量子力学与统计物理习题解答(理论物理导论)北理工_李卫_修订版
量子力学与统计物理习题解答 第一章
1. 一维运动粒子处于??
?≤>=-)
0(0
)0()(x x Axe
x x
λψ
的状态，式中λ>0，求
（1）归一化因子A ；
（2）粒子的几率密度；
（3）粒子出现在何处的几率最大？
解：（1）?
?∞
-∞
∞-*
=0
222
)()(dx e
x A
dx x x x
λψψ
令 x λξ2=，则
3
23
23
2
2320
222
4!
28)
3(88λ
λλξ
ξλ
ξ
λA
A
A d e A dx e
x A
x
=
?=Γ=
=
-∞
∞
-?
?
由归一化的定义
1)()(=?∞
∞-*
dx x x ψψ
得 2/32λ=A （2）粒子的几率密度
x
e x x x x P λλψψ22
3
4)()()(-*
==
（3）在极值点，由一阶导数
0)(=dx
x dP
可得方程
0)1(2=--x
e x x λλ 而方程的根
0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。几率密度在极值点的值
0)0(=P ；0)(lim =∞
→x P x ；2
4)/1(-=e P λλ
由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小
于零，是减函数，故几率密度的最大值为2
4-e λ，出现在λ/1=x 处。
2. 一维线性谐振子处于状态
t i x Ae
t x ωαψ2
12122),(--=
（1）求归一化因子A ；
（2）求谐振子坐标小x 的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。 解：（1）?
?∞
∞
--∞
∞-*
=dx e
A
dx x
2
22
αψψ
?∞
-=0
22
2
2dx e A x
α
?
∞
-=0
2
2
2ξα
ξ
d e
A
α
π
2
A
=
由归一化的定义
1=?∞
∞
-*dx ψψ
得 π
α=A
（2） ??
∞
∞
-∞
∞
--==
dx xe
A
dx x xP x x
2
22
)(α
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）?
∞∞-=
dx x P x U U )()( ?
∞
∞
--=dx e
kx
x
2
22
21απ
α
?
∞
-=0
2
2
2
dx e
x k x
απα
?
∞
-=0
22
2
ξξπα
ξ
d e
k
??
?
?
??+
-=?
∞
-∞
-0
2
2
221ξ
ξπαξ
ξ
d e
e k
?
∞
-=
2
2
21
ξπ
αξ
d e
k
2
212
π
πα
k
=
2
4αk =
将2μω=k 、
μω
α
=2
代入，可得
0214
1E U =
=ω
是总能量的一半，由能量守恒定律
U T E +=0 可知动能平均值
U E U E T ==
-=002
1
和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
??
?≥∞<=)
2/|(|,
)2/|(|,
0)(a x a x x U
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为
2/||,6,4,2,
sin
2,5,3,1,cos 2)(a x n x a
n a
n x a n a x n ≤???
?
???===
ππψ
粒子的能量为
,4,3,2,1,
22
2
22
==
n n a
E n μπ
证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外 2/||,0)(a x x ≥=ψ 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
2/||)()(22
a x x E x ≤=''-ψψμ
上式可变形为 0)(2)(2
=+
''x E x ψμψ
令2
2
2
E k μ=，则方程化为
0)()(2
=+''x k x ψψ 该方程的通解为 kx B kx A x cos sin )(+=ψ 在边界上，波函数应满足连续性条件，即
0)(0)(2/2/==+=-=a x a x x x ψψ
将通解代入有
2cos
2
sin
2cos 2sin
=+=+-ka B ka A ka B ka A 由此可得
02
cos
2sin
==ka B ka A
A 和
B 不能同时为零，否则解无意义。0≠A ，则必有
,6,4,2,02sin ==?=n a
n k ka n π 0≠B ，则必有
,5,3,1,02cos ==?=n a
n k ka n π
由此可得方程的解为
??
??
?===
,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(n x a n A n x a n B x n ππψ 由归一化条件
?
∞
∞
-*
=1dx n n ψψ
可知
12/sin
2
/2/2
2
2==??? ???-a A dx x a n A a a π 12/cos
2
/2/22
2==??? ?
??-a B dx x a n B a a π 解得
a B A /2== 故在阱内的波函数为
???
?
