二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知识梳理

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.

(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.

(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划的有关概念

[常用结论与微点提醒]

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.

2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z

b

取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z

b

取最大值时，z 取最小值；截距z

b 取最小值时，z 取最大值.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( )

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )

(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )

解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z

b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A .(0，0)

B .(－1，1)

C .(－1，3)

D .(2，－3)

解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C

3.(教材习题原题)不等式组???x －3y ＋6≥0，

x －y ＋2<0

表示的平面区域是( )

解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B

4.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件???x ＋2y ≤1，

2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，

则z ＝3x －2y 的最小值为

________.

解析

不等式组???x ＋2y ≤1，

2x ＋y ≥－1，x －y ≤0

表示的平面区域如图所示.

由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z

2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由???2x ＋y ＝－1，

x ＋2y ＝1解得点A 坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝

－5. 答案 －5

5.(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0，

x －2≤0，x ＋y －2≥0，

则

z ＝y

x 的最大值为

________.

解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0

x －0，表示区

域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由???x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ? ????

12，32，

k OA ＝3

2

12

＝3，∴z max ＝

3.

答案

3

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(

)

(2)若不等式组???x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0

表示的平面区域为三角形，且其面积等于4

3，则

m

的值为( ) A .－3

B .1

C.43

D .3

解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0????x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或???x －2y ＋1≤0，

x ＋y －3≥0.画出平面区

域后，只有C 符合题意.

(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，

由???x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得???x ＝1－m ，

y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由???x ＋2y －2＝0，

x －y ＋2m ＝0，

解得?????x ＝23－4

3m ，y ＝23＋23m ，

即B ? ??

??23－4

3m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋

2m )(1＋m )－12(2＋2m )·

23(1＋m )＝13(1＋m )2

＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)C (2)B

规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.

2.求平面区域的面积：

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.

【训练1】 (2018·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式

组???x －y ≥0，

x ＋y ≥0，y ≥2x －6

表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.

解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为1

4π(2)2＝π2，故所求概率

P ＝π212＝π24

.

答案 π24

考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值

【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件???x ＋3y ≤3，

x －y ≥1，y ≥0，

则z ＝x ＋y 的最

大值为( ) A .0

B .1

C .2

D .3

解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选

D.

答案 D

命题角度2 求非线性目标函数的最值

【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2，

2x －3y ≤9，x ≥0，

则x 2＋y 2的最大值是(

)

A .4

B .9

C .10

D .12

(2)(2018·湘中高三联考)已知实数x ，y 满足???y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，

则x

y 的最小值是

________.

解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3， －1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.

(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又x

y 表示平面区域内的点与原点连

线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x

y 取得最小值，所

以? ????

x y min ＝1k OA

＝32.

答案 (1)C (2)3

2

命题角度3 求参数的值或范围

【例2－3】 (2018·惠州三调)已知实数x ，y 满足：???x ＋3y ＋5≥0，

x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，

若z ＝x ＋2y

的最小值为－4，则实数a ＝( ) A .1

B .2

C .4

D .8

解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ? ?

???－a ，

a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.

答案 B

规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；

(2)y

x 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜

率.

3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.

【训练2】 (1)(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件???x －y ＋3≤0，

3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，

则z ＝x ＋2y

的最大值是( ) A .0

B .2

C .5

D .6

(2)(2018·新乡模拟)若实数x ，y 满足???2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，

且

z ＝mx －y (m <2)的最小值

为－5

2，则m 等于( )

A.54 B .－56

C .1

D.13

解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.

(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，

z ＝mx －y (m <2)的最小值为－5

2，可知目标函数的最优解过点A ，由???y ＝3，2x －y ＋2＝0，

解得A ? ????12，3，

∴－52＝m

2－3，解得m ＝1. 答案 (1)C (2)C

考点三 实际生活中的线性规划问题

【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.

解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其

他限制条件，得线性约束条件为?????1.5x ＋0.5y ≤150，

x ＋0.3y ≤90，

5x ＋3y ≤600，

x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋

，

目标函数z ＝2 100x ＋900y .

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)

.

答案 216 000

规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.

【训练3】 (2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.

解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，

则得?????4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即?????4x ＋y ≤10，

6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.

目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值，解方程组???4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋

100×2＝600. 答案

600

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1.不等式组???y ≤－x ＋2，

y ≤x －1，y ≥0

所表示的平面区域的面积为(

)

A .1

B.12

C.13

D.14

解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由???y ＝－x ＋2，y ＝x －1，

得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14

.

答案

D