马芯兰数学教学法的研究与实践——小学数学教学与创新能力的培养

马芯兰数学教学法的研究与实践——小学数学教学与创新能力的培养

三十八团学校

小学数学备课组

喜军军

2015年9月10日

目录

第一部分理论研究与教学实践

第一章绪论

第一节数学的本质

第二节数学教学与思维发展

第三节马芯兰数学教学法

第二章活动与思维一一抽象思维的起步

第一节对“数位” “计算单位”的认识与“数位筒”的教学

第二节“和” 一一小学生数学认识的第一个基本概念

第三章数学概念教学

第一节数学知识的内在联系及其概括性、结构性

第二节把最基本概念放在中心位置

第三节几个基本概念的教学一一“同样多”、“份”、“倍”等第四章计算技能的形成与训练

第一节计算技能形成的过程

第二节技能训练的特点

第五章知识的迀移与渗透

第一节小学数学知识的网络

第二节备课要从整体来把握教材

第三节迀移的概念及其在数学教学中的运用

第四节渗透是对迀移教学的创新

第六章形象思维的发展

第一节图形教学与形象思维的发展

第二节应用题教学中的线段图教学

第七章小学生数学能力的结构与培养（上）

第一节技能与能力

第二节概念教学是发展数学能力的基础

第三节“问题结构”教学第四节如何进行应用题问题结构教学第八章小学生数学能力的结构与培养（下）

第一节解应用题过程的分析、推理能力

第二节解题灵活性的培养

第三节小学数学能力的结构

第九章小学生数学创新能力的培养

第一节数学创新能力

第二节能力和创新能力

第三节马芯兰把能力培养和创造性思维的培养统一起来

第二部分优秀教学个案选

1、整体与部分的关系

2、100以内数的认识

3、大小数的关系

4、万以内数的认识

5、整体与部分应用题训练

6、9的乘法口诀

7、有余数除法

8、倍的初步认识

9、认识两步应用题

10、长方形和正方形的面积

11、分数的初步认识

12、小数的意义

13、分数单位

14、能被2、3、5整除的数

15、工程问题应用题

16、分数应用题训练

第三部分附录

1、“马芯兰数学教学法推广实验研究”结题报告

2、马芯兰著作目录

3、马芯兰教学实录（光盘）目录后记

前言

马芯兰同志在上世纪70年代末和80年代初，对小学数学进行了两轮创造性的改革实验，实验取得巨大的成功：教学时间明显缩短，教学质量显著提高，学生学习兴趣浓厚，思维和能力得到很大增强。深入的系统的改革，创造了新的数学教学法一一马芯兰数学教学法。1984 年，北京市原教育局发出向马芯兰同志学习的通知，组织人员编写小数数学实验教材，在全市开展推广实验。全国先后有24个省市2700多学校进行推广实验，取得令人瞩目的效果。

马芯兰数学教学法是对小学数学教材、教法的全面创新，内涵丰富，具有鲜明的时代性和前瞻性。马芯兰是把思维放在学科教学的中心的第一人，也是把培养能力和创新能力落实到学科教学的第一人。她改革的主要经验是：第一、以思维为中心，抓概念教学，构建学生良好的知识结构。第二、在基本概念和技能基础上，通过思维训练，培养数学能力和创新能力。

笔者学习、研究马芯兰教学思想二十年，获益匪浅。研究、总结优秀教师教育、教学的先进经验，是有中国特色社会主义教育的重要组成部分。北京市朝阳实验小学非常珍惜马芯兰同志教学改革的宝贵思想财富。教师们都在努力学习她这种在教学中刻苦钻研、不断创新的精神，学习她热爱教育事业、热爱学生、无私奉献的敬业精神。全体数学老师认真学习，努力实践马芯兰数学教学法，并且在马芯兰老师指导下，用了两年多时间撰写了这本书一一《马芯兰数学教学法的研究与实践》。该书比较好地体现了马芯兰数学教学法的精髓。该书的出版，对推进素质教育，实现教育现代化，都有十分重要的意义。

温寒江

第一章绪论

第一节数学的本质

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，事物的数量和空间形式是事物的重要特征。随着生产力、科学技术的不断发展，人们愈来愈多地要求对自然现象作定量的研究，辩证法中“量变质变规律”，就是总结了自然界、社会和思维发展的一条普遍规律。形状与结构是物体的一个基本特征，脑科学的研究认为，形状与结构的视觉分析，在人的视感知中起着首要作用。因此，对客观事物的数量的关系和空间形式的研究，是对现实世界深刻的反映，它对于人类认识自然和改变自然起着十分重要的作用。因此，数学成为学生学习的一门基础课程。

客观具体事物是多种多样、形形色色的，数学的研究舍弃它的具体内容和质的特点，只研究其数量的或空间形式的关系和规律。比如说，三个人、三张桌子、三块布。我们不是去研究三个人是男人或女人，三张桌子是书桌或餐桌，三块布是白布或是花布等等内容，而是研究它们共同的数量“三”，研究这个数和其它数的关系。又如一堵长方形的墙、一块长方形的黑板、一张长方形的纸，我们不去研究这堵墙、这块黑板、这张纸用什么材料做的，它的质地等等，而只是研究“长方形”和其它图形的关系。正是由于数学的这个本质特点，必然导致数学的研究是抽象的，它的推导是逻辑的。

数学的抽象性和逻辑性的特点，容易使人错误地认为数学是一门由纯粹的思维所产生而不是从经验中产生的科学，历史上就有这种错误的思想。我们必须指出，这种认识是错误的。数学是反映现实世界的，它的最初的基本的概念和原理，是以经验为基础的，关于这一点，恩格斯有精辟的论述：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。人们曾用来学习计数，从而用来做第一次算术运算的十个指头，可以是任何别的东西，但是总不是悟性的自由创造物。为了计数，不仅要有可以计数的对象，而且还要有一种在考察对象时撇开对象的其他一切特性而仅仅顾到数目的能力，而这种能力是长期的以经验为依据的历史发展的结果。和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。但是，为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边; 这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线，a 和b与x和y，即常数和变数；只是在最后才得到悟性的自由创造物和想象物，即虚数。甚至数学上各种数量的明显的相互导出，也并不证明它们的先验的来源，而只是证明它们的合理的相互关系。矩形绕自己的一边旋转而得到圆柱形，在产生这样的观念以前，一定先研究了一定数量的现实的矩形和圆柱形，即使它们在形式上是很不完全的。和其他一切科学一样，数学是从人的需要中产生的：是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。但是，正如同在其他一切思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立。社会和国家方面的情形是这样，纯数学也正是这样，它在以后被应用于世界，虽然它是从这个世界得出来的，并且只表现世界的联系形式的一部分一一正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。”（马克思恩格斯选集.第三卷.北京.人民出版社.1973年版.77.78 页）

我们小学数学教学的实践，也充分地证实了上述观点。小学生开始学习数字时，是从实际操作起步的。学习1+1=2,老师指导学生反复地操作桌上的学具，一边操作，一边说。学习数位、计算单位时，老师指导学生操作“数位筒”，也是反反复复地操作的。这种从学生身边事物通过实际操作来认识数的方法，既符合数学本身的特点，也是符合儿童认知规律的。学生学习应用题，数字是从实际中来，然后又用来解决实际

问题。这些都是反映了数学的本质。

第二节数学教学与思维发展

一、什么是思维

什么是思维？思维是人脑对客观事物在脑中的表征，即语言（符号）、表象，进行加工的一个认识过程，它既能反映、揭示事物的基本属性（本质）和事物间的规律性联系，又能预测、计划事物的未来。

定义包括了思维的两个基本属性和它的功能，思维的两个属性是：客观事物的信息，必须由人的头脑内部（体内）来表征，这表征物有语言（符号）、表象，第二，表征物是可操作的，即可加工的，以便人们进行推理并得到结论。思维的功能为：既能反映、揭示事物的基本属性或本质，和事物间规律性的联系，又能预测、计划事物的未来。

尽管人们由于研究上的需要，从不同的角度给思维做了多种不同的分类，但是从上述定义来说，思维基本分类就是抽象思维和形象思维两种，抽象思维以语言、符号作为思维的载体，思维方法主要有分析、综合，比较、分类，归纳、演绎等；形象思维以表象作为思维的载体，思维方法主要有分解、组合，概括、类比，联想、想象等。