???===
,6,4,2,
sin
2,5,3,1,cos 2)(n x a
n a
n x a n a x n ππψ
粒子的能量
,4,3,2,1,
222
2
22
2
2==
=
n n a
k E n μπμ
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
,3,2,1),2
(sin
2
)(=+
=
n a
x a n a x n π
ψ
书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为
,3,2,1,
sin
2)(==
n x a
n a
x n πψ
因此只要作坐标平移代换2
1a x x +
=，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。
4．带电荷q 的一维谐振子在外电场E 作用下运动，x q x x U E -=)2/()(2
2
μω，试证明
粒子的能量和波函数分别为
2
2
2221μωωE q n E n -??? ??
+=
2
112
1),()(2
1
2μω
αψαE
q x x x H e
N x n x n n -
==-
证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为
)()(2
1)(22
22
x E x x q x x u
ψψμωψ=??
?
??-+''-E
上式可改写为
)()(2)()2
(2
1)(22
224
2
222
2
22
x E x q x q x q x x u
ψψμω
ψω
μμω
μωψ=-
+
-+
''-
E E
E
即
)(2)(21
)(222
22
22
2
x q E q x x u ψμωμωμωψ???
?
?
?+=-+''-E
E
作代换2
1μωE
q x x -=，2
222μω
βE q E E +
=，则方程化为标准的一维谐振子方程
)(2
1)(212
12
12
x E x x u
ψμωψβ=+''-
其解为 )()(12
11212x H e
N x n x n n αψα-=
能量为
ωβ ??? ?
?
+=21n E n
代换回去得能量 2
222
222212μωωμω
βE E q n q E E n -
??? ?
?
+=-
=
波函数
2
112
1),()(2
1
2
μω
αψαE
q x x x H e
N x n x n n -
==-
我们看一下谐振子所受的力
12
2
22)()(x q x q x dx x dU F μωμω
μωμω=-=-==E E 由F =0可知谐振子的平衡点不再是
0=x 而是平移到
2
μωE
q x = 作代换2
1μωE
q x x -
=，无非是将坐标原点移到新的平衡点
2
μω
E
q ，移到新的平衡点后，与标
准谐振子的力函数表达式完全相同。
5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿x +方向向势垒运动，0U E <<，求粒子的透
射系数D 。提示：写出)(x U 表达式；令E x U =)(，解出积分限b ；利用（2-104）式得D ，
并注意简化运算。 解：
??
?><≤≤-=a
x x a x a x U x U ,0,
00),
/1()(0
()??
?
?
???
?--?
???
??---
-
--
-------=?=?=?=?=2/302
/30000
00000000003240)
(220220])/1([22
0])([22
0E U b a U E U U a
x a U d x a
U E U U a
dx
x a U E U dx
E a x U dx
E x U e
D e D e D e
D e D D b b b
b
μμ
μμμ
由 b a
U U a b U E 000)/1(-=-=
可得
000=-
-b a
U E U
故 ()2
/3003240E U U a
e
D D --
=
μ
6．粒子在三维无限深势阱
??
?≥≥≥∞<<<=)
2/||,2/||,2/|(|,
)2/||,2/||,2/|(|,
0),,(c z b y a x c z b y a x z y x U
中运动，求粒子的波函数和能量。
解：势能不含时间是定态问题。在阱外，波函数 2/||,2/||,2/||,0),,(c z b y a x z y x ≥≥≥=ψ 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程 2/||,2/||,2/||)
,,(),,(22
2
c z b y a x z y x E z y x ≤≤≤=?-
ψψμ
令2
2
2
E k μ=，则方程可化为标准形式
0),,(),,(2
2
=+?z y x k z y x ψψ
令
)()()(),,(z Z x Y x X z y x =ψ
代入方程有
02
2
22
22
2=+++XYZ k Z dz
d XY
Y dy
d XZ
X dx
d YZ
除以XYZ ，可得
01112
2
22222=++
+
k Z dz
d Z Y dy
d Y X dx
d X
要使上式成立，必然有
2
2
22
222
2
2
111z
y x k Z dz
d Z k Y dy d Y k X dx d X -=-=-=
即
0022
22
222
22=+=+=+Z k Z dz
d
Y k Y dy d X k X dx d z y x 由波函数的连续性可知在边界上
)2/()2/(0)2/()2/(0
)2/()2/(==-==-==-c Z c Z b Y b Y a X a X 由方程和边界条件可得
????
