数字信号处理第二章信源的度量习题答案
· 1 ·
2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 24log log )(1=== 八进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 38log log )(2=== 二进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 12log log )(0=== 所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量X 代表女孩子学历
X x 1（是大学生） x 2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75
设随机变量Y 代表女孩子身高
Y y 1（身高>160cm ） y 2（身高<160cm ） P(Y) 0.5 0.5
已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即： 75.0)/(11=x y p
求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：bit y p x y p x p y x p y x I 415.15
.075
.025.0log )()/()(log )/(log )/(11111111=?-=-=-=
2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的，则所给出的信息量是：
!
521)(=
i x p bit x p x I i i 581.225!52log )(log )(==-=
(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
· 2 ·
bit C x p x I C x p i i i 208.134
log
)(log )(4)(1352
13
13
52
13
=-=-==
2.4 设离散无记忆信源???
???=====??????8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X ，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
6
2514814183??
? ?????? ?????? ??=p
此消息的信息量是：bit p I 811
.87log =-= (2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==
2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
解： 男士：
sym bol
bit x p x p X H bit
x p x I x p bit x p x I x p i i i N N N Y Y Y / 366.0)93.0log 93.007.0log 07.0()(log )()( 105.093.0log )(log )(%
93)( 837.307.0log )(log )(%
7)(2
=+-=-==-=-===-=-==∑
女士：
symbol bit x p x p X H i
i i / 045.0)995.0log 995.0005.0log 005.0()(log )()(2
=+-=-=∑
2.6 设信源?
?????=??????17.016.017.018.019.02.0)(654321x x x x x x X P X ，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) > log6不满足信源熵的极值性。
解：
· 3 ·
585
.26log )(/ 657.2 )17.0log 17.016.0log 16.017.0log 17.018.0log 18.019.0log 19.02.0log 2.0( )
(log )()(26
=>=+++++-=-=∑X H symbol bit x p x p X H i
i i 不满足极值性的原因是107.1)(6
>=∑i
i
x p 。
2.7 证明：H(X 3/X 1X 2) ≤ H(X 3/X 1)，并说明当X 1, X 2, X 3是马氏链时等式成立。
证明：
log 1)/()(log )()/()(log 1)/()/()()
/()
/(log
)()
/(log )()/(log )()
/(log )()/(log )()
/()/(212
31321212332112313211232213133211
2
3
213133211
2
3
133211
2
3
2133211
3
13311
2
3
21332113213=????
??-??????=??
?
??-=????
??-≤=+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑e x x p x x p e
x x x p x x p x x p e x x x p x x p x x x p x x x p x x p x x x p x x p x x x p x x x p x x x p x x p x x p x x x p x x x p X X H X X X H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
氏链
是马等式成立的条件是时等式成立
当
_,,)/()/()/()()/()/()()()/()/()()
/()/(01)
/()
/()/()/(321132131232113121212131321213132131313213X X X x x x p x x p x x p x x x p x x p x x p x p x x p x x x p x x p x x p x x x p x x p x x x p x x p X X H X X X H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ∴=?=?=?=?=-≤∴
2.8证明：H(X 1X 2 。。。 X n ) ≤ H(X 1) + H(X 2) + … + H(X n )。
证明：
...
)/()( 0);()/()( 0);().../(...)/()/()()...(21332131221212121312121X X X H X H X X X I X X H X H X X I X X X X H X X X H X X H X H X X X H n n n ≥?≥≥?≥++++=-
· 4 ·
)
(...)()()()...()
.../()( 0)...;(32121121121n n n N N n N X H X H X H X H X X X H X X X X H X H X X X X I ++++≤∴≥?≥--
2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X 2), H(X 3/X 1X 2)及H ∞；
(3) 试计算H(X 4)并写出X 4信源中可能有的所有符号。
解： (1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……” (2)
symbol
bit X H X X X X H H symbol bit x p x p X H X X X H symbol
bit X H X H N N N N i
i i / 971.0)().../(lim / 971.0)6.0log 6.04.0log 4.0()(log )()()/(/ 942.1)6.0log 6.04.0log 4.0(2)(2)(12132132====+-=-===+?-==-∞
>-∞∑
(3)
1111
111011011100101110101001100001110110010101000011001000010000的所有符号：
/ 884.3)6.0log 6.04.0log 4.0(4)(4)(44X sym bol bit X H X H =+?-==
2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X 的符号集为{0, 1, 2}。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H ∞。
P
P
解： (1)
· 5 ·
???
??===??
?=++==????
????+?=?+?=?+?=???
??+=+=+=3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()()()()()()()()
()()()
/()()/()()()/()()/()()()/()()/()()(3
213213211333222111313333
32322222121111e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p p e p p e p e p p e p p e p e p p e p p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p
?
?
????=??????????
