量子混沌新进展

1、论文（设计）研究目标及主要任务

研究目标：提高学生个人的调研能力和翻译英文的能力，锻炼语言组织能力，培养对物理学的研究兴趣，在实践中达到物理思想的熏陶。

主要任务：简单介绍混沌尤其是量子混沌的概念，重点解释其本质特征及研究现状和研究方法，提高对其的认识和了解，激发研究热情并加快其研究进度。

2、论文（设计）的主要内容

物理规律及其自然现象一般都很复杂，需要用非线性方程来表示它们的运动规律，而在非线性理论中混沌理论是非常重要的。人们普遍把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。而量子混沌是经典动力系统中的混沌现象在量子体系中的表现形式。即是在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统所具有的复杂行为。这里将主要介绍一下非线性理论中混沌理论特别是量子混沌的的研究，通过与较为成熟的经典混沌研究的对照，说明与经典混沌对应的量子混沌的特征以及利用半经典近似理论探讨混沌的量子化。重点介绍量子混沌在量子计算机、在低维超晶格的量子输运和核物理等领域的一些进展情况。在最后指出了量子混沌研究的重要意义。

3、论文（设计）的基础条件及研究路线

基础条件：已经搜集了大量的相关材料，学习了其中与论文题目相关的内容并加以理解。认真整理材料和个人的学习体会，对论文相关内容有了统筹的把握。

研究路线：需在原有材料基础上进行总结归纳，介绍其研究方法并适时加入自己的观点和看法，对有关原理进行必要理论分析，并揭示其研究应用前景，突出混沌尤其是量子混沌的研究重要意义。

4、主要参考文献

1、顾雁《量子混沌》上海科技教育出版社,1996.

2、Ze’ev Rudnick 《What is Quangtum Chaos?》Notice of The AMS,55(1):32-34.

3、[美]C.格里博格. 《混沌对科学和社会的冲击》湖南科学技术出版社.2001.

4、郝柏林. 《（从抛物线谈起）混沌动力学引论》上海科技教育出版社,1992.

河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述

河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章

目录

中文摘要、关键词 (1)

1、绪论 (2)

1.1混沌的引入 (2)

1.2 混沌理论的介绍 (2)

2、混沌及量子混沌的特征与联系 (3)

2.1 混沌特征与量子混沌特征 (3)

2.2有关可积系统与不可积系统的介绍 (4)

2.3 经典混沌与量子混沌联系—半经典近似理论 (4)

3、量子混沌本质的解释 (6)

4、量子混沌的新进展 (7)

4.1 量子计算机与量子混沌 (7)

4.2 在低维超晶格的混沌输运 (10)

4.3量子混沌与核物理 (11)

5、结语 (12)

参考文献 (13)

英文摘要、关键词 (14)

量子混沌新进展

摘要：物理规律及其自然现象一般都很复杂，需要用非线性方程来表示它们的运动规律，而在非线性理论中混沌理论是非常重要的。人们普遍把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。而量子混沌是经典动力系统中的混沌现象在量子体系中的表现形式。即是在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统所具有的复杂行为。本文主要介绍非线性理论中混沌理论特别是量子混沌的研究，通过与较为成熟的经典混沌研究的对照，说明与经典混沌对应的量子混沌的特征，以及半经典近似理论探讨混沌的量子化的问题。重点介绍了量子混沌在量子计算机、在低维超晶格的量子输运和核物理等领域的一些进展情况。在最后指出了量子混沌研究的重要意义。

关键词：量子混沌；经典混沌；半经典近似；量子计算机；量子输运；核物理

1 绪论

1.1 混沌的引入

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学创始人之一洛伦兹（E.N.Lorenz）在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个陆龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。直到今天，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它掀起了对混沌学研究的热潮。今天伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

