03(2)-最佳一致逼近
§2 最佳一致逼近
一、最佳一致逼近的概念
定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的
ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式
ε<-<<)()(max x p x f b
x a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。
那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x )
一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。
维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意
ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有
ε<-)()(x p x f
证明从略。
维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到
任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。
切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式
的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(*
x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。这里最佳逼近
的意思是指)(*
x p n 对f (x )的偏差。
)()(max *x p x f n b
x a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差
)()(max x p x f b
x a -<<
比较时是最小的，也就是说
{}
)()(max min )()(max )(*
x P x f x p x f b
x a p x p n b x a n
-=-<<∈<<
(3.18)
这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。若这样的)(*x p n 存在，则称)(*
x p n 是函数f (x )在区间[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式，简称为最佳逼近多项式。
现在要问：最佳逼近多项式)(*
x p n 是否存在？是否唯一？如何构
造？ 我们不妨设n 次多项式
n n x a x a a x p +++= 10)(
显然
)()(max x p x f b
x a -<<
应与p (x )的系数a 0, a 1, …，a n 有关。
若记 )()(m a x ),,,a (10x p x f a a b
x a n -=<< ? 则? 应是n + 1个系数a 0, a 1, …，a n 的正值连续函数。
我们称多元函数? (a 0, a 1, …，a n )的最小值
{}
)
,,2,1,0()
()(max min ),,,(min 10n k x p x f a a a b
x a a n a k
k
=-=<
为f (x )与p (x )在[a , b ]上最小偏差。
对照公式(3.18)可知，寻求f (x )在[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项
式)(*
x p n 的问题就归结为求多元函数? (a 0, a 1, …，a n )的最小值问题。
可以证明，存在唯一的),,,(*
*1*0n a a a 能使
?{}
)()(max min ),,,(*
*1*0x p x f a a a b
x a a n k
-=<< 成立， 也即存在唯一的
n n n x a x a a x p **1*0*)(+++=
满足关系式
{}
)()(max min )()(max *x p x f x p x f b
x a u b x a -=-<<<< 这就说明，对于[a , b ]上的任意连续函数f (x )，其n 次最佳逼近多项式
)(*
x p n 是存在且唯一的，（因证明较繁，这里我们不予讨论）。下面我们主要介绍)(*
x p n 的构造。
二、最佳一致逼近多项式的求法
定理3.2 )(*x p n 是[a , b ]上连续函数f (x )的n 次最佳一致逼近多项式的充分必要条件是)(*x p n 在区间[a , b ]上至少有n + 2个点
b x x x a n ≤<<<≤+2221
使得
)2,,2,1()1()()(*
+=??-=-n k x p x f k k n k μ
σ
其中μ 是f (x )与)(*
x p n 在[a , b ]上的偏差，即
)()(max *
]
,[x p x f n b a x -=∈μ
(3.20)
σ 为“1”或“-1”。
因证明较复杂，这里从略。
点集{x 1, x 2, …，x n +2}称为切比雪夫交错点组。其中每一个x k (k = 1,
2, …，n +2)称为交错点。
定理3.2表明，若用最佳一致逼近多项式
)(*
x p n 来近似代替f (x )，
则误差)()()(*
