实验7 马尔科夫预测
实验7：马尔柯夫预测
7.1实验目的
1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态；
2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程；
3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。
7.2实验原理
7.2.1 马尔柯夫预测的基本原理
马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。
7.2.1．1马尔可夫链
若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。
7.2.1．2状态及状态转移
1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。
（1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。这种划分的数量界限依产品不同而不同。
2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率
7.2.2状态转移概率矩阵及计算原理
1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，
其每次只能处于一种状态i E ，则每一状态都具有n 个转向（包括转向自身），即：
1i E E →1 、2i E E →、 、i n E E →，将这种转移的可能性用概率描述，就是状
态转移概率。最基本的是一步转移概率(|)j i P E E ，它表示某一时间状态i E 经过一步转移到下一时刻状态j E 的概率，可以简记为ij P 。
2、状态转移概率矩阵P
系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称为一步转移概率矩阵，简称状态转移概率矩阵
11
121121
22221212
j n j n i i ij in n n nj
nn p p p p p p p p P p p p p p p p p ??
???
?=??????
?
? 0ij p ≥ 1
1n
ij i p ==∑
称P 为状态转移概率矩阵。若一步转移概率矩阵为P ，则k 步转移矩阵为
()(1)k k P P P -=?
7.2.3马尔柯夫链预测
马尔柯夫方法是研究随机事件变化的一种方法。预测对象的变化常受各种不确定因素的影响而带有随机性，若其具有无后效性，则用马尔可夫法进行预测会更有效、方便。
一、一重链状相关预测
（一）一重马尔可夫链：若时间序列Y t 在t=k+1（将来时期）时取值的统计规律只与Y t 在t=k （现在时期）时的取值有关，而与t=k 以前的取值无关，则称此时序为一重链状相关时间序列，
（二）预测步骤：一重链状相关预测是利用一步移概率矩阵进行预测。 预测步骤：
1、预测对象状态划分：
1）预测对象本身已有明显状态界限；
2）不明显的，在划分时进行全面调查、了解，并结合预
测目的加以分析。 2、计算初始概率i p
初始概率是指状态出现的概率。当状态概率的理论分布未知时，若样本容量
足够大，可用样本分布近似地描述状态的理论分布。因此，可用状态出现的频率近似地估计状态出现的概率。假定预测对象有i E （i=1,2,…，n ）个状态，在已知历史数据中，i E 状态出现的次数为i M ；则i E 出现的频率i i M F N
=
3、计算状态的下转移概率ij p 。
同状态的初始概率一样，状态转移概率的理论分布未知，当样本容量足够大时，也可以用状态之间相互转移的频率近似地描述其概率。假定由状态i E 转向j E 的个数为i M ，那么
()(|)ij
ij i j j i i
M p P E E P E E M =→=≈
(1,2,,)i n = (1,2,,)
j n = 就得到一步转移概率矩阵
11
121121
22221212
j n j n i i ij in n n nj
nn p p p p p p p p P p p p p p p p p ??
???
?=??????
?
? 矩阵主对角线上的P 11 ，P 22 ，…P nn 表示经过一步转移后仍处在原状态的概率。
4、根据转移概率矩阵和初始概率进行预测。 7.2.3.1 马尔可夫模型预测
马尔可夫模型预测是利用概率建立一种随机型时序模型进行预测的方法。 预测模型：(1)()k k S S P += 式中：()k S 是预测对象t=k 时刻的状态向量；P 为一步转移概率矩阵; (1)k S +是预测对象在t=k+1时的状态向量，预测的结果。
根据上述预测模型可得：(1)(0)S S P =
(2)(1)S S P = (1)(0)(1)k k S S P ++=
1、预测模型：式中：S (0)为预测对象的初始状态向量。是由状态的初始概率组成的向量。对于马氏链，它处于任一时刻t 的概率可由初始概率初始状态向量和一步转移概率所决定。
2、适用条件：预测模型只适用于具有马尔可夫性的时间序列，在要预测期内，各时刻的状态转移概率保持稳定，均为一步转移概率。若时序的状态转移概率随不同时刻在变化，不宜用此方法。此方法一般适用于短期预测。
状态转移概率矩阵P 全面地描述了预测对象在各个状态之间变化的关系，在预测中有着很重要的作用。它不仅决定了预测对象所处的状态，而且决定着预测对象的变化趋势和最终结果。 7.2.3.2终极市场占有率预测
经过较长一段时间以后，马氏链将逐渐趋于这样一种状态，它与初始状态无关，在n+1期的状态概率与前一期即n 期的状态概率相等，有(1)()k k S S +=成立。马氏链这个状态称为稳定状态。
一、马氏链的稳态概率
马氏链达到稳定状态时的状态概率就是稳定状态概率，也称为稳态概率。马氏链在一定条件下，经过k 步转移后，会达到稳定状态。
1、稳定状态的条件
如果一步转移概率矩阵是标准概率矩阵，则马氏链能够达到稳定状态。 2、稳态概率的求解
由马氏链稳定状态定义可知，处于稳定状态时，有(1)()k k S S +=，即
(1)()
()k k k S S
P S +==，
假设()
12(,,,)k n S
x x x = ，且1
1n
i i x ==∑是经k 步转移后的状态向量，一步转移
概率矩阵为：1111n n nn P P P P P ??