?
='==
,6,4,2,sin ,5,3,1,cos
)(n x a n A n x a n A x X n ππ
??
??
?
='==
,6,4,2,
sin ,5,3,1,cos
)(m x b
m B m x b m B y Y m ππ
??
??
?='==
,6,4,2,
sin ,5,3,1,cos )(l x c l C l x c l C x Z l π
π
由归一化条件可得
a
A A 2=
'=；b
B B 2='=；c
C C 2='=
???
?
??
?===
,6,4,2,
sin
2,5,3,1,cos 2)(n x a
n a n x a n a x X n ππ
??????
?===
,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(m x b m b m x b
m b y Y m ππ
???
?
??
?===
,6,4,2,
sin
2,5,3,1,cos 2)(l x c
l c l x c l c
x Z l ππ
或
,3,2,1),
2(sin
2)(=+
=
n a x a n a
x X n π
,3,2,1),2(sin 2)(=+
=m b y b m b y Y m π ,3,2,1),
2
(sin
2)(=+
=
l c z c
l c
z Z l π
波函数
,2,1;,2,1;,2,1),
2
(sin
)2
(sin
)2
(sin
8),,(===+
+
+
=
l m n c z c
l b y b
m a x a
n abc
z y x nml πππψ
能量 )(
2)(222
22
22
22
22222
22
2
c
l b
m a
n k k k k E z
y x nml +
+
=
++=
=
μ
πμ
πμ
2、一维谐振子处于基态2
2
1
2
2)(x
e
x απ
α
ψ-
=
，其中
μωα=
求 ?)()(22=?p x ??（要求：按定义计算）
?
?
∞∞
-∞∞
--=
?
=
=
=
2
2
2
22
*2
21212
2α
α
πα
π
απ
αψψαdx e
x dx x x x
?
?
∞
∞
--∞∞
-==
=
02
2
*
dx xe
dx x x x
απ
αψψ
2
2
2
2
21)(α
?=
-=∴
x x x ··························3分
同理，222)(p p p -=? ·························1分 注意到一维情况下，只须考虑x p ，因此 dx e
x
e
i dx x
i p x
x
x 2
2
*
2
2
2
2
ααπ
αψψ
-
∞
∞
--
∞∞
-???
=
??=?
?
0)(2
2
2
=-=
?
∞
∞
--dx x e
i
x
απαα ·
··················3分 dx e
x
e
p x
x
x 2
2
22
2
2
2
22
2
ααπ
α
-
∞
∞
--
??
-=?
dx xe dx d
e
x
x
?
∞
∞
--
-
???
????
????? ?
?--
=2
22
2
2
2
2
2
α
ααπα
dx e
x e e
x
x
x
?
∞∞
--
--
???
?
???
?--
=2
2
22
2
2
3
2
2
2
2
2
2
ααααπ
α ?
?
-∞∞
---
-
=dx e
x dx e
x
x
2
22
222
5
2
3
ααπ
απ
α
2
21
2
2
2
2
2
5
2
3
αα
πα
π
αα
ππ
α=
?
-
?
=
2)()(2
22
22
2 α??=
-==∴
x x
x p p p p ·························3分
最后得 4
2
21)()(2
222
2
2
=?
=?αα
??p x ······················2分
第四章
1．试证?θ?θψ33
sin )(),,(i e r f r =为2?L 和z
L ?的共同本征函数，并求出相应的本征值。 证明： ?θ?
?θψ33sin )(),,(?i z
e r
f i r L ??-=
)
,,(3sin )(333?θψθ?
r e r f i ==
满足z L ?的本征方程，是z
L ?的本征函数，本征值是 3。 ?θ?θθθθ
θ?θψ3322
222sin )(sin 1)(sin sin 1),,(?i e r f r L ??
??????+????-= ?θθθθθ33
2sin 9)cos sin 3(sin 1)(i e r f ?????
?-??
-=
?θθθθθ34
222sin 9)sin 3cos sin 9(sin 1
)(i e r f ?
????
?
---=
?θθθθ3322)sin 9sin 3cos sin 9)((i e r f ---= ?θθθ3322}sin 3)1(cos sin 9){(i e r f ---= ?θθθ3322}sin 3)sin (sin 9){(i e r f ---= ?θ332sin )(12i e r f =
),,(122
?θψr =
满足2?L 的本征方程，也是2?L 的本征函数，本征值是212 。故),,(?θψr 为2?L 和z
L ?的共同本征函数。
2．设粒子在被限制在半径为a 的球内运动，其势能函数为
??