在物理学中混沌有着专门的含义，与我们日常生活中的“混沌”大为不同。混沌在物理学里并不意味着变化多么剧烈，一个混沌系统可以按照某种光滑或有序进行演化。例如物理学中伟大的科学家牛顿发现了一系列简明的原理和定律（如牛顿三定律）。它们为我们人类“精确”预测物体的运动提供了依据。如可以测出行星运动轨道，有助于发射人造卫星；预测地上导弹发射路径、形状，从而击中目标等。然而在牛顿物理规律描述中，初始条件不可能精确确定，而人们认为由初始条件的不精确导致以后任意时刻的不精确会逐渐减少，越来越接近精确。但在二十世纪时，这种观念受到了质疑。因为人们在某些系统发现由于初始值的微差会在反映物理规律的数学方程中产生极大的偏差。人们也把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。同时初始值敏感性是混沌的一个显著的特征[1-6]。

1.2 混沌理论的介绍

混沌理论作为一个科学理论，具有以下三个关键特征：1、对初始条件的敏感性：此即著名的“蝴蝶效应”。理解它的一个很好的比喻就是在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一场暴风雨。混沌系统对初始条件是非常敏感的，初始条件的轻微变化都可能导致不成比例的巨大后果。2、分形：分形是著名数学家Mandelbrot创立的分形几何理论中的重要概念。意为系统在不同标度下具有自相似性质。自相似性是跨尺度的对称性，意味着递归，即在一个模式内部还有一个模式。由于系统特征具有跨标度的重复性，故可产生出具有结构和规则的隐蔽的有序模式。分形具有二个普通特征：第一，它们自始至终都是不规则的；第二，在不同的尺度上，不规则程度却是一个常量。3、奇异吸引子：吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。有三种不同的吸引子控制和限制物体的运动程度：点吸引子、极限环吸引子和奇异吸引子（即混沌吸引子）。点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，以便系统的性态呈现出静态的、平衡的特征，故它们也叫做收敛性吸引子。而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛性吸引子的区域而导向不

同的性态。它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。

与通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“ 正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等. 因而对混沌运动现象的研究深化人们对自然界各种运动的认识。一方面，许多过去由于太混乱、太复杂而被忽视的“随机信息”得到人们的重视。它们表面混乱无序，其实是“乱中有序”，有着与众不同的结构，可以用混沌理论来进行研究；另一方面，混沌运动的存在意味着经典系统在算法复杂性理论的意义上是不可计算的。尽管经典轨道存在并且是唯一的，然而再这些轨道的某一时刻的精确测量无法预测下一时刻结果。即人们对世界的认识能力受到根本限制，但这并不意味人们认识能力的某种终结，恰恰是人们对自然真实面貌的认识新起点。可以说混沌理论的出现是继相对论、量子力学后的“第三次革命"。几十年来,人们对混沌理论的研究不断深入,已包含耗散系统中的混沌,保守系统的混沌和时空混沌等。

2 混沌及量子混沌的特征与联系

2.1 混沌特征和量子混沌的特征

随着经典混沌研究的深入，量子混沌的研究也自然提上日程。经典混沌的研究长足发展促使人门以巨大的热情去探讨量子混沌运动。由于量子体系存在着测不准关系，对于经典混沌运动的一些基本特征很难找到它们的量子对应。加上量子力学注重单个状态的性质，较少注意空间性质的研究。迄今为止，对于量子混沌还没有为大家公认的定义，普遍承认的定义为量子混沌是经典动力系统中混沌现象在量子体系中的表现形式。即在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统具有的复杂行为，它们被广泛的称作“量子混沌”。

举个简单例子说明混沌与量子混沌的本质特征。例如像地面上撒沙粒，沙粒的高度随着沙粒的数目增多而光滑的增加。这时的系统是“线性”的。但当沙堆高到一定程度后，再增加一粒沙粒，雪崩便会发生，沙堆的高度将会降低许多。一粒微小沙粒的输入，输出的沙堆高度却发生巨大的变化。输入与输出不成正比，这样的系统展现了初值敏感性，是非线性的，其轨道不能重复自己。这就是混沌的本质特征。[8]