??=??
????
根据 S （k+1）=S （k ）·P= S （k ）展开为：
111()12121(,,,)(,,,)n k n n n nn P P x x x S x x x P P ??
??==??
????
得如下方程组：
11121211n n P x P x P x x +++= 12122222n n P x P x P x x +++=
1122n n nn n n P x P x P x x +++=
12,1n x x x +++=
移项得： 1112121(1)0n n P x P x P x -+++=
1212222(1)0n n P x P x P x +-++=
1122(1)0n n nn n P x P x P x +++-= 12,1n x x x +++=
上式中有n 个变量，但有n+1个方程，说明其中一个方程不独立，消去其中第n 个方程，写成矩阵形式 ：
1121112222(1)(1)1
111n n P P P P P P -????-???????? 12n x x x ???????????? =001??????????
??
令11211122221(1)
(1)1111n n P P P P P P P -????-??=??
???? 12()n n x x X x ??????=????
??
001B ??????=??????
则：()
1n P X B = ()1
1n X P B -=
即求得()n X 是马氏链的稳态概率。
7.3实验数据
7.3.1 厂家1，厂家2和厂家3是北京地区三个牛奶供应商表示。去年12月份对2000名消费者展开调查。得到转移频率矩阵如下：
3202402403601806036060180N ?? ?= ? ???
试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。
7.3.2 某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3个修理厂，经过几年的发展公司形成了一定规模的、稳定的客户群。对客户调查的结果显示，客户在甲、乙、丙
3个修理厂之间的转移概率为：0.80.200.200.80.20.20.6P ??
?
= ? ???
由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行扩大规模。试分析应
选择哪个维修厂。
7.4实验过程
实验数据7.3.1实现过程如下： 步骤1：计算一步转移概率矩阵
首先统计每个厂家的购买人数，即计算各行数据的和
输入上述公式，sum(A1:C1)计算第一行的值，然后按回车【Enter】键,得到和为800，点鼠标左键向下拖到D3,便得到每一行的和。
然后用一行中的每一个数据除以它们的和，得到转移概率矩阵p
步骤2：计算初始状态去年12月份各厂家的市场占有率，用2000去除800，600和600，得到
步骤3：预测今年1月三个厂家市场占有率；
首先，用鼠标选中B5：D5区域以存储今年1月三厂家的市场占有率；
然后点击主菜单中的【公式】，下拉菜单中选择【插入函数】，出现如下对话框：
在【或选择类别】中选中数学与三角函数，【选择函数】选数组乘法函数【MMULT】，点确定，结果如下：
在数组Array1输入初始状态的市场占有率的单元格范围B1：D1，同样在数组Array2中输入一步转移概率矩阵的单元格范围B2：D4:
特别注意，不要点确定键，如果按确定键会输出单个值，
先按F2使表格处于编辑状态，然后同时按键盘上的【Ctrl】, 【Shift】,【Enter】，输出单元格区域为B5：D5，即厂家1预计今年1月份市场占有率为0.52，厂家2预计今年1月份市场占有率为0.24，厂家3预计今年1月份市场占有率为0.24。步骤4：预测今年2月份三个厂家市场占有率
用鼠标选中存储单元格B6：D6，按照上面的步骤点击主菜单中的【公式】，下拉菜单中选择【插入函数】，在【或选择类别】中选中数学与三角函数，【选择函数】选数组乘法函数【MMULT】，修改数组Array1输入今年1月份市场占有率，即B5：D5，数组Array2中输入一步转移概率矩阵B2：D4，
按三键【Ctrl】+【Shift】+【Enter】，输出单元格区域为B6：D6。
即厂家1、厂家2和厂家3预计今年2月份市场占有率分别为0. 496、0.252、0.252
步骤5：类似的可以计算三个厂家3月、4月、5月、6月、7月的市场占有率：
从结果可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.
