第06讲 函数的概念与运算(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第 6 讲：函数的概念与运算
一、课程标准
1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
二、基础知识回顾
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
三、自主热身、归纳总结
1、集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，有以下4个对应法则：
A. f：x→y＝x2
B. f：x→y＝3x－5
C. f：x→y＝x＋4
D. f：x→y＝4－x2
其中能构成从A到B的函数的是( )
2、下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4
x ＋2，g (x )＝x －2 C ．f (x )＝sin 2x
2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
3、已知2(21)4f x x -=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=
B ．(3)4f -=
C ．2()f x x =
D ．2()(1)f x x =+
4、已知函数f (x )＝?????x ＋1x －2，x ＞2，
x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )
A ．－1
2 B ．2 C ．4
D ．11
5、已知f (x )＝?????
????13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，
则f ????f ????19＝________. 6、(2019南京三模）若函数f (x )＝???2x ， x ≤0
f (x －2)，x ＞0，则f (lo
g 23)＝ ▲ ．
7、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(1)＝____．
8、函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．
四、例题选讲 考点一、函数的概念
例1 (1)已知A ＝{1，2，3，k}，B ＝{4，7，a4，a2＋3a}，a ∈N*，k ∈N*，x ∈A ，y ∈B ，f ：x→y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值； (2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )
A ．()f x x =与()g x =
B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-
C ．()f x x =与2()log 2x
g x = D ．21
()1
x f x x -=+与()1g x x =-
变式1、下列各组函数中，表示同一函数的是________. ①f (x )＝|x |，g (x )＝x 2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2； ③f (x )＝x 2－1
x －1，g (x )＝x ＋1； ④f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1.
变式2、已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)
①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝2
3x ；④f ：x →y ＝x .
方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A 到值域B 的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；
(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数． 考点二、函数的解析式
例2、(1)已知f ????
2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；
(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．
变式1、已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．
变式2、若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，则f （x ）等于（ ）
A ．x +1
B ．x ﹣1
C ．2x +1
D ．3x +3
变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动，设点P 移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．
(1)求△ABP 的面积与点P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图像，并根据图像求y 的最大值．
方法总结：函数解析式的常见求法 函数解析式的求法主要有以下几种：
(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f ????
1x (或f(－x))
等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 考点三 分段函数
例3、（1）已知函数f (x )＝?????x ＋2x
－3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，
则f (f (－3))＝________，
f (x )的最小值是________.
（2）、已知()()()()3,94,9x x f x f f x x -≥??=?+
?????则f (7） =______. （3）(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝?
????log 2（3－x ），
x≤0，
2x －1，x>0，若f(a －1)＝1
2，则实数a ＝________．
（4）、(2018南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f (x )＝?????
12x ＋1， x ≤0，
－(x －1)2， x >0，
则不等式f (x )≥－1的解
集是________．
变式1、设函数f (x )＝???（x ＋1）2
，x ＜1，
4
－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________________．
变式2、已知f （x ）
则不等式x +（x +2）?f （x +2）≤5的解集是（ ）
A ．[﹣2，1]
B ．（﹣∞，﹣2]
C ．
D ．
变式3、(1)(2018苏州暑假测试） 已知实数m ≠0，函数f (x )＝?
????
3x －m ， x ≤2，
－x －2m ， x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为________．
(2)设函数f(x)＝x 3x 1,12,1x x -???＜，
≥，
则满足f(f(a))＝2f(a)的a 的取值范围是 ；
方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
五、优化提升与真题演练
1、设A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|1≤y≤2}，图中表示A 到B 的函数的是__ _．
A B C D
2、已知函数f (x )＝?????
x ，x >0，2x ，x ≤0，
若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．
3、.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝?
????