x p x f x R n -=在[a , b ]上的分布是十分均匀的。
定理3.2 常称为切比雪夫定理，由此定理还可推得下面两个有用
的推论。
推论1 设],[)(b a C x f ∈则f (x )在p n 中的最佳一致逼近多项式，就是f (x )在[a , b ]上的某个n 次拉格朗日插值多项式。
证明 设)(*
x p n 是f (x )在[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式，
根据切比雪夫定理可知，连续函数)()(*x p x f n -在区间[a , b ]上至少有n + 2
个点使其交替变号，这就是说，方程)()(*
x p x f n
-=0在[a , b ]上至少有n + 1个根，即存在n + 1个点],[~b a x k ∈ (k = 0, 1, 2, …, n )，使
())~(~*k k n x f x p =，(k = 0, 1, 2, …, n )
所以，)(*
x p n 实际上就是以n x x x ~,,~,~10 为插值节点的f (x )的n 次拉
格朗日插多项式。
推论1表明：如果能适当选择插值节点，求出使偏差)
()(max ]
,[x p x f b a x -∈为最小的n 次拉格朗日插值多项式，那么就能求得f (x )的n 次最佳一
致逼近多项式)(*
x p n 。
推论2 如果函数f (x )在区间[a , b ]上有n + 1阶导数，且f (n +1)(x )在[a ,
b ]上恒为正(或负)，那么区间[a , b ]的端点a 和b 都属于)()(*
x p x f n -的
交错点组。 证明(反证法)
设a (或b )不属于)()(*
x p x f n -的交错点组，那么函数
)()()(*
x p x f x R n -=
在开区间(a , b )内至少有n +1个点b a n <<<<<+121ξξξ ，使其取得最大值和最小值，则由取得极值的必要条件，必有
0)(='k R ξ，(k = 1, 2, …, n+1 )
反复用罗尔定理可知，在(a , b )由至少存在一点ξ ，使
0)()1(=+ξn R
但是 )()()()()1()
1*()1()
1(x f x p x f x R n n n n n ++++=-=，
从而有
],[,0)()1(b a f n ∈=+ξξ
这与)()1(x f n +在[a , b ]上恒为正(或负)的已知条件矛盾。
切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特性，并从理论
上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法。
但通常，在讨论连续函数的多项式逼近中，要为某一连续函数求
取最佳一致逼近多项式往往是十分困难的。
下面我们仅介绍比较简单的线性最佳一致逼近多项式的求法以及
切比雪夫多项在求最佳一致逼近时的应用。
1．线性最佳一致逼近多项式)(*
1x p 的求法
设函数f (x )在[a , b ]上有二阶导数，且)(x f ''在[a , b ]上不变号(即恒
为正或负)，则可按下面方法求f (x )在[a , b ]上的线性最佳一致逼近多项式)(*1x p 。
设x a a x p *1*0*1)(+=，
则根据切比雪夫定理，在[a , b ]上至少存在三个点：b x x x a ≤<<≤321，使
)()(max )1()()(*1]
,[*1x p x f x p x f b a x k k k -??-=-∈σ
(3.21)
其中σ = ±1，k = 1, 2, 3。
由于)(x f ''在[a , b ]上不变号，根据推论2可知，区间[a , b ]的两个
端点a , b 都属于)()(*
1x p x f -的交错点组，即有
b x a x ==31,
则另一交错点x 2必位于[a , b ]的内部，且它是)()(*1x p x f -的极值点，
所以
0)()(2*11='-'x p x f ，而*
12*1)(a x p ='
从而*
12*12)()(a x p x f ='='(即等于)(*1x p 在点x 2处的斜率*1a )。又因为)
(x f ''在[a , b ]上不变号，所以一阶导数)(x f '在[a , b ]上严格单调，因此它只
能取*1a 一次，这就证明了)()(*
1x p x f -在[a , b ]内除了点x 2外不能再有
其它极值点，也即)()(*
1x p x f -在(a , b )内有，且只有一个极值点，
它就是交错点x 2。于是由(3.21)式得：
??
???-+=+-+-=+-)()()()()()()()(2*1*0*1*0*
1*0*1*0x f x a a a a a a f b a a b f a a a a f 解此方程组得
???
????+-+='--=)
23.3(22)()()22.3()()()(2
*12*02*0x a a x f a f a x f a b a f b f a
把*
1*0
,a
a 代入
)(*1x p 的表示式，即求得f (x )在[a , b ]上线性最佳一致
逼近多项式)(*1x p 为
???
?
?+-?--++=2)()(2)()()(22*
1
x a x a b a f b f x f a f x p
(3.24)
线性最佳一致逼近的几何意义是：直线)(*
1x p y =与弦MN 平行 , 且过线段MQ 的中点D ，其方程为
[]??? ?