马尔科夫稳态预测
实验过程
步骤1：判断一步转移概率矩阵是否为正规矩阵
用鼠标选中B7：D9，
按照上面步骤选择函数MMULT,
在矩阵Array1和矩阵Array2中输入客户转移概率矩阵单元格范围B4：D6，按F2，然后同时按三键Ctrl+Shift+Enter,
由于一步转移概率矩阵平方后的矩阵p2的所有元素都大于0，所以P是正规矩阵。因此P存在唯一的概率向量。
步骤2：根据公式求稳态时甲、乙、丙3个修理厂客户群的比例
首先求一步转移概率矩阵的转置，用鼠标选中矩阵，点右键【复制】，选择区域B10：D12，点鼠标右键，选中【选择性粘贴】，出现如下对话框：
选中“转置”，点确定，便得到转置矩阵p3,
将矩阵p3最后一行去掉，添加上方程即向量[1 1 1],
计算除最后元素外主对角线所有元素与1之差，算后结果如下：
接下来求此矩阵的逆矩阵：选中存储的区域B13：D15，单击主菜单中的【公式】，在其下拉菜单中选择【插入函数】，在【或选择类别】点数学与三角函数，在选择函数选中【MINVERSE】求逆矩阵。
点击【确定】出现如下对话框：
在数组Array输入矩阵单元格位置B10：D12，
然后按F2使其处在编辑状态，再同时按Ctrl+Shift+Enter,得到逆矩阵
根据马尔科夫稳态模型，方程右侧为向量[0,0,1]的转置
接下来计算矩阵p5与向量u的积，同理点【公式】，【插入函数】，选中矩阵乘法MMULT；
分别在Array1, Array2输入矩阵所在单元格的位置B13:D15，B16：B18;按F2，然后同时按Ctrl+Shift+Enter三键。得到马尔科夫稳态时三个厂家的客户比例x。
由此从长期来看，当公司的客户在3个维修厂之间的转移达到均衡状态时，大约有50%的客户在甲厂维修，大约有16.67%的客户在乙厂维修，大约有33.33%的客户在丙厂维修，因此从长远利益考虑应选甲厂进行项目投资。
7.5小结
通过本实验的学习我们能更好的理解马尔科夫链、转移概率矩阵的内涵；能熟练
灵活掌握用Excel软件计算转移概率矩阵，并在此基础上进行马尔科夫链、市场
占有率、马尔科夫稳态的相关预测。
7.6练习实验
1、某企业产品两年来月度销售情况如下，这种产品的销售状态化为畅销和滞销两种（这里简称畅，滞），根据下面给出的资料利用Excel软件估计一步转移概
2、某市市场供应A、B、C三个品牌的洗衣机，调查结果表明，上个月市场总共销售出800台洗衣机，其中A品牌销售出250台，B品牌销售出250台，C品牌销售300台，A品牌上个月顾客有72%依然购买A品牌，12%转移到购买B品牌，16%转移到购买C品牌；上个月购买B品牌的顾客有80%依然购买B品牌，8%转移到购买A品牌，12%转移到购买C品牌；上个月购买C品牌的顾客有85%依然购买C品牌，10%转移到购买A品牌，5%转移到购买B品牌。试预测该市本月和下个月洗衣机各品牌的市场占有率和稳态时的市场占有率。
3、某农村农业收成变化分为丰收、中收和欠收三种状态，下表为该地区
试分析计算（1）农业收成变化的一步、二步状态转移概率矩阵；
（2）预测2013~2017年该地区农业收成状态；
（3）判断是否存在终极状态？如果存在，求终极状态的概率。
Markov链预测法
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：贵州民族学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 龚道杰 2. 张凤 3. 姚肖伟 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2009 年 7 月 25 日 年凝冻日数的Markov链预测法 4# 【摘要】 本文根据所给数据，利用Markov链建立了预测年凝冻日数的模型，分别从整体和局部两个角度进行分析。
首先，我们直接以年凝冻日数为依据，对其进行K-均值聚类分析，划分 状态。用频率估计概率的方法，估算出一步转移概率矩阵，1/6 5/65/3328/33P ??=?? ??，然后建立Markov 链模型()1/6 5/6()(0)(0)5/3328/33n n P n P P P ??=?=??? ?? 。以2008年作为初始状态，估计出 2009 年凝冻日数所处状态为 (1)(0)P P P =?()0.1520.848=。按K-均值标准可知，即2009年凝冻的天数在 15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。 由于上述模型选取的是以年为单位的数据，只能估计出2009年的凝冻日 数所处区间。为提高精度，我们选取2000-2008年的具体凝冻天数和日期，记每一天只存在两种状态，出现雨凇为状态1，否则为状态0。然后由相邻两年间的状态转移变化，得出一步转移概率矩阵i P ，1,2,...,8i =。由这8个一步转移概率矩阵，根据一步转移矩阵P 的n 次方与n 步转移概率矩阵()n P 之差的范数和达到最小的准则，选出优化后的一步转移概率矩阵 0.95000.0500*0.78890.2111P ??=???? ,再次建立Markov 链模型。以2008年为初始状态，预测2009年的概率分布为 []*(2009)(2008)0.91060.0894P P P =?= ，由频率稳定于概率，知2009年凝冻天数的估计值为14天。 关键词： Markov 链 转移概率矩阵 频率估计概率 1. 问题提出 1.1背景知识 凝冻是指冬季出现的温度低于0℃有过冷却降水或固体降水和结冰现象发生的天气现象，即气象台所说的出现雨凇的天气。雨凇的形成与气温，降水量，湿度等因素有关，超冷却的降水碰到温度等于或低于零摄氏度的物体表面使所形成玻璃状的透明或无光泽的表面粗糙并覆盖层，就叫做雨凇。其造成的危害巨大，高压线塔的倒塌，电力瘫痪，交通瘫痪，农作物的冻亡等。因而对出现雨凇天气的预测显得尤为重要。
