经典二次函数和实际应用题解法
二次函数运用题
一:知识点
利润问题:总利润=总售价 -总成本
总利润=每件商品的利润X销售数量
二:例题讲解
1、(20XX年内蒙古包头)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正
方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 ________________ cm2.
2、(20XX年聊城冠县实验中学二模)某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的
百分率为x,则下面所列方程正确的是 _____________________________
3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一
面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
4、某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为扩大销售增加盈利,尽快减少库存,
商场决定采取降价措施,经调查发现,若每件衬衫每降价1元,商场平均每天可以多售出2件.(1)若每
件降价x元,每天盈利y元,求y与x的关系式.(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)每件衬衫降价多少元时,商场每天盈利最多?盈利多少元?
5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房
间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲. 对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用?设每个房间每天的定价增加x元?求:
(1)房间每天的入住量y (间)关于x (元)的函数关系式.
(2)该宾馆每天的房间收费z (元)关于x (元)的函数关系式.
(3)该宾馆客房部每天的利润w (元)关于x (元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,
w有最大值?最大值是多少?
6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品,在市场营销的过程中发现:如果该商品按每件最低价3元销售,日
销售量为18件,如果单价每提高1元,日销售量就减少2件.设销售单价为x (元),日销售量为y (件).
(1)写出日销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式;
(2)设日销售的毛利润(毛利润=销售总额-总进价)为P (元)求出毛利润P (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式;
(3)在下图所示的坐标系中画出P关于x的函数图象的草图,并标出顶点的坐标;
(4)观察图象,说出当销售单价为多少元时,日销售的毛利润最高?是多少?
H P/元
60 -
50 -
40 -
30 ?
20 -
10「
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 x/元
7、(08凉州)我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场
价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保
存160元,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.
(1 )设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.
(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?
(利润=销售总额一收购成本一各种费用)
8 (09湖南长沙)为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款,用于某大学生开办公司生产
并销售自主研发的一种电子产品,并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元,员工每人每月的工资为2500元,公司每月需支付其它费用15万元?该产品每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示.
(1)求月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为50元时,为保证公司月利润达到5万元(利润=销售额—生产成本—员工工资—其它费用),该公司可安排员工多少人?
(3)若该公司有80名员工,则该公司最早可在几个月后还清无息贷款?
9、(09成都)大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店?该店采购进一种今
年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件.销售结束后,得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系:P=-2x+80(1 < xw 30,且x为整数);又知前20天的销售价格Q j (元/件)与销售
1
时间x(天)之间有如下关系:Q1x 30 (1 w x w 20,且x为整数),后10天的销售价格Q2(元/件)
2
与销售时间x(天)之间有如下关系:Q2=45(21 w xw 30,且x为整数).
(1)试写出该商店前20天的日销售利润R1(元)和后10天的日销售利润R2(元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式;
(2)请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润.
注:销售利润=销售收入一购进成本.
10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销
售量m (件)与时间t (天)的关系如下表:
未来40天内,前20天每天的价格y i(元/件)与时间t (天)的函数关系式为y^-t 25 (仁t空20
4
1 且t为整数),后20天每天的价格y
2 (元/件)与时间t (天)的函数关系式为y2二-丄t 40(21 < t < 40
2
且t为整数)。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题:
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m (件)与t (天)之间的关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程。公司通
过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t (天)的增大而增大,求a的取值范
围。
11、(20XX年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱. 受旱灾的影响,4月份,我市某蔬菜价格呈上升趋势,
进入5元/千克下降
1
至第2周的2.4元/千克且y与周数x的变化情况满足二次函数y二-一x2 bx c .
20
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x所满足的函数关系式,并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式;
1 (2)若4月份此种蔬菜的进价m (元/千克)与周数x所满足的函数关系为m二丄X ? 1.
2 , 5月份的进
4
一1
价m (元/千克)与周数x所满足的函数关系为m x 2 ?试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种
5
蔬菜一千克的利润最大?且最大利润分别是多少?
(3)若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜.从5月的第3周起,由于受暴雨的影响,此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少a%,政府为稳定蔬菜价格,从外地调运2吨此种蔬菜,刚好满
足本地市民的需要,且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a% ?若在这一举措下,此种蔬菜在第3
周的总销售额与第2周刚好持平,请你参考以下数据,通过计算估算出a的整数值.
(参考数据:372=1369 , 382=1444 , 392=1521 , 402=1600 , 412=1681)
【答案】?解:(1)4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x?1.8.
1 2
把 x =1, y = 2.8 和 x = 2, y = 2.4 分别代入 y
x 2 bx c ,得 20
1
——— + b+c=2.8, 20 1
一—y+2b + c=2.4 i 20
???五月份y 与x 满足的函数关系式为 y - -0.05x 2 -0.25x ? 3.1.
(2)设4月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为 W 元,5月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为 W 2
解得丿
b = -0.25,
c = 3.1.
元.
1 W , =(0.2x 1.8) -(一x 1.2) - -0.05x 0.6. 4
??? -0.05 v 0 ,??? W 随x 的增大而减小.
???当 x =1 时,W
最大
=-0.05+0.6=0.55.