?+-++=2)()(212*12x a x a x f a f y
见图3-3
图3-3
【例3.2】 求函数x x f =)(在??
?
???1,41上的线性最佳一致逼近多项
式x a a x p *
1*
0*
1)(+=。
【解】 显然)(x f ''在??
?
???1,41上不变号，()0)(<''x f 故411=x ，x 3
=
1，由(3.22)式得
3
2
4/114/11*1=--=
a
由 x
x f 21
)(='及(3.22)式得
3
221
2=x ， 所以 16
92=x 再由(3.23)式得
48
171694132432121*
0=???? ????? ??+-+=a 故函数
48
1732)(*
1
+=x x p
这就是函数x x f =)(在区间[1/4, 1]上的线性最佳一致逼近多
项式。
2．切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
在§1中我们已经讨论了切比雪夫多项式的极值性质，也即在区间[-1, 1]上，所有最高次项系数为1的一切n 次多项式中，n 次切比雪夫多项项T n (x )与1/2n -1的乘积与零的偏差最小，且其偏差为1/2(n -1)。 利用这个极值性质，切比雪夫多面式就成为[-1, 1]上逼近其它函数f (x )的重要工具。 下面分两种情况讨论
(1) 若f (x )是n 次多项式，则它的n – 1次最佳一致逼近多项式
)(*1x p n -能精确求出。
【例3.3】 已知1234)(23+++=x x x x f ，求其在[-1, 1]上的二次最
佳一致逼近多项式)(*
2x p 。 【解】 令
4
)
()()(*
23x p x f x g -=
它是首项系数为1的3次多项式，要它在[-1, 1]上的最大值最小，由切比雪夫多项式的极值性质知，在[-1, 1]上，p 3中与零偏差最小的
首项系数为1的三次多项式是)(2
1
32x T ，所以
令
)(2
1
4)()()(32*
23x T x p x f x g =-=
其中 x x x T 34)(33-=
则
1
53)
34()1234()()()(2
3233*
2++=--+++=-=x x x x x x x x T x f x p
就是f (x )在[-1, 1]上的二次最佳一致逼近多项式。
(2) 若f (x )不是多项式，也可利用切比雪夫多项式的极值性质，求
出f (x )的近似最佳一致逼近多项式。常用的有“切比雪夫插值法”和“缩减幂级数法”两种近似方法。我们将简单地介绍用切比雪夫多项式来降低逼近多项式的次数。
我们常要在一定区间上求一个函数在一定误差范围内的逼近多项
式，自然，我们希望此逼近多项式的次数越低越好。
由于{x k }也可用切比雪夫多项式{T n (x )}表示，即
),
510(161
),43(81),
3(41),(21
,
,153054204
313
20210T T T x T T T x T T x T T x T x T ++=++=+=+=
==
若把普通n 次多项式n
n n x a x a x a a x p ++++= 2
210)(中的
所有),,2,1,0(n k x k =用上述切比雪夫多项式去代替，则p n (x )可改写为
)()()()(22110x T b x T b x T b b x p n n n ++++=
在满足误差要求的情况下，可利用切比雪夫多项式的极值性质，把p n (x )的高次幂的项缩减下来，使它成为m (m ≤n - 1)次多项式，这个m 次多项式可以作为在已给精度下的f (x )在[-1, 1]上的近似的最佳一致逼近多项式。
下面通过简单的例子来说明这种方法。
【例3.4】 设在区间[-1, 1]上，要计算f (x ) = e x ，欲找一个近似多项式p (x )近似代替e x ，使误差ε < 0.01。
【解】 先对f (x ) = e x 在x = 0处作泰勒展开，有
++++++=!
5!4!3!215
432x x x x x e x
若取前六项之和
5
4325120
124161211)(x x x x x x p ++++++=
作为e x 的近似，这时截断误差R 5(x )满足
01.00038.0720
1
!