随机过程与马尔可夫链习题答案
信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==，求： 1）1Z 的分布律与数学期望
Markov的各种预测模型的原理与优缺点介绍
Markov的各种预测模型的原理与优缺点介绍 建立有效的用户浏览预测模型，对用户的浏览做出准确的预测，是导航工具实现对用户浏览提供有效帮助的关键。 在浏览预测模型方面，很多学者都进行了卓有成效的研究。AZER提出了基于概率模型的预取方法，根据网页被连续访问的概率来预测用户的访问请求。SARUKKAI运用马尔可夫链进行访问路径分析和链接预测，在此模型中，将用户访问的网页集作为状态集，根据用户访问记录，计算出网页间的转移概率，作为预测依据。SCHECHTER构造用户访问路径树，采用最长匹配方法，寻找与当前用户访问路径匹配的历史路径，预测用户的访问请求。XU Cheng Zhong等引入神经网络实现基于语义的网页预取。徐宝文等利用客户端浏览器缓冲区数据，挖掘其中蕴含的兴趣关联规则，预测用户可能选择的链接。朱培栋等人按语义对用户会话进行分类，根据会话所属类别的共同特征，预测用户可能访问的文档。在众多的浏览模型中，Markov模型是一种简单而有效的模型。Markov模型最早是ZUKERMAN等人于1999年提出的一种用途十分广泛的统计模型，它将用户的浏览过程抽象为一个特殊的随机过程——齐次离散Markov模型，用转移概率矩阵描述用户的浏览特征，并基于此对用户的浏览进行预测。之后，BOERGES等采用了多阶转移矩阵，进一步提高了模型的预测准确率。在此基础上，SARUKKAI建立了一个实验系统[9],实验表明，Markov预测模型很适合作为一个预测模型来预测用户在Web站点上的访问模式。 1 Markov模型 1.1 Markov模型 Markov预测模型对用户在Web上的浏览过程作了如下的假设。 假设1（用户浏览过程假设）：假设所有用户在Web上的浏览过程是一个特殊的随机过程——齐次的离散Markov模型。即设离散随机变量的值域为Web空间中的所有网页构成的集合，则一个用户在Web中的浏览过程就构成一个随机变量的取值序列，并且该序列满足Markov性。 一个离散的Markov预测模型可以被描述成三元组，S代表状态空间；A是转换矩阵，表
数学建模之马尔可夫预测
马尔可夫预测 马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性 一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 （2）遍历性 不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 （3）过程的随机性。 该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测， ④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤 ①确定系统状态 有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S 用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L ③计算一步转移概率矩阵
令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为： 1112121 2221 2n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????L L M M M M L ④计算K 步转移概率矩阵 若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。 K 步转移概率矩阵为： 11121212221 2()k n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ??????==??????L L M M M M L ⑤预测及分析 根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即： () ()111210212221 2K n K n n n nn p p p p p p S S p p p ??????=??????L L M M M M L 例题： 设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。 市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。 再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立： ①计算初始概率 用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L （1） ②计算各类产品保留和转购变动率
Matlab学习系列34. 马尔可夫预测
33. 马尔可夫预测 马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。 马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。 （一）经典马尔可夫模型 一、几个概念 状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果； 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态； 马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。 状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率 ()(|)i j j i ij P E E P E E p →== 状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状