两种思维（抽象思维、形象思维）是完全切合数学学科的特点的。数学是研究现实世界中数量的关系及空间形式和关系，一般地说，数的研究（代数、分析) 偏重用抽象思维，而形的研究（各类几何学科）则偏重用形象思维，有的学科，如解析几何是两种思维并用。可见，过去只重抽象思维而忽视形象思维，是不利于数学的学习的，不少学生对学习几何有困难，就是由于忽视图形的训练（形象思维）所致。要发展数学的思维，就要发展两种思维。

二、小学数学教学与思维发展

(一）培养学生数量的观念

当今社会生活，从经济活动、科学技术和日常生活，都离不开数学的运用和表述。从社会经济来说，如国民经济总产值（GDP)、国家综合国力、小康社会的标准等，许多项目都是用数字来表述的。科学技术更离不开数字，如量变质变规律，是指事物数量的缓慢的不显著的变化的积累可引起显著的质的变化，像水的形态随着温度而变化；元素的周期律是指化学元素的性质随着原子序和原子量的变化而呈周期性的变化，就是典型的例子。长江三峡大坝是项世界性大工程，它的规模只用两个数字就可说清楚，一是大坝电机机组数为26,二是每台机组的装机容量为70万千瓦。而人们的日常生活，无论衣、食、住、行处处都要同数字打交道。例如，你去找朋友，要记住他家街道号码、楼房号码和门牌号码，去旅游，要知道路程多远，要了解飞机、火车或汽车票价，以便作比较，如此等

等。

因此，要教育学生喜欢数字，学会用数字来提出问题、说明问题、解决问题，知道一些数字的妙用，记忆一些常用的数字，具有一个数字的头脑。

(二）培养儿童初步的逻辑思维

1、什么是逻辑思维？逻辑思维（形式逻辑）是指人们用概念、判断、推理过程思维的方式、方法，如分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎等。概念是抽象思维基本单位和基础，概念反映事物某一层次的基本属性和本质特征，判断是展现概念的内涵，陈述概念间属性、特征的联系的思维形式。如“我们学校是一所小学”，“玫瑰花是红的”，“张三是一个好学生”等，而要揭示事物间这些特征及其联系，还要进行推理，运用一个判断或几个判断导出新的判断。三段论是推理常用的一种形式，例如，“所有儿童6岁都要上学，这个小孩已6岁了，这个小孩也要上学。”

人们运用概念、判断、推理进行思维的时候，怎样才能做到思路的确定性和前后一致性，而不发生思维的混乱和错误，形式逻辑总结千百年来人们进行推理活动的经

验教训，形成了形式逻辑的三条基本规律：同一律、矛盾律和排中律。

同一律的内容和要求是：任何一个概念（思想）是与其自身的同一，即a=a，就是说，在思维的同一个过程中，必须保持一个概念的确定性，同一性。这是推理过程的基本要求，不然就会造成思想混乱。例如，“浸在酸性溶液中的试纸是红色，这张试纸是红色的，所以这溶液是酸性的”。这个推理是错误的，因为大前提是指浸在溶液中的试纸，而小前提的“这张试纸”没有明确是否在这溶液中浸过，二者不是同一个概念。

矛盾律的内容和要求是：在同一思想过程中，关于统一思维对象的两个相互矛盾的思想不能同时都是真的。（赵志武主编《思维科学研究》，北京，人民大学出版社，1999, 205)即a不能同时等于a又不等于a。就是说，思维的同一过程中，思想必须保持前后一贯，不能自相矛盾。

排中律的内容和要求：在同一思想过程中，关于同一思维对象的两个相互矛盾的思想不能同时都是假的。（同上），就是说对于同一思维对象的两个相互矛盾的思想，不能出现模棱两可，含糊其词的现象，不然就会造成思想上的混乱。

2、小学数学是小学中唯一的一门以培养和发展学生抽象思维（逻辑思维）为主的学科。儿童初入学时，脑子里没有抽象概念，问他们什么是圆的，他们会说，车轮是圆的，皮球是圆的，呼拉圈是圆的，等等，圆的概念是同具体的东西联系在一起的。让他们数数，他们掰着手指头来数。因此，抽象思维训练的起步是缓慢的。小学生入学后用了一个学期的时间学会了20以内的加减，即使如此，他们还没有完全理解加、减的意思。另一方面，数学学科的抽象性和逻辑性的特点，又是非常有利于逻辑思维的培养。因此，应根据学科内容，重点抓住概念教学和解应用题教学来初步培养和发展儿童的抽象思维。

概念是抽象思维的基础，概念教学对于抽象思维的发展有十分重要的意义。通过教学使学生从知识的联系中理解概念，通过概念的运用和训练深化概念，懂得概念的概括性，还要从不同表达形式训练中，掌握概念的确定性、同一性。例如要理解“每份数”的概念，可以通过理解例子“每堆有5个苹果”这句话的含义，引导学生用语言表述出：有一堆就有5个苹果，有5个苹果就是一堆，每堆5个，就是堆堆都是5个。

通过应用题教学，培养和训练学生的逻辑思维。在解题时，通过解题过程中，学生审题、说题意、分析题，培养学生严密的语言；通过解题过程，培养学生逻辑的分析、综合、判断、推理的方法。

(三）发展儿童的形象思维

儿童的思维主要是形象思维，形象思维是以表象为思维材料，通过对表象的加工进行思维的。有材料表明，幼儿在会说话以前，已有简单的形象思维了。幼儿在交往、游戏、观察中，通过视觉、听觉等感觉器官，感知周围的世界，积累了表象，对表象进行了加工，初步发展了形象思维。

脑科学的研究表明，视觉的图形加工早期阶段，是用事物的局部特征，如边、线、角、交叉等来表征的，而后高层次的加工是在不断地提取形状的精细部分。儿童到了6岁，由于儿童神经系统的发展，已能抓住事物较精细的特征，说明形象思维已得到了进一步的发展。

可见，小学生入学时，两种思维发展的基础是不同的。如前所述，抽象思维的发展是从头开始，而形象思维的发展则有了一定基础了。思维（形象思维）的发展和语言的发展是互相促进的。形象思维和语言的发展是儿童6岁入学的基础和科学依据。如果没有基本的形象思维的发展，小学生识字时，能认清字的结构和笔画吗？如果没有基本的形象思维的发展，学生能读懂句子吗？

儿童入学后，形象思维继续发展，语言成为发展形象思维的一门主要学科，数学的图形教学对于发展形象思维起着主要的不可替代的作用。通过大量识别几何形体及其图形和图形间的关系，发展儿童的形象思维和空间观念；通过面积计算和解应用题

中线段图，初步培养数与形结合的数学思维。

(四）儿童创造性思维的发展

传统的数学教学中没有提出对小学生培养创新能力、发展创造性思维的任务。小学生能不能培养创新能力、创造性思维？我们应该如何理解。下面从三方面来加以阐述：

1、人人都有创造力

上世纪三、四十年代以来，许多国家（包括我国）对创造学进行了广泛的研究，取得了很大的成绩，一是澄清了长期以来人们关于创造、创造力的认识，抹去了人们思想中关于创造、创造力的神秘的色彩，而是确立了创造学的两大基本原理。这两个基本原理是：

(1) 创造力人皆有之。除极少数人因患有某些疾病、遗传病或精神不正常者外，每个正常的人都具有创造的潜力。

(2) 创造力可以训练。人的创造力是可以通过教育、训练、学习而激发出来，并且可以得到不断的提高。（温寒江.连瑞庆.构建中小学创新教育体系.北京. 北京科技出版社.2002.37)

人人都有创造力，儿童是不是也具有创造力呢？回答是肯定的。许多创造学家、心理学家都有这方面的论述。例如，德国创造学家海纳特说：“从人天资和使命来看，每个人均具有创造力，他们以不同的方式显示出来”，“一般地认为：①每个人都拥有创造力，只是大小程度各异；②领悟了创造行为的作用方式，在各行各业，几乎都能激发潜在的创造力量；③适宜的教育措施对唤起和促进儿童的创造力，起着关键性作用”（海纳特.创造力.北京.工人出版社.1956)。