61!61)(65<<=
e e x e x R ξ 即误差确实满足所提要求，但注意p 5(x )是一个5次多项式。若利
用{x k }和{T k (x )}的关系式，p 5(x )也可表示为
54321051920
1
19213841748131922176481)(T T T T T T x p +++++=
这里，我们看到T k 的足标k 越小，T k 的系数就越小，由于在1≤x 上
1)(≤x T k ，(k = 0, 1, 2, …)，故可以略去次数T k (x )项，而这就意味着
逼近多项式的次数降低，这正是我们希望达到的。此题中，若略去其最后的两项，则所增添的误差为
0058.01920
11921<+ 从而在1≤x 上，若用
3210384
1748131922176481)(T T T T x y +++=
近似代替e x 的总误差不超过
0.0038 + 0.0058 = 0.0096 < 0.01
亦即用y (x )代替e x 也满足所提要求。
再利用{T k (x )}和{x k }之间的关系，把y (x )重写为通常的x 的乘幂
形式，则
)68208383382(384
1
)(32x x x x y +++=
这个y (x )是一个3次多项式，比原来的p 5 (x )降低2次，从而用y (x )求值的计算工作量比用 p 5(x )少。这个方法为缩减幂级数法。
上述方法既使逼近多项式的次数降低了，而且还可以使误差的分
布更为均匀，因此可以作为f (x )的近似最佳一致逼近多项式。 对于任一有限区间[a , b ]上的逼近问题，可以通过变量替换
t a b b a x 2
2-++=
把[a , b ]区间转化为[-1, 1]上的逼近问题类似讨论。
§2 最佳一致逼近
第四章 最佳逼近
第四章最佳逼 近 学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和 方法、以及最小二乘法常用 的正交多项式以及正交多项 式的性质。重点为最佳一致 逼近和最佳平方逼近的特征 性质（如契比雪夫定理等） 以及最佳一致逼近和最佳平 方逼近多项式的计算方法。
§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近 不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间， 简记为C[a,b]。为描述方便，引进符号函数 ，称为C[a,b] 上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为 ∞?],[] ,[,)(max b a b a x C f x f f ∈?=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合 . 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。 { }n n x x span P ,,,1 =
对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量： ) ()(min ),(x p x f P f n P p n -=?∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。 围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。
定理（契比雪夫定理） 对任意 是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。 n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果 ，那么在 中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式 ],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且 在 （a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交 错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。 )1(+n f
10.连续函数的多项式一致逼近
附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(； 根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，
最佳平方逼近方法
2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数 肖夏，29，R数学12-1班
一、算法理论 设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a ,b ]上的连续函数，并且在[a ,b ]上线性无关。以此函数组为基，生成空间C [a ,b ]上的一个子空间 H =Span {φ0,φ1,…，φm } 则H 中的任意一个元素为 p x = c j φj x m j =0 对空间C [a ,b ]的任意两个函数f ，g ，定义内积 f , g = ω x f x g x dx b a 对于给定的函数f (x )∈C [a ,b ]，若p ? x ∈H ，满足 f ?p ?,f ?p ? =min p∈H f ?p ,f ?p 则称p ? x 为子空间H 中对于f (x )的最佳逼近平方元素。 特别地，若φj x =x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ? x ∈H ，为函数f x 在区间[a ,b ]上带权ω x 的m 次最佳平方逼近多项式。 设f (x )∈C [a ,b ]，p ? x ∈H 是子空间H 中对于f (x )的最佳平方逼近元素的充分必要条件是 f ?p ?,φj =0，(j =0,1,…,m )或对于任意一个p x ，总有 f ?p ?,p =0。 求最佳平方逼近元素p ? x = c k ?φk x m k =0，只要求出c k ? 。 因 f ?p ?,φj = f ,φj ? c k ? φi ,φj =0m k =0 得 c k ? φi ,φj = f ,φj m k =0 得 φ0,φ0 ? φ0,φm ??? φm ,φ0 ? φm ,φm c 0? ?c m ? = f ,φ0 ? f ,φm 求出c k ?，带入p ? x = c k ? φk x m k =0即可。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书
实验十八实验报告 一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。 二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。 三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。 四、实验原理： 1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近： 当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数。即： 0()()n n n f x f T x ∞ ==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出： 0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===- 它们之间满足如下正交关系： 1 0 n m n=m 02 n=m=0 π π-≠???=≠?????
