切比雪夫不等式的一个推广形式
切比雪夫不等式的一个推广形式
斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以
相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度
.
(图7)
分析:该题实际上是求二次函数的顶点和
(图6)
函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式
y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7,
2
分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理
和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程
(8-a)2+(x+6)2=102
化简得:x+12x+a-16a=0
当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快.
【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确
到0.1米
)
2
2
然后把x=7Π2代入解析式,即可求得.
总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教
师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力.
专题研究
切比雪夫不等式的一个推广形式
上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥
切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它
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在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的
一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式:
推广的切比雪夫不等式:
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,
n
i=1
n
n
n
则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1
n
≤i∑aibiti.=1
注:若所有的t1i=n
,上述不等式即为切
比雪夫不等式.
为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;
积分不等式:设f和g都在区间[a,b]上单调增加且分段连续,则 b
∫
f(x)g(x)dxa
≥
1
b
b
b-a∫
f(x)dx
g(x)dxa
∫
a
.
b
b
证明:令A=
∫
f(x)dx,B=
g(x)dx,
a∫a
b
C=
∫
f(x)g(x)dxa
,要证:C≥
1
b-a
AB.由于f和g都在区间[a,b]上单调增加,所以对于任意的x,y∈[a,b]有
(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))≥0.
对上式两边关于区间[a,b]进行积分,得
bb
(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))dxdy≥0,
a
∫
a
b
b即
∫[∫(f(x)g(x)
f(x)g(y)
a
a
-
-
f(y)g(x)+f(y)g(y))dx]dy≥0,
b
∫[C
Ag(y)
a
-
-
Bf(y)
+
(b
-a)f(y)g(y)]dy≥0,
C(b-a)-AB-AB+C(b-a)≥0.于
是,C≥
1
b-a
AB.注:由上述证明过程可知,若f和g一个为单调增加而另一个为单调减少时,则积分不等b
式要变向,即∫
f(x)g(x)dx
a
b
b
≤1b-a∫
f(x)dxg(x)dxa
∫a
.
推广的切比雪夫不等式的证明:分划区间[0,1]:0=x0 f(x)=a1,x∈[x0,x1]
ai+1,x∈[xi,xi+1],1≥ig(x)=
b1,x∈[x0,x1]
bi+1,x∈(xi,xi+1],i≥1
.
由已知条件知f和g在区间[0,1]上都单调增加,于是有积分不等式: 1
1
1
∫
f(x)g(x)dx0
≥
∫
f(x)dx
dx0∫g(x)0
.
1
n易知
∫
f(x)g(x)dx0=
i∑aibiti,
=11
n
1
n
f(x)dx
=iti,(x)dx
=0
i∑a=1
∫g0
i∑biti.由=1
n
n
n
此即得:(∑aiti)(∑biti)≤∑aibiti.
i=1i=1i=1
令,xgn,x∈[x01]
1(x)=
bbn-1,x∈(x1,xi+1],1≤i
则g1在区间[0,1]上单调减少.同前,对f和g1关于区间[0,1]应用积分不等式即得: n
n
n
aibn+1-iti≤(∑aiti)(∑biti)i∑.=1i=1i=1
参考文献:
1.《中学数学竞赛导引》,上海教育出版
社,1992年.
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∫∫
基本不等式(很全面)
基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????
利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明
利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB1000,1/2.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250 2 答题完毕，祝你开心! 1 1 2 1 10001= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100
1 2 = ≥ DX . 二、 切比雪夫Chebyshev不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进 一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该 上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫 不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多 是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。 这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近： 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分， 我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=
切比雪夫不等式例题
关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4） 所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率 的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X
\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。
三个数的均值不等式
平均值不等式导学案2 ☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成） 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ， 从小到大的排列是: ☆课前热身： (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ，求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知： 问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的