杜威在《民主主义和教育》一书中，对怎样认识儿童的“创新”和“创造性” 问题，做了很有价值的论述。他说：“创新以及有发明意义的筹划，乃是用新的眼光来看这种事物，用不同方法来运用这种事物”。“衡量创造性的方法就是用别人没有想到的方法，利用日常习见的事物。新奇的是操作，而不是所用的材料”。关于儿童的创造性，他又进一步说：“一切能考虑到从前没有被认识的事物的思维都是有创造性的。一个三岁的儿童，发现他能利用积木做什么事情；或者一个六岁的儿童，发现他能把五分钱加起来成为什么结果，即使世界上人人都知道这种事情，他也是一个发现者。教师所要做的事，是使每一个学生有机会在有意义的活动中使用它自己的力量、心智、个人的方法，创造性表示有目的或有指导的活动性质。……如果说我们把一个所谓统一的一般方法强加给每一个人，那么除了最杰出的人以外，所有的人都要成为碌碌庸才”。（杜威，民主主义与教育，王丞绪译，北京人民教育出版社，1990，169，169，183—184)他的这些论述，阐明了创新教育，创造性思维的培养，应该而且可以从儿童开始。

2、什么是创造性思维

什么是创造性思维，半个多世纪来，国内外许多专家学者进行了多方面的研究，提出了多种不同说法，我们参照《构建中小学创新教育体系》一书，列举如下：

(1) 创造活动中进行的思维，就是创造性思维；

(2) 创造性思维就是直觉、灵感和发散思维；（鲁克成、罗庆生，创造学教程，北京，中国建筑工业出版社，1997，106)

(3) 创造性思维是指思维的流畅性、变通性、独特性、敏感性、精致性；

(4) 创造性思维包括发散思维和集中思维，两者的有机结合构成了各种水平的创造性思维；（潘法等，试论创造性思维理论中的几个问题，心理科学通讯，1982，5)

(5) 创造性思维乃是种种（包括各种类和类型）思维，特别是形象思维和辩证思维高度结合的结果；（燕国材，论创造性思维及其培养，教育科学研究，1992，1)

(6) 逻辑思维与形象思维、灵感思维三者之间有机结合，形成创造思维的结构模式；（北京市科技干部局，创造学及其应用，北京，科学普及出版社，1998, 82)

(7) 创造思维是两种思维（抽象思维、形象思维）的辩证统一，是更高层次的思维。（杨春鼎，形象思维学，北京，中国科技大学出版社，1997,扉页）

上述七种定义，对于研究创造思维是有一定价值的。而通过各种教学培养创造性思维，既要使两种思维都得到发展，又要在教学法上具有可操作性，以便通过具体措施训练创造性思维。上述7个定义，如果从思维的全面性（两种思维）或从思维的可操作性来分析，有的不够全面，有的可操作性差。我们课题组根据两种思维的思维，分析了创造过程的思维活动，将创造性思维定义为：创作性思维是创造过程中的思维活动，它主要是两种思维（抽象思维、形象思维）新颖的、灵活的、有机的结合。

解释如下：

(1) 新颖的

思维的新颖性指思维的结果，产生新成果、新产品、新作品、新理论、新方案（管理、实验）、新工艺、新方法。这些成果是过去未曾有过，是属于首创的，具有实用的或理论的价值。当然，从培养人才的学校来说，新颖性只是指学生在解答问题、进行实验或科技制作时，不是根据教师讲的和书本上说的，而是自己独立思考得到一种新的方法。如数学课上一题多解找到新的解题方法；写作课上写出文字优美富有新意的文章；实验课上设计出一种新的实验方案；在课外小组活动中做出一个新颖的模型、雕像或其他艺术作品等。

创新就是学生不是根据教师讲的或书本上写的，而是自己独立思考得到的一种新方法、新思路，这在我们教学中是常见的。原苏联教育家赞可夫在一次听课中看到：教师：7+7+7+4+7+7+7=?

学生：46

教师：你怎样得到的？

学生：我先把中间的4看成7,得到7X7=49,实际上4比7少3,要减去3, 得到46。

赞可夫说，这就是创造。

这种学生通过自己独立思考得到的新方法，就是学生创造的方法，几乎每堂课都可以看的，这也验证了前面所说的，每个学生都具有创造潜力。那么，为什么没有得到教师的重视呢？一个重要原因是传统教育中没有培养创新能力的任务，我们还没有把培养创新能力、创造性思维作为一个重要的教学目标，教师还不善于激发、发现和培养学生中这些创新能力的幼芽。

(2) 灵活性

灵活性的特点表现在思维的多角度、多方向以及思维的变通性、发散性和跳

跃性等。

在小学数学中，如何进行思维的灵活性、创造性训练，在马芯兰的数学教学法中，发挥得淋漓尽致，成为她教学改革中最具特色的一个部分，列举如下：

1、掌握基本概念时，让学生说：“从XX想到的……”的训练，

2、掌握应用题中“中间条件”的发散训练，

3、解应用题中的灵活性、创造性训练有：

(1) 自编应用题训练，

(2) 扩题、缩题训练，

(3) —题多变训练，

(4) 一题多解训练，

(5) 逆向思维训练，

(6) 压缩思维训练，等。

(五）培养初步的数学建模的思路

在学科研究中，其成功与否很大程度上取决于科学地运用数学方法（思维方法)，也就是在于对所研究的问题提炼出一个“数学模型”，这个模型既要能反映问题的本质，

又能使问题得到简化，使问题得到解决。这种数学模型主要表述为数学方程，如代数方程、微分方程、积分方程等。牛顿的天才在于他把复杂的

引力问题，表述为一个简单的方程：F=f 1^2

R

数学建模方法的训练，是一种创造性思维的训练。目前一些中学已开始这方面的初步训练，是一种很有意义的数学思维训练。目前小学数学解应用题，是由教材或教师出题（提出问题），学生解题。马芯兰老师对此作了重大改革，变为学生根据条件或问题情境编题，学生分析问题、列式、然后解题。即：

教师提供问题资料（条件）一学生编成问题一分析问题（条件与问题）一列式（数学模型）一解题一检查。

从这里我们可以看到，通过应用题教学可以从小学开始初步培养用数学解决实际问题（数学建模）的思路。

第三节马芯兰数学教学法

一、马芯兰是朝阳实验小学的前身朝阳区幸福村中心小学的老师。1977年秋，她在这所普通小学里，从一年级开始进行小学数学创造性的教学改革，用了三年时间使学生的数学学习质量达到相当于当时五年制小学毕业水平。接着从1980年秋季起，又开始第二轮实验，到1984年夏季，使学生在四年级时的数学学习质量达到相当于六年制毕业水平。在改革教学中，所有的讲课，预习、复习、练习，都是在课内进行，基本上不给学生布置课外作业。学生掌握的基础知识比较巩固，基本技能熟练，思维敏捷，灵活，数学能力强，学习的积极性、主动性都比较高。1980年有关部门为了检查第一次实验班的学习质量曾用小学升初中的数学试题，让实验班（当时为三年级）学生做，结果全班平均成绩达93分。1984年，学区用朝阳区小学毕业升初中数学试题，测验了第二个实验班，结果全班42人平均94分。两轮改革实验都取得了非常明显的成绩。

改革的巨大成功，受到市区教育行政部门领导充分的肯定和重视。1984年秋，北京市教育局发出《关于向马芯兰同志学习的通知》，通知中指出：“马芯兰同志自1967年走上小学教师工作岗位以来，一直热爱教育事业，刻苦钻研业务，从一九七七年起，特别是一九八0年以来，她在小学数学教学中，按照儿童的认识规律，进行了教材教法的改革，创造了新的数学教学法，较好地解决了学生课业负担过重的问题，促进了学生德、智、体全面发展，为小学教学改革做出了贡献。

马芯兰同志的探索精神和改革实践为全市小学教师在教学改革方面树立了榜样。为此，我们号召全市小学教师向马芯兰同志学习。

(一）学习马芯兰同志对教育事业的强烈责任感和锐意进取、勇于探索、立志改革的精神。

(二）学习马芯兰同志刻苦钻研教育理论，潜心研读教材的精神和脚踏实地、一丝不苟、反复试验的科学态度及工作作风。

(三）学习马芯兰同志克服困难、勇挑重担、忘我工作的共产主义精神”。

二、马芯兰老师根据儿童年龄特征和数学知识的特点，深入改革教材教法，

创造了“新的数学教学法”一一马芯兰数学教学法。我们经过学习与研究，马芯兰数学教学法，有下面几个主要特色：

(一）以思维为中心，抓概念教学，构建学生良好的知识结构。

数学概念反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性，它是思维的形式。我们知道，概念的形成、理解和运用，都是思维加工的结果，每一个概念都蕴含着思维方法。但是人们往往只重视思维的结果一一概念的本身，而忽视它的过程一一思维方法。马老师教学的最大特点，就是不停留在把知识（概念）作为结果，而是充分揭示概念所蕴含的思维方法、思维过程，紧紧地抓住教学的本质，抓住思维训练、思维过