2－
x ，x ≤0，
1，x >0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0)
D ．(－∞，0)
4、(2017·山东卷)设(
)()121,x 1
x f x x <<=-≥??，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ????1a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5、德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )
13log
A ．()0D π=
B ．()D x 的值域为{0，1}
C ．()
D x 的图象关于直线1x =对称 D ．()D x 的图象关于直线2x =对称
6、(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝???
cos πx
2，0＜x ≤2，
????
x ＋12，－2＜x ≤0，
则
f (f (15))的值为__________．
7、 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(1)＝____．
8、 根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f(x ＋1)＝x ＋2x ；
(2)若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1；
(3)已知f(0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f(x －y)＝f(x)－y(2x －y ＋1)．
高三数学精品教案：专题1：函数专题(理科)
专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关
初中数学概念教学的一般策略与关键因素
初中数学概念教学的一般策略与关键因素 摘要:概念是数学知识的基础，是数学思想与方法的载体，是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，所以概念教学尤为重要,它是数学基本技能的形成与提高的必要条件。在概念教学中，教师既要启发学生对所研究的对象进行分析、综合、抽象，还要讲清概念的形成过程，阐明其必要性和合理性,同时要求学生理解概念的根本内涵，弄清概念之间的区别与联系，记忆概念注意关键词语和分析概念。使学生很好地理解"数学源于生活,又服务于生活"的理念,以此为基础来逐步提高学生个体的数学素养。 关键词:数学概念概念教学数学思维因素策略 概念是反映事物本质属性的一种思维方式，是人们对客观事物的一种认识。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，加强概念课的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础；学好概念是学好数学最重要的一环，搞清概念是提高解题能力的关键，若学生概念理解不清楚就谈不上进一步学习其他的东西。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，因此，概念教学在数学教学中有着重要地位。 一、数学概念的特点 1．1数学概念的意义 数学概念是反映一类数学对象属性的思维形式。我们应当明确：数学概念代表的是一类数学对象，而不是个别事物，所以数学概念在一定范围内具有普遍意义。当然，有些数学概念是直接反映客观事物的。例如，自然数、点、线、面、体等。然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多次的抽象概括过程才形成和发展的。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中。 数学概念是思维的细胞，在数学中离不开推理，而推理又离不开判断，判断又是以概念为基础的。可以说，概念是数学知识的基础，数学概念是进行数学推理、判断、证明的依据，是数学思想和方法的载体。数学概念的建立是解决数学问题的前提，一切分析、推理都要依据概念和运用概念来进行。 1．2数学概念教学的现状 当前数学概念教学主要存在不重视、不会教、分不清主次、要求不当四方面的不良倾向。 有的老师不能真正认识到加强概念教学的重要性，他们对概念的讲解往往是蜻蜓点水，一带而过，甚至只要求学生看书继而背下来就行，而将精力化费在定理、法则的推导与应用上，不知道这完全是本末倒置，事倍功半的做法。 有的老师对概念教学只着重于揭示概念的描述（定义），而不去揭示概念的内涵与外延，不交待“三位一体”，这种不会教，既缺乏对数学概念知识本身的科学了解，又缺乏对概念教学应有的技能。 有的老师对概念教学分不清主次，平均使用力量，眉毛胡子一把抓，讲解吃力，效果不好，以致学生乏味，长期以往，结果往往是一朝升学完毕，学生便弃数学于不顾，有的恨不得终生与之绝
2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.1 函数的概念及其表示
第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ 1.函数的概念与性质 (1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． (3)了解简单的分段函数，并能简单应用． (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义． (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型． 3.对数函数 (1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1)． 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数y＝x，y＝ 1 x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律． 5.函数与方程 (1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． (2)结合具体连续函数及其图象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解． 6.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等不同函数类型增长的含义． (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 3.1函数的概念及其表示 1.函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的． 2.函数的表示方法 (1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法． 3.构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：，， . (2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等． 4.分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 5.补充几个常用概念
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
大一高数第一章--函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
