数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析方案(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间上时，它可以展开成切
比雪夫级数。即：
其中为次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递
推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切
比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间上的已知函数最佳平方逼近多项式的
算法如下。
设已知函数的最佳平方逼近多项式为
，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式系数的求解方程组
其中
五、实验内容：
%Chebyshev多项式最佳一致逼近
function f=Chebyshev(y,k,x0>
syms t。
T(1:k+1>=t。
T(1>=1。
T(2>=t。
c(1:k+1>=0.0。
c(1>=int(subs(y,findsym(sym(y>>,sym('t'>>*T(1>/s qrt(1-t^2>,t,-1,1>/pi。
c(2>=2*int(subs(y,findsym(sym(y>>,sym('t'>>*T(2> /sqrt(1-t^2>,t,-1,1>/pi。
f=c(1>+c(2>*t。
for i=3:k+1
T(i>=2*t*T(i-1>-T(i-2>。
c(i>=2*int(subs(y,findsym(sym(y>>,sym('t'>>*T(i> /sqrt(1-t^2>,t,-1,1>/pi。
f=f+c(i>*T(i>。
f=vpa(f,6>。
if(i==k+1>
if(nargin==3>
f=subs(f,'t',x0>。
else
f=vpa(f,6>。
end
end
End
%最佳平方逼近
function coff=ZJPF(func,n,a,b>
C=zeros(n+1,n+1>。
var=findsym(sym(func>>。
func=func/var。
for i=1:n+1
C(1:i>=(power(b,i>-power(a,i>>/i。 func=func*var。
d(i,1>=int(sym(func>,var,a,b>。end
for i=2:n+1
C(i,1:n>=C(i-1,2:n+1>。
f1=power(b,n+1>。
f2=power(a,n+1>。
C(i,n+1>=(f1-f2>/(n+i>。
end
coff=C\d。
第四章 最佳逼近
第四章最佳逼 近 学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和 方法、以及最小二乘法常用 的正交多项式以及正交多项 式的性质。重点为最佳一致 逼近和最佳平方逼近的特征 性质（如契比雪夫定理等） 以及最佳一致逼近和最佳平 方逼近多项式的计算方法。
§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近 不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间， 简记为C[a,b]。为描述方便，引进符号函数 ，称为C[a,b] 上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为 ∞?],[] ,[,)(max b a b a x C f x f f ∈?=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合 . 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。 { }n n x x span P ,,,1 =
对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量： ) ()(min ),(x p x f P f n P p n -=?∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。 围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。
定理（契比雪夫定理） 对任意 是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。 n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果 ，那么在 中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式 ],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且 在 （a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交 错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。 )1(+n f
10.连续函数的多项式一致逼近
附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(； 根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，
最佳平方逼近方法
2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数 肖夏，29，R数学12-1班
一、算法理论 设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a ,b ]上的连续函数，并且在[a ,b ]上线性无关。以此函数组为基，生成空间C [a ,b ]上的一个子空间 H =Span {φ0,φ1,…，φm } 则H 中的任意一个元素为 p x = c j φj x m j =0 对空间C [a ,b ]的任意两个函数f ，g ，定义内积 f , g = ω x f x g x dx b a 对于给定的函数f (x )∈C [a ,b ]，若p ? x ∈H ，满足 f ?p ?,f ?p ? =min p∈H f ?p ,f ?p 则称p ? x 为子空间H 中对于f (x )的最佳逼近平方元素。 特别地，若φj x =x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ? x ∈H ，为函数f x 在区间[a ,b ]上带权ω x 的m 次最佳平方逼近多项式。 设f (x )∈C [a ,b ]，p ? x ∈H 是子空间H 中对于f (x )的最佳平方逼近元素的充分必要条件是 f ?p ?,φj =0，(j =0,1,…,m )或对于任意一个p x ，总有 f ?p ?,p =0。 求最佳平方逼近元素p ? x = c k ?φk x m k =0，只要求出c k ? 。 因 f ?p ?,φj = f ,φj ? c k ? φi ,φj =0m k =0 得 c k ? φi ,φj = f ,φj m k =0 得 φ0,φ0 ? φ0,φm ??? φm ,φ0 ? φm ,φm c 0? ?c m ? = f ,φ0 ? f ,φm 求出c k ?，带入p ? x = c k ? φk x m k =0即可。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书
实验十八实验报告 一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。 二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。 三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。 四、实验原理： 1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近： 当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数。即： 0()()n n n f x f T x ∞ ==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出： 0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===- 它们之间满足如下正交关系： 1 0 n m n=m 02 n=m=0 π π-≠???=≠?????