程进行概念教学。

1、抓住基本概念教学，把最基本的起决定作用的概念、法则、原理放在教学的中心位置。概念分基本概念和一般概念，基本概念概括性强，它蕴含的思维方法，可以运用（迀移）到具有共同思维方法的其他概念（一般概念）中去，使后学的知识变得容易接受和理解，这样就可以起举一反三、以一带十的作用。例如：“份”的概念是乘除知识、倍的知识、分数知识、比和比例知识及解答一些较复杂的分数应用题的基础。从二年级乘法意义的认识开始建立“份”的概念。在学习后续有关知识时，都是把“份”放在核心地位，不断理解、运用、深化，从而对“份”的认识进一步发展，一直学到小学数学知识的最后阶段。整个过程中，“份” 一直起作用。

2. 抓知识间内在联系，构建学生的知识结构。

数学知识的内在联系是紧密的，一般形成一个结构严密的整体。马老师在教学中注意从整体结构中研究每一局部知识在结构中的地位和作用以及其间的内在联系。她善于从思维因素（思维材料、思维方法）中来把握这种内在联系，使知识形成有纲有目、有主有次、纲目清楚的结构一一知识的网络，从而给迀移创造了条件。

如：以“和”的概念，建立知识的网络。“和”这个概念是小学数学知识的核心。在学生学习“10以内数的认识”时，就开始以渗透的手段逐步建立“和” 的概念。通过渗透“和”的概念，学习“10以内数的认识”、“加、减计算”、“理解加减关系”、“加减求未知数”、“简单应用题的结构”、“弄清求和、求剩余应用题结构”。当出现两个或两个以上加数都一样的时候（5+4 5+5 5+5+5)开始

认识“相同加数”、“相同加数个数”，过渡到学习“乘法意义”。以此为概念的核心理解乘法口诀及其意义，学习有关乘、除法应用题及计算。

从“和”的概念中还可以引出两个不等的数量相比较而出现的“同样多”、“差”的概念，较大数是由和较小数（同样多的数）还有比较小数多的数合并起来的，“较小数”、“差”是相当于较大数里的一部分。同时理解有关“差”的应用题的数量关系。

若“差”出现了和较小数同样多，则引出“倍”这一核心概念。较大数里面有若干和较小数同样多的数，较小数为一倍，较大数是较小数的若干倍。又以“倍” 为核心理解“倍”的应用题的数量关系。

反之，以较大数为一倍数，较小数是较大数若干份中的几份，较小数是较大数的几分之几。这样以“份”、“分数意义”为核心学习“分数应用题”、“计算”、“百分数”、“比的应用题”、“比例应用题”。

这样就以“和”的概念为核心把小学数学的大部分知识连成有机的网络。

3.通过知识的“渗透”，促进知识的迀移。

我们《发展形象思维的理论研究和教学实验课题组》研究认为，新旧两种知识、经验（即两种学习情境)，若具有共同的思维材料或共同的思维规律、方法，就能实现迀移；如果共同的思维材料、规律、方法越多，迀移的程度就越大。所以知识的迀移是通过思维实现的。

数学教材虽然知识联系紧密，但是从思维来说，有的新旧知识之间存在思维不连贯、可操作性差的缺点，成为学生学习的难点。马老师创造了提前进行适当的知识或方法的“渗透”或铺垫，给新旧知识搭建思维的桥梁，促进知识顺利迀移，教学难点也就不存在了。

由此可见，马老师在概念教学、知识内在联系和知识的渗透中，突出了以思维为中心这条主线。

(二）在基本概念和技能基础上，通过思维训练，培养数学能力和创新能力。

一般地说，数学能力是指在一定问题情境中，运用数学方法，提出问题、分析问题、解决问题的能力。“在科学研究中成功地运用数学方法的关键，就在于针对所研究的问题提炼出一个适合的数学模型，这个模型既能反映问题的本质，又能使问题得到

必要的简化，以利于展开数学推导。”（中国大百科全书?哲学中国大百科全书出版社.1987.上海.822页）

马老师在数学教学改革中，根据数学这门学科的特点，在基础知识、技能基础上，通过高水平的、综合的思维训练，创造性的形成一套培养数学能力和创新能力的途径和方法。这套方法在国内是首创，在中小学中具有普遍意义，是马芯兰教学法中最具特色的部分。其主要途径有：

1、在获取彳目息方面

在学生通过读题，了解问题信息以后，学生首先要能识别问题，了解问题类型、性质；接着能掌握数学问题的结构。

①把解应用题和基本概念教学紧密结合起来，进行思维概括化、类化的训练，使学生读了题目，就能识别问题类型。

马老师把小学11类应用题，从思维方法特点上，归纳为四大类问题。即把教材中属于每份数、份数和总数的数量关系的“求相同加数的和”、“等分除”和“包含除”的内容编为一“块”；把原教材中属于部分数与总数关系的“求和” “求剩余”的内容编为一“块”；把属于两数差关系的“求两个数相差多少”、“求比一个数多几的数”和“求比一个数少几的数”的内容编为一“块”；把属于倍数关系的“求一个数的几倍是多少”、“求一个数是另一个数的几倍”和“求一倍数”的内容编为一“块”。然后以基本的概念、法则为中心，一块一块地进行教学。例如，“求两个数相差多少”、“求比一个数多几的数”和“求比一个数少几的数”这一小块为内容，“同样多”和“差”的概念就是学习这三大类题的基本概念。

这种把应用题归结为四大类，突出基本概念教学，把基本概念和解题训练结合起来，就是解题的思维概括训练。马老师还在二步应题和多步应题中，进行一题多变的系统训练，和问题变式的系列训练，这种系统归类训练，大大提高学生识别问题的能力。

②通过思维训练，培养学生掌握数学问题结构

什么叫数学问题结构？通常人们在解答一个问题之前必须先了解这个问题，分析这个问题，找出问题的已知条件和要求，初步的研究条件之间的关系、条件与问题之间的关系，抓住问题中的具有本质意义的那些关系，这就是抓住了“数学问题的结构”。“能力强的学生拿到一道数学题时，一眼就看到问题的结构，就能把已知条件和问题联系起来。”马老师在教一步应用题时，就着重抓住了数学问题结构的训练，如画线段图的训练；补充问题与条件的训练；题意不变，叙述方法改变的训练；自编应用题的训练；根据问题说出所需条件的训练；对比训练等。在讲两步应用题时，重点上了两步应用题的“结构课”，同时进行变直接条件为间接条件，变换问题，让学生扩题、缩题、拆题、看问题添条件等五个方面的训练。讲多步复合应用题时，又进行了多步应用题的“发散思维课”及相应的各种训练。通过一系列的教学和训练，使每个学生掌握了分析、研究应用题结构的能力，取得了明显的效果。

2、在分析问题，解决问题方面

①解题思路训练。应用题之所以难学，问题本身一般比较复杂是一个原因，但从教学法来说，更重要的是解题思路（思维过程的顺序、步骤与方法）缺少应有的训练，使许多学生拿到问题无从下手，不知怎样去想。对于这一点，我们只要把它同计算题作一比较就清楚了。解计算题时，学生根据运算法则，计算的顺序、运算的步骤都是清清楚楚的，学生思维过程同运算顺序也是一致的，计算的每一步都书写出来，看得见，摸得着，计算的对与错一目了然，通过训练学生容易掌握。而解应用题则不同，学生要了解题意，分析条件与条件之间，条件与问题之间各种数量关系，要分析、综合，找到解题的途径与方法。从审题到列出式子，思维过程少则几步，多则几十步，都是用内部语言的形式进行的。这种内部语言进行的思维过程，教师既无从知道它是

否合理、正确、有无错误，又没有加以训练。对于这样一个前人没能很好解决的关键性问题，马芯兰在解题教学中设计了一套教学方法，使学生的解题思维过程由内隐到外化，有计划有步骤的训练学生的解题思路，这是对应用题教学的一个重大突破。下面是她的训练方法。

读题。通过读题使学生理解题中的情节和事理，知道题中讲的是什么事；已知条件中，哪个是直接条件，哪个是间接条件，问题是什么，条件与条件，条件与问题是什么关系。读题的过程，就是了解题意的过程。

画批。就是把题中的重点词、句和思维分析、判断的结果，用文字、符号（箭头、着重点、圆圈、横直线、曲线等）表示出来，其主要的目的是为了了解每个数量的意义及数量间的内在联系。