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定： 1 01 1 2n f f ππ --== ? ? 2．最佳平方逼近： 求定义在区间01[,]t t 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。 设已知函数()f x 的最佳平方逼近多项式为 01()n n p x a a x a x =+++ ，由最佳平方逼近的定义有： 01(,,,) 0(0,1,2,,)n i F a a a i n a ?==? 其中1 20101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----? 形成多项式()p x 系数的求解方程组Ca D =
函数逼近与曲线拟合
实验二 函数逼近与曲线拟合报告 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。 t(分) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 4(10)y -? 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为23123()t a t a t a t ?=++； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j y t 的误差，1,2,,12j = ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、实验学时：2学时 五、实验步骤： 1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序； 5．撰写报告,讨论分析实验结果．
解： 实验步骤 （一）算法流程 构造a1、a2、a3的线性方程组------构造误差平方和------对a1、a2、a3求偏导数------令偏导为零求得a1、a2、a3的值。 （二）编程步骤与分析 1. 绘制数据点(t,yi)的散点图 输入程序为： t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4 plot(t,y,'r*'), legend('实验数据(t,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'), title('数据点(t,yi)的散点图')，显示结果为： 2.求参数a1、a2、a3的解析表达式 计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序 syms a1 a2 a3 t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; fi=a1.*t+ a2.*t.^2+ a3.*t.^3 运行后屏幕显示关于a1,a2, a3的线性方程组： fi = [ 0, 5*a1 + 25*a2 + 125*a3, 10*a1 + 100*a2 + 1000*a3, 15*a1 + 225*a2 + 3375*a3, 20*a1 + 400*a2 + 8000*a3, 25*a1 + 625*a2 + 15625*a3, 30*a1 + 900*a2 + 27000*a3, 35*a1 + 1225*a2 + 42875*a3, 40*a1 + 1600*a2 + 64000*a3, 45*a1 + 2025*a2 + 91125*a3, 50*a1 + 2500*a2 + 125000*a3, 55*a1 + 3025*a2 + 166375*a3] 构造误差平方和： y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4;
函数的一次最佳平方逼近
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：函数的最佳平方逼近
一、算法理论 下面研究在区间[],a b 上一般的最佳平方逼近问题。 对于给定的函数()[,]f x C a b ∈，如果存在 *01(){(),(),,()}n S x Span x x x ???∈ 使得 []22*()()()min ()()()b b a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤??-=-???? 则称*()s x 是()f x 在集合01{(),(),,()}n Span x x x ??? 中的最佳平方逼近函数。 为了求*()s x ，由式可知，该为题等价于求多元函数。 若用H 表示行列式2(1,,,....,)n Gn G x x x =对应的矩阵，则*()s x ， H 称为Hilbert 矩阵。记 01(,,....,)T n a a a a =，01(,,....,)T n d d d d = 其中 (,)(0,1,.....,)k k d f x k n == 则方程 Ha d = 的解*(0,1,.....)k k a a k n ==即为所求。 二、算法框图
三、算法程序
#include 第三章 函数逼近与曲线拟合 1． ()sin 2 f x x π =，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解： ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时， 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时， 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ??? 3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明： 若()f x x =，则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明： 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得 第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )?f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念. 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域?，若讨论复数函数，则相应的是复数域?. 另外，与线性代数中讨论的向量空间?n 不同，连续函数空间是无限维的. 对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)： 1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| . 其几何意义如图6-1所示，即函数值绝 对值的最大值. 2) 1-范数 ‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a . 其几何意义如图6-2所示，即函数曲线 与横轴之间的面积总和. 