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定： 1 01 1 2n f f ππ --== ? ? 2．最佳平方逼近： 求定义在区间01[,]t t 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。 设已知函数()f x 的最佳平方逼近多项式为 01()n n p x a a x a x =+++ ，由最佳平方逼近的定义有： 01(,,,) 0(0,1,2,,)n i F a a a i n a ?==? 其中1 20101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----? 形成多项式()p x 系数的求解方程组Ca D =
多项式逼近定理的含参积分证法
2298 计算 *20ln cos cos 2,()x nxdx n N π ?∈?. 解 利用分部积分得 20 ln cos cos 2I x nxdx π=?? 220011sin 2sin ln cos sin 222cos nx x x nx dx n n x ππ?=?+? 201cos(21)cos(21)04cos n x n x dx n x π--+=+? 22001cos(21)1cos(21)4cos 4cos n x n x dx dx n x n x ππ-+=-?? 2122001sin(21)1sin(21)(1)(1)4sin 4sin x y n n n y n y dy dy n y n y π ππ=---+=---??， 由 sin(21)12cos 2...2cos 2(1)sin n y y n y y -=+++-, sin(21)12cos 2...2cos 2sin n y y ny y +=+++, 得 2 0s i n (21)s i n 2 n y dy y ππ-=?, 20sin(21)sin 2 n y dy y ππ+=?; 故2 0ln cos cos 2I x nxdx π=??1(1)4n n π-=- 。 Weierstrass 逼近定理的含参变量积分证法 按照下列步骤给出Weierstrass 逼近定理的另一个证明： （1）1 211((1))n n C x dx --=-?, 证明：n C < （2）设f 是[0,1]上的连续函数，并且(0)(1)0f f ==，当[0,1]x ?时，定义()0f x =， 记2()(1)n n n Q x C x =- . 证明：1 1()()()n n P x f x t Q t dt -=+?是一个多项式, 而且lim ()()n n P x f x →∞ =在[0,1]上一致地成立； （3）当(0)(1)0f f ==的条件不成立时，证明 Weierstrass 逼近定理。
用多项式逼近连续函数
教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (， 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。 关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)； (2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立，
最佳平方逼近与最小二乘拟合
最佳平方逼近与最小二乘拟合 ——两者的区别与联系 函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。 一、 函数的最佳平方逼近 （一）最佳平方逼近函数的概念 对[]b a C x f ,)(∈及[]b a C ,中的一个子集{ }n span ???φ,,,10?=，若存在φ∈)(* x S ，使 []dx x S x f x S f S f b a S S ? -=-=-∈∈22 222 *)()()(inf inf ρ?? ， 则称)(*x S 是)(x f 在子集[]b a C ,?φ中的最佳平方逼近函数。 （二）最佳平方逼近函数的解法 为了求)(* x S ， 由[]dx x S x f x S f S f b a S S ? -=-=-∈∈22 222 *)()()(inf inf ρ?? 可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数 dx x f x a x a a a I b a n j j j n 2 010)()()(),,,(? ∑?? ? ???-= ?=?ρ的最小值问题。 由于),,,(10n a a a I ?是关于n a a a ,,,10?的二次函数，利用多元函数极值的必要条件 ),,1,0(0n k a I k ?==??，即 n),,1,0(0)()()()(20?==?? ????-=???∑=k dx x x f x a x a I k b a n j j j k ??ρ， 于是有() ()),,1,0(,,0 n k f a k j n j j k ?==∑=???。
最佳一致逼近多项式
§3最佳一致逼近多项式 2-1 最佳一致逼近多项式的存在性 切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ?。记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。n H 中的元素)(x P n 可表示为 01()n n n P x a a x a x =+++L ， 其中n a a a ,,,10L 为任意实数。要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差 )()(max min )()(max *x P x f x P x f n b x a H P n b x a n n ?=?≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念，先给出以下定义。 定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称 )()(max ),(x P x f P f P f n b x a n n ?=?=?≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。 显然),(,0),(n n P f P f ?≥?的全体组成一个集合，记为)},({n P f ?，它有下界0。若记集合的下确界为 ,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n ?=?=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。 定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(* ， n n E P f =?),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。 注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。 定理2 若],[)(b a C x f ∈，则总存在n n H x P ∈)(*，使 n n E x P x f =?∞)()(*. 证明略。 2-2 切比雪夫定理 这一节我们要研究最佳逼近多项式的特性，为此先引进偏差点定义。 https://www.360docs.net/doc/6f320725.html, https://www.360docs.net/doc/6f320725.html,
数值分析第6章习题
数值分析第六章整合版（黑组） 一、填空题 1、已知 ()01 P x =，()1P x x =， () () 2 2312 x P x -= ，根据勒让德多项式的递推关系，则 求()3P x =（3532x x - ） 解：勒让德多项式的递推关系为()()()()()11121n n n n P x n xP x nP x +-+=+-，n=1，2……. 将()1P x x =，()() 2 2312 x P x -= 代入上式即可求出()3P x =3532 x x - 2、若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳3次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上存在5 个交替为 正、负偏差点。（考点：切比雪夫定理） 3、切比雪夫正交多项式可表示为(x)cos(narcosx)n T =，(x)n T 是最高次幂系数为12n - 的n 次多项式。（考点：切比雪夫多项式性质） 4、最佳一致问题同时存在正偏差点和负偏差点 （考点：最佳一致逼近定理3） 二、选择题 1、求函数3)1()(+=x x f 在区间[0,1]，],[,21b a x x ∈上的一次最佳一致逼近多项式（D ） A x +4358.0 B x 34358.0+ C x 54358.0+ D x 74358.0+ 2、设 的2-其中 为定义在[a,b]上的（A ） A 权函数 B 反函数 C 幂函数 D 函数 3、x e =）（x f ，-1≤x ≤1，且设= p(x)x a a 1 +，求a a 1 , 0使得)(x p 为)(x f 于[] 1,0上的最佳平方逼近多项式（A ） A:() 1021--=e e a ,311e a -= B:() e a e a e 111 03 1,2---== ) (x ρ],[)(b a C x f ∈()f x
matlab最佳平方逼近.docx