态，即1,,n E E ，则矩阵 1111n n nn p p P p p ????=?????? 其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。 状态转移矩阵满足： (i) 01, ,1,,ij p i j n ≤≤= (ii) 1 1n ij j p ==∑ 二、状态转移矩阵的计算 即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。 例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。 计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。 datas=xlsread('Agriculture.xlsx');
马尔科夫预测
第6章 马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
预测与决策试卷及答案解析
经济预测与决策 考试形式：闭卷考试时量：150分钟总分：100分 一．单选题1*15=15分 1.经济预测的第一步是（）A A.确定预测目的，制定计划 B.搜集审核资料 C.建立预测模型 D.评价预测成果 2.对一年以上五年以下的经济发展前景的预测称为（）B A.长期经济预测 B.中期经济预测 C.短期经济预测 D.近期经济预测 3.（）回归模型中，因变量与自变量的关系是呈直线型的。C A.多元 B.非线性 C.线性 D.虚拟变量
4.以下哪种检验方法的零假设为：B1=B2=…=Bm=0？B A.r检验 B.F检验 C.t检验 D.DW检验 5.以数年为周期，涨落相间的波浪式起伏变动称为（）D A.长期趋势 B.季节变动 C.不规则变动 D.循环变动 6. 一组数据中出现次数最多的变量值，称为（）A A.众数 B.中位数 C.算术平均数 D.调和平均数 7. 通过一组专家共同开会讨论，进行信息交流和相互启发，从而诱发专家们发挥其创造性思维，促进他们产生“思维共振”，达到相互补充并产生“组合效应”的预测方法为（）A A.头脑风暴法 B.德尔菲法
C.PERT预测法 D.趋势判断预测法 8.（）起源于英国生物学家高尔登对人类身高的研究。B A.定性预测法 B.回归分析法 C.马尔科夫预测法 D.判别分析预测法 9.抽样调查的特点不包括（）D A.经济性 B.时效性 C.适应性 D.全面性 10.下图是哪种多项式增长曲线（）B A.常数多项式 B.一次多项式 C.二次多项式
D.三次多项式 11.根据历年各月的历史资料，逐期计算环比加以平均，求出季节指数进行预测的方法称为（）C A.平均数趋势整理法 B.趋势比率法 C.环比法 D.温特斯法 12.经济决策按照目标的性质和行动时间的不同，分为（）D A.宏观经济决策和微观经济决策 B.高层、中层和基层决策 C.定性决策和定量决策 D.战术决策和战略决策 13.（）是从最好情况出发，带有一定冒险性质，反映了决策者冒进乐观的态度。B A.最大最小决策准则 B.最大最大决策准则 C.最小最小后悔值决策准则 D.等概率决策准则 14.如果某企业规模小，技术装备不良，担负不起较大的经济风险，则该企业应采用（）A
灰色预测马尔科夫
姓名：徐茂森 学号：200841004047 班级：统计2班 日期：2011年1月9日
基于灰色——马尔科夫模型的粮食产量预测 ——以山东省潍坊市粮食产量为例 【摘要】：本文基于灰色预测GM （1,1) 模型基础上，结合马尔科夫链，针对传统预测方法精确度不高的问题，研究山东省粮食产量变化来预测未来粮食产量。理论分析和实证计算表明，此种方法精确度更高，更加准确的预测未来的发展。 【关键词】：灰色预测模型，马尔可夫链，粮食产量 一、引言 我国是一个粮食大国，粮食关系到民生。对于我们这个具有13亿人口的大国来 说，粮食的作用更加重要。如今存在很多预测方法能够预测粮食的产量，都有一定的优点和缺点。灰度---马尔科夫模型是同时运用灰度预测模型和马尔科夫模型对问题进行分析预测。灰度预测模型通常是研究宏观规律，马尔科夫模型而是研究围观波动。恰当的运用这两种模型综合分析问题，会是预测精度明显提高。 二、理论分析及模型建立 2.1、 灰色模型GM （1，1）的基本思想 2.1.1、灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间的发展趋势的相私或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列具有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。 灰色预测使用灰色模型GM （1，1）来进行定量的分析。 2.1.2、GM （1，1）模型的建立 令(0)X 为GM （1，1）建模序列 (0) X =（(0)x （1），( 0)x （2），…，(0)x （n ）） (1) X 为(0)X 的1-AGO 序列
马尔科夫预测法
