高考数学统考一轮复习第1章 第6节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教师用书教案理新人教版

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考试要求] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧

的所有点组成的平面区域不包括边界直线

Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

名称意义

约束条件由变量x，y组成的不等式(组)

线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常用结论]

1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．

2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2

＋

By 2＋C )＜0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．

( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．

( )

(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、教材习题衍生

1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3)

D ．(2，－3)

C [∵－1＋3－1＞

0，∴点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内，故选C ．]

2．不等式组?

????

x －3y ＋6＜0，

x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )

A B C D

C [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x －3y ＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x －y ＋2≥0表示的平面区域内，故选C ．]

3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)

?????

200x ＋300y ≤1 400，

200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0

[用表格列出各数据：

A B

总数

产品吨数 x y

资金 200x 300y 1 400 场地

200x 100y

900

所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900. ] 4．设x ，y 满足约束条件????

?

x ＋3y ≤3，x －y ≥1，

y ≥0，

则z ＝x ＋y 的最大值为________．

3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .

作出直线y ＝－x ，并平移该直线，

当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.]

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

1.求平面区域面积的方法

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．

2．根据平面区域确定参数的方法

在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要

求确定问题的答案．

[典例1](1)不等式组

??

?

??

2x＋y－6≤0，

x＋y－3≥0，

y≤2，

表示的平面区域的面积为() A．1 B．

1

2C．2 D．

5

2

(2)已知不等式组

??

?

??

y≤－x＋2，

y≤kx－1，

y≥0，

所表示的平面区域为面积等于

1

4的三角形，则实数k的值为()

A．－1 B．－

1

2C．

1

2D．1

(1)A(2)D[(1)不等式组

??

?

??2x＋y－6≤0，

x＋y－3≥0，

y≤2，

表示的平面区域如图所

示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面

区域的面积．

求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝

1

2×(2－1)×2＝1，故选A．

(2)由题意知k>0，且不等式组

??

?

??y≤－x＋2，

y≤kx－1，

y≥0，

所表示的平面区域如图

所示．

∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为????

1k ，0， 直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为

? ??

??

3k ＋1，2k －1k ＋1， ∴三角形的面积为12×????2－1k ×2k －1k ＋1＝1

4，

解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝2

7不符合题意，

∴k ＝1.]

点评：计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．

[跟进训练]

1．不等式组????

?

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4，

所表示的平面区域的面积等于( )

A ．32

B ．23

C ．43

D ．3

4

C [由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ????0，4

3，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝4

3

.故选C ．]

2．若不等式组?????

x －y ≥0，2x ＋y ≤2，

y ≥0，

x ＋y ≤a ，表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是

( )

A ．a

≥4

3

B ．0

C ．1≤a ≤4

3

D ．0

3

D

[作出不等式组????

?

x －y ≥0，2x ＋y ≤2，

y ≥0，

表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要

使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．]

考点二 求目标函数的最值问题

求线性目标函数的最值

求线性目标函数(z ＝ax ＋by )最值的一般步骤

( )

A ．－7

B ．1

C ．5

D ．7

(2)(2020·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，

y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为

________．

(1)C (2)1 [(1)由题意????

?

x －y ＋1≥0，

x ＋y －1≤0，

y ≥－1

作出可行域如图阴影部分所示.

设z ＝3x ＋y ，y ＝z －3x ，当直线l 0：y ＝z －3x 经过点C (2，－1)时，z 取最大值5.故选C ． (2)如图，作出约束条件????

?

2x ＋y －2≤0x －y －1≥0

y ＋1≥0

所表示的可行域．易得A 点的坐标为A (1,0)，

当目标函数经过A 点时，z 取得最大值，可得z ＝x ＋7y 的最大值为1＋7×0＝1.]

点评：(1)求解此类问题的关键是明确目标函数的几何意义，倘若本例T (2)目标函数换成z ＝x －7y ，则z max ＝32－7×(－1)＝17

2

.

(2)解答本例T (1)

时，首先把约束条件变为????

?

x －y ＋1≥0，

x ＋y －1≤0，

y ≥－1，

其次设目标函数为z ＝3x ＋y .

求非线性目标函数的最值

常见的两种非线性目标函数及其意义

[

典例2－2] 实数x ，y 满足????

?x －y ＋1≤0，x ≥0，

y ≤2.