最佳平方逼近试验 任 兵 ( 200820302025) 、问题叙述 求函数f(x)=exp(x)在［-1，1］上的二、三次最佳平方逼近多项式。 二、问题分析 由教材定义6.5有：对于给定的函数f(x)^C[a,b]如果存在 S *(x) Spar{ 0(x), ι(X)Jn ) n (x)} 使得 a P(X) [f (X) — S * (X)『dx = m? L P (X) I f (X) - s(x) f dx 则称S (X)是f (X )在集合Spar{ 0(x), ι(x)JH ) n (x)}中的最佳平方逼近函数。 n 显然，求最佳平方逼近函数S *(x) a *j ?j (x)的问题可归结为求它的系数 j =0 a ；,a ；,…,a ；,使多元函数 取得极小值，也即点(a 0,a 1*, , a ；)是I (a o ,…，a ∏)的极点。由于I (a o , a ι, a n )是关于a o )a ι,…，a ∏的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件, I (a °, a ι, “gw 二a%” .:I 0 -Z a k (k = 0, 1,2,…,n) ^= 2 af f(X )「 n a j j -0 'j (X ^i k (X)d ^0 得方程组 ∏ b Σ a j a P(X^k (X^j (x)dx j =0 a b =a ? (x)f(x) k (x)dx, (k=0,1,2, ,n) 如采用函数内积记号
b (d j)= a「(x) t(x)「j(x)dx. q (f,
最佳一致逼近
构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上 的最佳逼近 学院：数学与计算机科学学院
班级：2011级数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 日期：2012.06.20 构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上的最佳逼近 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州730124） 指导教师 摘要：本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。 关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数 最佳平方逼近 一般而言，在[a, b]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a, b]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。 一、预备知识
1．函数系的线性关系 定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ??? ，在区间[a , b ]上连续，如果 关系式 0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ???? 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数 )(,),(),(10x x x n ??? 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。 如果函数系{?k (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无 关，则称函数系{?k (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。 设)(,),(),(10x x x n ??? 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则 )()()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 的全体是C [a , b ]的一个子集，记为 },,,{S pan 10n ??? =Φ 并称)(,),(),(10x x x n ??? 是生成集合的一个基底。 例如 P n = Span {1, x , x 2, …, x n }表示由基底1, x , …, x n , 生成的多项式集合。 下面给出判断函数系{?k (x )}(k = 0, 1, 2, …n )线性无关的一个充要条件。 定理1 连续函数)(,),(),(10x x x n ??? 在[a , b ]上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式G n ≠ 0，其中
Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近
数学软件实验任务书
实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近 1 实验原理 设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ?来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的： 对于给定的函数{()}j x ?，寻求函数 0()()n j j j x c x ??==∑ 使()()0max lim n a x b f x x ?→∞<<-=的函数称为一致逼近。使 ()()()0lim b p a n f x x W x dx ?→∞-=? 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。比较常用的p=2，称为平方逼近。 设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式 ()f x P εε-< 对所有[,]x a b ∈一致成立 ()()max n a x b f x P x ≤≤- 则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。 求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1) j j x b a b a j n n +=-++=+ 2 实验数据
求函数()x 在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多 f x xe 项式（Chebyshev插值多项式） 3 实验程序 function g=cheby(f,n,a,b) for j=0:n temp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1); temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a; temp3(j+1)=temp2/2; end x=temp3; y=f(x); g=lag(x,y); function s=lag(x,y,t) syms p; n=length(x); s=0; for(k=1:n) la=y(k); %构造基函数 for(j=1:k-1) la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end; for(j=k+1:n) la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end; s=s+la; simplify(s); end if(nargin==2) s=subs(s,'p','x'); s=collect(s); s=vpa(s,4); else m=length(t); for i=1:m temp(i)=subs(s,'p',t(i)); end
三最佳平方逼近多项式收敛性
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性 一、 实验目的 若已知给定区间[a,b]上的连续函数,寻找一个简单、易于计算的函数来代替使用，即用去近似，这就是函数逼近所要研究的问题。而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre 以及Chebychev 方法讨论其n 次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较。二、 实验原理 由教材定义有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在 使得 则称S *(x >是f (x >在集合01{(),(), ,()}n Span x x x ???中的最佳平方逼近函数。 显然，求最佳平方逼近函数 )()(0**x a x S j n j j ??=∑=的问题可归结为求它的系数**1*0,,,n a a a ，使多元函数 dx x a x f x a a a I j n j j b a n 2010)()()(),,,(??????-=∑?=?ρ 取得极小值，也即点(**1*0,,,n a a a >是I (a 0, …，a n >的极点。因为I (a 0, a 1, …，a n >是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0=??k a I (k = 0, 1, 2, …, n > 即 *01(){(),(),,()}n S x Span x x x ???∈[]22*()()()min ()()()b b a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤??-=-????
