第二讲 一个简单的静态模型(中级宏观经济学-浙江大学 何樟勇)

第二讲 一个简单的静态模型

1.1.决策环境：偏好、禀赋与技术

基本环境

经济活动只进行一期，经济中只有一个代表性消费者和一个代表性的企业。代表性消费者将决定最优的消费数量和劳动供给数量；代表性的企业将决定最合适的资本和劳动的使用数量。消费者和企业的行为是竞争性的，也即他（她）们都是在视市场价格为既定的情况下来做决策的。消费者拥有企业。

偏好

消费者偏好由如下的效用函数代表：),(l c u ，

其中，c 是消费，l 是闲暇。这里，效用函数是一个严格凹的、二次可微的、对每个变量是严格递增的函数。我们也假设效用函数有如下特征：0,),(lim 10

>∞=→l l c u c 以及0,),(lim 20

>∞=→c l c u l 。这里，),(l c u i 是效用函数),(l c u 对第i 个变量的导数。

技术

企业根据如下的生产函数进行消费品的生产：),(n k zf y =。其中，y 是产出，k 是资本投入，n 是劳动投入，z 是全要素生产率参数。这里，生产函数是一个严格准凹、二次可微、一次齐次、对每一个变量都是严格递增的函数。这意味着生产函数是规模报酬不变的，因此下式对任意的0f λ均成立：

),(n k zf y λλλ= (1.1)

我们也假设生产函数有如下特征：∞=→),(lim 10n k f k ，0),(lim 1=∞

→n k f k 以及∞=→),(lim 20n k f n ，0),(lim 2=∞

→n k f n 。 禀赋

代表性消费者拥有0k 单位的资本，这些资本可以租给企业，但不

能用于消费。同时，代表性消费者也拥有h 单位的时间禀赋，它们既可以用于劳动也可以用于闲暇。

1.1.2消费者与企业的最优化行为

在一个没有货币的经济中，所有价格都是相对价格，因此，我们可以任意地选出某一种商品，把它的价格标准化为1，这并不会对分析结果产生任何影响。我们把这一价格被标准化为1的商品称为记价品。出于习惯，经济学家一般更愿意用消费品作为记价物，在这里，我们也秉承这一传统。市场上共有三种可交易的对象：消费、闲暇和资本租赁服务。闲暇的价格用消费品衡量记为w ，资本的租金用消费品衡量记为r 。

消费者的最优化问题

消费者把w 和r 视为给定，

在预算约束下寻求自己的效用最大化。也就是说，每个消费者都在求解如下这样一个最优化问题： ),(max ,,l c u s

k l c ..t s

s rk l h w c +?≤)( (1.2)

00k k s ≤≤ (1.3)

h l ≤≤0 (1.4)

0≥c (1.5)

这里，

s k 是消费者租给企业的资本数量，(1.2)式是预算约束方程；(1.3)式说明消费者租给企业的资本数量必须是正的，并且不能超过自己初始拥有的数量；(1.4)式闲暇的约束条件；(1.5)式是对消费所强加的一个非负约束。

因为效用会随消费的增加而增加，因此，必然有0k k s =，

也即(1.2)式将取等号。事实上，我们对效用函数的限制本身就可以确保我们对消费和闲暇所作的限制，在均衡时，闲暇永远不会取h l =，因为那样的话，将没有什么被生产出来。因此，我们可以忽略(1.4)和(1.5)两个约束条件。现在，消费者的最优化问题会变得简单起来，我们可以把消费者的最优化问题用如下一个拉格朗日方程来表述：

)(),(0c wl rk wh l c u ??++=λl

这里，λ是拉格朗日乘子。我们已经对效用函数作了一系列限定，这可以确保产生一个唯一的最优解，这个最优解可以通过如下的一阶条件得到描述：

01=?=??λu c

l 02=?=??w u l

λl 00=??+=??c wl rk wh λl 利用这三个一阶条件我们可以消掉λ和c ，从而获得：

()[]()[]0,,0201=?+??+l wl rk wh u l wl rk wh wu (1.6)