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初中数学概念课教学模式的研究 郭耀京、丁振棠、邓振新、邓燕、曾敏芝、高月、王星赞、杨桂春 一、模式研究背景 概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。是用词或符号来概括事物的本质，是人对客观事物的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。它是数学知识的基石，是数学知识的重要组成部分，人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活．新的数学课程标准指出要让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，而正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提．因此，数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。 掌握数学概念是学好数学的基础，是学好定理、公式、法则和数学思想方法的前提，是提高解题能力的关键，是解决例题和练习题的依据。但在传统的数学概念课教学中，老师轻视概念的形成过程，课堂上采用的教学方式一般是学生自己看课本或教师运用讲授法进行讲解，然后学生就做例题和练习题。这种概念课的教学方式，产生的后果是学生对数学概念的感性认识很浅，理解一知半解；学习得到的概念太死板，不能灵活运用到学习中去；学生的学习能力也得不到提升和培养，学习积极性不高。为了突破这个教学难点，改变原来的教学方式，充分发挥学生的主体作用，打造切实可行的高效课堂。 新课程实施以来，我们初中数学学科一直致力于新形势下的课堂教学模式研究，取得了一定成果。结合自身学科特点，吸取先进教学理念，探索适合自身课堂教学的有效模式，真正做到了知识内容问题化、教学过程互动化、活动结论规律化、问题解决书面化、反思简记习惯化、评价方式多样化，从而学生思维的打开、飞跃、完善过程暴露无遗，使课堂教学更有针对性与实效性。 二、基本模式 数学概念教学过程是在教师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃(包括概念转变)，最后组织成完整的概念图式的过程。为了使学生掌握概念、发展认识能力，必须扎扎实实地处理好每一个环节。数学概念教学模式为：引入—形成—巩固与深化。（一）、概念的引入 概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。新课程标准提倡通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。因此，在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯。一般可采取下述方法： 1.联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，一端固定在图板上，另一端套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。
高中数学函数概念
函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案
一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
初中数学概念教学的研究
“初中数学概念教学的研究”课题研究阶段性总结学概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、法则的出发点，是建立理论系统的着眼点；同时，它又是学生认知的基础,是学生进行数学思维的核心。因此概念在数学教与学中有着重要的地位。 数学概念是数学知识系统中的基本元素，是解决数学问题的前提，是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。学生在运用数学概念进行、判断的过程中要得出正确的结论，首先要正确地掌握概念。正确理解概念是学好数学的基础，是决定数学教学效果的首要因素。因此，概念教学在数学教学中有着不容忽视的地位。 对基本概念的教学一直是比较薄弱的，不少教师讲题时头头是道，十分生动，总有说不完的话，而讲基本概念时总是干巴巴的，没有几句话，有的教师对一些重要概念一带而过，很快就转入解题教学中去，这种教学形式是不利于学生对概念的正确理解的，由于初中生的知识水平，对很多概念的背景知识不可能展开说得很多，但总希望能把有关概念的背景、产生、内涵，适当地讲清楚。 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段）初中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 还有，对概念教学还有一个记忆与理解的关系问题，对一些重要的基本概念，我们要求学生准确记忆，但这种记忆不是死记硬背。我们时常可以看到有的教师在课堂上要求全班学生一起背某一段定义、定理。学生整齐划一，如同背古诗一样背出来。这样做的效果可想而知！我认为对基本概念应该“在理解的基础上记忆，在应用的过程中加深理解”。 对中学数学概念教学，目前大致分为两种不同的观点：一种观点是要“淡化概念，注重实质”；另一种观点是要保持概念阐述的科学性和严谨性。笔者
高考理科数学专题二 函数概念与基本初等函数 第三讲函数的概念和性质
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第三讲 函数的概念和性质 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)函数2 ()--=x x e e f x x 的图像大致为 2．(2018全国卷Ⅲ)函数4 2 2y x x =-++的图像大致为 3．(2018浙江)函数|| 2sin 2x y x =的图象可能是
A ． B ． C ． D ． 4．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 5．（2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 6．（2017浙江）若函数2 ()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m - A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =， 则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a << 8．（2017北京）已知函数1()3()3 x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 9．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=-，则f (6)=
高一数学函数的定义域值域练习题
高一数学函数的定义域值 域练习题 Newly compiled on November 23, 2020
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y =的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数 ]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -= +的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。 例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义
（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； 例4：求下列函数的定义域： ③ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ④ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 例2 ：已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 2、换元法（注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。） 例1：已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x);
初中数学概念课堂教学设计
专题讲座 初中数学概念课堂教学设计 俞京宁（北京教育学院丰台分院） 学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x 。
高中数学：函数的概念及其表示
高中数学：函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 2．函数的三要素 函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的________；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的________． 3. 函数的表示法 函数的常用表示方法有：________、________、________． 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 常用结论 1．常见函数定义域： (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为???? ??xx ∈R 且x ＝k π＋π 2，k ∈Z . 2．基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为??? ?4ac －b 2 4a ，＋∞；当a <0时，值 域为? ??? －∞，4ac －b 2 4a .
