二次函数及实际应用 最值问题以及设计与方案问题
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二次函数的实际应用——最大(小)值问题
知识要点：
2bac?b422?(xy?a)?cbx?y?ax?0a?，)化成顶点式二次函数的一般式(aa42如果
自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
2bac?4by?0a??x?；时，函数有最小值，并且当，即当最小值
4a2a2b?4acby?0a??x?．时，函数有最大值，并且当，当最大值4a2ax?x?xx?x?x
内，如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围22112b?4acby??x?，如果顶点不在
此范围内，则需考虑函数在自变量的取，则当最值4a2ax?xx y时，随值范围内
的增减性；如果在此范围内的增大而增大，则当222?bx?cy?ax cy?ax?bx?xx?；时，，当11122最小
最大2y?ax?bx?c xx?x?xx y当，如果在此范围内随时，的增大而减小，则当1211最大2y?ax?bx?c时，
22最小
二次函数极值问题
2y?ax?bx?cy??42acb?0x?，则（时，且1.二次函数中，）
y??4y??4y??3y??3最小最小最大最大 B.C.A.D.
22y?(x?1)?(x?3)_________时，函数达到最小值。＝已知二次函数，当x2..
3..若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）
D.有最小值B..最大值最大值最小值C.A.
2y?a(x?h)?k的值恒为正值, 则 _____. 4.若二次函数a?0,k?0a?0,h?0a?0,k?0a?0,k?0 D.
B. A.
C.
29x?y?? 5.时函数的最大值为-2 23x??yx?22?4?x??，当6.若函数函数值有最值为 二次函数应用利润问题 类型一 1.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场范 文Word . 调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售 3箱．y x（元/箱）之间的函数关系式．（（箱）与销售价3分）1（）求平均每天销售量wx（元 /箱）之间的函数关系式．）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（3（2分） （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分） 2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元． (1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式； (2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式． (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？ 类型二 1.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划x y 成正比例关系，与投资量投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1x y成二次函数关系，如图12-②所示（注：利12-如图①所示；种植花卉的利润与投资量2润与投资量的 单位：万元） 范文Word . x yy的函数关系式；）分别求出利润关于投资量与（121（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 变试题1：某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图所示。注：两图中的每个实心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，图甲的图像是线段，图乙的图像是抛物线。 请你根据图像提供的信息说明： ． 1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本) (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由； (3)已知市场部销售该种蔬菜，4、5两个月的总收益为48万元，且5月份的销量比4月份的销量多2万公斤，求4、5两个月销量各多少万公斤？ y x(件)之间元，试销阶段每件产品的销售价2.某产品每件成本10)(元与产品的日销售量的关系如下表： … 30 20 x（元）15 范文Word . …10 25 20 y（件） x y是销售价的一次函数．若日销售量x y的函数关系式；元)(件)与销售价⑴求出日销售量(每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多⑵要使每日的销售利润最大，少元？ 类型三 州委州政府又出台了一最近，为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这三农”系列“与销售价千克)千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(种产品的成本价为20元/ ) ．．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80ｘ(元/千克求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(1)? 当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少(2)150该农户想要每天获得元/千克，(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28? 元的销售利润，销售价应定为多少元 千克销售，那么元/元20/千克的绿色食品，如果以30?：变式题1.市“健益”超市购进一批y x) 元)?与销售单价400每天可售出千克．由销售经验知，每天销售量((千克30 x）存在如下图所示的一次函数关系 式．( y x与⑴试求出的函数关系式；当销售单价为何P元，“⑵设健益”超市销售该绿色食品每天获得利润值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？现该超?该绿色食品每天可获利润不超过4480元，⑶根据市场调查，元，请你帮助该超市确定绿色食4180市经理要求每天利润不得低于x．(?直接写出答案)品销售单价的范围 范文Word . 2.我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行x （元∕试销．经过调查，其中工艺品的销售单价件）y（件）之间满足如图3-4-14所示关系．与每天销售量 （1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；yx之间的函数关系式；与2）①试求出（②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么 销售单价定为多少时， 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？销售总价－成本总价）。（利润= 类型四万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并80为了扶持大学生自主创业，市政府提供了已知该产品并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．销售自主研发的一种电子产品，万15元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用的生产成本为每件40x y（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．元．该产品每月销售量x y（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（1）求月销售量（利润＝销售额－生产成本－万元为保证公司月利润达到5当销售单价定为（2）50元时，，该公司可安排员工多少人？员工工资－其它费用）名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？）若该公司有80（y（万件） 4 2 1 40 O 80 60 x （元） 该店采购投资开办了一个装饰品商店．变式题：大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，得知销售结束后，天的试销售，购进价格为20元／件．进一种今年新上市的饰品进行了30；又x为整数)，且之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30天日销售量P(件)与销售时间x()1Q30xQ??之间有如下关系：x(知前20天的销售价格 (元/件)与销售时间天)112Q之间有如下关x(天)天的销售价格) (元/件与销售时间10xx(1≤≤20，且为整数)，后2Q．为整数30，且x)≤系：=45(21≤x2RR分别与)和后l0天的日销售利润(元)(20 (1)试写出该商店前天的日销售利润元21之间的函数关系式；天销售时间x()范文Word . (2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润． 注：销售利润＝销售收入一购进成本． 类型五 青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？ ?进价）不少于750元，且100件的总利润（利润=售价（2）该商场为使甲、乙两种商品共不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；那种进货方案花钱最少？那种进货方案获利最大？ （3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． （2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． （2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上． 二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－ 2 080 2×（－80） ＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1 二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性； 2、基本步骤：审题一建模（建立二次两数模型）一解模（求解）一回答（用生活语言回答，即问什么答什么）。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为y=20+4x（x > 0） ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点（不与正方形顶点重合），且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？ 2、用二次函数解抛物线形问题 常见情形具体方法 抛物线形 建筑物问 题 几种常见的抛物线形建筑物有拱 形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形 门窗等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的 图形放到坐标系之中； （2）从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条 件； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线 （轨迹）问 题 运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行 轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解； （3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表 达式最为简单。 巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在 图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x 元（X为正整数），每个月的销售利润为y元. （1）求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围吋，每个月的利润不低于2200元？ 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a的值； （2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y （件）与每件售价x （元）满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W（元）,求每天销售利润W（元）与每件售价x （元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m 为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值． 二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式 中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18） （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？ 【答案】（1）213222y x x =-++；（2）(2+m ． 【解析】 试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式； （2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标． 在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=， 点坐标为(23.5)， （1）设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠， 则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)， ， 当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2 616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，． 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++． 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）x x y 202 12+- =)150(≤ 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 二次函数在实际中的应用 法国著名数学家的卡尔说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其它问题”.本文用二次函数的模式，解答生产、生活、体育等实际中的问题，达到触类旁通的目的. 一、借助二次函数解答桥梁问题 例1、（2006吉林省）如图1，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ． ⑴ 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； ⑵ 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 解：（1）设抛物线的解析式为2y ax =，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米，则D （5，h -），B （10，3h --）． ∴25100 3.a h a h =-??=--?，解得1251a h ?=-???=? ，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25 = 4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为：40×1＋40×4 = 200＜280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥，设货车速度提高到x 千米/小时， 当4401280x +?=时，解得60x = ， ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米小时． 二、应用二次函数剖析撞车问题 例2、（2006苏州市）司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”，如图2． 已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m ／s)之同有如下关系：s=tv+kv 2其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=O.7s 图1 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 孟老师12月23日初三学案 二次函数在实际问题中的应用 一抛物线形的物体 研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础,． （2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式； （2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明 通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等 于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号） 2（2010?南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？ 二应用二次函数解决实际问题中的最值 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． 二次函数的性质在实际生活中的应用 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/7110900695.html, 浅谈二次函数在实际生活中的应用 作者：刘昌义 来源：《学习与科普》2019年第11期 摘要：随着社会的快速发展，人们的生活水平不断提升，生活质量的要求也不断提高， 这样一来，对各种资源的需求量也不断增大。而资源的总数是有限的，如何将优先的资源通过合理的运用来满足更多人的实际需要，这就需要用到数学中所学到的二次函数知识。二次函数在实际生活中的应用，是利用所学知识解决实际生活问题的体现。二次函数的实际应用过程，也是数学思想在生活实际中得到合理运用的过程。 关键词：二次函数；实际生活；实际应用 二次函数不管是作为一种数学计算工具还是作为初中数学学习过程中的知识组成部分，都具有非常重要的作用。二次函数贯穿了初中数学的整体学习过程，从最简单的图像方程画图计算再到复杂的二次函数实际应用，无一不体现出了它的重要性。同时二次函数也作为中考的重要考察内容，其难度相对其他数学知识更高，连贯性也更强，如果初中阶段的二次函数没有学好，势必会影响到后续的函数学习。除此之外，通过教学研究，笔者发现很多学生在二次函数的学习中暴漏出来一个问题：当题目与现实生活综合到一起时，很多学生往往后无从下手，这体现出学生对其所学知识的实际应用能力较差。所以我们需要通过对二次函数在实际生活中应用方向的研究，来找到培养学生利用二次函数解决生活实际问题能力的方法。 一、二次函数在桥梁建筑方面的应用 在日常生活中所见到的桥类建筑大多为拱形，拱形的桥梁结构相对于直桥更加稳固，且可以给桥下的水面提供较大的通行空间，以供船只通过。