或者，更简洁地表述为：

w u u =1

2 也就是说，闲暇与消费的边际替代率等于工资率。我们可以借助图1.1来更直观地看这一结果。

图1.1

方程（1.6）实际上是以隐函数的形式给出了消费者的闲暇需求函数，若定义),,(0k r w l 为闲暇需求函数，那么，我们可以进一步得到消费者的劳动供给函数：

),,(),,(00k r w l h k r w n s ?=

企业的最优化问题

企业的利润函数为：

d d d d d wn k rk n k zf ????=)1(),(δπ

其中，d k 和d n 分别代表企业的资本需求和劳动需求，δ代表折旧率，

l

B

出于简单化考虑，在这里，我们假定1=δ，也即资本使用一期后完全报废。

每个企业在把w 和r 视为既定的情况下，通过选择一个恰当的劳动和资本的投入数量来最大化利润。也就是说，企业在求解如下一个最优化问题：

[]d d d d n k wn rk n k zf d

d ??),(max , 最优解的一阶条件就是两个边际产出条件：

r zf =1 (1.7)

w zf =2 (1.8)

这里，i f 表示的是生产函数对第i 个变量的偏导数。

对应于每一个实际工资w，企业都会根据w zf =2的原则选择一个相应的劳动力数量d n 。这意味着，企业的劳动边际产出曲线也就是企

业的劳动需求曲线。同样，对应于每一个实际工资r，企业都会根据r zf =1的原则选择一个相应的资本使用数量d k 。这意味着，企业的资

本边际产出曲线也就是企业的资本需求曲线。

因为生产函数是一次齐次的，因此，欧拉定律将成立。因为通过让(1.1)式对λ求偏导数，并令λ＝1，我们可以得到：

n zf k zf n k zf 21),(+= (1.9)

这样，方程(1.7)、(1.8)和(1.9)就意味着最大化的利润等于零。这引出了两个重要的结论：第一，我们不需要关注企业的利润分配问题（例如，通过消费者拥有的股权进行分配；第二，假设?k 和?n 是企业对要素投入的最优选择，那么，一定有下式成立：

0),(=??wn rk n k zf (1.10)

其中，?=k k ，?=n n 。而且，由于有规模报酬不变的假设， (1.10)式对于任何?=k k λ和?=n n λ（)0f λ也成立，因而企业的最优规模是不确定的。这一特性使我们可以不考虑企业的数目，因为企业的数目与竞争均衡解无关。

1.1.3竞争均衡

一个竞争均衡是指满足如下特征的数量解),,,(k n l c 和价格解),(r w ：

1.代表性消费者在视w 和r 为给定的情况下选择最优的c 和l 。

2. 代表性企业在视w 和r 为给定的情况下选择最优的d n 和d k 。

3.市场出清。

在我们的模型里，有三个市场：劳动市场、消费品市场和资本租赁市场。在一个竞争均衡中，下述条件将成立：

d n l h =? (1.11)

c y = (1.12)

d s k k k ==0 (1.13)

也就是说，每个市场的供给都等于需求。现在，整个市场的超额需求为：

)()]([0k k r l h n w y c d d ?+??+?

根据消费者的预算约束条件以及利润最大化时企业将获得零利润的事实，我们有：

0)()]([0=?+??+?k k r l h n w y c d d （1.14）

注意，即使利润不为零，（1.14）也将成立，因为利润最终是归消费者所有的。但现在，只要（1.11）、(1.12)和(1.13)式中有任何的两个得到满足，那么，（1.14）就意味着第三个市场出清条件将自动成立。方程（1.14）就是该模型里的一个简单的瓦尔拉斯定理。简单说，瓦尔拉斯定理阐述的就是：整个市场的超额需求总是为零的，而这又意味着，如果有M个市场，那么，只要M－1个市场出清了，那么，剩下的一个市场也会自动出清。因此，当我们在求解竞争均衡的价格和数量时，我们可以省略一个市场出清条件。在这里，我们就省略（1.12）式吧！