画图。一般是画线段图，用线段把题中所讲的各个数量及其相互关系表示出来。直观地、形象地反映应用题的数量关系。

说理。说理就是在分析解答应用题的过程中，让学生用清楚、简洁、准确的语言，说出自己分析解答应用题的思维过程及相应的道理。

通过读、写、画、说，学生把解题的内在思维过程，变为外在的表现形式，这就是非常有利于训练，培养学生解题过程思维的有序性和合理性，有利于培养学生的逻辑思维能力。

②思维灵活性、创造性的训练

在解题思路训练基础上，对问题的分析、综合、联想、想象等思维方法进行综合的思维训练，采取联想，发散训练等方法，培养思维的灵活性、创造性。

联想是指由一个事物想到另一事物，由另一事物想到又一事物的心理过程。丰富的联想，能使思维更加活跃，从多方面多角度去思考问题。发散思维训练，是一种自由联想，就是培养学生从不同角度、不同方向、不同途径去寻找多种可能性，培养学生从正向思维转向逆向思维，从一种心理运算转到另一种性质不同的心理运算，从而有效地找到新颖的、最佳的方法。所以说，发散思维训练是培养思维灵活性、创造性的好方法。运用发散的思维训练，可以举一反三、触类旁通，培养学生思维的独立性、变通性和流畅性。

马老师通过让学生自编应用题、扩题、缩题、补充问题条件、一题多解、一题多变、上发散思维课等多种方式，进行思维综合训练。

3、创新能力的培养

马老师根据几十年培养数学能力的经验，对小学生创造性学习的概念、特征及其形成与发展进行研究与实践，把能力的发展与创新能力的培养联系起来。

前面说过，创造性思维是创造过程中的思维活动，它主要是两种思维（抽象思维和形象思维）新颖的灵活的有机的结合。我们认为，在学生能力形成中，那些由学生独立思考发现的具有新颖性、灵活性的方法、成果，就是一种创新能力。

因此，培养能力的方法的同时，马老师开辟了一条由培养能力到创新能力的途径，这就是：

三、我们学习马芯兰数学教学法，不仅要学习她在数学改革中创造性的经验，还要学习她那种不断创新的精神，刻苦钻研的精神和热爱教育事业，热爱学生的敬业精神。

(1)不断创新的精神。就以马老师教改的两条主要经验来说，教知识的基本结构和培养数学能力，就是两项很可贵的改革创新。为什么这样说，有什么根据呢?教知识的基本结构是美国心理学家布鲁纳在1959年提出来的，他在《教育过程》一书中在讲了

教授基本结构的内涵和它的意义之后说，“但关于如何有效地教授基本结构或者如何提供基本结构的学习条件等问题，还是知道得太少”。然而，如何教知识的基本结构问题，马老师在70年代末80年代初，在小学数学这门学科中很好地解决了。外国专家知道不多的事情，中国的老师在一门学科中解决了，这不是创造吗？心理学家克鲁切茨基用了11年的实验与研究，写了一本叫《中小学数学能力心理学》很有学术价值的书，他提出了一个数学能力的结构。在书的序言中，他说她只研究了什么是数学能力，至于如何培养数学能力，他准备以后另作研究。这本书是70年代写的。这也说明，心理学家正要研究如何培养数学能力的问题，而马老师在她的教改实验中已经解决，这是多么可贵的改革经验啊！

(2)刻苦钻研的精神。三十年来，马老师从来没有间断过学习。开始教书时，正是文化大革命，她没有参加派战，而是找来各种各样的算术书，埋头读书，做题，作了各种各样的题，如《算术800题之解》，《算术1000题之解》，《算术大全》，所以她有很熟练的解题能力，以至于有的数学问题她一眼就能猜到答案。80年代以后，她学习教育理论、心理学、教育心理学、儿童心理学、智力心理学、一本教学论，她反反复复的读了三四年。她又是什么书都读，文艺作品、科学方法的书，还有许多外地的数学杂志。读书是她最大的乐趣，星期日也很少休息，一门心思就是看书，外面的花，什么时候开，什么时候谢，她从来都不关心，也不知道。她琢磨问题，学生学习有问题，她不责怪学生，总是想怎样改进自己的教学。有时她刚一上完课，如果发现有更好的方法，下次课就改了。有的问题，能琢磨好几年，在第一轮实验中，教一年级有一个问题，她就想了六年，这次教一年级才解决。正是这种刻苦钻研的精神，使她的工作精益求精，不断创新。

(3)热爱教育事业，热爱学生，是做一个教师的好品质，马老师具有这样的品质。党的教育事业，对老一辈革命家的崇敬之情，使她爱上了教育事业。长期以来她每天第一个来到学校，也是最后离开学校。她觉得和孩子一起是最幸福的，她心理总是想着她教的每一个孩子。谁没有吃早饭，睡夜里没睡好觉，她就把家长请来，把问题解决了才放心。她讲课时，哪个学生不明白，她只要看她的眼神，看她怎样做练习，她就知道了。每当学生毕业离开她时，她总是暗暗地流泪。她刚开始教书，当看到学生做作业那种吃力的情况、考试那种紧张情况，促使她下决心，一定要把书教好，不让学生学习这样吃力和紧张。

所以热爱教育事业，热爱学生，是她刻苦学习，不断创新的动力。

第二章活动与思维——抽象思维的进步

活动与思维抽象思维的起步

当今国际竞争日益转变为人才的竞争，而人才的竞争也带动着教育的竞争。作为新一代的教师，如何更好地掌握先进的教育思想和教育理念，与数学学科更好的进行整合就成为了我们急需研究和思考的内容，而马芯兰教学法却解决了这些问题。马芯兰教学法之所以被越来越多的人所接受，就是因为它所包含的先进的教学理念能够在数学教学中得到相当完美的体现和应用。事实上，每位学生的差异性都是我们不容忽视的重要问题，但就是因为这样，马芯兰教学法就很好的解决了这个问题，让每一位学习数学的学生都有所收获，每位学生都能按照某种方法，将抽象而枯燥的数学概念形象地编织起来，使他们相互联系，将数学知识从最根本的概念为基础，编制成一张美丽的大网，使知识之间层层相扣，并因此使学生乐于主动的去探索生活中的数学，使每一位学生都亲身的体会到数学知识本身的魅力所在，这也就是马芯兰教学法的精髓之一。数学知识博大精深，而马芯兰教学法所体现的教学理念也绝非我们一次就能够一次讲清的，本章仅就马芯兰教法中的“和”这一概念进行简单的展示，希望能得到您的共鸣，同时，我们也可共同切磋，让马芯兰教学法能运用到更多的教学中去，使更多的学生和教师可以从中受益，以便让我们可以站在一个更高的角度去思考与研究，让我们教育界出现更多的奇迹。

第一节对“数位”“计数单位”的认识与“数位筒”的教学

在我们的教育家前辈不断的探索与实践中，我们今天得以站在巨人的肩膀上俯瞰世界，然而我们又在想着：从现在开始我们要怎样做，才能让我们的下一辈们能站在我们的肩膀上俯瞰这个世界呢？

一、社会的发展给我们带来了新的挑战

皮亚杰（Piaget)认为，入学前的儿童对数学知识知之甚少。在过去的二三十年中，许多小学教师在儿童数学教学方式方面都深受皮亚杰的影响。但是，格尔曼（Gelman)和加利斯泰尔（Gallistel)等人的研究表明，学前儿童甚至只有两岁的儿童对数字已经有许多的了解。如果给那些学前儿童呈现比皮亚杰所设计的更为合适的任务，他们便能表现出一些对计算的理解能力。

有一位外国年轻的数学家曾这样的形容：数学的困难就在于“它与什么都无关”。而我们教师的任务就是要使它与生活相关，将较为抽象的理论与我们的生活相关，运用我们所拥有的各学科的知识，以及在我们所掌握的经验的指导下促进数学和我们现有认知水平的“亲近感”，使学生在学习过程中感到轻松，因为数学就在他们的身边。这是对我们的考验，更是挑战。

二、理论联系实际的教学

马芯兰教学法中“数位筒”的教学就是使学生通过动手的操作、眼睛的观察和语言的搭配，在五种感官同时作用的情况下，将“数位” “计数单位”的概念通过“数位筒”的操作使学生深入的理解其中的含义，突出了“数位”和“计数单位”的中心地位。其中具体体现在以下几个方面：