???=+=?+?=+==+=?+?=+==+=?+?=+=3/123/113/10
)(3
/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(131313333323232222212121111X P X p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p (2)
()
sym bol
bit p p p p p p p p p p p p p p p p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e p H i
j
i j i j i / log log log 31log 31log 31log 31log 31log 31 )/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(31 )
/(log )/(3
1
)/(log )/(31)/(log )/(31 )
/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(3
1 )
/(log )/()(33333232313123232222212113131212111133?+?-=?
??
?????+??+??+??+?+??-=?
??
++++++???++-=-=∑∑∞
2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X ={黑，白}。设黑色出现的概率为
P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。
(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2，P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H 2(X);
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H 2(X)的大小，并说明其物理含义。
解： (1)
symbol bit x p x p X H i
i i / 881.0)7.0log 7.03.0log 3.0()(log )()(=+-=-=∑
(2)
· 6 ·
sym bol
bit e e p e e p e p H e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p i
j
i j i j i / 553.0 9.0log 9.0321.0log 1.0322.0log 2.0318.0log 8.031 )
/(log )/()(3
/2)(3/1)(1)()()(2)()
(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(21211212221112122222121111=?
?
?
???+?+?+?-=-=??
?==??
?=+=??
?+=+=??
?+=+=∑∑∞
(3)
%
7.442
log 553
.02log %9.112
log 881
.02log 001001=-=-==-=-=
∞∞H H H H H H ηη
H(X) > H 2(X)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。
2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；
(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解： (1)
bit
x p x I x p i i i 170.418
1
log )(log )(18
1
61616161)(=-=-==
?+?=
(2)
bit x p x I x p i i i 170.536
1
log
)(log )(361
6161)(=-=-==
?=
(3)
两个点数的排列如下： 11 12 13 14
15 16
p(黑/黑)=0.8
e1
e2
· 7 ·
21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是36
16161=? 其他15个组合的概率是18
161612=??
symbol bit x p x p X H i
i i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=??? ??
?+?-=-=∑
(4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
sym bol
bit x p x p X H X P X i
i i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 36
12 )
(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=?
?? ??
+?+?+?+?+?-=-=??????????=?
?????∑
(5)
bit x p x I x p i i i 710.136
11
log
)(log )(3611116161)(=-=-==
??=
2.13 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵；
(2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。
解： (1)
symbol bit x p x p X H i
i i / 811.043log 4341log 41
)(log )()(=??? ??+-=-=∑
(2)
bit m x p x I x p m
i i m m
m
i 585.15.414
3
log
)(log )(4
34341)(100
100100
100100+=-=-==?
?
?
?????? ??=---
· 8 ·
(3)
symbol bit X H X H / 1.81811.0100)(100)(100=?==
2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
忙
晴
雨
冷 12
暖 8
暖 16
冷 27
闲
晴
雨
冷 8
暖 15
暖 12冷 5
若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解： (1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
sym bol
bit x p x p X H x x X P X i i
i / 964.010340log 1034010363log 10363)(log )()(1034010363闲忙)(2
21=??? ??+-=-=??
???????
?=??????∑
(2)
设忙闲为随机变量X ，天气状态为随机变量Y ，气温状态为随机变量Z
sym bol
bit YZ H XYZ H YZ X H sym bol
bit z y p z y p YZ H sym bol bit z y x p z y x p XYZ H j
k
k j k j i
j
k
k j i k j i / 859.0977.1836.2)()()/(/ 977.1 10328log 1032810332log 1033210323log 1032310320log 10320 )
(log )()(/ 836.2 10312log 103121035log 103510315log 103151038log 1038 103
16log
1031610327log 103271038log 103810312log 10312
)
(log )()(=-=-==?
?
? ??+++-=-==?
?
?
++++ ??+++-=-=∑∑∑∑∑ (3)
symbol bit YZ X H X H YZ X I / 159.0859.0964.0)/()();(=-=-=
· 9 ·
2.15 有两个二元随机变量X 和Y ，它们的联合概率为
并定义另一随机变量Z = XY （一般乘积），试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)；
(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)； (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。
解： (1)
sym bol
bit y p y p Y H y x p y x p y p y x p y x p y p sym bol
bit x p x p X H y x p y x p x p y x p y x p x p j
j j i
i i / 1)(log )()(2
1
8183)()()(21
8381)()()(/ 1)(log )()(2
1
8183)()()(21
8381)()()(22212121112212221111=-==
+=+==
+=+==-==
+=+==
+=+=∑∑
Z = XY 的概率分布如下：
sym bol
bit z p Z H z z Z P Z k
k / 544.081log 8187log 87
)()(8187
10)(2
21=??? ??+-=-=???