人们目前发现与经典混沌有关的量子现象主要有三类特征：(1）混沌动力学的本质特征就是轨迹对初始条件的敏感依赖性。在量子力学中无法追踪相空间的每条轨迹。适合量

子力学描述的是相空间分布表示。例如可以用维纳格分布来模拟相空间的轨道运动。但由于受不确定原理的影响，加上在很短时间内有效，无法长时间的比较经典体系和量子系统的不同。为此只有在维纳格分布运动和经典统计力学非平衡系综分布运动中来比较两者的不同，进而理解量子混沌的特征。（2）混沌动力学演化特征之二是对于N 维量子守恒系统，其哈密顿算符H 对应的薛定锷方程可以约化为一个对能级E 的线性本征值问题，只要能级是分离的，则波函数随时间的演化表现出规则的行为。但具有规则的经典极限和经典极限表现出混沌行为的量子系统的能谱表现不同，即泼西瓦提出的量子能谱分为规则谱和不规则谱两部分。（3）定态波函数形态特征：一个保守的量子系统可以用能谱和波函数作完全描述。本征态波函数更能详尽的描述动力学信息，因此可以细致的揭示混沌在量子力学中的表现。然而，混沌特征只在高激发态中表现出来，而高激发态中波函数的测定和计算都十分困难，因此对定态波函数形态特征研究进展不像能谱那样取得显著的进展。[1]

2.2有关可积系统与不可积系统的介绍

混沌系统和不可积系统是密切相联系的，因此为了更好理解混沌的情形，为了进一步了解混沌现象，我们有必要介绍下可积与不可积系统的概念。以往我们在教科书讨论的均为用积分公式求解的例子，但是这种可积分系统是一种相当特殊的例子，绝大部分哈密顿系统是不可积分系统。而且一般不可积分系统会出现混沌运动。为简单起见，我们只引入可积系统的定义[1]。哈密顿系统的可积性定义：一个具有n 自由度的自洽哈密顿系统，如果存在n 个独立的单值运动积分I j （q ，p ），j=1，、、、，n ，且满足对合条件{I j ，I i }=0,则该系统称作可积的，这里的n 个运动积分是相互独立是指它们的矢量场i I X i=1，、、、，n ，在相空

间中几乎是线性独立的。而量子可积性的定义目前还未确定，普遍使用的量子可积性定义多为经典可积性定义的的推广，例如一个量子系统若在经典近似下为一可积哈密顿系统，则称作量子可积系统。量子可积系统的定义解决有赖于量子力学理论的进一步完善，这样我们才会更好的理解量子混沌。

2.3 经典混沌与量子混沌联系—半经典近似理论

混沌现象在短短20年的时间里，几乎涉及了经典物理学的全部分支。但是量子力学开始似乎对混沌有“免疫力”，毕竟混沌本质上还是一种经典现象。说到量子力学的混沌问题，必须分两种情况：显含时间和不含时间的问题。在不含时间的情形，这就是经典不可积哈密顿系统量子化的问题。早在量子力学问世的前期就已提出对经典极限混沌行为的量子系统的性能研究。例如如何把一个非周期性运动的体系通过玻尔索末菲

（Bohr-Sommerfeld ）量子化条件加以量子化。爱因斯坦早在1917年发表的文章提出这个量子化条件仅适用于可积系统。由于量子系统不能用相空间的轨道来描述时间演化，则标志着经典混沌的许多特征均不存在。因此量子混沌不会出现类似经典混沌的运动状态，加上量子混沌系统没有建立像经典系统那样的稳定性理论，使得量子混沌的研究更复杂，更困难。其实是含时问题则更接近混沌的本质[11]：即混沌出现在动力系统的t →∞极限时，但是目前除了对周期扰动下的跃迁理论研究深刻外，对显含时间的量子力学其实所知甚少。而且其量子经典对应原理并未建立。总体来说当普朗克常量h 趋向零时，经典力学是量子力学的奇异极限；其奇异性必须具体分析，而不具备普适性。

