二次函数实际应用问题及解析
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。
一. 以几何为背景问题
原创模拟预测题 1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面 1.5m,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45 的角,水流的最高点C离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出 2m,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中:
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少 m?
13
【答案】( 1)y 1 x 2 2 x 3;( 2)2 7 m.
22
【解析】试题分析:( 1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C(2,3.5 )及 B (0,1.5 ),设顶点式求解
析式;
(2)求 AD,实际上是求当 y=0 时点 D 横坐标.在如图所建立的直角坐标系中,
由题意知,B 点的坐标为(0,1.5),
CBE 45 ,△ BEC 为等腰直角三角形,
BE 2,点坐标为(2,3.5)
2
(1)设抛物线的函数解析式为y ax 2 bx c( a 0),
则抛物线过点(01,.5)顶点为(2,3.5),当x 0 时,y c 1.5
由2,得b 4a ,
2a
22
4ac b 6a 16a
由3.5 ,得3.5
4a 4a
1 解之,得a 0 (舍去),a , b 4a
2 .
2
13 所以抛物线的解析式为y 1x2 2x 3.
22
考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从
中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型.
原创模拟预测题 2. 在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)
的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为 40m的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC边长为 x( m),花园的面积为y (m)
(1)求y 与x之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(2)满足条件的花园面积能达到 200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由;(3)根据(1)中求得的函数关系式 ,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少?
12
答案】( 1)y x2 20x (0 x 15);( 2)不能;( 3)x 15时,最大面积 187.5m
解析】
2
∴ y 1 x2 20x(0 x≤ 15)
2
2)当y 200 时,
12
即x2 20x 200
2
2
∴ x2 40x 400 0
解得:x 20 15
∵0 x≤ 15
∴ 此花园的面积不能达到 200m
考点:本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用
点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型.
二. 以球类为背景问题
原创模拟预测题 3. 如图,排球运动员站在点 O 处练习发球,将球从 O点正上方 2m的 A 处发出,把球看成点,其运行的高度 y( m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式2
y a x 6 h 。已知球网与 O点的水平距离为 9m,高度为 2.43m,球场的边界距 O 点的水平距离为18m。
1)当 h=2.6 时,求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围);
2)当 h=2.6 时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
3)若球一定能越过球网,又不出边界,求二次函数中二次项系数 a 的最大值。
22
答案】(1)把 x=0,y=2 及 h=2.6 代入到y a x 6 2 h ,即2 a 0 6 2 2.6,
1
∴a 。
60
12
∴当 h=2.6 时, y 与 x 的关系式为y 1 x 6 2.6 。
60
2
3)把 x=0, y=2 代入到y a x 6 h ,得h 2 36a。
x=9 时,y a 9 6 2 2 36a 2 27a >2.43 ①,
x=18时,y a 18 62 2 36a 2 108a≤ 0 ②,由① ②解得a1。
54
∴若球一定能越过球网,又不出边界,二次函数中二次项
系数
考点】二次函数的性质和应用,无理数的大小比较。a 的最大值
54
三 . 以桥、隧道为背景问题
2
原创模拟预测题 4. 如图,一大桥有一段抛物线型的拱梁, 抛物线的表达式为
y=ax 2+bx+c , 小王骑自行车从 O 匀速沿直线到拱梁一端 A ,再匀速通过拱梁部分的桥面 AC ,小王从 O 到 A 用了 2 秒,当小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同, 则小强骑自行车通过拱
【答案】 26。
【考点】 二次函数的应用
原创模拟预测题 5. 某山区的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售,当地政府 对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润 P= 1 x 60 2 41(万元)。
50 当地政府拟规划加快开
发该特产的销售, 其规划方案为: 在规划前后对该项目每年最多可投 人 100 万元的销售投资,在实施规划 5 年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 60 万元用 于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的 3 年中,该特产 既在本地销售,也在外地销售。在外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润梁部分的桥面 AC 共需
49 2 288 Q= 100 x 2 100 x 160 (万元)。
(1)若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少?
(2)若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根据( 1)、( 2),该方案是否具有实施价值?
