e d v

e dt dv dt v d a t t ??

?

?+==式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与共线，称该项为切向加速t e ?

度，记为

（6）

t

t t t e a e

dv a ???==关于切向加速度方向的讨论同上。☆法向加速度

式（7）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。

υ?

如图3，质点由A 点运动到B 点，有

??

???=→→B

A ds e e v v t t

?????''

因为，，所以、夹角为。

OA e t ⊥?OB e t ⊥'?t e ?t e '?

θd （见图4）t t t e e e d ?

???='当时，有。

0→θd θθd d e e d t t ==?

?因为，所以由A 点指向圆心O，可有

t t e e d ??⊥t e d ?

n t e d e d ??θ=式（6）中第二项为：

n

n n t e r v e dt ds r v e dt d v dt e d v ????2===θ方向讨论同上。

（7）n

n e r v a ??

2=（8）

r

v a n 2

=

方法3

关于切向加速度的推导同方法2。由图5

☆法向加速度

（9）j

i j i e t ???

??θθθπθπcos sin 2

sin 2cos +?=???????+????????=（10）j

i e n ???

θθsin cos ??==（11）n

n t e r v e j dt d i dt

d dt

e d ?

?????=?=??=ωθθθθsin cos （12）

n

t t e r v dt

e d v a ?

??2== 1-9

4 图图 1-7

5

图

方向讨论同上。

总之，在圆周运动中，总加速度

（13）

n

t n n t t n t e r

v e dt dv e a e a a a a ???

????2+=+=+=大小：

（14

）

方向：与夹角（见图6）

a ?t e ?

（15

）

参考文献

1、张三慧，《大学基础物理学》（第1版）（上册），清华大学出版社,P28-31

2、程守洙等《普通物理学》（第5版）（第1册），高等教育出版社,P18-21

供稿人孙厚谦

t

n

a a tg =θa

?,t

1-10

6

图