(一）是对“计数单位”的渗透。

学生入学前就已经知道了不少数，他们对许多的事都非常的有兴趣，但这只是他们凭生活经验认识的数，只是一种非常“肤浅”的表层认识，我们的目标就是让这些数更加丰富起来，让那些我们大人看起来非常抽象的东西在孩子的脑子中逐渐演变成丰富而又极富魅力的“数的内涵”，较之以往那种枯燥与单一的教学内容和教学模式，我们就是这样的不同：

例如：我们曾这样的领着学生摆学具“小棒”：教师请大家1根1根的摆小棒，一共摆3根小棒，学生边摆边说；个位筒里有1根小棒表示1个一，是1; 个位筒里有2根小棒表示2个一，是二，学生边操作边体会。较之以往的教学只有教师的“摆”、学生的看和机械地说，而这种教学方式只调动了学生的两种感官：即视、听觉，而我们所看到的，这看似简单的学生的操作却使学生不仅调动了视、听、触觉共同发挥出作用，同时进行语言的描述，使各个感官不再是简单、机械地模仿，而是各感官相互作用进行记忆。这更加促进了学生学习的主动性、积极性，从而真正让学生通过自己的体验去获得第一手的材料，使学生能够体会到概念的真正含义，将抽象的理论自然的与孩子的实际联系起来，同时更加深了认识。在此基础上再提出问题：这是几根小棒?学生回答：3根小棒。“对了，非常好！”。然后，再运用“合作学习”的方式进行同学之间的小组合作式的学习，通过各种方法激发学生的自我探究的兴趣，让学生自己去挖掘和体会“数学的魅力”。较之以往，数位筒的教学使学生真正成为了教学的主体、学习的主人。

而无论是我们现在所提倡的合作学习，还是近几年所提倡的快乐教学。他们可能都是一种非常值得我们借鉴的一种课堂教学模式，它的本质都是一种方式的、形式的东西，而并非教学中我们要寻求的“根”，我们要寻求的“根”就是数学知识本身，它在孩子的生命中所能发挥出的魅力，数学知识本身的魅力一样，如同钻石光芒股的璀璨，而非仅仅只是那表面的一层。

在数位筒教学中，我们的教师请大家摆3根小棒，先摆1根、再摆1根。教师问：现在摆了几个1根？（2个1根)。再摆1根，问：现在摆了几个1根?(3 个1根)3个1根是几根？（3根）

这部分教材的意图是学习“3”的同时，渗透计数单位“1”。即3在个位上所表示的是3个计数单位，而通过数位筒的教学，个位筒里的1根小棒所标示的是1个计数单位，而3根小棒就可以让学生深刻的体会到它所表示的3个计数单位，在动手操作的过程中同时通过语言加深理解：个位筒里的1根小棒表示的是1个一，2根小棒表不的就是2个一，那么3根小棒就表不的是3个一。这也为后面的学习打下了基础，比如：对“数位”及“进率”的概念的渗透、个位筒里的(1根1根的)小棒都表示的是几个一，而十位筒里的(1捆1捆的)小棒则都表示的是几个十(10根小棒是1捆，也就是10个一是1个十)在反复的说与操作的过程中，学生就可以通过不断的动手操作与身体其它各器官的配合，在学生的研究过程中逐渐体会到相邻两个计数单位之间的十进关系，以及“数位”的概念，虽然学生还不能准确地说出这些抽象的概念，但是我们却引导他掌握了这些概念的精髓。同时，“数位筒”的教学又在不知不觉中对后面“份”的概念的教学起到了非常微妙的作用，比如数位筒中：1在不同的数位筒中有着不同的意义，比如: 1在个位上表示1个一，1在十位上表示1个十，1在百位上则表示1个百，从文字上看，我们并不能深刻体会到这一点，然而，“数位筒”的教学中我们却可以看到其中的奥秘，当个位筒里的9根小棒再添上一根时，小棒所放的位置则要发生改变：10根小棒就被捆成了一捆放进了十位筒里（在这里又渗透了集合的概念，也就是说此时的1就代表了一个整体)，那么这时十位筒里的这个“1”：1 捆一一所对应的就是“10”根小棒。从份的概念来分析，就是把这“10”根小棒捆成1捆，也就可以看成10根小棒为1份，就这样，我们通过数位筒的教学与我们过去所掌握的实际的知识、概念相关联了起来：将“数位”“计数单位”的概念与份的概念通过迀移的思想又将知识的网络扩展开来。再往上说则是量与率的对应。

(二）就是要注重“10的认识”这部分的操作过程。

究其原因我是这样理解的：

1、“10的认识”是初步建立“数位” “计数单位”的概念的关键，学生通过1个十和10个一的转化过程，体会“数位”“计数单位”概念的实际意义，从而初步建立“数位”、“计数单位”的概念，说的过程就是对算理的领悟的过程：学生通过自己的操作深刻体会了个位筒中小棒所代表的含义后，教师在新的一层概念进行研究之前提出了：在数位筒中有了9根小棒后，如果我们再添上1根小棒，应该怎么办呢？于是，同学们在新的问题，即知识本身所散发出的魅力的吸引下，在每个学生的个性的求知欲的带动下，学生通过具体的操作去体会：要把个位筒里的9根小棒拿出来和我手里的1根小棒合并起来，捆成一捆，这时通过各个感官的体验，使学生真正去从自己的实践中获取了第一手材料，而这正是最最深刻，又最为可贵的学生的经验，接着继续操作：捆成的一捆的小棒就此就要放进一个新的数位筒一一十位筒中，同时这一捆所代表的意义也发生了质的变化，即：十位筒中的一捆表示的是1个十，于是，我们可以看到：一个较为抽象的数学概念通过“数位筒”的操作轻而易举的将理论与实际操作相联系起来，使学生在“数位筒”的帮助下，自己“研究”并“总结”出了要学习的概念，对！这正是学生为主体的数学教学！！；

2、“操作”的过程就是概念深化的过程、是孩子由感知到思维内化的转化

过程；

3、动手操作的过程同时说的过程使学生调用所有感官，在丰富知识的内涵的铺垫下，使学生逐渐理解其中的算理，同时培养了学生的逻辑思维能力及其各器官的协调能力，以使记忆效果达到最好。

“数位筒”的教学是马芯兰老师的创造中的一个创造，更精确的说是一个整体中的一部分，因为这一创造又与其他各创造又有着缜密的联系，像一张大网一样使每个孩子们都学会织下自己的那张网，并将这张大网运用自如，然后就像那句我们所崇尚的一句话说的那样；受之鱼，不如授之以渔。(三）在迀移中深化最基本概念。

通过20以内数的认识和加减法计算，学生已经对“数位”“计数单位”有了比较深入的理解，初步具备了运用最基本概念的迀移的能力。在学习“100以内数的认识”、“万以内数的认识”以及“多位数的认识”中，甚至后面的小数的意义和性质，在不断的迀移中，“数位”、“计数单位”这两个核心概念都进一步得到了深化。

例如在教学“小数的意义”内容时，教师运用迀移原理从整数引入：把一千平均分成10份，那么10份中的1份是多少呢？这一百正是和千位相邻的一个较低的计数单位；再把一百平均分成10份这时，教师设疑：

1、你还发现什么了？你能总结出一条规律吗？学生回答：把一个较高的计数单位平均分成10份，10份中的1份是十分之一，我想它应该是一个较低的计数单位。

2、“一”还能再分吗？学生回答：能。把“一”平均分成10份，10份中的1份是十分之一，我想它

应该是和“一”相邻的一个较高的计数单位。那么十分之一所在的数位叫什么位？是十分位，还是十分之一位就会引起学生的争论。学生自己在进行其概念的迀移，并和现有的知识相联系得出结论。

3、接下来十分位右边是什么位？学生可以从十位右边是百位迀移过来，也可以把1/10再平均分成10份，10份中的1份是1/10的1/10,对于“1”而言就是1/100。同学们在研究中饶有兴趣地继续向下推导：把百分之一平均分成10 份，10份中的1份对于“1”而言是1/1000,那千分之一必定是和百分之一相邻

的较低的计数单位这种课堂教学设计使学生始终处于知识探究的主体，

从最基础的概念出发，在学生已有经验的基础上，抓住基本概念，进行知识的迀移，从而自己找到问题的答案，得出与原有的概念紧密联系的新的概念。

看！知识间的“网”就是这样织起的！

三、“数位简”的教学为合作式学习打下了良好的基础。

“数位筒”的教学首先教师就站在师生平等的高度来共同的探讨问题，操作中教师重视每一位同学的探索过程，而同学之间既有利于个性的发展(每一位同学一边说一边摆)，充分发挥了每一个人的个性，在师生之间的共同的研讨气氛下，学生自己形成了小组，来谈讨问题。