不等式证明的常用基本方法(自己整理)
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等 号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2 ＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s
浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用
浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用 发表时间：2018-12-21T14:00:50.797Z 来源：《文化研究》2018年第12月作者：吉润辰 [导读] 切比雪夫不等式一直以来在概率统计中占有十分重要的地位，它阐明了实验均数和方差之间的具体关系 扬州中学树人学校九龙湖校区 摘要：切比雪夫不等式一直以来在概率统计中占有十分重要的地位，它阐明了实验均数和方差之间的具体关系，并为大数定律提供理论基础,在生产和生活中有广泛的应用。利用该不等式可以成功推导得到正态分布的3准则，并引出利用中心极限定理将各类分布形式与正态分布相联系。本文主要介绍切比雪夫不等式和大数定律的推导方式，并举例说明二者在实验科学中的具体应用。 关键词：切比雪夫不等式；大数定律；马尔科夫不等式；标准正态分布 1.引言 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究概率统计规律中发现的，并用该不等式描述了标准差与实验样本量之间的关系，具有十分普遍的意义，是概率统计中最重要的不等式之一，可以将其推广为切比雪夫定理[2]。它将随机变量的期望和方差联系起来，并阐述了实验样本数据与理论计算真值的误差具体关系。除此之外，切比雪夫不等式也是马尔可夫不等式的特殊形式，即随机变量的误差函数大于或等于任意一个正数的概率的上限，该不等式是以俄国数学家马尔可夫命名，但它也曾出现在一些更早的文献中。 切比雪夫不等最重要的应用就是证明了大数定律，这为中心极限定理和正态分布的进一步研究打下基础[3]。说明了当实验次数达到一定数量时，可以将实验误差看作均匀分布的函数，并可以用实验样本频率来近似的替代实验概率，是各类概率统计方法的前提条件，并为统计方法的一般化提供令人信服的理论基础，是该类方法在各个领域均有广泛的应用。本文主要介绍切比雪夫不等式及大数定律的推导方式，并与马尔科夫不等式相联系，列举二者在解决实际问题中的具体应用。我们可以发现，正态分布最为重要的3准则便由此得到，并拓宽中心极限定理的一般化应用。 2.基本原理 2.1 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式的具体表述如下：设任意一组随机变量为X，且该组数据的期望为E（X）=，方差为D（x）=。对于任意一个正数，均有如下表示[1]：
高中数学专题-基本不等式
高中数学专题-基本不等式（第1课时）32 **学习目标** 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. **要点精讲** 1．基本不等式： 2 a b ab +3 (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。 2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）2 0,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2 222(,)a b ab ab a b R +吵?； （3）22 (,)2 a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄； （5）2 ( )(,)2 a b ab a b R ++Ｎ。 4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212n n n a a a a a a n ++鬃?鬃祝(n>1,n ?N)； **范例分析** 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2 a b ab +3 ， 你能解释2 a b ab +≤（,a b R + ∈）的几何意义吗？
切比雪夫不等式的意义、内涵
切比雪夫不等式的意义、内涵 摘要：切比雪夫不等式是研究素数分布的重要理论成果。它准确描述了素数定理应用领域 的边界极限。正确理解，准确诠释切比雪夫不等式的内涵，才能在论证相关数论命题时，把切比雪夫不等式作为可靠的论据使用。 关键词：不等式，极限不等式，邻域常数c； 一，概念、符号、定义 1，a=0,92129； 2，【连续合数段】的中值元素N；N≥9； 3，π(N)：不超过N的素数个数。 4，素数定理：π(N)~N ln N ； 5，极限不等式：在自变量趋于无穷时成立的不等式。 6，邻域：在一个【连续合数段】中，若中值元素为N，称N±?N为邻域。 7，邻域常数c：切比雪夫不等式中，随自变量变化的一个附加参数。 二，切比雪夫不等式的意义 1，切比雪夫不等式是极限不等式： a≤lim N→∞π(N) N ln N ≤ 6 5 a 2，一般的，任意给定【连续合数段】的中值元素N，在N的邻域N±?N内，存在【邻域常数】c≥0，使得 (a?c) N±?N ln(N±?N) ≤π(N±?N)≤(1.2a+c) N±?N ln(N±?N) 3，存在极限 lim N→∞ (a?c)=a lim N→∞ (1.2a+c)=1.2a lim N→∞ c=0 三，实验确定【连续合数段】的中值N之邻域内，对应的邻域常数c 1，根据 (a?c) N±?N ln(N±?N) ≤π(N±?N)≤(1.2a+c) N±?N ln(N±?N) （1）取【连续合数段】的中值元素N=26的邻域时，可得实验数据 π(26)≥(a?c) 26 ln26
c>26a ln26?π(26) 26 ln26 =a? 9 7.98012 =0.92129?1.12780=?0.20651π(26)≤(1.2a+c) 26 ln26 c>π(26)? 26(1.2a) ln26 26 ln26 = 9 7.98012 ?1.2a=1.12780?1.105548=0.02225 推知：取【连续合数段】的中值元素N=26时，有邻域常数 c=0.0223>0.02225 即有 0.899038 N±?N ln(N±?N) ≤π(N±?N)≤1.1278 N±?N ln(N±?N) （2）取【连续合数段】的中值元素N=120时，得到实验数据 π(120)≥(a?c) 120 ln120 c>120a ln120?π(120) 120 ln120 =a? 30 25.0653 =0.92129?1.19687=?0.275583π(120)≤(1.2a+c) 120 ln120 c>π(120)? 120(1.2a) ln120 120 ln120 = 30 25.0653 ?1.2a=1.19687?1.105548=0.091325 可知：取【连续合数段】的中值元素N=120时，有邻域常数（峰值） c=0.09133>0.091325 即有 0.82996N±?N ≤π(N±?N)≤1.197 N±?N （3）取【连续合数段】的中值元素N=1 2 (1328+1360)=1344时，可取邻域常数 c=0.058>π(1344) 1344 ln1344?1.2a=217 186.57842 ?1,105548=0.057502 （4）【连续合数段】中值元素的邻域常数满足0≤c≤0.9133 在区间(8,120]上，邻域常数c呈现锯齿状单调递增；在N=120的邻域内达到峰值 c=0.091325 在区间[120,∞)上，邻域常数c呈现锯齿状单调递减；直至 lim N→∞ c=0
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
经典不等式及其证明 第1页 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得
切比雪夫不等式的一个推广形式