插值与多项式逼近的数组计算方法实验
插值与多项式逼近的数组计算方法实验【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） （x cos，x e，它们 sin，） （x 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开
是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+----L 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。
03(2)-最佳一致逼近
§2 最佳一致逼近 一、最佳一致逼近的概念 定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的 ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式 ε<-<<)()(max x p x f b x a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。 那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x ) 一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。 维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意 ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有 ε<-)()(x p x f 证明从略。 维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到 任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。
切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式 的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(* x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。这里最佳逼近 的意思是指)(* x p n 对f (x )的偏差。 )()(max *x p x f n b x a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差 )()(max x p x f b x a -<< 比较时是最小的，也就是说 {} )()(max min )()(max )(* x P x f x p x f b x a p x p n b x a n -=-<<∈<< (3.18) 这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。若这样的)(*x p n 存在，则称)(* x p n 是函数f (x )在区间[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式，简称为最佳逼近多项式。 现在要问：最佳逼近多项式)(* x p n 是否存在？是否唯一？如何构 造？ 我们不妨设n 次多项式 n n x a x a a x p +++= 10)( 显然 )()(max x p x f b x a -<< 应与p (x )的系数a 0, a 1, …，a n 有关。 若记 )()(m a x ),,,a (10x p x f a a b x a n -=<< ? 则? 应是n + 1个系数a 0, a 1, …，a n 的正值连续函数。
matlab最佳平方逼近
最佳平方逼近试验 任 兵（200820302025） 一、问题叙述 求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 二、问题分析 由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在 *01(){(),(),,()}n S x Span x x x ???∈ 使得 []22 * ()()()min ()()()b b a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤??-=-??? ? 则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ??? 中的最佳平方逼近函数。 显然，求最佳平方逼近函数)()(0** x a x S j n j j ??=∑=的问题可归结为求它的系数 * *1*0,,,n a a a ，使多元函数 dx x a x f x a a a I j n j j b a n 2 010)()()(),,,(?? ? ???-=∑? =?ρ 取得极小值，也即点(* *1*0,,,n a a a )是I (a 0, …，a n )的极点。由于I (a 0, a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件， 0=??k a I (k = 0, 1, 2, …, n ) 即 []0 )()()()(20=-?? ????-=??∑?=dx x x a x f x a I k j n j j b a k ??ρ 得方程组 ) ,,2,1,0(, )()()()()()(0 n k dx x x f x dx x x x a k b a j k b a n j j ==??∑=?ρ??ρ 如采用函数内积记号
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编写成MATLAB程序共需三个程序： （1）第一个程序（函数名：squar_approx.m） 计算最佳逼近函数的系数，源代码如下： function S=squar_approx(a,b,n) ％定义逼近函数 global i;global j; ％全局变量 if nargin<3 n=1;end ％判断 Phi2=zeros(n+1); ％生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组 for i=0:n for j=0:n; Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b); ％求rho_phi积分 end end PhiF=zeros(n+1,1); ％生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组 for i=0:n PhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); ％求fun_phi积分 end s=Phi2\PhiF; （2）第二个程序（函数名：rho_phi.m） 代码如下： function y=rho_phi(x) global i;global j; y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j); （3）第三个程序（函数名：fun_phi.m） function y=fun_phi(x) global i; y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x); 试验结果 f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 （1）编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数； function y=rho(x) ％外部函数 y=1; function y=phi_k(x,k) ％多项式函数 if k==0 y=ones(size(x)); else y=x.^k; end function y=obj(x) ％被逼近函数 y=exp(x)