现在非常清楚，劳动市场中，劳动供给函数由（1.6）式代表，劳动需求函数由（1.8）式代表，劳动市场的出清条件由（1.11）式表述；在资本市场中，资本的供给既定，资本的需求函数由（1.7）式表述，出清条件由（1.13）式表示。利用这些条件，我们可以求得均衡的利率?r和均衡的工资?w。一旦求得均衡利率和均衡工资，我们就可以得到均衡的劳动数量?n（闲暇数量?l）和资本数量?k，得到这些均衡解以后，利用预算约束条件，我们也可以求得均衡的消费数量?c。

需要特别注意，在很多时候，我们往往没有办法得到劳动需求函数、劳动供给函数、资本需求函数、资本供给函数的显性表达式，因此，首先求出均衡的利率?r和均衡的工资?w几乎是不可能的，此时，我们一般要借助联立方程组同时去求均衡解。

我们要求解的均衡解实际上就是由等式（1.3）代表的资本供给函数、（1.6）代表的劳动供给函数、（1.7）代表的资本需求函数、（1.8）

代表的劳动需求函数、（1.11）代表的劳动市场出清条件、（1.13）代表的资本市场出清条件以及（1.2）代表的预算约束条件所组成的方程组的解。对应这七个方程组，我们有七个待求解的未知数：c n l k k w r d d s 、、、、、、。我们能把其他几个方程代入方程（1.6），从而获得一个仅含有一个未知数l 的方程，从而我们能求得?l 的均衡解： ()()[]()[]0,)(,,)(,)(,020102=????l l h k zf u l l h k zf u l h k zf （1.15） 一旦求得?l 的解，我们能把它代入下列方程，从而分别?r 、?w 、?n 、?k 和?c 的解。

()r l h k zf =?)(,01 （1.16） ()w l h k zf =?)(,02 （1.17） l h n ?=

0k k =

())(,0l h k zf c ?= （1.18） 当然，我们现在还不能断定竞争均衡解一定会存在并且是唯一的，不过，在后面我们将证明这一点。

1.1.4帕雷托最优

所谓帕雷托最优，我们一般是这样来定义的：分配已经进行到这样的程度，以至于在不损害某一个人的福利时，我们已经无法再提高其他人的福利了！在我们的这个简单的仅有一个代表性消费者的模型里，显然，我们不用当心商品在行为人之间的分配问题。但是，考虑一下帕雷托最优问题还是有意义的，它可以帮助我们分析有多个行为人的情况。想象一下，现在有一个万能的计划者，它能指导代表性企

业使用最合适数量的资本进行生产，也能指导消费者供给最合适的劳动数量，他所做的这一切的最终目的只有一个，即使消费者能获得最大的福利。这个计划者实际上就是通过求解如下一个问题来实现帕雷托最优

),(max ,l c u l

c ..t s ())(,0l h k zf c ?= （1.19）

我们能把约束条件代入目标函数，通过对l 求一阶导数，并令其为零，从而获得如下的一个最优条件

()()[]()[]0,)(,,)(,)(,020102=????l l h k zf u l l h k zf u l h k zf （1.20）

注意，（1.15）式和（1.20）式是完全相同的，因而，我们通过社会计划者而得到的c 的解（先解出（1.20）式中的l ，再代入预算约束条件中，就可以得到）与通过市场的方式，也即由（1.18）式产生的解肯定是相同的。也就是说，在我们的这个简单的模型里，竞争均衡解与帕雷托最优解是完全相同的。进一步，因为效用函数是严格凹的，而生产函数是严格准凹的，因而存在唯一的帕雷托最优解，因此，竞争均衡解也是唯一的。

注意，我们也能把（1.20）式重新表述为：

1

22u u zf = 这里，方程的左边是边际转换率，而右边则是消费和闲暇之间的边际替代率。在图1.2中，AB 是方程（1.19），帕雷托最优点是D 点，在这一点，最高的无差异曲线与生产可能性曲线正好相切。在竞争均衡中，代表性消费者面对预算约束FG ，最大化的点也在D 点，这里，

预算线的斜率为w ?，等于12u u ?