沟通纯粹量子力学和经典力学的理论框架是半经典近似理论。历史上旧量子论的半经典近似量子化规则的提出就是为初期量子力学从经典到量子对应关系。现在面对混沌运动，从半经典近似入手实现混沌运动的量子化问题仍然有着不可替代的意义，是一条相当有效的途径。1913年玻尔成功的应用量子化条件从经典力学推出氢原子光谱的巴尔末公式，而后索末菲推广为量子化规则

?=h n dq p i i i （i=1,2…，N ） (1) 并使之适用于所有的哈密顿系统.这里的N 代表系统的自由度,n i 代表第i 个量子数。

在1917年，爱因斯坦在讨论什么样的经典系统能量子化的问题时，就注意到相变空间不变环面对实现哈密顿系统量子化的重要性。同时他给出的哈密顿可积系统的量子化公式为：

?∑===k c N

i i i k nh dq p s 1 （k=1，2…，N ） (2)

其中C k 是N 维不变环面上任意一个不可约回路,S k 为Poincare 不变量。而n 为任意正整数（即量子数）。当时爱因斯坦指出，当哈密顿系统自由度数大于系统的单值运动积分数目时，哈密顿系统变为经典不可积系统，它的运动从环面上弥散开去，出现遍历性，上述量子化规则不再有效。然而，爱因斯坦的这个论断却被人门忽略的了40年。而且在早期量子理论中，氦原子能谱计算曾是热门课题。那时候面临的问题就是如何把可积系统的量子化条件推广到氦原子等不可积系统。然而由于薛定谔方程可以把计算可积和不可积系统的能谱问题归结为求其本征值问题，使得人们很长时间不再关心此问题。但是由于受到经典混沌的研究的启发，1970年，马定·古兹维勒终于利用“周期轨道”对氦原子实现量子化。所谓“周期轨道”是氢原子轨道的自然延伸，对经典混沌系统而言，周期轨道是稀少的，而

且不稳定的，夹杂在周期混沌轨道中，数目仍是无限的。古兹维勒从寻找那些在本征值En 处的具有单极点的能量格林（Green）函数的迹入手，发现这个迹的半经典表示式时，只留下周期轨道的贡献。这个迹的求和公式在结构上与高等数学的黎曼-泽塔函数是相似的。[7-11]其实量子系统的典型运动并非混沌，但在有限的时间或频率范围内可能表现出混沌现象。而人们从寻找波函数时间演化的确定性方程和本征值入手，从本征函数确定性的随机性入手，发现对于那些在极限条件下呈现混沌行为的经典系统，其对应的量子系统在h趋于零的半经典近似条件下，定态波函数和能谱结构确实存在一些特征行为。而受到周期势作用时，又会表现出相应于经典系统的一种压制。这是无法用“经典—量子对应原理”解释的，这些行为的统计性质不同于通常意义下量子系统的统计特征。这一切暗示着经典力学和量子力学之间可能存在比它们更奇妙，更深刻的联系。目前量子混沌的研究已受到凝聚态、核物理、光学等许多领域内研究人员的重视。

3 量子混沌本质的解释

可以用一个简单的例子来进一步的解释量子混沌的本质[5]，如下图所示，这是一个氢原子在强磁场下时所显示出混沌的行为的图片，其电子轨迹表现出混乱的散射。在通常情况下（无磁场时），氢原子的电子紧紧地被质子束缚着，表现出量子力学的特征。氢原子不再取连续的能量，只能取分离的值，或者是量子化的能级，而且所允许的能量本征值分布比较广一点。但是伴随着原子的能量增加，氢原子就会“长大”，因次电子运动的离质子的距离会更远一些。如果能量足够大（但不是大到使得原子失去了对电子的束缚），能级就会紧密到准连续情形，从而过渡到经典力学规律的范畴。

