二项式定理1
(完整word)高中数学二项式定理练习题
选修2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2(n ＋1) 2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n B ． C r ＋1n C ．C r －1n D ．(－1)r －1C r －1n 3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27 C 410 C ．－9C 610 D ．9C 410 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 5．在? ?? ??2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10 6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 7．(2009·北京)在? ?? ??x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2
9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ( ) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25 10．在? ????32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 二、填空题 11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． 12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． 13．若? ?? ??x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________． 三、解答题 15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． 16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数． 17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．
二项式定理
二项式定理 性质：说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下： 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 （1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理(通项公式).
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=， 即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
(推荐)高中数学二项式定理
二项式定理 【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第
3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）． 【方法技巧提炼】
(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246
答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .
答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（）
二项式定理第一课时教学设计
二项式定理第一课时教学设计 广西北海市第五中学蒙旭芬 一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。 教学目标： 1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析 2、能力目标：在学 3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。 一、教学重点，难点，关键： 重点： （1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。 （2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。 （3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。 难点：
杨辉三角与二项式定理导学案
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城 【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1
1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律： 从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？ 【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。 问题1：二项式展开式是： 试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8*∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。 预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第50讲 二项式定理-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)
第50讲二项式定理 一、考情分析 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、知识梳理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N+)； (2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n. 2.二项式系数的性质 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1. [微点提醒] (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 三、 经典例题 考点一 通项公式及其应用 多维探究 角度1 求二项展开式中的特定项 【例1－1】 (1)(x 2 ＋1)? ????1x －25 的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10 C.－32 D.－42 (2)? ?????3x －123x 10 的展开式中所有的有理项为________. 解析 (1)由于? ????1x －25 的通项为C r 5·? ?? ??1x 5－r ·(－2) r ＝C r 5·(－2)r ·x r －5 2， 故(x 2＋1)·? ????1x －25 的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5 ＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10? ????－12k x 10－2k 3 . 由题意 10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数. ∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为45 4x 2， － 638，45256 x －2. 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45 256x －2 规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数
二项式定理的十一种考题解法
二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ， 是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L
令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为 0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11 222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项 式系数1 2n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，
1.3.1二项式定理说课稿
1.3.1二项式定理说课稿 执教人：罗杰 一、 说教材 二项式定理一节，分三个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1） 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2） 由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识. （3） 基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4） 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 因此，结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下： 1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 2、通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二 、说教法、学法： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.没有途径，学生无法达到目的，因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 三、 教学过程： （一）、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，
高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集
2004年高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集 1、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西文科（11）5分 】从1，2， (9) 九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ） A ．95 B ．94 C ．2111 D ．21 10 2、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西)理科（11）5分】从数字1，2，3，4， 5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（D ） A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．125 19 3、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西)文科（20）12分】从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 54，每位男同学能通过测验的概率均为5 3.试求：（I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 【（Ⅰ）65；（Ⅱ）125 4】 4、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西)理科（18）12分】一接待中心有A 、B 、 C 、 D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 【P(ξ=0)=0.09，P(ξ=1)＝0.3，P(ξ=2)=0.37，P(ξ=3)=0.2，P(ξ=4)=0.04； E ξ=1.8】 5、【全国Ⅱ卷文12理12四川等】在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5 位数中，大于23145且小于43521的数共有（C ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个 6、【全国Ⅱ卷理13四川等】从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有 ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为 7、【全国Ⅱ卷文19理18四川等】已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8 支球 队分为A 、B 两组，每组4支，Ⅰ.A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；Ⅱ.A 组中至少有两支弱队的概率。 【Ⅰ. 76，Ⅱ.2 1 】 8、【上海文9理9】从二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 (11 4).(用分数表示) 9、【天津文13理13】某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：
高中数学知识点总结---二项式定理
高中数学知识点总结---二项式定理 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a ) +（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第 12 +n 项，它的二项式系数2 n n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第2 1+n 项和第 12 1++n 项，它们的二项式系数212 1+-=n n n n C C 最大. ③系数和： 1 314 201 2 2-=+ +=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．． 时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组1 111 1(,+-+-+???≤≤???≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数 的绝对值）的办法来求解. ⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中 , ,,N r q p ∈且 n r q p =++把 n n c b a c b a ] )[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+) (中含有q b 的项为 q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为 r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --== ---?-= ! !!!)! (!)! ()!(!! . 2. 近似计算的处理方法.
二项式定理中的特殊项问题
《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标： 1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。 学习过程： 学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理， 主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2． 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3． 求11 的展开式中的有理项。 4． 已知22)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 （1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32 x 的项； （3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 5． 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++g g g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。 当堂检测：
1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题 附加题：若4 1()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项． 补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求 （1）1237a a a a ++++g g g ； （2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++L 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n i x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式 中系数为实数且最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5项或第6项 4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．
(完整版)高中数学二项式定理全章复习(题型完美版)
第十一讲二项式定理 课程类型：□复习□预习□习题 针对学员基础：□基础□中等□优秀 本章主要内容： 1?二项式定理的定义； 2?二项式定理的通项公式； 3?二项式定理的应用? 本章教学目标： 1?能用计数原理证明二项式定理（重点）； 2?能记住二项式定理和二项展开式的通项公式（重点）； 3?能解决与二项式定理有关的简单问题（重点、难点）? 课外拓展 __________________________________________________________________________________________ 杨辉三角历史 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪 前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 布莱士?帕斯卡的著作Trait e du triangle arithm e tique （1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集 了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort （1708 年）和亚伯拉罕?棣?美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。 同与例題牆讲 【知识与方法】 一?二项式定理的定义 在（a b）^（a ]b）（a「b）；：（a「b）中，每个括号都能拿出a或b，所以每个括号有2种选择，n个括号 n个 就是2n种情况.a2b n J这一项，表达的意思是________________________________ ；所以，a2b n"共有____________ 个.
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
高中数学二项式定理全章复习
第十一讲 二项式定理 课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 1.二项式定理的定义； 2.二项式定理的通项公式； 3.二项式定理的应用. 1.能用计数原理证明二项式定理(重点)； 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点). 【知识与方法】 一．二项式定理的定义 在44443 444421个 n n b a b a b a b a )())(()(+???++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号 就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个.
(a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数． 二．二项展开式的通项 (a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________.. 注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4n C ； 2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的； 3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n ； 4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质 四．展开式的二项式系数和 1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝_______. 五．展开式的系数和 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋ a 2＋a 4＋…= 2 ) 1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】 题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用 【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2 ＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【例2】（2018?滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018?濮阳一模）82017 )11(++ x x 的展开式中，x 3 的系数为________. 【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式4)21 1(x x -+ ，则展开式的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-47 D ．49 类型二 单括号型 【例4】（2018?内江三模）4)2 (x x -展开式中的常数项为（ ）