???????===??????∑
symbol
bit z x p z x p XZ H z p z x p z x p z x p z p z x p z p z x p z x p z x p z p x p z x p z x p z x p z x p x p i k
k i k i / 406.181log 8183log 8321log 21
)(log )()(8
1
)()()()()(8
35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(2222221211112121111112121111=??? ??++-=-==
=+==-=-=+====+=∑∑
· 10 ·
sym bol
bit z y p z y p YZ H z p z y p z y p z y p z p z y p z p z y p z y p z y p z p y p z y p z y p z y p z y p y p j k
k j k j / 406.181log 8183log 8321log 21
)(log )()(8
1)()()()()(8
35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(2222221211112121111112121111=??? ??++-=-==
=+==-=-=+====+=∑∑
sym bol
bit z y x p z y x p XYZ H y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p z x p z y x p z x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p z y x p z y x p i
j
k
k j i k j i / 811.181log 8183log 8383log 8381log 81
)(log )()(8
1
)()()
()()(0
)(8
3)()()()()(8
38121)()()()()()(8/1)()()()()(0
)(0)(0)(22222222222122122121121221211211111121111111211111111211111212221211=??
? ??+++-=-==
==+====+=-=-==+===+===∑∑∑
(2)
sym bol
bit XY H XYZ H XY Z H sym bol bit XZ H XYZ H XZ Y H sym bol bit YZ H XYZ H YZ X H sym bol bit Y H YZ H Y Z H sym bol
bit Z H YZ H Z Y H sym bol bit X H XZ H X Z H sym bol
bit Z H XZ H Z X H sym bol bit X H XY H X Y H sym bol bit Y H XY H Y X H sym bol
bit y x p y x p XY H i j
j i j i / 0811.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.181log 8183log 8383log 8381log 81
)(log )()(2=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==??? ??+++-==-=∑∑ (3)
· 11 ·
sym bol
bit YZ X H Y X H Y Z X I sym bol bit XZ Y H X Y H X Z Y I sym bol bit YZ X H Z X H Z Y X I sym bol
bit Z Y H Y H Z Y I sym bol
bit Z X H X H Z X I sym bol bit Y X H X H Y X I / 406.0405.0811.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 138.0862.01)/()();(/ 138.0862.01)/()();(/ 189.0811.01)/()();(=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
2.16 有两个随机变量X 和Y ，其和为Z = X + Y （一般加法），若X 和Y 相互独立，求证：H(X) ≤ H(Z), H(Y) ≤ H(Z)。
证明：
)
()()/()()
()(log )()( )/(log )/()()/(log )()/()(
0)( )()()/(2Y H Z H X Z H Z H Y H y p y p x p x z p x z p x p x z p z x p X Z H Y x z Y
x z y p x z p x z p Y
X Z i j j j i i k i k i k i i k i k k i i k i k j i k i k ≥∴≥=??
?
???-=?
??
???-=-=??
??-∈-=-=∴+=∑∑∑∑∑∑
同理可得)()(X H Z H ≥。
2.17 给定声音样值X 的概率密度为拉普拉斯分布+∞<<-∞=-x e x p x
,2
1)(λλ，求H c (X)，并
证明它小于同样方差的正态变量的连续熵。
解：
· 12 ·
()
()
()[]
λπλσπλλλλλσλλλλλλλλλλ
λλλλ
λλλ
λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλe
X H e e X H dx e x e xde xdx e dx e dx e x e de x dx
x e dx x e dx x x p x E m x E xdx e xdx e m ydy e ydy e y d y e xdx e xdx
e xdx e xdx e xdx x p X E m sym bol
bit e
e X H e e e e d e e e e d e dx
e e dx
e e dx
e e dx
e x p dx x p dx
e x p dx x p x p X H c c x x x x x x x x x x x x
y y y x x x
x c x x x x
x x
x x x x x x x x x c 2log
)(2log 2log 21)(222 2 21)()(0
2
1212
121)()(21212
12121)()(/ 2log log 2log )(log log log log log log 其中：
log 2log log 212log log )()(2log
2
1
log )()(log )()(2正态2
00000
20202020
22
||2
2
2
2
00000)(000||22200020
|||
|||||=>==∴=??? ?
?--=-===??? ??--=-===?==-==+-=∴-==--=+==?===+=∴=??? ??-=-==-=-=--=-=-=??????????????????????
??????∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞
+-∞+-∞+-∞
+∞--∞
+∞-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞-∞+-∞-∞
+∞--∞
+∞-∞
+-∞+--∞
+--∞
+--∞
+--∞
+--∞+∞---∞
+∞
--∞
+∞
-+∞∞--+∞∞-
2.18 连续随机变量X 和Y 的联合概率密度为：???
??≤+=其他
1
),(2222
r y x r y x p π，求H(X), H(Y),
H(XYZ)和I(X;Y)。
（提示：?-
=20
222log 2
sin log π
π
xdx ）
解：
· 13 ·
???
?
??????
??????
?