3) 2-范数 ‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义 与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它 定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义. 第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数， 它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ == ∑， ()(0)! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11 ()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分 布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而 x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1 x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足 ()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1 2298 计算 *20ln cos cos 2,()x nxdx n N π ?∈?. 解 利用分部积分得 20 ln cos cos 2I x nxdx π=?? 220011sin 2sin ln cos sin 222cos nx x x nx dx n n x ππ?=?+? 201cos(21)cos(21)04cos n x n x dx n x π--+=+? 22001cos(21)1cos(21)4cos 4cos n x n x dx dx n x n x ππ-+=-?? 2122001sin(21)1sin(21)(1)(1)4sin 4sin x y n n n y n y dy dy n y n y π ππ=---+=---??， 由 sin(21)12cos 2...2cos 2(1)sin n y y n y y -=+++-, sin(21)12cos 2...2cos 2sin n y y ny y +=+++, 得 2 0s i n (21)s i n 2 n y dy y ππ-=?, 20sin(21)sin 2 n y dy y ππ+=?; 故2 0ln cos cos 2I x nxdx π=??1(1)4n n π-=- 。 Weierstrass 逼近定理的含参变量积分证法 按照下列步骤给出Weierstrass 逼近定理的另一个证明： （1）1 211((1))n n C x dx --=-?, 证明：n C < （2）设f 是[0,1]上的连续函数，并且(0)(1)0f f ==，当[0,1]x ?时，定义()0f x =， 记2()(1)n n n Q x C x =- . 证明：1 1()()()n n P x f x t Q t dt -=+?是一个多项式, 而且lim ()()n n P x f x →∞ =在[0,1]上一致地成立； （3）当(0)(1)0f f ==的条件不成立时，证明 Weierstrass 逼近定理。 教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (， 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。 关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)； (2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立， 函数逼近与曲线拟合 3.１函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的 简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函 数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识． 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构 成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间． 定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得 ， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关． 若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有 则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间． 下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为 ， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差 （为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使 最佳平方逼近与最小二乘拟合 ——两者的区别与联系 函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。 一、 函数的最佳平方逼近 （一）最佳平方逼近函数的概念 对[]b a C x f ,)(∈及[]b a C ,中的一个子集{ }n span ???φ,,,10?=，若存在φ∈)(* x S ，使 []dx x S x f x S f S f b a S S ? -=-=-∈∈22 222 *)()()(inf inf ρ?? ， 则称)(*x S 是)(x f 在子集[]b a C ,?φ中的最佳平方逼近函数。 （二）最佳平方逼近函数的解法 为了求)(* x S ， 由[]dx x S x f x S f S f b a S S ? -=-=-∈∈22 222 *)()()(inf inf ρ?? 可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数 dx x f x a x a a a I b a n j j j n 2 010)()()(),,,(? ∑?? ? ???-= ?=?ρ的最小值问题。 由于),,,(10n a a a I ?是关于n a a a ,,,10?的二次函数，利用多元函数极值的必要条件 ),,1,0(0n k a I k ?==??，即 n),,1,0(0)()()()(20?==?? ????-=???∑=k dx x x f x a x a I k b a n j j j k ??ρ， 于是有() ()),,1,0(,,0 n k f a k j n j j k ?==∑=???。 §3最佳一致逼近多项式 2-1 最佳一致逼近多项式的存在性 切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ?。记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。