图 1 强磁场中氢原子的庞加莱截面

这样的原子被称为Ryderg原子，而且Ryderg原子是介于经典和量子世界之间的，因此成为研究玻尔对应原理的理想模型。如果它能够做到表现经典意义上的混沌行为，则为研究量子混沌本质提供了一条有用线索,也为研究量子现象和混沌混沌之间的关系带来了曙

光。若想观察到Ryderg原子在强磁场下的混沌现象，必须减少相空间的维数。首先定义一个对称轴穿过原子，在二维平面研究该电子运动，运动的对称性减少六维相空间到四维相空间，而且由于不考虑外力对电子做功的帮助下，即总能量是守恒的。这个现象说明在非混沌的量子系统中能级分布是随机的，无联系的；而在混沌的量子系统力能级分布是紧密联系的。混沌系统能级似乎努力在保持相对安全的距离，而混沌系统也可以再分解。在下面图表中给出了经典系统、混沌系统以及量子系统三者之间的关系：通过此图，我们可以清楚的了解到量子混沌的本质：即是经典动力系统混沌现象在量子体系中的表现。

图2 经典系统、混沌系统和量子系统三者的关系

4 量子混沌的新进展

4.1 量子计算机与量子混沌

量子计算是一门结合了物理学，数学和计算机科学三门科学的新兴学科，在短短二十年里量子计算已从当初的幻想发展到当今量子力学领域里最具吸引力的课题。随着科技的飞速发展，现代计算机在给人类带来巨大变化的同时，自身也在快速发展着。然而随着技术不断的更新换代，芯片的尺寸也越来越小。在不久的将来，当芯片的尺寸小到量子力学支配的领域时，我们不可避免的要研究量子计算机。量子计算机主要是依靠量子力学原理，操作符合整体转变而且满足量子逻辑的要求。整体转变的实质是指允许排除能量损耗在该范畴的所起的作用。用目前流行的观点看，量子计算机是一个包含n对量子比特（qubits）的系统。其中量子比特（qubit）是一个量子位，与量子计算相对应，类似于传统计算中的二进制数字或位。位是传统计算机中信息的基本单元，而量子比特是量子计算机中信息的基本单位。

在量子计算机中，许多基本的微粒像电子、光子均可以利用（离子也可被利用），主

要利用它们的电荷或被描述为0或1的两级分化行为。这些微粒的每一个都以量子比特著称，其特性和行为形成了量子计算的基础。而两个最相关的方面是重叠原理和牵连原理。

（1）重叠原理：把量子比特考虑成磁场中的电子。电子的旋转可能与磁场一致，称为上旋转状态；或者与磁场相反，称为下旋状态。通过提供脉冲能量使电子旋转从一种状态变为两一种状态，例如可以采用激光的手段。我们可以用一单位激光能量，但是如果仅用半单位的激光能量并完全消除外界对微粒的影响将会怎样呢？根据量子理论，微粒将进入重叠状态，即同时处于两种状态下，每一个量子比特（qubit）呈现重叠状态0和1。因此量子计算机的计算数是2的n次方，n是量子比特的位数。量子计算机如果有500量子比特，就在每一步作2500次运算。这是一个可怕的数，2500比地球上已知的原子数还要多。（这才是真正的并行处理，当今的经典计算机，所谓的“并行处理器”仍然是一次只做一件事情。）但是这些微粒如何相互作用呢？它们是通过量子牵连来实现。