-+-=+
==-==--=--=--=-+-=--=---=--=-=≤≤--===----------
---202020
220
2
20
20
22220
2
20
2222
22
2222222222222
22222
222
22sin log 2
2cos 1422cos 1log 4
sin log sin 4
log sin 4
sin log sin 4
sin log sin 4)
cos (sin log sin 4cos log 4log 2log )(/ log 2
1
log log 2
1
1log 2log log )(2log log )(2
log )( 2log )( )(log )()()( 21)()(2
2222
22
2π
π
π
π
π
ππθ
θθ
πθθπθ
θθπ
θθπθθθπθθθπθθθπθπππππππππd d r d rd d r d r r r r d r r r r x dx x r x r r dx x r r x r dx
x r x p sym bol
bit e r e
r r dx
x r x p r dx
x r x p dx r
x p dx r
x r x p dx
x p x p X H r x r r
x r dy r dy xy p x p r r
r r
r
r r r r r r r
r r
r c x r x r x r x r 令其中：
· 14 ·
e
e e d e d e d e d e d e
d d d e
r d r d d r r d d d r d r 220
2220
220
22
0220
2220
220
20
20
20
220
20
220
20
20
20
20
log 2
1
2sin log 21log 212cos log 1log 122cos 1log 2
cos log 2
sin log cos cos sin 21
sin log 2sin sin log 2sin 12sin sin log 1
sin log 2cos 2
log 2
1
1log sin log 2cos 2
1log sin log 2cos 2
)2log 2
(2
2sin log 1
log sin log 2cos 2
sin log 2
2cos log 2
log 2
-=--=--=+-
=-=-=???
?
??-==
+-=-
-=-
-
+
-
=-
+
-
=
?????
??
?
?
?
??
?
??π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
πθ
θπ
θπθ
θ
πθ
θπ
θ
θ
θθ
θπ
θθθθπθ
θπθ
θθπθ
θθπθ
θθππ
π
θπ
θ
θθπθθπθθπ
θπ
其中：
bit/sym bol
e r e r XY H Y H X H Y X I bit/sym bol r dxdy xy p r dxdy r
xy p dxdy
xy p xy p XY H bit/sym bol
e r X H Y H x p y p r y r r
y r dx r dx xy p y p c c c c R
R
R
c C C y r y r y r y r log log log log log 2 )()()();( log )(log 1
log
)( )(log )()( log 2
1
log )()()
()()( 21
)()(2222222222222222
2222
22
2-=--=-+===-=-=-===≤≤--===???????
?
---
---πππππππππ
· 15 ·
2.19 每帧电视图像可以认为是由3 105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解： 1)
symbol
bit X NH X H symbol
bit n X H N
/ 101.27103)()(/ 7128log log )(6
5
?=??=====
2)
symbol
bit X NH X H symbol bit n X H N / 13288288.131000)()(/ 288.1310000log log )(=?=====
3)
158037
288
.13101.2)()(6
=?==X H X H N N
2.20 设N X X X X ...21=是平稳离散有记忆信源，试证明：
).../(...)/()/()()...(12121312121-++++=N N N X X X X H X X X H X X H X H X X X H 。
证明：
)
.../(...)/()/()()
.../(log )...(...... )
/(log )()(log )()
.../(log )...(...... )
/(log )...(...)(log )...(...)
.../().../()(log )...(...)
...(log )...(...)
...(12121312121111
2
211
2
12211
11111
2
21121221112211
2
11121211
2
2121-++++=---=-???
???-??????-=-=-=---∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑N N i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i N X X X X H X X X H X X H X H x x x p x x x p x x p x x p x p x p x x x p x x x p x x p x x x p x p x x x p x x x p x x p x p x x x p x x x p x x x p X X X H N N N
N N N N
N N N N N N
N N N N
N N
2.21 设N X X X X ...21=是N 维高斯分布的连续信源，且X 1, X 2, … , X N 的方差分别是
2
2221,...,,N
σσσ，它们之间的相关系数),...,2,1,(0)(j i N j i X X j i ≠==ρ。试证明：N 维高斯分布的连续信源熵
· 16 ·
∑==N
i
i N c c e X X X H X H 2212log 21)...()(σπ
证明：
相关系数()
()j i N j i x x j i ≠== ,,...,2,1, 0ρ，说明N X X X ...21是相互独立的。
∑==+++=+++=∴=+++==∴N
i i N
N c c c c i i c N c c c N c c e e e e X H X H X H X H e X H X H X H X H X X X H X H 12
2
2221212
21212log 21 2log 21...2log 212log 21 )
(...)()()(2log 2
1
)()(...)()()...()(σπσπσπσπσπ
2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数??