n H 中的元素)(x P n 可表示为 01()n n n P x a a x a x =+++L ， 其中n a a a ,,,10L 为任意实数。要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差 )()(max min )()(max *x P x f x P x f n b x a H P n b x a n n ?=?≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念，先给出以下定义。 定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称 )()(max ),(x P x f P f P f n b x a n n ?=?=?≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。 显然),(,0),(n n P f P f ?≥?的全体组成一个集合，记为)},({n P f ?，它有下界0。若记集合的下确界为 ,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n ?=?=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。 定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(* ， n n E P f =?),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。 注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。 定理2 若],[)(b a C x f ∈，则总存在n n H x P ∈)(*，使 n n E x P x f =?∞)()(*. 证明略。 2-2 切比雪夫定理 这一节我们要研究最佳逼近多项式的特性，为此先引进偏差点定义。 https://www.360docs.net/doc/f76288898.html, https://www.360docs.net/doc/f76288898.html, 两种算法求()f x 的三次最佳平方逼近多项式 摘 要 对于一个较复杂的函数，往往需要求一个简单多项式来逼近。本文选取两种基函数，用两种算法计算一个函数()=exp()sin()f x x x ?在[0,]2x π∈上的三次最佳平方逼近多项式及其逼近误差，然后应 用matlab 进行计算作图并对比两种方法的逼近结果。 关键字：三次 最佳平方 逼近 两种算法 引言 多项式的一个重要应用就是可以用来逼近一个区间上的连续函数，往往许多复杂的函数需要用各种方法来进行多项式逼近。本文参考矩阵理论讲义 [1] 对函数()=e x p ()s i n (f x x x ?在[0,]2 x π ∈上进行三次最佳平方逼近，求其逼近 误差，并在matlab 中编程计算和绘图以验证和比较逼近结果的准确性。 求最佳平方逼近的多项式 ()=exp()sin()f x x x ?，[0,]2 x π ∈求三次的 最佳平方逼近多项式（内积中的权函数()=1x ρ）。 用两种算法实现，一是设{} 23 =1,,,span x x x Φ， 二是设为{}0123=(),(),(),()L x L x L x L x Φ，其中 (),0,1,2,3i L x i =是勒让德多项式。 第一种算法： {}23=1,,,span x x x Φ，由矩阵形式 (1) 根据[,]C a b 上内积定义 ((),())()()()b a f x g x x f x g x dx ρ=? (2) 其中权函数 ()=1x ρ，在[0,]2 x π ∈上计算得 23402345 1345624567 3 2.9052/2/8/24/6 4 3.2781/8/24/64/160 4.0294/24/64/160/384 5.2035/64/160/384/896a a a a ππππππππππππππππ??????????????????=?????????????? ????(3)解得待定系数00.0201a =，10.7658a =， 2 1.5765a =，20.0708a =-。即 23()0.02010.7658 1.57650.0708x x x x ?=++- (4) 误差2()0.0100x δ (5) 第二种算法： {}0123=(),(),(),()L x L x L x L x Φ，其中 (),0,1,i L x i =是勒让德多项式，其表达式为： 数值分析第六章整合版（黑组） 一、填空题 1、已知 ()01 P x =，()1P x x =， () () 2 2312 x P x -= ，根据勒让德多项式的递推关系，则 求()3P x =（3532x x - ） 解：勒让德多项式的递推关系为()()()()()11121n n n n P x n xP x nP x +-+=+-，n=1，2……. 将()1P x x =，()() 2 2312 x P x -= 代入上式即可求出()3P x =3532 x x - 2、若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳3次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上存在5 个交替为 正、负偏差点。（考点：切比雪夫定理） 3、切比雪夫正交多项式可表示为(x)cos(narcosx)n T =，(x)n T 是最高次幂系数为12n - 的n 次多项式。（考点：切比雪夫多项式性质） 4、最佳一致问题同时存在正偏差点和负偏差点 （考点：最佳一致逼近定理3） 二、选择题 1、求函数3)1()(+=x x f 在区间[0,1]，],[,21b a x x ∈上的一次最佳一致逼近多项式（D ） A x +4358.0 B x 34358.0+ C x 54358.0+ D x 74358.0+ 2、设 的2-其中 为定义在[a,b]上的（A ） A 权函数 B 反函数 C 幂函数 D 函数 3、x e =）（x f ，-1≤x ≤1，且设= p(x)x a a 1 +，求a a 1 , 0使得)(x p 为)(x f 于[] 1,0上的最佳平方逼近多项式（A ） A:() 1021--=e e a ,311e a -= B:() e a e a e 111 03 1,2---== ) (x ρ],[)(b a C x f ∈()f x 最佳平方逼近试验 任 兵 ( 200820302025) 、问题叙述 求函数f(x)=exp(x)在［-1，1］上的二、三次最佳平方逼近多项式。 二、问题分析 由教材定义6.5有：对于给定的函数f(x)^C[a,b]如果存在 S *(x) Spar{ 0(x), ι(X)Jn ) n (x)} 使得 a P(X) [f (X) — S * (X)『dx = m? L P (X) I f (X) - s(x) f dx 则称S (X)是f (X )在集合Spar{ 0(x), ι(x)JH ) n (x)}中的最佳平方逼近函数。 n 显然，求最佳平方逼近函数S *(x) a *j ?j (x)的问题可归结为求它的系数 j =0 a ；,a ；,…,a ；,使多元函数 取得极小值，也即点(a 0,a 1*, , a ；)是I (a o ,…，a ∏)的极点。