（2）牵连原理：在某点上相互作用的微粒（像光子、电子等）之间具有一种关系，能够成对的纠缠在一起，这一过程被称为相关性。知道了纠缠在一起的一个微粒的状态是上或下的话，它同伴的旋转是在其相反的方向上。但令人惊奇的是，由于层叠现象，被测定的微粒没有单独的旋转方向，而是同时成对的处于上旋和下旋状态。被测微粒的旋转状态由测量时间和与其相关的微粒决定，其相关微粒同时处于相反的旋转方向。这个真实的现象（爱因斯坦称其为“一定距离之间的神奇行为”）至今还没有任何恰当的理论可以解释，只是简单的被人们接受着。量子牵连就是无论现互作用的微粒之间有多远的距离都能同时相互作用（不受光速限制）。而且无论相互作用的微粒之间相距多远，他们都将相互缠在一起直到被分开。

由于Peter Shor于1994年创建的新的量子运算法则，从而引起了人们对量子计算的高涨的兴趣。他所建立的量子运算法则的运算速度比其他经典运算法则都要快很多；而且同时Grover也证明了利用量子计算机搜寻某一长列清单中的特定条款时要快捷的多。总之量子计算将给人类带来前所未有的便利，人们对量子计算机也充满了期待。简言之，在量子计算机研究领域目前有两条主线：第一是构建和发展更有效的量子运算法则；第二是选择能够实现少数对结合的量子比特（qubits）试验的最佳物理系统。[12-13]

然而在现实中量子比特不是理想中的那样完美的。由于所处环境的不同，各个量子比特之间的间距涨落的大小也是不同的。并且它们之间还存在着剩余相互作用。据理论计算至少需要n=1000左右的量子比特才能使量子计算机比现在的计算机更有效。即使是外界的退相干的影响消失后，量子计算机也不会乖乖的保持运转正常。因为还要受到剩余相互

作用的影响，有可能会出现量子硬件的混合甚至是量子混沌现象，从而破换了计算机的正常运作，而且量子混沌和各态历经性的时间量程也是确定的。尽管这个现象是有害的，但是实验表明相互作用的量子比特的量子混沌的边界是呈指数般的大于量子计算机的本征态之间的能级差；可随着量子比特的数目n 增加却表现出线性下降。因此量子计算机的多量子比特的结构依旧充满希望和生机，同时也预示着量子计算机实现的可行性，指引着人

们为实现这个目标去努力。这一切结论是与在多体系统中研究量子混沌现象分不开的。

[11-15] 下面我们从三体系统出发来做简单解释。为简单起见，我们假设该体系中三个粒子是可分辨的。能级间距在1体系统里是m V -?，对应在2、3体系统分别是3322,m V m V -?-?且满足? 2? 3?。而且三体系统要比两体系统复杂的多，为简单起见直接引用由相关理论得到矩阵元U3的表达式

∑---++'''='232132123123)(32322112E E E E E E U U U ～?2U （3） 其中矩阵元在初始态123和末态'''321可由下面的图表[13]给出。下面图表为三粒子系统的矩阵元。可由此计算得出出现混沌的边界应该为U ～c U ～2? 3?。只有在充分研究并理解了多体系统里的量子混沌现象的基础上，将来才有可能使量子计算机更好更快的工作。我们目前加紧对量子混沌研究，必将极大的促进量子计算机的研究，将使之尽快的成为现实。

图 3 三粒子系统矩阵元

4.2 低维超晶格的混沌输运

在GaAs/AlAs 超晶格里的混沌输运早已分别被理论和实验所证实。结论发现主要的电荷传输途径是相邻量子阱之间的序列共振遂穿，以及无限含时的振荡的电流的出现，而且这样的振荡是由于电场和电荷畴壁的运动和回旋引起的。人们可以利用合适的振荡的电场来激发相应的时空混沌。最近一些年里，新的纳米结构类型，像纳米管、量子线等引起了人们重视，因为它们有可能应用在未来的器件中，有着重大的应用价值。同样有研究发现在这些更低维的超晶格里出现与上面相似的振荡。而这些振荡也可以在合适的振动电场下进入时空混沌[16-18]。可以得出结论当序列共振遂穿为主要的电荷输运形式时，时空混沌可以在一系列结合较弱的量子线中观察到。