?≤≤=其他
0)(2
a x bx x p
(1) 试求信源X 的熵H c (X)；
(2) 试求Y = X + A (A > 0)的熵H c (Y)； (3) 试求Y = 2X 的熵H c (Y)。
解： 1)
sym bol
bit e
a b X H ba a F bx x F e
a ba
b xdx
x b b dx
x x f dx x f b dx
bx x f dx x f x f X H c X X R
R
R
R
R
c / log 32log )(1
3
)(,3)(log
92log log 2log log )()(log log )()(log )()(3
3
333222?--=∴===--=--=-?-=-=-=?????
2)
??????
-----=--?-=--=-=-='=-==-≤=≤+=≤=+≤≤∴≤-≤?≤≤-R
R
R
R
R
c A y A Y A y
d A y A y b b dy
A y y f dy y f b dy A y b y f dy y f y f Y H A y b y F y f A y b
dx bx A y X P y A X P y Y P y F A
a y A a A y a x )
()log()(2log )log()()(log )(log )()(log )()()()()()(3
)()()()(002222
32
· 17 ·
sym bol
bit e
a b Y H ba A a F A y b y F sym bol
bit e
a ba
b
c Y Y / log 32log )(13
)(,)(3)(/ log 92log 3
33
3
3?--=∴==+-=--=
3)
sym bol
bit e
a b Y H ba a F y b y F ba e a ba b e a ba b ydy
y b
b dy
y y f dy y f b
dy
y b
y f dy y f y f Y H y b
y F y f y
b dx bx y
X P y X P y Y P y F a
y a y a x c Y Y R R R
R R c y
Y / 1log 32log )(1
3
)2(,24)(3
29log 92log 8log
928log log 48log log )()(8log 8log )()(log )()(8)()(24
)
2
()2()()(202
003
3
33
333
32222
3
202+?--=∴===-+
--=--=--=-?-=-=-=='===≤=≤=≤=≤≤∴≤≤?≤≤??????
角的度量(一)练习题及答案
《角的度量（一）》课时练 一、填一填。 1、1周角= （）个平角=（）个直角=（）个45°的角。 2、角的两边在一条直线上，这样的角叫做（）角，它是（）度。 3、下午5时，时针和分针成（）角。 4、从一点引出两条（）所组成的图形叫做角，这一点叫做角的（），这两条射线叫做角的（）。 5、∠1与∠2的和是184°，∠2=54°，那么∠1=（）。 6、∠1是∠2的3倍，∠1=120°，∠2=（）。 7、大于90°而小于180°的角叫（）角。 二、判断。 1、一条射线OA，经过度量它的长度是5厘米。（） 2、角的大小与边的长短有很大关系。（） 3、经过一点只能画一条直线。（） 4、小于90°的角叫做锐角。（） 三、选择。 1、角的大小与两边（）有关。 A、张开的大小 B、长短 C、无关 2、∠1+∠2+∠3=180°，其中∠1=50°，∠2=∠3，那么∠3=（） A、55° B、60° C、65° 3、一张正方形的纸，剪掉一只角后，还剩（）只角． A、3 B、4 C、5 4、（）比直角大而比平角小． A、锐角 B、钝角 C、周角 5、关于线段、直线、射线，下列对比正确的是（） A、直线最长，线段最短 B、直线和线段一样长，线段最短 C、直线和射线无法比较，线段可以测量 6、把一个25°角放在放大镜下观察，看到的角是（） A、10° B、25 C、50° 四、看图计算。 1、已知∠1=28°求∠ 2、∠ 3、∠4和∠5各是多少度？
∠2= ，∠3= ，∠4= ，∠5= 答案： 一、 1.2,4,8 2.平，180 3.钝 4.射线，顶点，边 5.130度 6.40度 7.钝 二、×××× 三、A C C B C B 四、 ∠2= 152度，∠3= 28度，∠4= 90度，∠5=62度
数字信号处理填空题库
填空题(每空2分，共20分) 信号与系统的时域分析与处理 1.序列x(n)的能量定义为__________。 2.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__________。 3.设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则它们线性卷积的结果序列长度为__________。 4.线性系统同时满足_____和_____两个性质。 5.某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =__________。 6.序列x(n) = cos (3πn)的周期等于__________。 7.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 8. 已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是__________。 9.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。 10．序列x(n) = nR 4(n -1)，则其能量等于 _______ 。 11.两序列间的卷积运算满足_______，_______与分配率。 12信号处理有两种形式;其中一种是（ASP 模拟信号处理）;另一种是（DSP ：数字信号处理）。 13数字信号处理可以分为两类：信号(分析)和信号 (过滤) . 14数字信号是指 (时间) 和 (幅度)都离散的信号. 15．一个离散LTI 系统稳定的充要条件是系统的脉冲响应 h(n)满足关系式: ( ()h n ∞-∞<∞∑).LTI 离散系 统因果的充要条件是当且仅当 (h(n)=0,n<0). 16．互相关 ryx(l) 可以用卷积运算表示为（ryx(l)=y(l)*x(-l)）, 自相关 rxx(l)可写为 (rxx(l)=x(l)*x(-l) ) 17．若 LTI 系统的脉冲响应是有限长的,则该系统可称为(FIR:有限长脉冲响应) 滤波器, 否则称为 (IIR ：无 限长脉冲响应) 滤波器. 18．2n u(n)*δ(n-1)=( ). 0.8 n u(n)* 0.8 n u(n)=( ) 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4 πn)中包含的频率为__________。 2．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x 2(n)中包含的频率为__________。 3．系统差分方程为y(n)=x(n)-x(n-1) 的系统被称为 (数字微分器). 4．实序列的DTFT 有两个重要属性:(周期性)和 (对称性), 根据这两个性质,我们只需要考虑[0,π]频率范围上的X(ejw) . 5．若DTFT[x(n)]= X(ejw), 则 DTFT[x*(n)]=(X*(e-jw)), DTFT[x(-n)]=( X(e-jw)); DTFT[x(n-k)]=( X(ejw) e-jwk). 6．DTFT[ (0.5)n u(n)]=（1 10.5jw e --）; 7．x(n)={ 1,2,3,4},DTFT[x(n)]=(1+2 e-jw+3 e-j2w+4 e-j3w ) .