。 注：边际转换率＝

20),(zf dl

l h k dzf dl dc ?=?=

图 1.2

在更一般的情形下，只要满足一些限制条件，下述说法都是成立的：

1.一个竞争均衡是一个帕雷托最优（第一福利定理）。

2.一个帕雷托最优是一个竞争均衡（第二福利定理）。

保证上述两个定理成立的条件包括：不存在外部性，完全竞争，不存在扭曲税（例如收入税或者销售税）。第一福利定理是十分强有力的，它的基本思想可以回溯到亚当·斯密的《国富论》。在宏观经济学里，如果我们能用一个竞争均衡模型来成功地解释一些个别性的现象

（比A

B F G c

l

如，经济周期现象），而在这个模型中第一福利定理又是成立的，那么，我们就可以认为这种现象的存在并不能成为政府干预它的理由！ 除了政策含义外，在代表性行为人模型里，竞争均衡与帕雷托最优等同的性质也对我们的计算有很大帮助！也就是说，我们能先利用社会计划问题去求得竞争均衡的数量解，然后，再去求解均衡的价格，而不需要利用市场出清条件去同时求竞争均衡的数量和价格解（这样，计算会复杂得多）。例如，在上面的例子中，我们可以首先利用社会计划问题求得c 和l 的解，然后再从（1.16）和（1.17）两个边际条件中求得w 和r 的解。虽然，在这里，我们看不出两种方法的明显区别，但在复杂的动态计算数值模型中，我们能明显体会到，利用这种方法会大大减轻计算的负担。

1.1.5例子

考虑一个具有如下特殊形式的函数。效用函数为：

l c l c u +??=?γ

γ11),(1 其中，0>γ测量了效用函数对消费的曲度

（这是一个常相对风险偏好型效用函数）。注意，利用L’Hospital’s 规则，有：

[]

c d d e d d c c log )1(1lim 11lim log )1(111=??=???→?→γγγγγγγγ 生产技术由如下生产函数代表：

αα?==1),(n zk n k zf y

其中，10<<α。也就是说，生产函数是科布－道格拉斯型的。

试求均衡的：??????r y n w l c ,,,,,。

首先利用社会计划者方法求解出均衡的??n l ,：

社会计划问题可以描述为：

[]??

????????+?????l l h zk l γγαα11)(max 110 该最优化问题的解是：

[]γααγαα)1(110))(1(?+????=zk h l （1.21）

根据h l n s =+，可得：

[]γααγαα)1(110))(1(?+???=zk n

我们知道这也是竞争均衡的解。一旦求得均衡的?n ，代入生产函数，我们也可以求得均衡的产出?y ，根据商品市场出清的条件，它也是均衡的消费?c ：

[]γααααα)1(1

01)()1(?+????==zk y c 企业实现利润最大化的两个一阶条件分别为：

011=?=????r n k z k

αααπ 0)1(=??=???w n k z n

αααπ 利用这两个一阶条件，我们可以求得均衡的工资?w 和利率?r ，

各自为：

[]γααγα

αα)1(01)()1(?+???=zk w []γαααααα

)1(1010)()1(?+???=zk k r

从（1.22）式和（1.23）式可以看到c 和w 是z 和0k 的增函数。也就是

说，生产率和资本存量的增加将增加消费和实际工资。然而，从方程

（1.21）中可以看到，对闲暇的数量（从而也是对就业）的影响是不确定的。最终的影响效果将取决于γ是大于1还是小于1。如果1

γ，

<

γ，则影z和0k的增加将导致闲暇减少，从而导致就业增加；而当1>

响恰好相反。