?≥∞
<=a
r a r r U 0
)(
求粒子角动量为零时的波函数和能量。提示：利用（4-50）式，注意到0?2=ψL
，令r r f /)(=ψ。
解：在球外，波函数 0=ψ
在球内，波函数满足定态薛定谔方程
ψψμE L r r r r r =??
????-????-22
2222
?1)(12 因角动量为零，即0?2=ψL
，方程变为常微分方程
ψψμE dr
d r
dr d
r =-
)(122
2
2
上式可改写为
ψψμEr dr
r d =-
2
2
2
)(2
令ψr r f =)(，代入得
)()(22
2
2
r Ef dr
r f d =-
μ
进一步改写为 0)(2)(2
2
2
=+
r f E dr
r f d
μ
令2
2
2
E k μ=，代入得标准二阶常微分方程
0)()(2
22
=+r f k dr
r f d
方程的通解为 )cos()sin()(kr B kr A r f +=
在球心，由波函数ψ有限性可知0)0(=f （注意0)0(≠ψ），即
0)0cos()0sin(=+k B k A
得
0=B 在边界上，由波函数连续性可知 0)(=a ψ 即 0)sin(=ka A
得 ,2,1==
n a
n k π ,2,1sin )(==n r
a n A r f π
波函数
,2,1sin
1)(==n r
a
n r
A
r πψ
由归一化条件 12sin
4sin ||2
2
2
2
20
2===?
???
aA
dr a
r n A
d d dr r a
a πππ?θθψππ
可得
a
A π21=
波函数 r r
a n a r ππψsin
21
)(=
,2,1sin 21
sin
21
==
=
n a
r n c
n a
a r a n r
a n n a a ππ
ππ
π
ππ
能量
2
2
222a
n E μπ =
在球心0=r 处，波函数
π
ππππψn a a a r
n c
n a a r 21sin lim 21)0(0
=
=→
3．氢原子处于基态，求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径0a 以外的几率。 解： dr r R r P a 2
2210100
||)(?
∞
=
dr e
r a
a r a 0
/222
30
4
-∞
?
=
ξξξ
d e a a ?
∞
--?
?
?
??-=4
23
03024
∞--+--=4
2)
22(21ξ
ξξξξe e e
4
2
}2)4(2)4{(2
1-+-?--?-
=e
413-=e
4．分别求出氢原子处于2s 态)0,2(==l n 和2p 态)1,2(==l n 时,电子径向分布几率取最大值时的r 值。这两个r 值是否等于相应的波尔轨道半径?
解：2s 态径向分布几率 0220302
22020221||)(a r
e r a r a r R r P -???? ??-???? ?
?== 令
020=dr
dP
即 0)46)(2(46200002
0002020=+--=???
? ??+-???? ??---a r
a r
e a r a r r a a r e r a a r r a r 得 01=r
022a r =
03)53(a r += 04)53(a r -
=
∞=5r
因 0)()()(520220120===r P r P r P 所以1r 、2r 和3r 不是最大点。
因
0)(,0)(420
320
<''<''r P r P 3r 和4r 是极大值点，但)()(420320r P r P >，所以03)53(a r +
=是最大值点。
5．求出氢原子p 态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电子沿确定轨道运动的概念是否一致？ 解：
θπ
θπ
?θθ?
2
2
2
1111sin 83sin 83|),(|)(=
=
=i e
Y P
若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。但上式表明角分布几率与?无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。故电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。
第五章
1. 一维非线性谐振子处于势场2/,2/)(243432kx cx bx cx bx kx x U <<+++=，求该非线性谐振子基态的一级近似能量。
解：H
H H
'+=???0
无微扰项
2/?20kx H
= 为线性谐振子，其基态波函数
2
22
10)(x
e
x απ
α?-
=
微扰项
43?cx bx H
+=' 基态的一级近似能量 dx H
H E 0*0000
???'='='?
∞
∞
-
dx e
x c dx e
x b x
x
2
22
243ααπ
α
π
α
-∞
∞
--∞
∞
-?
?