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
四年级数学上册试题-角的度量练习题 (含答案)
四年级数学上册角的度量练习题 命题人：周辉 一、单选题（注释） 1、下图∠1= 50。，∠4的度数是（） A．40。 B．50。 C．130。 答案、A 解析、 ∠1+∠5+∠4是平角，为180度，其中∠1是50度，∠5是直角为90度，∠4=180-90-50=40度。 2、把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，那么另一个肯定是（） A．锐角 B．直角 C．钝角 答案、A 解析、
一个平角是180度，分成一个钝角，钝角大于90度，所以另一个角小于90度，是锐角。 3、比平角小89度的角是（） A．锐角 B．直角 C．钝角 答案、C 解析、 平角是180度，比平角小89度的角是=180-89=91度的角，大于90度，所以是钝角。 4、把一张半圆形的纸对折可以得到（） A．锐角 B．直角 C．钝角 答案、B 解析、 一个半圆形的纸，对折一下得到直角。 5、下面是周角的图形是（）
A． B． C． 答案、C 解析、 角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角；等于360度的角是周角，由此可以知道是C。 6、下面哪幅图是周角？（） A． B． C． 答案、C 解析、 角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角；等于360度的角是周角，由此可以知道是C。 7、平角与钝角的差是（） A．锐角 B．直角 C．钝角
答案、A 解析、 平角是180度，钝角大于90度小于180度，所以平角与钝角的差小于90度是锐角。 二、填空题（注释） 1、我们学过的角有( ) 、( ) 、( ) 、( ) 、( ) 。 答案、 锐角, 直角, 钝角, 平角, 周角 解析、 角的分类有锐角, 直角, 钝角, 平角, 周角。 2、量出下面三角形中每个角的度数。
数字信号处理完整试题库
1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分
四年级数学上册角的度量(一)练习题及答案
四年级数学上册角的度量［一］练习题及答案 一.填一填。 1.1周角= ［］个平角=［］个直角=［］个45°的角。 2.角的两边在一条直线上，这样的角叫做［］角，它是［］度。 3.下午5时，时针和分针成［］角。 4.从一点引出两条［］所组成的图形叫做角，这一点叫做角的［］，这两条射线叫做角的［］。 5.∠1与∠2的和是184°，∠2=54°，那么∠1=［］。 6.∠1是∠2的3倍，∠1=120°，∠2=［］。 7.大于90°而小于180°的角叫［］角。 二.判断。 1.一条射线OA，经过度量它的长度是5厘米。［］ 2.角的大小与边的长短有很大关系。［］ 3.经过一点只能画一条直线。［］ 4.小于90°的角叫做锐角。［］ 三.选择。 1.角的大小与两边［］有关。 A.张开的大小 B.长短 C.无关 2.∠1+∠2+∠3=180°，其中∠1=50°，∠2=∠3，那么∠3=［］ A.55° B.60° C.65° 3.一张正方形的纸，剪掉一只角后，还剩［］只角． A.3 B.4 C.5 4.［］比直角大而比平角小． A.锐角 B.钝角 C.周角 5.关于线段.直线.射线，下列对比正确的是［］ A.直线最长，线段最短 B.直线和线段一样长，线段最短 C.直线和射线无法比较，线段可以测量 6.把一个25°角放在放大镜下观察，看到的角是［］ A.10° B.25 C.50° 四.看图计算。 1.已知∠1=28°求∠ 2.∠ 3.∠4和∠5各是多少度？ ∠2= ，∠3= ，∠4= ，∠5=
答案： 一. 1.2,4,8 2.平，180 3.钝 4.射线，顶点，边 5.130度 6.40度 7.钝 二、 ×××× 三、 A C C B C B 四、 ∠2= 152度，∠3= 28度，∠4= 90度，∠5=62度
数字信号处理》试题库答案
1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
数字信号处理习题及答案1
数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)
最新人教版四年级上册数学《角的度量》习题及答案
角的度量练习题 班级 姓名 一、我会填。 1、（ 直线 ）和( 射线 )都可以无限延伸，( 线段 )可以量出长度。 2、( 射线 )可以向一端无限延伸，( 直线 ) 可以向两端无限延伸。 3、线段有（ 2 ）个端点，射线有（ 1 ）个端点，直线（ 没有 ）端点。 4、过两点可以画( 1 )条直线， 过一点可以画（无数 ）条直线。 5、从一点引出两条（ 射线 ）所组成的图形叫做角，这一点叫做角的（顶点 ），这两条射线叫 做角的（ 边 ）。 6、角的大小要看两边张开的大小，张开得（ 越大 ），（ 角 ）越大。角的大小与角的两边 画出的长短（ 无关 ）。 7、钟面上2时，时针和分针成（60°或锐 ）角，3时成（90°或直 ）角，6时成（ 180°或平）角。 二、细心选一选。（选择正确答案的序号填在括号里） 1、角的两条边都是（ ② ）。 ①线段 ②射线 ③直线 ④曲线 2、钟面上时针和分针成９０°角时，这时的时间是（ ④ ）。 ①２时 ②６时 ③１２时 ④９时 3、一条（ ① ）长３０００米。 ①线段 ②射线 ③直线 四、请你来动手。 １.认真量一量，写出每个角的度数。 角的度量只允许有 1°的误差 （ 120 ）° （ 26 ）° （ 110 ）° （ 90 ）° ２.用量角器量一量。 1 2 3 4 1 2 3 4
