成人高考数学必背知识点

第一部分代数（重点 占55%）

第一章 集合和简易逻辑

一、集合的概念：强调——共同属性、全体 二、元素与集合的关系： x A ∈ 或 ｘ?A

三、集合的运算：１.交集 A ∩B=｛ｘ︱x A ∈且x B ∈｝ 注意：“且”

２.并集 A ∪B ＝｛ｘ︱x A ∈或x B ∈｝ 注意：“或”

3.补集 c u A =

｛ｘ︱ U x ∈但A x ?｝

四、简易逻辑：

充分条件.必要条件：

１.充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. ２.必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

３.充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

第二章 函数 （重点）

一、函数的定义：１.理解ｆ的含义，掌握求函数解析式的方法－配方法

２.求函数值

３.求函数定义域：

１）分式的分母不等于０； ２）偶次根式的被开方数≥０； ３）对数的真数＞０；

二、函数的性质 １.单调性：（１）设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函

数

２.奇偶性

（１）定义：若()()f x f x -=，则函数)(x f y =是偶函数；若()()f x f x -=-，则函数)(x f y =是奇函数. （２）奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。（３）常见函数的图象及性质（熟记） ３.反函数定义及求法：（１）反解；（２）互换ｘ，ｙ；（３）写出定义域。（文科不考） ４.互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =?=-)()(1

（文科不考）

５.函数)(x f y =和与其反函数)(1

x f y -=的图象关于直线y=x 对称（文科不考）

６.一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ

7.二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠

８.二次函数的最值： 二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p a b

x ,2?-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a

b

x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =；

若[]q

p

a

b

x,

2

?

-

=，则{}

max

()max(),()

f x f p f q

=，{}

min

()min(),()

f x f p f q

=

9.分数指数幂

(1)

m

n m

n

a a

=（0,,

a m n N*

>∈，且1

n>）；(2)

1

m

n

m

n

a

a

-

=（0,,

a m n N*

>∈，且1

n>）.

10.二次函数图像及性质

11.根式的性质

（1）()n

n a a

=.（2）当n为奇数时，n n a a

=；当n为偶数时，

,0

||

,0

n n

a a

a a

a a

≥

?

==?

-<

?

.

12.有理指数幂的运算性质

(1)(0,,)

r s r s

a a a a r s Q

+

?=>∈；(2)()(0,,)

r s rs

a a a r s Q

=>∈；(3)()(0,0,)

r r r

ab a b a b r Q

=>>∈

13.指数式与对数式的互化式★★（重点掌握）

log b

a

N b a N

=?=(0,1,0)

a a N

>≠>.

14.对数的换底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

= (0

a>,且1

a≠,0

m>,且1

m≠,0

N>).

推论log log

m

n

a

a

n

b b

m

=(0

a>,且1

a>,,0

m n>,且1

m≠,1

n≠,0

N>).

15.对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1) log()log log

a a a

MN M N

=+;

(2) log log log

a a a

M

M N

N

=-;(3)log log()

n

a a

M n M n R

=∈.

16.常见函数的图像

（1）幂函数（2）指数函数)1

,0

(≠

=a

a

a

y x f

（3）对数函数

)1

,0

(

log≠

=a

a

x

y a f

第三章不等式与不等式组

１.含绝对值的不等式

当a>0时，有2

2

x a x a a x a

x a x a x a

>?>?>或x a

<-２.一元二次不等式20(0)

ax bx c

++><

或2

(0,40)

a b ac

≠?=->，

如果

a与2

ax bx c

++同号，则其解集在两根之外；

如果a与2

ax bx c

++异号，则其解集在两根之间.

简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212

()()0()

x x x x x x x x x

<

121212

,()()0()

x x x x x x x x x x

<>?--><

或

第四章数列

１.数列的通项公式

n

a与前n项的和

n

S的关系1

1

,1

,2

n

n n

S n

a

S S n

-

=

?

=?

-≥

?

.★

２.等差数列：

1

n n

a a d

-

-=（公差）

３.等差数列的通项公式：*

11

(1)()

n

a a n d dn a d n N

=+-=+-∈；

其前n项和

n

S公式为：1

()

2

n

n

n a a

S

+

=

1

(1)

2

n n

na d

-

=+2

1

1

()

22

d

n a d n

=+-.

４.等比数列：

1

n

n

a

q

a

-

=（公比）后一项与前一项的比值为不为0的定值

５.等比数列的通项公式：1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈；★ 其前n 项的和公式为：11

(1),11,1n n a q q S q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1

n n a a q

q q S na q -?≠?

-=??=?.

第五章 复数（文科不考）

１.复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

２.复数z a bi =+的模（或绝对值）：||z =||a bi +

实部：a ；虚部：ｂ

３.复数的四则运算法则（ｉ２

＝－１）★

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222

()()(0)ac bd bc ad

a bi c di i c di c d c d +-+÷+=

++≠++

４.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=，①若2

40b ac ?=->,

则

1,2x =;②若240b ac ?=-=,则12

b x x ==-;③若2

40b ac ?=-<，它在实数集R 内没

有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac -<

５.★一元二次方程2

0ax bx c ++=根12,x x 与系数的关系：1212,b c x x x x a a

+=-

?= 第六章 导数★★★★★

１.导数的计算 （１）公式

0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x cos )(sin '=（文科不考）x x sin )(cos '-=（文科不考）

x x e e =')(（文科不考）

（２）求导数的四则运算法则：（其中v u ,必须是可导函数.）

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?

'

'

'

'

'

'

'

)()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）（文科不考） )0(2'''

≠-=

??