2 1 2
W 2 = (-0.05x 2 -0.25x
3.1) -( x 2) - - 0.05x-0.05x
1.1.
5
???对称轴为 x
005
0.5,且-0.05 v 0,
2
0.05)
? x > -0.5时,y 随x 的增大而减小. ???当x=1时,W 2最大=1.
所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1周最大,最大利润为0.55元;5月份销售此种蔬菜一千克
的利润在第1周最大,最大利润为
1元.
(3)由题意知:1001-a% 2〕2.41 0.8a% =2.4 100.
整理,得a 2 23a - 250 = 0 .解得a
??? 392 =1521 , 402 =1600,而 1529 更接近 1521
, ? 1529 : 39 .
? a
-31 (舍去)或 a 8.
答:a 的整数值为8.
12、(20XX 年安徽中考)春节期间某水库养殖场为适应市场需求,连续用
20天时间,采用每天降低水位以
减少捕捞成本的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。 九(1)班数学建模兴趣小组根据调查,整理出第 x 天(1乞x 岂20且x 为整数)的捕捞与销售的相关信
息如下:
⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的? ⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失,且能在当天全部售出,求第 x 天的收入y (元)与x
(天)之间的函数关系式?(当天收入=日销售额一日捕捞成本) 试说明⑵中的函数 y 随x 的变化情况,并指出在第几天
y
取得最大值,最大值是多少?
【关键词】二次函数 【答案】
解:(1)解:该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了
10kg.
(1)解:由题意,得
y =20(950 T0x ) -(5 -仝)(950 -10x )二-2x 2 40x 14250
-23 一 一1529
2
2 2
(3)解:??? _2:::0,y=「2x 40x 14250 - -2(x-10) 14450
又1mx乞20且x为整数,
???当1_x_10时,y随x的增大而增大
当10_x_20时,y随x的增大而减小
当x=10时,即在第10天,y取得最大值,最大值为14450元。
巩固练习
1、(2008恩施自治州)将一张边长为30 cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形,然后
折叠成一个无盖的长方体?当x取下面哪个数值时,长方体的体积最大
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
2、(20XX年莆田)出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出6-X个,则当X二元时, 一天出售该种文具盒的总利润y最大。
3、(08绵阳)青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村,并将其全部利润用于灾后重建?据测算,若每个房间的定价为60元/天,房间将会住满;若每个房间的定价每
增加5元/天时,就会有一个房间空闲?度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天?间(没住宿
的不支出)?问房价每天定为多少时,度假村的利润最大?
4、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件?商家决定降
价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?
(2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应该售价定为多少元?最大销售利润是多少?
5、通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间的兴趣保持平稳状态,随后开始分散?学生注意力指标数y随时间x (分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示注意力越集中)?当0< x w 10时,图象是抛物线的一
部分,当10< x w 20和20w x w 40时,图象是线段.⑴当0w x< 10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;
⑵一道数学综合题,需要讲解24分钟?问老师能否经过适当安排,使学生听这道题时,注意力的
指标数都不低于36.
6、(山西太原)23.(本小题满分6分)
某公司计划生产甲、乙两种产品共20件,其总产值w (万元)满足:1150V w V 1200,相关数据如下
二次函数在实际生活中的应用
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,每瓶售价每增加0.5元,日均销量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元,由题意,得日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1 360-80x, y=(x-9)(1 360-80x) =-80x2+2 080x-12 240(10≤x≤14). -b 2a=- 2 080 2×(-80) =13, ∵10≤13≤14,∴当x=13时,y取最大值, y最大=-80×132+2 080×13-12 240=1 280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1 280元. 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时,应注意自变量的取值范围,在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况,对称性,特殊点等)和图象,然后依据这些性质作出结论. 【中考变形】 1.[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示. (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时,销售量为300件__;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式:__y=20x图Z8-1
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳:求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得: x x x x y 18)18(2+-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (自变量x 的取值范围是关键,在几何类题型中,经常采用的办法是: 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围,例如上式 中,18-x ,就是含有自变量的加减代数式,考虑到18-x 是边长,所以边长应该>0,但边长最长不能超过18,于是有0<18-x <18,0<x <18) (2)∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时, 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 点评:在回答问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为(250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中,a=21-<0,∴y 有最大值,
二次函数实际应用问题及解析
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面1.5m ,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角,水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中: (1)求抛物线的函数解析式; (2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ? 【答案】(1)213222y x x =-++;(2)(2+m . 【解析】 试题分析:(1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C (2,3.5)及B (0,1.5),设顶点式求解析式; (2)求AD ,实际上是求当y=0时点D 横坐标. 在如图所建立的直角坐标系中, 由题意知,B 点的坐标为(01.5),, 45CBE BEC ∠=∴,△为等腰直角三角形, 2BE ∴=, 点坐标为(23.5), (1)设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,
则抛物线过点(01.5),顶点为(23.5), , 当0x =时, 1.5y c == 由22b a -=,得4b a =-, 由24 3.54ac b a -=,得2 616 3.54a a a -= 解之,得0a =(舍去),1422a b a =-∴=-=,. 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++. 考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从 中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型. 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC x 边长为(m ),花园的面积为y (m ). (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少? 【答案】(1)x x y 202 12+- =)150(≤二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题