(1)若z ＝y

x ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；

(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．

[解]

由?????

x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，

作出可行域，如图中阴影部分所示．

(1)z ＝y

x

表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．

因此y

x

的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．

由?

????

x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， 所以k OB ＝2

1＝2，即z min ＝2，

所以z 的取值范围是[2，＋∞)．

(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.

由?????

x －y ＋1＝0，x ＝0，

得A (0,1)， 所以OA 2＝(02

＋12)2＝1，

OB 2＝(

12＋22)2＝5，

所以z 的取值范围是[1,5]． [母题变迁]

保持本例条件不变，(1)求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围；

(2)求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．

[解] (1)z ＝y －1

x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率，所以z 的取值范围是(－

∞，0]．

(2)z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，

而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2， PQ 2

max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，

PQ 2

min

＝?

??

???|1－1＋1|12＋(－1)22＝1

2， 所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝3

2

.

点评：求定点到区域内动点的距离的最小值时，要数形结合，可能转化为点到直线的距离问题．

求参数的值或取值范围

求解线性规划中含参问题的两种基本方法

(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．

(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解

的位置，从而求出参数．

[典例2－3] (1)若实数x ，y 满足不等式组????

?x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，

x －my ＋1≥0，其中m ＞0，且x ＋y 的最大

值为9，则实数m ＝________.

(2)(2020·湖南湘东六校联考)若变量x ，y 满足????

?

3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，

y ≥2，且z ＝ax －y 的最小值为

－1，则实数a 的值为________．

(1)1 (2)2 [(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x

＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，x ＋y 有最大值，此时x ＋y ＝9，由?????

x ＋y ＝9，

2x －y －3＝0

得A (4,5)，

将A (4,5)代入x －my ＋1＝0得4－5m ＋1＝0，解得m ＝1.

(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a ≥3，则直线z ＝ax －y 经过点B (1,2)时，z 取得最小值，由a －2＝－1，得a ＝1，与a ≥3矛盾；若0

若a ≤0，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)或C (3,2)时，z 取得最小值，此时2a －5＝－1或3a －2＝－1，解得a ＝2或a ＝1

3

，与a ≤0矛盾，综上可知实数a 的值为2.]

点评：当参数在目标函数中时，应把斜率值的大小对最优解的影响作为解题突破口．

[跟进训练]

1．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，

y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值

是________．

9 [作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．

由?

????

x ＋y －3＝0，

2x ＋3y －6＝0， 解得?????

x ＝3，y ＝0，

即C 点坐标为(3,0)， 故z max ＝3×3－0＝9.]

2．若实数x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，

x －1≥0，

则

y －1

x

的最小值为________． －3

2 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ????1，－12连线的斜率最小，所以? ????

y －1x min ＝k P A ＝－1

2－11－0

＝－3

2.]

3．已知x ，y 满足约束条件????

?

x －y ＋4≥0，x ≤2，

x ＋y ＋k ≥0，且z ＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝

________.

－2 [作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，结合图形可知当直线y ＝－13x ＋z

3过点A 时，z 最小，此时x

＋3y ＝2.

由?????

x ＝2

x ＋3y ＝2

得A (2,0)，又点A (2,0)在直线x ＋y ＋k ＝0上，则2＋k ＝0，解得k ＝－2.] 考点三 线性规划的实际应用

解线性规划应用问题的一般步骤

广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)

甲

70

5

60

乙60525

不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

[解](1)由已知，x，y满足的数学关系式为

?

?

?

?

?70x＋60y≤600，

5x＋5y≥30，

x≤2y，

x≥0，x∈N，

y≥0，y∈N，

即

?

?

?

?

?7x＋6y≤60，

x＋y≥6，

x－2y≤0，

x≥0，x∈N，

y≥0，y∈N，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－

12

5x＋

z

25，这是斜率为－

12

5，随z变化的一组平行直线.

z

25为直线在y轴上的截距，当

z

25取得最大值时，z的值就最大．

又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M 时，截距

z

25最大，即z最大．

解方程组

??

?

??7x＋6y＝60，

x－2y＝0，

得

??

?

??x＝6，

y＝3，

则点M的坐标为(6,3)．

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．

点评：本例中x，y∈N，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是整数点组成的．

[跟进训练]

(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216 000[设生产A产品x件，B产品y件，则

?

?

?

?

?1.5x＋0.5y≤150，

x＋0.3y≤90，

5x＋3y≤600，

x≥0，x∈N，

y≥0，y∈N.

目标函数

z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]