+
=
因被积函数是奇函数，第一项积分
02
23=-∞
∞
-?
dx e
x b x
απ
α
因被积函数是偶函数，第二项积分 dx e
x c dx e
x c x
x
2
22
20
442ααπα
π
α
-∞
-∞
∞
-?
?
= ξξπαξ
d e
c
2
44
2-∞
?
=
8
324
ππ
α
?
=c
4
43α
c =
即 4
43α
c E ='
3. 有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符
212221202221)(2
1)??(21?x x x x p p H λ-+μω++μ=
式中21x x λ-为两谐振子的相互作用能量，可视为H
?。试证： （1）此耦合谐振子的零级近似能量
00210
)1()1(ω+=ω++= N n n E
,2,1;,2,1,0,2121=+==n n N n n
（2）此耦合谐振子第一激发态（N = 1）能量的一级修正
)2/(0μωλ ±='E
证明：
（1）H
H H
'+=???0
微扰项
2
1?x x H λ-=' 无微扰项
02
01
2
2202
22
120212
2212022210
??)
2
1?21(
)2
1?21(
)(2
1)??(21?H
H x p x p
x x p p H
+=μω+
μ
+μω+μ
=+μω+
+μ
=
无微扰时的定态薛定谔方程
),(),(?),(?),(?210
2102
2
101210x x E x x H x x H x x H ψψψψ=+=
因算符01
?H
仅与x 1有关、02
?H
仅与x 2有关，可分离变量，令
)()(),(2121x x x x ??=ψ
则前述方程可分离为两个独立的方程
)()(?101
101
x E x H ?=? )()(?202
202x E
x H
?=?
02010E E E +=
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量
2,1,0,
)2
1(2,1,0,)21(20202
10101
=+
==+=n n E
n n E
ωω
总能量
2,1,0,)1()1(21002102
01
=+=+=++=+=n n N N n n E
E
E
ωω
（2）N =1时，耦合谐振子有两种状态，即谐振子1处于第一激发态，谐振子2处于基态
)()(),(20112111x x x x ??=ψ
谐振子2处于第一激发态，谐振子1处于基态
)()(),(21102112x x x x ??=ψ
两种状态具有同样的能量，是简并的。微扰矩阵元 222
02112
112111*1111
)()(?dx x x dx x x dx dx H H ?
?
??
∞
∞
-∞
∞
-??λ-=ψ'ψ='
由于被积函数是奇函数，在对称区间上积分为0，故 011
='H 同理
0?2
112*1222
=ψ'ψ='??
dx dx H H
2
102
212021**********
1112
)()()()()()(??
?
? ????λ-=????λ-=ψ'ψ='??
?
??
∞
∞-∞
∞
-∞
∞
-dx x x x dx x x x dx x x x dx dx H H
积分 α
=
α
ππ
α=
π
α=
???
?
∞
∞
-α-∞
∞
-22222)()(3
2
22
102
2dx e
x dx x x x x
故
2
12
22μωλα
λ
-
=-='H
同理
21
2μωλ
-='H
代入久期方程有
0220
0='
--
-
'-E E μωλμωλ
即
022
02
=???
?
?
?-'μω
λ E 解得 0
2μωλ
±
='E
5．一体系的k ε能级为二度兼并，对应的本征函数为1k ?、2k ?，试证此体系有微扰H
'?作用时，体系能量的一级修正
]4)()[(2
121122
2211
2211
H H H H H H E ''+'-'±'+'='α
并写出各ji H '的表达式。 证明：由久期方程 022
21
1211='-''''-'E H H H E H
可得
0))((21122211
=''-'-''-'H H E H E H 展开化简得
0)(211222112211
2
=''-''+''+'-'H H H H E H H E 代入二次方程求根公式有
])(4)()[(21211222112
2211
2211
H H H H H H H H E ''-''-'+'±'+'='α
]4)()[(2
121122
2211
2211
H H H H H H ''+'-'±'+'=
式中 ?'='τ??d H H k k 1*111
?； ?'='τ??d H H k k 2*112? ?'='τ??d H
H k k 1*221
?； ?'='τ??d H H k k 2*222?
6. 对有兼并情况，当零级近似波函数为0
αψ，已知。试证能量的一级修正
τψψαααd H
E 0
*0??'='。 证明1：000??α
ααααψψεψψE H H k '+'='+' 两边乘*
0αψ并积分 ????'+'='+'τψψτψεψτψψτψψαααααααααd E d d H d H k 0
*0*00*00*0??