切比雪夫不等式的一个推广形式 斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以 相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度 . (图7) 分析:该题实际上是求二次函数的顶点和 (图6) 函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式 y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7, 2 分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理 和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程 (8-a)2+(x+6)2=102 化简得:x+12x+a-16a=0 当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快. 【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确 到0.1米 ) 2 2 然后把x=7Π2代入解析式,即可求得. 总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教
师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力. 专题研究 切比雪夫不等式的一个推广形式 上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥 切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它 44 在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的 一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式: 推广的切比雪夫不等式: 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn, n i=1 n n n 则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1 n ≤i∑aibiti.=1 注:若所有的t1i=n ,上述不等式即为切 比雪夫不等式. 为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+ ≤≤ 【注意】： a b 、同向或有0 ?||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ?||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+ ； a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<< -+. 【说明】： b b m a a m +< +（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈，1 112n n n n n +-< <--； ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n -<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞- ，[,)b a +∞； 单调递减区间：(0,]b a ，[,0)b a -. x a b ab 2-ab 2a b - o y
推荐-基本不等式的证明1 精品
基本不等式的证明（1） 开课教师 江苏省太仓高级中学 徐彩娥 开课时间 4月6日上午第三课 开课地点 江苏省太仓高级中学 高一（4）班 教学目标： 1、 探索基本不等式0,0)2 a b a b +≥≥≥以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2、 理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3、 渗透数形结合和等价化归的数学思想 4、 通过学生实验、观察、归纳、抽象、概括，培养学生提出问题、分析问题和解决 问题的能力。 5、 能应用基本不等式解决一些简单的问题，培养学生学习数学的兴趣和学以致用的 能力； 教学重点：基本不等式的探索过程和证明 教学难点：等号成立条件 教学过程： 一、创设问题情景： 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。 问题1、如何合理的表示物体的质量？ 二、学生活动 1、简单的做法是把两次称得物体质量“平均”得M=2 a b +。（猜想，合理吗？） 2、根据杠杆原理，设物体质量为M ，天平的两臂长分别是12,l l 则12221 Ml al M ab M Ml bl =??=?=?=? 显然M = 3、概念引入 两个正数,a b ，我们把2a b +称为a 、b 的算术平均数， 称为几何平均数。 问题2、两个正数a 、b 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？
学生讨论：通过取一些具体的数据进行实验（借助计算机） 2a b +≤ 问题3：如何证明002 a b a ,b +≤>>（）？ 三、建构数学 基本不等式的证明——揭示课题 求证：0,2a b a b +>>≤ 证法一：（作差法） 2a b +=2211(()22a b +-=-（ 2102=≥ 所以2 a b +≥a b =时，等号成立。 解释“当且仅当“的含义 从两方面理解：一方面是当a b =时取等号，即a b =2 a b +? =，另一方面是 仅当a b =2a b +=a b ?=。综合2a b a b +=?= 证法二：（分析法）∵0,0a b >>， ∴要证明 2a b +≥ 只要证明 a b +≥ 只要证明 0a b -≥ 只要证明 20≥ ∵20≥成立 ∴ 2a b +≥ （当且仅当a b =时，等号成立。） 这种“执果索因”的证明方法称为“分析法”。
不等式选讲——基本不等式的推广
不等式选讲——基本不等式的推广 学习目标 1．在掌握二维基本不等式的基础上推广到三维基本不等式，并会应用三维基本不等式； 2．了解n 维基本不等式。 学习重点和难点 1．重点：三维基本不等式的理解和应用。 2．难点：三维基本不等式的理解和应用。 学习过程 一．自学、思考、练习 （一）问题导引 1．对于二维基本不等式,0,a b a b >+≥a b =时等号成立，你能把它推广到三维的情景吗？并证明三维基本不等式。 ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 2．写出n 维基本不等式。 ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ (二)知识的应用 例1．设,,a b c 是不全相等的正数，求证： （1）222()()9a b c a b c abc ++++≥； （2）( )()9a b c b c a b c a a b c ++++≥；
切比雪夫不等式的推广及应用
编号 毕业论文 （ 2013 届本科） 题目：切比雪夫不等式的推广及应用 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名： 指导教师：职称： 完成日期： 2013 年 5 月 24 日 二○一三年五月
切比雪夫不等式的推广及应用 摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用. 关键词切比雪夫不等式;推广;应用;实例. 中图分类号O211.1 The promotion and application of chebyshev inequality Song Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo (No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000) Abstract:Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities. Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance 1引言 概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃.对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常