∠1＝55°∠2=55° ∠3＝125°∠4=125° ∠1＝140°∠2=40° ∠3＝140°∠4=40° 后序 亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。希望我的文档能够帮助到你，促进我们共同进步。 孔子曰，三人行必有我师焉，术业有专攻，尺有所长，寸有所短，希望你能提出你的宝贵意见，促进我们共同成长，共同进步。每一个都花费了我大量心血，其目的是在于给您提供一份参考，哪怕只对您有一点点的帮助，也是我最大的欣慰。如果您觉得有改进之处，请您留言，后期一定会优化。 常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习只是一个习惯，只要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信你我不久的将来一定会取得更大的进步。 最后祝：您生活愉快，事业节节高。
数字信号处理习题库选择题附加答案
第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A ．时间离散、幅值连续 B ．时间离散、幅值量化 C ．时间连续、幅值量化 D ．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A ．x(n) = δ(n) B ．x(n) = u(n) C ．x(n) = R 4(n) D ．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin ??? ??n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞ 5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π )的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期 6．以下序列中（ D ）的周期为5。 A ．)853cos( )(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。 A ．sin100n B. n j e 2 C. n n ππ30sin cos + D. n j n j e e 5431 π - 8．以下序列中 D 的周期为5。 A.)853cos( )(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852 ()(π +=n j e n x D.)852 ()(ππ+ =n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ??? ??+353ππ n 的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin （ 5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x (n )=cos ? ?? ??n 5π3的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A ．u(n)=∑=n k 0 δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∞-∞=k δ (n)
小学数学人教版四年级上册第三单元角的度量 单元测试题(有答案解析)
小学数学人教版四年级上册第三单元角的度量单元测试题（有答案解析） 一、选择题 1．下图中，共有（）个角。 A. 3 B. 6 C. 5 2．用一副三角尺不能画出下面（）的角。 A. 105° B. 15° C. 20° 3．如图已知∠1=30°，则∠2=（）。 A. 30o B. 150o C. 180o 4．以下各角中，（）角不可以用一副三角板拼出来的。 A. 150° B. 120° C. 140° D. 75° 5．如果直角三角形的一个锐角是20°，那么另一个角一定是（）。 A. 20° B. 70° C. 160° 6．量角器使用正确的是（） A. B. C. D. 7．把直角、钝角、平角、锐角按从大到小的顺序排列起来的是（）。 A. 直角、锐角、平角、钝角 B. 平角、钝角、直角、锐角 C. 钝角、平角、直角、锐角 D. 锐角、直角、钝角、平角 8．淘气用量角器测量一个角时，角的一条边和内圈的0°刻度线重合，读数时他读了外圈刻度，读出的度数是75°。这个角的实际度数是（）。 A. 105° B. 75° C. 15° D. 115°9．下面各角中（）不能用一副三角板拼成。 A. 105° B. 100° C. 75° 10．用破损的量角器也能测量角的度数，如下图∠1=（）。