马尔科夫预测案例 一、 市场占有率的预测 例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费 者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。 （1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。 解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。 用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ??? 于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?= 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时, ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。
人力供给预测之马尔科夫模型
人力供给预测之马尔科夫模型 马尔科夫模型是根据历史数据，预测等时间间隔点上的各类人员分布状况。此方法的基本思想是根据过去人员变动的规律，推测未来人员变动的趋势。因此，运用马尔科夫模型时假设——未来的人员变动规律是过去变动规律的延续。既是说，转移率要么是一个固定比率，要么可以通过历史数据以某种方式推算出。 步骤： （1）根据历史数据推算各类人员的转移率，得出转移率的转移矩阵；（2）统计作为初始时刻点的各类人员分布状况； （3）建立马尔科夫模型，预测未来各类人员供给状况。 运用马尔科夫模型可以预测一个时间段后的人员分布，虽然这个时间段可以自由定义，但较为普遍的是以一年为一个时间段，因为这样最为实用。在确定转移率时，最粗略的方法就是以今年的转移率作为明年的转移率，这种方法认为最近时间段的变化规律将继续保持到下一时间段。虽然这样很简便，但实际上一年的数据过于单薄，很多因素没有考虑到，一个数据的误差可能非常大。因为以一年的数据得出的概率很难保证稳定，最好运用近几年的数据推算。在推算时，可以采用简单移动平均法、加权移动平均法、指数平滑法、趋势线外推法等，可以在试误的过程中发现哪种方法推算的转移率最准确。尝试
用不同的方法计算转移率，然后用这个转移率和去年的数据来推算今年的实际情况，最后选择与实际情况最相符的计算方法。转移率是一类人员转移到另一类人员的比率，计算出所有的转移率后，可以得到人员转移率的转移矩阵。 转移出i类人员的数量 i类人员的转移率= （3-1） i类人员原有总量 人员转移率的转移矩阵： P11 P12 (1) P21 P22 (2) P = P31 P32 (3) （3-2）
马尔科夫预测法在股票价格预测中的应用
马尔科夫预测法在股票价格预测中的应用 文章通过介绍马尔科夫预测法的基本原理，并且把马尔科夫预测法应用到股票价格的预测中，运用马尔科夫预测法关键是获得初始状态向量和状态转移概率矩阵，通过实证分析的验证，马尔科夫预测法在短期的股票价格预测中还是可以取得一定的效果的。 【关键词】马尔科夫预测法初始状态向量状态转移概率矩阵 一、引言 随着市场经济的发展，人们的收入不断提高，手中的闲散资金不断增多，投资成为现代人保证闲散资金得到保值增值的重要手段，而投资股票又是众多投资手段中最重要的一种手段。要想运用股票来达到资产的保值增值，就需要对所要购买的股票的价格趋势进行预测，才能通过投资股票获得收益。股票的价格波动受到多种随机因素的影响，股票价格变动过程可以看作为一个随机过程。对股票价格的精确预测从理论上来看是根本不可能的事情，因为股票的价格波动受到多种因素的共同作用，没有哪一种理论能够考虑到任何所有可能的因素。但是在短期内对股票价格做一个某种程度上的预测确实可以做到的。如果我们把股票价格波动视为一种随机过程，在众多随机过程中马尔科夫过程是一种比较简单的随机过程。本文将马尔科夫预测法运用到股票价格的短期预测中。并且通过验证可以发现马尔科夫预测法在短期内的预测效果在一定程度上是符合股票价格波动的合理区间。 二、马尔科夫预测法的基本原理
马尔科夫预测法是以俄国数学家马尔科夫名字命名的一种数学方法，马尔科夫预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测对象所处状态。它的核心思想是，如果把事件的整个随机过程分成不同的状态集，那么事件当前所处的状态是受上一个状态影响的。也就是利用事件上一状态来预测下一状态。 所谓状态就是指预测对象在某个时间出现的某种结果。在对股票价格趋势预测中我们通常对股票所处的状态有两种划分：一种是按照预测对象现阶段本身所处状态来进行划分。例如，对个股每日收盘价与前日的收盘价进行比较，可划分为三种状态：上涨、持平、下跌；另一种是根据实际情况进行人为地划分，例如，可以将一段时期内股票的价格划分为若干区域，每一价格仅落入一个区域内，则每一个区域可为一种状态。本文运用第二种方法，通过构造马尔科夫链来进行预测。 运用马尔科夫预测法进行预测，主要是构建马尔科夫链，即找出初始状态的概率向量和构建状态转移矩阵来预测对象未来某一时间所处的状态。假设条件：（1）状态转移一步转移，即都是相邻两个时期的状态转移。（2）测测期间状态的个数保持不变。（3）无后效性，即状态的转移仅与它前一期的状态和取值有关，而与前一期以前所处的状态和取值无关。用Pij（k）表示预测对象由状态Si经过k次转移，转移至状态sj的概率。k步转移概率矩阵为P（k） 三、多种状态下的股价预测 以深证云南白药2014年10月8日至2014年11月10日收盘价数据
马尔科夫预测