由厄米算符的性质，积分
????'='=
'='τψεψτψψετ
ψψτψψα
αα
αααα
α
d d d H
d H k k
*
0*
0*
0*
0)?(? 故有
???'='='τψψτψψτψψααααααααd E d E d H 0
*00*00*0? 由零级近似波函数为0
αψ的正交归一性
10
*0=?τ
ψψααd
得 τψψαααd H
E 0
*0??'='
证明2： ?∑∑?==**
'='τ??τψψααd c H c
d H
f
j f
i ki
i kj
j
1
1
)
0()0(0
*
0??
∑∑?==**'=f j f
i ki
kj
i
j
d H c c 11)0()0(?τ??
∑∑==*'=
f
j f
i ji i
j
H c
c 1
1
)0()0(
因 ∑=='-'f
i ji
i
E H c
1
)
0(0)?(δ 故 ji f
j f
i ji i
j
E c
c d H δτψψαα
∑∑?==*
'=
'11
)0()0(0*
0?
∑=*
'=
f
j j j
E c c
1
)
0()0(
∑='=f
j j
c E 1
2
)
0(||
由归一化条件知1||1
2
)
0(=∑=f
j j c ，则
ααατψψE d H '='?
*0?
《大学物理学》习题解答
大学物理学 习 题 解 答 陕西师范大学物理学与信息技术学院 基础物理教学组 2006-5-8
说明： 该习题解答与范中和主编的《大学物理学》各章习题完全对应。每题基本上只给出了一种解答，可作为教师备课时的参考。 题解完成后尚未核对，难免有错误和疏漏之处。望使用者谅解。 编者 2006-5-8
第2章 运动学 2－1 一质点作直线运动，其运动方程为2 22t t x -+= , x 以m 计，t 以s 计。试求：（1）质点从t = 0到t = 3 s 时间内的位移；（2）质点在t = 0到t = 3 s 时间内所通过的路程 解 （1）t = 0时，x 0 = 2 ；t =3时，x 3 = －1；所以， m 3)0()3(-==-==t x t x x ? （2）本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对x 求极值，并令 022d d =-=t t x 可得t = 1s ,即质点在t = 0到t = 1s 内沿x 正向运动，然后反向运动。 分段计算 m 1011=-===t t x x x ?， m 4)1()3(2-==-==t x t x x ? 路程为 m 521=+= x x s ?? 2－2 已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3 2 262t t x -+=。试求：（1）质点在最初4s 内位移；（2）质点在最初4s 时间内所通过的路程 解 （1）t = 0时，x 0 = 2 ；t = 4时，x 4 = －30 所以，质点在最初4s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0612d d 2=-=t t t x 可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t 1 = 2 s , t 2 = 0 (舍去) 则 m 0.8021=-=?x x x ，m 40242-=-=?x x x 所以，质点在最初4 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 2－3 在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为 )1ln(1bt t b u ut x -?? ? ??-+=，其中m/s 100.33?=u 是喷出气流相对于火箭体的喷射速度， s /105.73 -?=b 是与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（1）t = 0时刻，此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s 时，此火箭的速度和加速度 解 )1l n (d d bt u t x v --== ；bt ub t v a -==1d d （1）t = 0时， v = 0 ，23 3s .m 5.221 105.7103--=???= a （2）t = 120s 时， )120105.71ln(10333 ??-?-=-v 1 3 s .m 91.6-?= 23 3 3s .m 225120 105.71105.7103---=??-???=a
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =
《大学物理aii》作业 no08 量子力学基出 参考解答
《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础 班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为（νh E =）、（λh p =）。德布罗意的假设，最先由（戴维 孙-革末）实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性）的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波），物质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布）。 3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说，这种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。其中位置与动量不确定关系的表达式为（2 ≥???x p x ）；能量与时间不确定关系的表达式为（2 ≥???t E ）。 4、薛定谔将（德布罗意公式）引入经典的波函数中，得到了一种既含有能量E 、动量P ，又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ，这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征，因此在薛定谔建立的量子力学体系中，就将这种波函数用来描述（微观粒子的运动状态）。
清华大学《大学物理》习题库试题及答案10量子力学习题解析
10、量子力学 一、选择题 1．已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? 2．在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3．用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K 4．在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 5．要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV 6．由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7．已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV 8．在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和3.4 eV 9．若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh 10．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 12．设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 13．波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10-3 ?，则利用不 确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为： (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm x (A) x (C) x (B) x (D)
量子力学导论 答案
第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+
5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应
最新量子力学导论期末考试试题内含答案
量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。
二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
大学物理学上册习题参考答案
第一章 质点运动学 1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数． （1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为011kt v v =+； （2）试证在时间t 内，船行驶的距离为 01 ln(1)x v kt k = +． [证明]（1）分离变量得2d d v k t v =-， 积分 020d d v t v v k t v =-??， 可得 0 11kt v v =+． （2）公式可化为0 01v v v kt = +， 由于v = d x/d t ，所以 00001 d d d(1) 1(1)v x t v kt v kt k v kt = =+++ 积分 000 01 d d(1) (1)x t x v kt k v kt =++?? ． 因此 01 ln(1)x v kt k = +． 证毕． 1.5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t 3．求： （1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度； （2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为 ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)， 法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2)； 角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2)， 切向加速度为