由于I (a o , a ι, a n )是关于a o )a ι,…，a ∏的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件, I (a °, a ι, “gw 二a%” .:I 0 -Z a k (k = 0, 1,2,…,n) ^= 2 af f(X )「 n a j j -0 'j (X ^i k (X)d ^0 得方程组 ∏ b Σ a j a P(X^k (X^j (x)dx j =0 a b =a ? (x)f(x) k (x)dx, (k=0,1,2, ,n) 如采用函数内积记号 b (d j)= a「(x) t(x)「j(x)dx. q (f, 构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上 的最佳逼近 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 日期：2012.06.20 构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上的最佳逼近 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州730124） 指导教师 摘要：本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。 关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数 最佳平方逼近 一般而言，在[a, b]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a, b]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。 一、预备知识 1．函数系的线性关系 定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ??? ，在区间[a , b ]上连续，如果 关系式 0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ???? 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数 )(,),(),(10x x x n ??? 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。 如果函数系{?k (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无 关，则称函数系{?k (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。 设)(,),(),(10x x x n ??? 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则 )()()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 的全体是C [a , b ]的一个子集，记为 },,,{S pan 10n ??? =Φ 并称)(,),(),(10x x x n ??? 是生成集合的一个基底。 例如 P n = Span {1, x , x 2, …, x n }表示由基底1, x , …, x n , 生成的多项式集合。 下面给出判断函数系{?k (x )}(k = 0, 1, 2, …n )线性无关的一个充要条件。 定理1 连续函数)(,),(),(10x x x n ??? 在[a , b ]上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式G n ≠ 0，其中 数学软件实验任务书 实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近 1 实验原理 设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ?来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的： 对于给定的函数{()}j x ?，寻求函数 0()()n j j j x c x ??==∑ 使()()0max lim n a x b f x x ?→∞<<-=的函数称为一致逼近。使 ()()()0lim b p a n f x x W x dx ?→∞-=? 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。比较常用的p=2，称为平方逼近。 设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式 ()f x P εε-< 对所有[,]x a b ∈一致成立 ()()max n a x b f x P x ≤≤- 则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。 求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1) j j x b a b a j n n +=-++=+ 2 实验数据 求函数()x 在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多 f x xe 项式（Chebyshev插值多项式） 3 实验程序 function g=cheby(f,n,a,b) for j=0:n temp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1); temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a; temp3(j+1)=temp2/2; end x=temp3; y=f(x); g=lag(x,y); function s=lag(x,y,t) syms p; n=length(x); s=0; for(k=1:n) la=y(k); %构造基函数 for(j=1:k-1) la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end; for(j=k+1:n) la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end; s=s+la; simplify(s); end if(nargin==2) s=subs(s,'p','x'); s=collect(s); s=vpa(s,4); else m=length(t); for i=1:m temp(i)=subs(s,'p',t(i)); end数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案
第6章 函数逼近与函数插值
第3章函数逼近与曲线拟合(演示)讲解
多项式逼近定理的含参积分证法
用多项式逼近连续函数
函数逼近与曲线拟合
最佳平方逼近与最小二乘拟合
最佳一致逼近多项式
矩阵理论作业6：两种算法求三次最佳平方逼近多项式
数值分析第6章习题
matlab最佳平方逼近.docx
最佳一致逼近
Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近