第 6 章马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。系统只能在时刻 t0,t1,t2,...改变它的状态。为简便计，以下将X t n等简记为X n。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有 P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,..., N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻t n ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态i i 1,2, ,N 有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月 A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、 0.3，则可用向量P 0.3,0.4,0.3 来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
论述马尔可夫模型的降水预测方法
随机过程与随机信号处理课程论文
论述马尔可夫模型的降水预测方法 摘要：预测是人们对未知事物或不确定事物行为与状态作出主观的判断。中长 期降水量的预测是气象科学的一个难点问题, 也是水文学中的一个重要问题。今年来，针对降水预测的随机过程多采用随机过程中的马尔可夫链。本文总结了降水预测的马尔可夫预测的多种方法和模型，对其中的各种方法的马尔可夫链进行了比较和分析，得出了一些有用的结论。 关键字：降水预测，随机过程，马尔可夫链，模拟 前言：大气降水是自然界水循环的一个重要环节。尤其在干旱半干旱地区, 降 水是水资源的主要补给来源, 降水量的大小,决定着该地区水资源的丰富程度。因此, 在水资源预测、水文预报中经常需要对降水量进行预报。然而, 由于气象条件的变异性、多样性和复杂性, 降水过程存在着大量的不确定性与随机性, 因此到目前为止还难以通过物理成因来确定出未来某一时段降水量的准确数值。在实际的降水预测中，有时不必预测出某一年的降水量，仅需预测出某个时段内降水的状况既可满足工作需要。因此，预测的范围相应扩大，精度相应提高。因此对降水的预测可采用随机过程的马尔可夫链来实现。 用随机过程中马尔可夫链进行预测是一种较为广泛的预测方法。它可用来预测未来某时间发生的变化, 如预测运输物资需求量、运输市场等等。马尔可夫链, 就是一种随机时间序列, 它表示若已知系统的现在状态, 则系统未来状态的规律就可确定, 而不管系统如何过渡到现在的状态。我们在现实生活中, 有很多情况具有这种属性, 如生物群体的生长与死亡, 一群体增加一个还是减少一个个体, 它只与当前该生物群体大小有关, 而与过去生物群体大小无关。] 本文针对降水预测过程中采用马尔可夫链进行模拟进行了综述和总结。主要的方法有利用传统的马尔可夫链的方法模拟；有采用加权的马尔可夫链模拟来进行预测；还有基于模糊马尔可夫链状模型预测的方法；还有通过聚类分析建立降水序列的分级标准来采用滑动平均的马尔可夫链模型来预测降水量；从这些方法中我们可以看出，马尔可夫链对降水预测有着重要的理论指导意义。 1.随机过程基本原理 我们知道，随机变量的特点是，每次试验结果都是一个实现不可预知的，但为确定的量。而在实际中遇到的许多物理现象，实验所得到的结果是一个随时间变化的随机变量，且用一个或多个随机变量我们有时无法描述很多这种现象的的全部统计规律，这种情况下把随时间变化的随机变量的总体叫做随机过程。对随机过程的定义如下：
经济预测与决策名词解释
名词解释 预测：是指对研究对象的未来状况进行估计和推测，即有过去和现在推测未来，由已知推测未知。 连贯性原则：是指事物过去和现在的发展变化规律在未发生质变的情况下，可以延续到未来。 类推性原则：是指事物的结构或规律具有相似性，有些事件可能是另一事件发生的先兆，因而可由已知事件的发展规律类推未知事件的未来。 预测精度：是指预测结果与实际情况的符合程度，是衡量预测方法是否适用于预测对象的一个重要指标。 定性预测：是指预测者根据一定的理论知识和经验，在对研究对象的发展进行调查和分析的基础上，对其发展趋势做出判断的方法。 专家预测法：是利用专家的知识经验，并结合有关背景统计资料进行预测的一类定性预测方法 主观概率：是指在一定条件下，个人对某一事件在未来发生或不发生的可能性所作的估计。 时间序列：是指各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间顺序排列起来的统计数据 马尔科夫链：是指具有无后效性的时间序列。所谓无后效性是指序列将来处于什么状态只与它现在所处的状态有关，而与它过去处于什么状态无关。
决策：是指管理部门和企业为了达到某种特定的目标，在调查、预测和对经济发展、管理活动等规律认识的基础上，运用科学的方法，对若干个可行方案进行分析、比较、判断，从中选出一个令人满意的方案并予以实施的过程 确定型决策：是指在决策系统及所处环境条件下，决策者根据已掌握的科学知识和技术手段，对不可控制因素能够完全作出科学、正确的判断。 风险型决策：是指决策者根据各种不同自然状态可能发生的概率及各方案的条件收益值所进行的决策 1、线性趋势预测 2、一次指数平滑法 3、时间序列具有线性发展趋势，要求采用二次移动平均法 4、趋势比率法进行季度预测 5、马尔科夫预测 6、转导法（第二章补充） 7、点面联想法 8、损益表分析 9、决策树（二阶段决策）
课上练习题_离散时间马尔科夫链 423
1、4.23 Trials are performed in sequence. If the last two trials were successes, then the next trial is a success with probability 0.8; otherwise the next trial is a success with probability 0.5. In the long run, what proportion of trials are successes? 2、4.32 Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off?