? ??v v u

v vu v u （文科不考） ２.导数的应用

（１）利用几何意义求曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为

).)((00'0x x x f y y -=-

（２）判断函数单调性.求极值.求最值：

１０

.函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果

)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数

２０

.极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①

. 此外，函数不可导的点也可能是函

数的极值点②.

当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.

②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.

３.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定要有意义.

第二部分 三角

１.三角函数在四个象限内的符号：函.弦.切.余 ２.★同角三角函数的基本关系式：2

2sin

cos 1θθ+=， tan θ=θ

θcos sin ， tan 1cot θθ?=.

θ

tan

θ

sec

２.正弦.余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

2

12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数， 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-?

为偶数为奇数

３.★和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

. ４.二倍角：

sin 22sin cos ααα=；

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；

2

2tan tan 21tan α

αα

=-. ５.★三角函数的周期公式 ：函数sin()y x ω?=+及函数cos()y x ω?=+的周期2T πω

=；

函数tan()y x ω?=+的周期T πω

=.

６.★正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C ===（R 为ABC ?的外接圆半径）. ７．★余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；222

2cos c a b ab C =+- ８.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ 9.特殊角三角函数值

sin

九二十七”。记此歌诀即可。

。

第三部分 平面解析几何

１.★平面向量基本定理：如果e 1.e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1.λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1.e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ２.★向量平行的坐标表示： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ∥b 12210x y x y ?-=.

３.★ a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．（文科不考）

４. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（文科不考） ５.★平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.

(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +. ６.两向量的夹角公式

cos θ=

(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). ７.平面两点间的距离公式

,A B d =||AB AB AB =

?=其中A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

８.线段的中点坐标公式 ★

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的中点，则 121222

x x x y y y +?=???

+?=??. 9.向量的平行与垂直 ★

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ∥b ?b =λa 12210x y x y ?-=；a ∥b 也叫共线

a ⊥

b ?a ·b=012120x x y y ?+=.

10.斜率公式：21

21

y y k x x -=

-（111(,)P x y .222(,)P x y ）.

11.直线的五种方程

★（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y .222(,)P x y (12x x ≠)).

(4) 截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横.纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A.B 不同时为0). 12.★两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠；②12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 2.B 2 .C 2都不为零, ①11112222

||A B C l l A B C ?=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=；

13.夹角公式：21

21

tan |

|1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

14.

★点到直线的距离公式：d =(点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=).

15.★点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程。

16.★求曲线与曲线的交点，将曲线方程联立方程组求解，以方程的解为坐标即为交点坐标。 17.★圆的三种方程

（1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

20x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+??

=+?

18.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0相离r d ；0=???=相切r d ；0>???<相交r d . 其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

19.★椭圆的方程（１）标准方程22

221(0)x y a b a b

+=>>（焦点在ｘ轴）

22

221(0)x y a b b a

+=>>（焦点在ｙ轴） （２）参数方程是cos ()sin x a y b θ

θθ=??=?

为参数

20.★椭圆的长轴长：2a ，短轴长；２ｂ；焦距：２ｃ；离心率： c

e a

=

其中：ｃ２

＝2

a －ｂ２

，注意：分母大的为2

a

21.★双曲线的方程：22

221x y a b -=（焦点在ｘ轴）

22

2

21y x a b

-=（焦点在ｙ轴） 22.★双曲线的实轴长：2a ，虚轴长；２ｂ；焦距：２ｃ；离心率： c e a

= 其中：ｃ２

＝2

a ＋ｂ２

，注意：被减量的分母为2

a 23.★双曲线的方程与渐近线方程的关系：

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=

(２）若双曲线方程为22221y x a b -=?渐近线方程：22220y x a b -=?a

y x b

=±

24.★抛物线的标准方程…………焦点坐标…………准线方程…………开口方向

（１）2

2(0)y px p =>…………F(

,02P )…………2P

x =-………… 向右 （２）2

2(0)y px p =->…………F(,02P -)…………2P x =…………向左

（３）2

2(0)x py p =>…………F(0,2P )…………2P y =-………… 向上

（４）2

2(0)x py p =->............F(0,2P -) (2)

P y =………… 向下

其中：P 表示定点（焦点）到定直线（准线）的距离

第四部分 立体几何（文科不考）

１.体.锥体的体积

V Sh =柱体（S 是柱体的底面积.h 是柱体的高）

1

3

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积.h 是锥体的高）

２.★球的半径是R ，则其体积343

V R π=,其表面积2

4S R π=．

３.异面直线的定义及异面直线所成的角

第五部分 概率与统计

１.★分类加法原理（加法原理）

12n N m m m =+++.

２.★分步计数原理（乘法原理）

12n N m m m =???. 总结：分类之间算加法；分步之间算乘法。 ３.排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．注:规定1!0=.

４.二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;

二项展开式的通项公式r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.

５★.等可能性事件的概率()m

P A n

=

（其中：ｍ表示一次试验共有ｎ种等可能出现的结果，其中试验A 包含的结果有ｍ种） ６.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

７.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． ８.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).

９.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

10.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k

n n P k C P P -=-

11.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥=；（2）121P P ++

=.

12★.P ２

P ３ 数学期望1122n n

13★.设样本数据为12,,,n x x x ，则样本平均数12111

()n i n i x x x x x n n

===++

+∑，

样本方差：

])()()[(1

)(1222212

12

x x x x x x n

x x n s n n

i i -++-+-=-=∑=

注意：计算样本平均数与样本方差可以使用计算器。