合作是为了能发挥比个性更多的东西。在“10以内数的认识”“20以内数的认识”后，学生已经对“数位”“计数单位”有了一定的基础，在学习“100以内数的认识”甚至更高时，在教师的指引下，学生们就自己学会了知识间的迀移，到“万以内数的认识”时，学生就可以逐渐的开始同学之间的交流与合作，同学们就很容易找到自己在组内的位置。

在传统的课堂教学活动中，教师是处于课堂时空结构中心的权威，即：大部分的课堂时间是教师在滔滔不绝讲授，进行单项的信息灌输；在纵横交错的“秧田式”课桌摆放模式中，只有教师能够与所有学生进行目光交流，位于众人关注的核心位置。而在“数位筒”的教学中自然的突出学生的主体地位，更多的课堂时间使学生在互相交流，进行思维的碰创；学生在小组中面面相对，每个小组都有自己的视线聚焦点，课堂的视觉中心由一个变成了多个。这种课堂时空结构的改变是教师从传统的“法官”、“导演”等权威向“顾问”、“调查员”等合作伙伴转变。所以说“数位筒”的教学正是为我们提供了一个民主合作探究的环境，同时也更增加了学生对数学知识的兴趣。

数学是一门抽象性极强的学科，正因为如此，它在发展学生逻辑思维方面具有特殊的作用，然而小学生的思维却是具体的，表象化的。研究如何把这两个不同的特点统一起来，处理好他们的关系，是一位现代的数学教师应该认真探索和思考的。

在人类智慧的宇宙中，我们不断的探索着，我们经历了无数次的洗礼：从夸美纽斯的“学生功课排列的整体性教学”到今天的：“教师的主导性教学”，先辈们一直在努力的将思维的闪光留下，形成我们人类最智慧的思维之光。我们今天所看到的马芯兰老师的“数位筒”的教学所折射出的正是我们最智慧的体现，通过它我们可以看到：一张连绵不断的多彩的知识之网，更准确的应该说是一种科学的思维脉络在学生自己的操作中被深深的渗透到孩子的思维中，渗透到每一个小小的思维之光中，使我们的每一次思维与现实的碰创都能编制出美丽的网络，使我们不会感到知识间只是独立而单调的聚集，而是彼此相互关联，相互作用，互相促进，从而使我们的思维之火不再局限于“网络”的定势中，而是要成为创造之火。

第二节“和” 一一小学生数学认识的第一个基本概念

数学概念作为揭示现实世界的数量关系（形式）和空间形式（关系）的本质属性的思维形式，是构成数学科学体系的基础，是人进行数学思维的基本元素。没有数学概念就无法构成数学知识体系，没有数学概念就无法进行数学思维。

“和”的概念是小学生认识的第一个基本概念。据统计，小学数学知识中有540多个概念，为什么把“和”的概念作为小学生认识的第一个基本概念呢？马芯兰老师通过多年的潜心研究，从小学数学540多个概念中抓住十几个最基本，起决定作用的概念作为知识网络中的主概念，把它们放在中心位置，以此来将其他概念统帅起来，从而确立了知识网络中的概念从属关系。而她又特别强调“‘和’ 这个概念是知识的核心的核心”，并在教学和研究中给予了高度的重视。那么“和” 的概念为什么被称为“知识的核心的核心”呢？就让我们带着上面两个问题，对“和” 一一小学生认识的第一个基本概念进行一下分析和研究，并谈一谈实际教学中，建立“和”的概念和深化认识“和”概念的一些具体做法。

一、把“和”的概念作为小学生认识的第一个基本概念，符合儿童已有的知识经验和智力水平。

结合小学数学教学内容，培养学生的抽象思维能力是小学数学学科教学中最主要的任务。所谓抽象思维是指人们运用概念、判断、推理过程的思维的方式、方法。（如分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎等）。而概念是抽象思维的起点，是人们进行判断（命题）和推理的基本要素。它是思维形式的基本单位，由概念组成命题，再由命题组成推理。没有概念，就无法进行抽象思维活动。

一年级小学生的抽象思维发展处于起步阶段，从小学数学知识的总体来看，新入学的儿童几乎没有积累必要的可供抽象思维的数学概念。那么，我们应该从帮助学生掌握哪一个概念开始呢？这要取决于他们已有的知识经验和智力水平。而“和”的概念就符合这样的要求。

(一）“和”的概念与“部分和整体”。

“和”的概念实质上体现了部分和整体的关系，我们可以通过研究部分与整体的关系来研究“和”。事实上，马芯兰老师把对“和”概念的研究蕴涵在了对部分与整体关系的研究之中。实际教学中，研究“和”的概念就具体表现为研究部分与整体的关系。明确这一点对于理解为什么把“和”作为小学生认识的第一

个基本概念非常重要：

首先，由于日常有“分”“合”东西的经验，学生在入学前已经积累了大量有关“部分”和“整体”的知识经验，实际教学中，教师只要从学生已有的知识经验出发，引导他们将知识、经验进行整理和提炼，是很容易使他们理解、掌握“部分”、“整体”的含义和它们之间的关系的。多年的教学实践充分证明了这一点。而“和”的概念就在这个过程中自然地建立起来了。这说明帮助学生掌握“和”的概念，符合现阶段学生的知识经验和智力水平。

其次，由于从学生的角度来看，“部分”和“整体”较“和”更加突出强调了“关系”，所以，用“整体”和“部分”来表示“和”和组成它的各个数除了会显得更加具体以外，还更便于学生认识到相关知识之间的联系，可以大大提高学习的效率。例如在加、减法关系的教学中，加数+加数=和，和-其中的一个加数=另一个加数，被减数-减数=差，被减数-差=减数、减数+差=被减数，这几个看起来抽象、烦琐的加、减法关系式，如果我们用部分与整体的关系来理解它们，就可以简单地概括为：把两个部分合并起来是整体，而从这个整体中去掉其中的一个部分就必定是另一个部分。这样一来，关系式之间相互转化的道理就变得简单而容易理解了。像这样用“部分”与“整体”将“和”具体化，通过认识“部分” “整体”研究它们之间的关系来认识“和”研究“和”的教学方法符合小学生，特别是低年级小学生的认知特点和思维水平。这也就不难理解，为什么加、减法的关系在传统教学中要用三、四年的时间才能完成，而运用马芯兰教学法，一年级学生就可以理解了。同时，由于学生理解的是关系式生成的道理，因而就没有必要再花大量的时间去背关系式了，大大缩短了学生学习的时间，提高了学习的效率。

综上所述可以看出：把“和”的概念作为小学生认识的第一个基本概念，符合儿童已有的知识经验和智力水平；通过研究部分与整体以及它们之间的关系来建立“和”的概念，是教学的途径。

传统教学里，在进行加、减法关系的教学时也引入了部分与整体，但是与传统教学不同的是，马芯兰老师没有把部分与整体以及它们之间的关系仅仅看作是这些知识的附属品，而把它放在了一个极其重要的地位，给予了高度的重视。实际教学中，从“10以内数的认识”到“求和求剩余应用题”，对部分与整体关系的研究贯穿了一年级教学的始终。

(二）建立“和”的概念。

在实际建立“和”概念的教学过程中，密切联系学生的生活实际经验，重视对大量实物进行操作，重视手势和语言的协同作用是教学的两个重要特点。下面我们以这两个特点为主线来谈一谈实际教学中，建立“和”概念的具体作法。

1.在对大量实物进行分、合的实际操作中感知“和”。

在教学中，我们从认数开始就相对集中地让学生对大量的实物进行分与合的操作，帮助学生提取并整理有关的生活经验，积累大量有关“部分”与“整体” 以及它们之间关系的个别表象，为建立“和”的概念做好思维材料上的准备。

概念是反映对象的本质属性的思维形式。而本质属性一般要通过比较、分析、综合、抽象、概括等思维方法对感性材料进行加工才能获得。由此可以看出，概念既是思维的起点，同时也是思维的结晶。和进行其他的思维活动一样，建立概念也是要以大量丰富的思维材料（即感知觉与已有的知识经验）和思维的加工为两个基本条件的，但是首先是要有大量丰富的思维材料。