3、Let ri denote the long-run proportion of time a given irreducible Markov chain is in state i. Explain why ri is also the proportion of transitions that are into state i as well as being the proportion of transition that are from state i. 4、4.44 Suppose that a population consists of a fixed number, say, m, of genes in any generation. Each gene is one of two possible genetic types. If any generation has exactly i (of its m) genes being type 1, then the next generation will have j type 1 genes with probability j m j m i m m i j m- ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? . Let Xn denote the number of type 1 genes in the nth generation, and assume that X0 = i. (a) Find E[Xn] (b) What is the probability that eventually all the genes will be type 1?
第五章 风险与风险管理-马尔科夫分析法(MARKOVANALYSIS)
2015年注册会计师资格考试内部资料 公司战略与风险管理 第五章 风险与风险管理 知识点：马尔科夫分析法（MARKOVANALYSIS）● 详细描述： 通常用于对那些存在多种状态（包括各种降级使用状态）的可维修复杂系统进行分析。 （一）适用范围 适用于对复杂系统中不确定性事件及其状态改变的定量分析。 （二）实施步骤 【案例】 分析一种仅存在三种状态的复杂系统。 功能 —— 状态S1 降级 —— 状态S2 故障 —— 状态S3 每天，系统都会存在于这三种状态中的某一种。 马尔科夫矩阵说明了系统明天处于状态Si的概率 （i可以是1、2或3） 表5－13 马尔科夫矩阵 Pi表示系统处于状态i （i可以是1、2或3）的概率： P1＝0.95P1＋0.30P2＋0.20P3 （1） P2＝0.04P1＋0.65P2＋0.60P3 （2） P3＝0.01P1＋0.05P2＋0.20P3 （3） 这三个方程并非独立的，无法解出三个未知数。因此，下列方程必须使 今天状态S1（功能）S2（降级）S3（故障）明天状态S1（P1） 0.950.30.2S2（P2） 0.040.650.6S3（P3）0.010.050.2
用，而上述方程中有一个方程可以弃用。 1＝P1＋P2＋P3 （4） 解联立方程组，得到： 状态1的概率P1＝0.85 状态2的概率P2＝0.13 状态3的概率P3＝0.02 （三）主要优点和局限性 【主要优点】能够计算出具有维修能力和多重降级状态的系统的概率。 【局限性】 （1）无论是故障还是维修，都假设状态变化的概率是固定的； （2）所有事项在统计上具有独立性，因此未来的状态独立于一切过去的状态，除非两个状态紧密相连； （3）需要了解状态变化的各种概率； （4）有关矩阵运算的知识比较复杂，非专业人士很难看懂。 例题：
马尔可夫链预测方法
马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。
课上练习题_连续时间马尔科夫链 619
6.2 Suppose that a one-celled organism can be in one of two states-either A or B. An individual in state A will change to state B at an exponential rate α; an individual in state B divides into two new individuals of type A at an exponential rate β. Define an appropriate continuous-time Markov chain for a population of such organisms and determine the appropriate parameters for this model. 6.3 Consider two machines that are maintained by a single repairman. Machine i functions for an exponential time with rate μbefore breaking down, i = 1,2. The repair times (for either i machine) are exponential with rate μ. Can we analyze this as a birth and death process? If so, what are the parameters? If not, how can we analyze it?