(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . 题组一 常识题 1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )． 2．[教材改编] 已知函数f (x )＝? ????ln x －2，x >0， x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________． 3．[教材改编] 函数f (x )＝ 8－x x ＋3 的定义域是________． 题组二 常错题 ◆ 索引：函数概念理解不透彻；分段函数解不等式忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围；函数值域理解不透彻． 4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________． ①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝1 3x ； ③f ：x →y ＝2 3 x; ④f ：x →y ＝x . 5．设函数f (x )＝???（x ＋1）2 ，x <1， 4－x －1，x ≥1， 则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ______________． 6．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 题组三 常考题 8．[2015·重庆卷改编] 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 9．[2015·全国卷Ⅱ改编] 函数f (x )＝? ????1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________. 探究点一 函数的定义域 考向1 求给定函数解析式的定义域
高中函数定义域的求法
例1，求下列分式的定义域。 2 求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ） （的定义域 解：（1）依题意可得,须是分母不能为零并且该根式也必须有意义，则 解得 x ≥3或x ＜2 因此函数的定义域为｛X ︱x ≥3或x ＜2｝。 （2） 要使函数有意义，则?????≠+≠-≥-. 03032023x x x ，，所以原函数的定义域为{x|x ≥32，且x ≠32}. 评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。 例2，求下列关于对数函数的定义域 例1 函数x x y --=312log 2的定义域为 。 分析：对数式的真数大于零。 解：依题意知：0312>--x x 即0)3)(12(>--x x 解之，得321<
初中数学概念课堂教学设计
初中数学概念课堂教学设计 杜红卫学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长 x 。 这组题对于初二的学生来讲，能够很快的得到答案。由于边长都非负，所以学生的第一反应说出的都是这组数的算术平方根，因为教师设计要讲平方根，所以要求学生写出计算过 程，并强调，然后取正舍负，再由这四个例子进行抽象概括出平方根与算数平
大一微积分公式
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
新课标下的初中数学概念教学的研究”微型课题研究
新课标下的初中数学概念教学的研究”微型课题研究“新课标下的初中数学概念教学的研究”微型课题研究阶段总结报告 学概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、法则的出发点，是建立理论系统的着眼点;同时，它又是学生认知的基础,是学生进行数学思维的核心。因此概念在数学教与学中有着重要的地位。 数学概念是数学知识系统中的基本元素，是解决数学问题的前提，是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。学生在运用数学概念进行、判断的过程中要得出正确的结论，首先要正确地掌握概念。正确理解概念是学好数学的基础，是决定数学教学效果的首要因素。因此，概念教学在数学教学中有着不容忽视的地位。 对基本概念的教学一直是比较薄弱的，不少教师讲题时头头是道，十分生动，总有说不完的话，而讲基本概念时总是干巴巴的，没有几句话，有的教师对一些重要概念一带而过，很快就转入解题教学中去，这种教学形式是不利于学生对概念的正确理解的，由于初中生的知识水平，对很多概念的背景知识不可能展开说得很多，但总希望能把有关概念的背景、产生、内涵，适当地讲清楚。 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物;而对于今天所推进的新课程实验(特别是在我国刚刚开始实施阶段)，初中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 还有，对概念教学还有一个记忆与理解的关系问题，对一些重要的基本概念，我们要求学生准确记忆，但这种记忆不是死记硬背。我们时常可以看到有的教师在课堂上要求全班学生一起背某一段定义、定理。学生整齐划一，如同背古诗一样背