从拱形桥的形状看上去跟抛物线类似，其在设计之中就应用了二次函数的相关性质。除此之外，在很多公共建筑的设计上也应用了二次函数的原理，如花坛、喷泉和国家体育馆鸟巢的设计。通过这类实际应用体现出二次函数已经融入了我们的生活之中。 二、二次函数在经济生活中的实际应用 二次函數作为一种数学工具被广泛的应用到统计之中，其在经济生活之中的作用往往集中在投资调查、销售定价、销售情况统计、市场调查、消费住宿等方面。在这些经济活动中，无论其表现形式如何，最终的目的都是为了做到利益最大化。在这些项目中二次函数都是作为统计工具，根据实际经济情况建立相应的函数关系式，使用函数关系式对市场进行调查、统计和预测，从而保证拿到最大利润。 （1）投资调查 二次函数应用问题 二次函数在各方面的应用比较广泛，本节中通过几个例题及几个练习题，举例说明它在一些问题中的应用. 例1 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系： 1.写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润 是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定 为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与 之间的函数关系，这个函数是二次函数. 要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值. 解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为 =（－42）（－3＋204），即=－32+8568 （2）配方，得=－3（－55）2+507 ∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元. 例2 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在 空中的运动路线是（1）中的抛物线， 且运动员在空中调整好入水姿势时，距 池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 并通过计算说明理由. 分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0）， 入水点（2，－10），最高点的纵点标为. （2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米.， 时，该运动员是不是距水面高度为5米. 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为 B，抛物线的解析式为. 由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为. 商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空 问题一：涨价后每千克盈利 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克； 问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得： 解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。 答： 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析： 例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少 解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5 第四讲 二次函数与最值问题专题讲座 一、考点梳理 考点1：二次函数的解析式 一般式：y=ax 2+bx+c 顶点式：y=a(x+k)2+h 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2：二次函数的图象：抛物线 考点3 二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值. 二、题型透视 （一）、填空题 1、（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y = B 、2 25 4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是（ ） A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3 3、（2010 荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122 +-x x ）可以由E （x ，2 x ）怎样平移得到？（ ） A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 4、（2010 咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 5（2010 襄樊）若函数22(2)2x x y x ?+=?? ≤ （x>2） ，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ） A B ．4 C 4 D ．4 6、（2010 东营）二次函数c bx ax y ++=2 的图形如图所示，则一次函数ac bx y -=与 c b a y +-= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 7、（2010 荆门）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．． 的是( ) (A)ab ＜0 （B)ac ＜0 (C)当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小 知识点20 二次函数在实际生活中应用 一、选择题 9．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( ) A.y ＝ 26 675 x 2 B.y ＝26675 - x 2 C.y ＝ 13 1350 x 2 D.y ＝13 1350 - x 2 第9题图 【答案】B 【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675- ,∴二次函数表达式为y ＝26675 -x 2 ,故选B. 三、解答题 22．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分 ）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由. 【解题过程】 24．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝ t ﹣刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝﹣ （t ﹣h ）2 +0.4刻画． （1）求h 的值． （2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天） 5 10 15 ①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ． （3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）． 【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21 ()0.4160 p t h =- -+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29. （2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p-20. 【课时训练】21.4二次函数的应用 1.已知函数y=2 1x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A. x ＜1 B. x ＞1 C. x ＞-4 D. -4＜x ＜6 2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，才能在半月内获得最大利润？ 3.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花 形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一 平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流 喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是 4 522++-=x x y .请回答下列问题： （1） 柱子OA 的高度是多少米？ （2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ （3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？ 4.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击 影响可以用公式I=2v 2来表示，其中v （千米/分）表示汽车的速度. ① 列表表示I 与v 的关系； ② 当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 5.如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y. （1） 求出y 与x 之间的函数关系式； （2） 正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.二次函数的几何最值问题
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