一切思维材料都来自感官的活动。毛泽东在《人的正确思想是从那里来的？》一文中说：“无数客观外界的现象，通过人的眼、耳、鼻、舌、身这五个感官，反映到自己的头脑中来，开始是感性认识，这种感性认识的材料积累多了，就能产生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。”现代科学研究也告诉我们，人对事物的感知，是大脑中的神经细胞或者语言、视觉、触觉、听觉等模块建立起联系的过程。大脑不同部分被激活以后，通过神经突触接联起来，产生电脉冲，才能整合为“知觉”。所以调动人的多种感官参与对事物的感知才是科学而高效的。

(1)理解好一个概念。

为了更好地进行说明，我们首先要介绍一个概念即表象的概念。

表象是在物体并没有呈现的情况下，头脑中所出现的该物体的形象，知觉是

表象建立的基础。

表象虽然较知觉有更大的概括性，但是人脑中的表象并不在同一个层次，一般表象较个别表象层次更高。所谓个别表象是对某一具体事物的表象。而一般表象是对某一类事物的表象，它已经失去了只是为个别表象所具有的那些特征，不再是某一个别事物形象的简单再现，而是经过符合、融合，达到比个别表象更概括、更深刻的水平。

(2)分析好学生的状况。

“和”的概念听起来陌生，其实相关的生活经验孩子们从日常对实物的分与合中已经获得了一些，只是这些经验是零散的，混沌的，表象的更远没有与数建立起联系。所以教学要从学生已有的生活经验出发，根据思维活动的规律，系统地，有计划、有步骤地帮助他们积累个别表象，整理抽象出一般表象，进而抽象出部分与整体的关系建立“和”的概念。

教学步骤：

首先，与认数教学同步，让学生对实物进行分的操作，同时把分实物用支形图的形式与分数建立联系。

分的经验，学生在日常生活中是有的，只是学生不会去想，这是把谁分了，把几分了，分成了几个部分，分别是谁或者分别是几，分得的部分与整体（也就是“和”）之间有怎样的关系。我们的教学就是引导他们认识到这些问题，去观察、分析慢慢地将部分与整体之间存在的关系“数学化”。以2的教学为例子。

出示2只鸭子。

①我们数一数这里有几只鸭子呀？[2只]我们可以用数几来表示呢？[2]

②要把这2只鸭子分成两部分，你会分吗？[学生分]

③、[引导学生看]他把这两只鸭子分成了两部分，一部分是左边的1只鸭子，另一部分是右边的1只鸭子。这时这两只鸭子可以看作是由哪两部分合并起来的？

注：渗透“和”

④这个2在这里表示什么？它们被分成了几部分来着？哪两部分？左边的1 只鸭子可以用数几表示？右边的1只鸭子呢？[老师边说边画支形图

1 1

注：将分实物与分数建立联系。

在接下来的3、4乃至5的教学中都同时进行这样的教学。

其次，引导学生观察分的结果，感悟部分与整体的关系，渗透“和”。

①数一数一共有多少只蝴蝶？可以用数几表示？[8]

②要把这8只蝴蝶分成两部分，可以怎样分？

③你能一个人把这些分的结果都想到吗？你有什么好办法吗？

④观察他分的过程你发现有什么规律吗？（一个部分多一个另一个部分就少

个）在这个过程中什么始终没有变？（一共的8只蝴蝶）注：感悟部分与整体的关系。

⑤那8都可以看作是由哪两部分合并起来的呀？[板书]

⑥[出示3朵红花，5朵黄花]一部分是3朵红花[板书3]，另一部分是5朵黄花[板书5]。

你知道一共有多少朵花吗？[板书] ( )

注：多做几个这样的练习，让学生感悟部分与整体的关系，渗透“和”。

⑦这次我们知道一共有8朵花[板书8]，我们把它们分成了两个部分[板书]^，只知道其中

的一个部分是2朵，你知道另一部分是几吗？

2 ()

注：同样要多做几个这样的练习，目的还是让学生感悟部分与整体的关系，同时渗透“和”

的概念。

最后让学生谈一谈感受，整理一下观察所得。

在这个过程中要让学生对丰富的具体对象进行充分的感知活动（观察、操作、体验等等）以增加对这些同类对象的感性认识，积累大量的有关部分与整体关系的个别表象。

2.语言与手势配合帮助学生获得一般表象，建立“和”的概念。

在积累的大量个别表象的基础上建立一般表象是概念形成的一个重要步骤。

要形成一般表象，儿童要进一步通过比较、分析、综合、归纳等思维活动，复合头脑中的个别表象，将一类对象的本质属性抽取出来（抽象）构成同类对象的本质的关键特征。

这也是思维的过程，而我们知道，思维是人脑的机能。它看不见，听不到，也摸不着。思维需要

物化才可以表达出来。用语词表达是抽象思维的一个重要的特征。但是对于儿童来说，在上学前，有关的数学语言几乎是没有的，所以要培养学生的抽象思维能力，还有一项至关重要的工作就是教授和帮助他们整理、积累必要的语、词。

马芯兰教学法非常重视帮助学生积累数学语言，而且找到了以手势辅助学生思维和表达思维的好途径。

以对部分和整体以及它们之间关系的认识为例，从观察第一幅图开始，教师就教给学生分别用两只手来表示整体中的两个部分，而用合十的双手表示两个部分的整体。用两手的合与分形象地表不两个部分的合并或者从整体中去掉其中的一个部分，同时教给学生规范的语言：把……分成了……和……这两部分；…… 是由……和……这两部分合并起来的；把……和……这两部分合并起来就是……；从……里去掉……这部分就是……那部分等。日常上课时，要求学生如果操作实物就边操作边用语言表达，如果不操作实物就必须用手势来表示操作过程同时也要用语言表达。这样的要求不仅仅是在建立“和”的概念时使用，事实上，它是马芯兰教学的一大特色，运用于整个六年的教学中。这样做有这样几点好处：

(1) 因为对于同一种数量关系，无论所指的是哪种具体实物，学生都可以用同样的手势来表示。慢慢地，很多非本质的东西被淡化，表象得到了概括。

(2) 语言和手势都是将思维外化的方式，但是手势较语言对儿童来说更形象，是更容易的外化思维形式，能起到促进学生掌握语言和推进学生思维的作用。

(3) 上面谈到的在认识部分与整体和它们之间关系时学生掌握的语言是学生学习小学数学知识，进行迀移，构建自己的知识结构的基础，而且还是学生学习进行逻辑思维的基础。比如，在部分与整体关系的教学时我们就可以运用这几句话之间的因果关系进行初步的逻辑思维方法的教学：

要想知道盖住了几个圆圈怎么想？这样来回答：因为一共的5个圆是由3个圆和2个圆这两部分合并起来的，又因为左边有3个圆，所以右边必定是2个圆。“挖掘数学知识中有利于学生智力发展与逻辑思维能力培养的因素”，“给培养学

生的思维以教学的核心地位”是马老师的重要教学思想，而注重数学语言教授和积累正是这些教学思想的体现。

综上所述，教学中重视数学语言的教授和积累，重视语言与手势配合的学习方式不但非常符合儿童的年龄特点和学习规律，更是为培养学生逻辑思维奠定基础的好途径。这也是我们的教学可以产生事半功倍效果的一个重要原因。

到此为止，对于建立“和”的概念来说，渗透的工作已经做得相当充分了，“和”的概念很容易建立起来了。下面向大家介绍的是《加法的初步认识》一课的教学片段，在这段教学过程中，我们可以看到老师是怎样在部分与整体关系的基础上揭示“和”的，学生是怎样用积累的必要的语言来进行分析、理解和说理的；还可以看出老师是如何以知识为载体来发展学生的思维的。

第一层：

出示

1、指名说图意。（左边有4只蝴蝶，右边有2只蝴蝶）

2、看老师的手势提问题：一共有几只蝴蝶？

3、要知道一共有几只蝴蝶该怎么想？

(要知道一共有几只蝴蝶就要把左边4只蝴蝶和右边的2只蝴蝶这两部分合并起来。）

4、为什么把左边4只蝴蝶和右边的2只蝴蝶这两部分合并起来就是一共的蝴蝶的只数呢？（因为一共蝴蝶的只数就是由左边的4只和右边的2只这两部分合并起来的。）

第二层：

1、我们所说的“合并”，在数学里用“加号”来表示。[板书“ + ” ]

2、刚才我们说要知道一共有多少只蝴蝶就要怎么办来着？

3、[老师边说边写]把左边的4只蝴蝶和右边的2只蝴蝶这两部分合并起来，可以写成这道加法算式。要求一共有多少只蝴蝶我们就用加法来计算。