a t = rβ = 4.8(m·s -2)． （2）总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2， 当a t = a /2时，有4a t 2 = a t 2 + a n 2，即 n a a = 由此得 2r r ω= 即 22 (12)24t = 解得 3 6t =． 所以 3242(13)t θ=+==3.154(rad)． （3）当a t = a n 时，可得rβ = rω2， 即 24t = (12t 2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)． 1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？ [解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为 v 0x = v 0cos θ， v 0y = v 0sin θ． 加速度的大小为 a x = a cos α， a y = a sin α． 运动方程为 2 01 2x x x v t a t =+， 2 01 2y y y v t a t =-+． 即 201 c o s c o s 2x v t a t θ α=?+?， 2 01 sin sin 2y v t a t θα=-?+?． 令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为 t = 0（舍去） ； 02sin sin v t a θ α= =．
大学物理学上册习题解答
大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5) r ?v 和r ?v 有区别吗？v ?v 和v ?v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt =v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t = ，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r = dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性 的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度 也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解： (1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0(/)2 ave x v m s t ?= ==?
大学物理学-习题解答-习题10
第十章 10-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B ＝μ0I 2πa ，当场点无限接近于导线时(即 a →0)，磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。公式a I B πμ20=只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0， 导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。 10-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？ 答：L 上各点的B 不为零. 由安培环路定理 ∑?=?i i I l d B 0μρ ρ 得 0=??l d B ρ ρ，说明圆形环路L 内的电流代数和为零， 并不是说圆形环路L 上B 一定为零。 10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B ? 的大小是否相等? (2)在闭合曲线c 上各点的B ? 是否为零?为什么? 解： ?μ=?a l B 08d ? ? ? μ=?ba l B 08d ? ? ?=?c l B 0d ?? (1)在各条闭合曲线上，各点B ? 的大小不相等． (2)在闭合曲线C 上各点B ?不为零．只是B ? 的环路积分为零而非每点0=B ?． 习题10-2图
题10-3图 10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？ 答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。 B l Id F d ρρρ ?= 2 0?4r r l Id B d ?=? ?πμ 2 21 2122110221212201112)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=? ρ?ρρπμπμ 2 12 12112 20212121102212)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=? ρ?ρρπμπμ ))?()?((42 12 121221************r r l d l d r r l d l d I I F d F d ??+??-=+? ρ?ρρρπμ 2 122112 210212112221212102112) (?4))?()?((4r l d l d r I I r l d r l d l d r l d I I F d F d ?ρ? ρ?ρρρ??=?-?=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d ρ ρ 由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。 10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？ 答：弹簧会作机械振动。 当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行 的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端 会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。 10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强 度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max . 习题10-4图 r 12 r 21 习题10-5图 y
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
《大学物理习题集》上)习题解答
) 2(选择题(5) 选择题单 元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某质点的运动方程为x=3t-5t 3+6(SI)，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，
大学物理量子力学习题附答案
1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？
大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学之欧阳语创编
质点 动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α） 上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点 时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即dt m KV mg dV 1-=+ mg K e KV mg K V t m K 1)(10-+=?-①
0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=????③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平 桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边 缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌 面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同， 沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =?? 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用 细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝ 12 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和 2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速
曾谨言《量子力学导论》习题解答
曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,,
n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,,
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。