可以利用下面装置[18]研究一系列同类和不同类的超晶格的输运情形：下面图4中(a)和(b)分别是零维(0D)和一维超晶格。它们分别包含了一系列的N 个点元素和N 个线元素。每一个物体上均存在额外电荷j n ),...,1(n j =和掺杂电荷D n 。其中关联电荷是δ，晶格常数为L ，右边电极的电势比左边的电极高V 。

图 4 被研究系统的电路原理图 图 5 超晶格中电荷密度关于时间的函数

上面的图5中(a)和(b)分别给出同类超晶格中零维和一维电荷密度关于时间的函数。相对应表格(c)给出了二维超晶格的电荷密度关于时间的函数。其中发光区域暗示了电荷的聚集。 而下面图6所示为在交流偏场a 下电流在时间间隔为a mT 的情况(其中m 为正整数，Ta 为交流偏场的周期)。

图中箭头所指为混沌区域。在混沌输运的区域我们同样的发现类似二维情况中的空间相干性的减弱。

图6 庞加莱映射（上半部）和李雅普诺夫（Lyapunov）指数（下半部）

4.3量子混沌与核物理

众所周知，多核粒子系统表现规律和混沌的双重行为，是典型的量子系统。人们容易想到其统计行为是量子混沌的一种表现。人们普遍接受的量子混沌的定义是经典混沌的量子表现，其量子能级本征态满足高斯正交系综GOE的统计分布。研究这样的守恒量子系统须在确定性动力学中，但是关于其混沌行为研究的理论还没完全的确立。目前通用的研究复杂核的能谱理论是无规矩阵理论,该理论是由维格纳(Wigner)建立的。为了研究无规矩阵理论和确定性动力学之间的联系,更好的揭示它们之间的物理含义，佩胥克斯(Pechukas) 和汤川(Yukawa)等人共同建立了能级动力学理论。该理论的典型行为是能级回避交叉，但我们观察两个相邻能级随某一参量变化时，可积系统会出现能及交叉；不可积系统系统的能级一般先接近后分离,形成回避交叉。如下图所示

图7 不同塞曼多重态的能级交叉图8 二维耦合四次振子的能级回避交叉

能级回避交叉可看作非线性共振的一种量子表现，而且量子混沌能级能谱与能级回避交叉的数目密切相关。大量的相互重叠能级回避交叉的出现,是出现量子混沌的一个标志。

另外还有研究表明,在倾斜的光学超晶格中,呈波色爱因斯坦凝聚状态的气体表现出了与经典混沌无序类似的特征[19]；很小噪声地出现可以极大改变处于混沌的量子力学系统的

行为，尤其对于那些半经典系而统[20]；处于的自旋为21 的晶格模型中的多粒子牵连的动力学系统表现出从可积性转变为量子混沌[21]，因此激励了量子信息、凝聚态物理和量子混沌三个领域之间的更多交流。有关量子混沌的研究还很多，这里就不一一列举了,有兴趣的读者可自己查阅。

5 结语

混沌现象是自然界中普遍存在着的，而且广泛的存在于各个学科。一些看似简单的系统很可能包含十分复杂的动力学行为。本文针对混沌和量子混沌的特征及联系等进行了简单的介绍，重点介绍了量子混沌研究的最近进展情况。本文旨在引起人们对“量子混沌”的进一步了解和研究兴趣。对于混沌的研究对人类社会多领域都有着重要意义。目前人们对经典混沌已经有了比较深刻的了解，奠定了处理复杂问题的理论基础。混沌是即有害、又有用，因此我们可以利用混沌的有利的一面，加强对混沌控制等方面研究，尤其是加强研究经典混沌在量子世界的对应，即进一步理解和研究量子混沌，争取早日实现量子混沌在信息学、物理学和生物学等科学领域里的应用，为人类造福。

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