12
【答案】( 1)∵每投入x 万元,可获得利润 P= x 60 2 41(万元),
50
∴当x =60时,所获利润最大,最大值为 41 万元。∴若不进行开
发, 5 年所获利润的最大值是: 41×5=20 5(万元)。
( 2)前两年: 0≤ x ≤40,此时因为 P随x 的增大而增大,所以x =40 时, P 值最大,
12 即这两年的获利最大为: 2×[ 40 60
41 ]=66 (万元)。
后三年:设每年获利y ,设当地投资额为x ,则外地投资额为 100
-x ,
1 2 49 2 288
∴y =P+Q=[ x 60 41]+[ x2 x 160]
50 50 5
22
=﹣x 2+60x +129=﹣(x ﹣ 30)2+1029。
∴当x =30时, y 最大且为 1029。
∴这三年的获利最大为 1029×3=3087(万元)。
∴5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是:66+3087﹣
50×2=3153(万
元)。
(3)规划后 5年总利润为 3153万元,不实施规划方案仅为 205 万元,故具有很大的实施价值。
【考点】二次函数的应用(利润问题)。
二次函数在实际生活中的应用
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,每瓶售价每增加0.5元,日均销量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元,由题意,得日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1 360-80x, y=(x-9)(1 360-80x) =-80x2+2 080x-12 240(10≤x≤14). -b 2a=- 2 080 2×(-80) =13, ∵10≤13≤14,∴当x=13时,y取最大值, y最大=-80×132+2 080×13-12 240=1 280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1 280元. 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时,应注意自变量的取值范围,在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况,对称性,特殊点等)和图象,然后依据这些性质作出结论. 【中考变形】 1.[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示. (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时,销售量为300件__;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式:__y=20x图Z8-1
二次函数解决实际问题归纳.doc
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤: 1、基本思路:理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性; 2、基本步骤:审题一建模(建立二次两数模型)一解模(求解)一回答(用生活语言回答,即问什么答什么)。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点:①设未知数在“当某某为何值时,什么最大(最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 (1)利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量,设未知数时,总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况:①自变量x是所涨价多少或降价多少;②自变量x是最终销售价格。 例:商场销售M型服装时,标价75元/件,按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动,每件在8折的基础上再降价x元,已知每天销售数量y (件)与降价x (元)之间的函数关系式为y=20+4x(x > 0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 (2)利用二次函数解决面积最值 例:已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点(不与正方形顶点重合),且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时,五边形EBCFP面积最小,最小面积多少? 2、用二次函数解抛物线形问题
常见情形具体方法 抛物线形 建筑物问 题 几种常见的抛物线形建筑物有拱 形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形 门窗等 (1)建立适当的平面直角坐标系,将抛物线形状的 图形放到坐标系之中; (2)从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条 件; (3)利用待定系数法求出抛物线的表达式; (4)运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线 (轨迹)问 题 运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行 轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记(1)解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型,将实际问题转化为数学问题,其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式; (2)把哪一点当作原点建立坐标系,将会直接关系到解题的难易程度或是否可解; (3)一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系,这样得出的二次函数的表 达式最为简单。 巧记实际问题要解决,正确建模是关键;根据题意的函数,提取配方定顶点;抛物线有对称轴,增减特性可看图;线轴交点是顶点,顶点纵标最值出。 练习 1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在 图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么? 2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x 元(X为正整数),每个月的销售利润为y元. (1)求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围吋,每个月的利润不低于2200元? 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。(1)试求a的值; (2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现试销量y (件)与每件售价x (元)满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元)与每件售价x (元)之间的函数关系式;当每件售价为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳:求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得: x x x x y 18)18(2+-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (自变量x 的取值范围是关键,在几何类题型中,经常采用的办法是: 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围,例如上式 中,18-x ,就是含有自变量的加减代数式,考虑到18-x 是边长,所以边长应该>0,但边长最长不能超过18,于是有0<18-x <18,0<x <18) (2)∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时, 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 点评:在回答问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为(250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中,a=21-<0,∴y 有最大值,
二次函数实际应用问题及解析
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面1.5m ,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角,水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中: (1)求抛物线的函数解析式; (2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ? 【答案】(1)213222y x x =-++;(2)(2+m . 【解析】 试题分析:(1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C (2,3.5)及B (0,1.5),设顶点式求解析式; (2)求AD ,实际上是求当y=0时点D 横坐标. 在如图所建立的直角坐标系中, 由题意知,B 点的坐标为(01.5),, 45CBE BEC ∠=∴,△为等腰直角三角形, 2BE ∴=, 点坐标为(23.5), (1)设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,
则抛物线过点(01.5),顶点为(23.5), , 当0x =时, 1.5y c == 由22b a -=,得4b a =-, 由24 3.54ac b a -=,得2 616 3.54a a a -= 解之,得0a =(舍去),1422a b a =-∴=-=,. 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++. 考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从 中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型. 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC x 边长为(m ),花园的面积为y (m ). (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少? 【答案】(1)x x y 202 12+- =)150(≤二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题