A. 40° B. 75° C. 35° D. 45°11．三角尺上的三个角中，最大的一个角是（）。 A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 12．下面各角，（）最大。 A. B. C. 二、填空题 13．如图中∠1＝35°，∠2＝________，∠3＝________． 14．经过两点能画________条直线，经过三点最多能画________条直线。 15．3时整，时针与分针所夹的较小角是________°，再走30分钟，时针与分针所夹的较小角是________°。 16．10点整，时针和分针成________角，是________度。 17．如下图，已知∠1=75°，∠3=65°，那么∠2=________° 18．如图，已知∠1=40°，∠2=________，∠3=________，∠4=________。 19．量出下面各角的度数。 ________
数字信号处理习题及答案
==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)
人教版小学数学四年级上册 角的度量 选择题练习(含答案)
人教版四年级数学上册角的度量选择题练习 ∠+∠的度数（）。 1．将一个长方形折两次后得到右图的形状，那么12 A．大于90°B．等于90°C．小于90°D．无法确定 2．用三个角拼成一个平角，其中两个是锐角，那么第三个角是什么角？下面说法正确的是（）。 A．一定是锐角B．一定是钝角C．不可能是直角 D．可能是直角，也可能是锐角，还可能是钝角 3．下面4组角的度数中，全是钝角的是（）。 A．120°，90°，92°B．180°，93°，125° C．135°，91°，145°D．175°，89°，179° 4．小明画了一条（），长10cm。 A．直线B．线段C．射线 5．用一个10倍放大镜看1°的角，这个角的度数是（）。 A．无法确定B．10°C．1° 6．如果把一条长10厘米的线段向两端各延长100000米，得到的是一条（）。 A．直线B．射线C．线段D．无法确定 7．下图，如果∠1＝125°，那么∠3＝（）。 A．55°B．35°C．25° 8．下图中，（）是直线。 A．B．C． 9．用放大10倍的放大镜看一个15度的角，这个角是（）度。 A．150B．15C．不能确定 10．下列说法正确的是（）。
A．乐乐画的直角比明明画的直角大。B．比直角大的角一定是钝角。 C．角越大，角的两边越长。D．角的大小与角两边的长短没有关系。11．把一个平角分成两个不相等的角，较大的那个角是（）角。 A．锐B．直C．钝D．平 12．在65°、89°、121°、90°、150°、180°中，有（）个钝角。 A．1B．2C．3D．5 13．用一副三角尺可以拼出（）的角。 A．35°B．105°C．65° 14．用10倍的放大镜看70°的角，角的度数（）。 A．变大了B．变小了C．不变 15．图中有（）条线段。 A．7B．8C．10 16．把一个23°的角放在10倍的放大镜下观察，看到的角是（）。 A．23°B．50°C．250° 17．把一个角分成∠1、∠2两个角，若∠1是锐角，则∠2必定是（）。 A．锐角B．钝角C．平角D．无法判断18．如图，有（）条线段。 A．3B．4C．5D．6 19．9：30，时针与分针形成的角是（）。 A．锐角B．直角C．钝角D．平角 20．下列说法错误的是（）。 平方米B．大于90°小于180°的角叫做钝角A．1公顷10000 C．角的大小与两边的长短无关。D．407070000只读一个零 21．将一张圆形纸至少对折（）次可以得到45°的角。 A．4B．3C．2D．1
四年级角的度量(一)练习题及答案
四年级角的度量（一）练习题及答案 一、填一填。 1、1周角= （）个平角=（）个直角=（）个45°的角。 2、角的两边在一条直线上.这样的角叫做（）角.它是（）度。 3、下午5时.时针和分针成（）角。 4、从一点引出两条（）所组成的图形叫做角.这一点叫做角的（）.这两条射线叫做角的（）。 5、∠1与∠2的和是184°.∠2=54°.那么∠1=（）。 6、∠1是∠2的3倍.∠1=120°.∠2=（）。 7、大于90°而小于180°的角叫（）角。 二、判断。 1、一条射线OA.经过度量它的长度是5厘米。（） 2、角的大小与边的长短有很大关系。（） 3、经过一点只能画一条直线。（） 4、小于90°的角叫做锐角。（） 三、选择。 1、角的大小与两边（）有关。 A、张开的大小 B、长短 C、无关 2、∠1+∠2+∠3=180°.其中∠1=50°.∠2=∠3.那么∠3=（） A、55° B、60° C、65° 3、一张正方形的纸.剪掉一只角后.还剩（）只角． A、3 B、4 C、5 4、（）比直角大而比平角小． A、锐角 B、钝角 C、周角 5、关于线段、直线、射线.下列对比正确的是（） A、直线最长.线段最短 B、直线和线段一样长.线段最短 C、直线和射线无法比较.线段可以测量 6、把一个25°角放在放大镜下观察.看到的角是（） A、10° B、25 C、50° 四、看图计算。 1、已知∠1=28°求∠ 2、∠ 3、∠4和∠5各是多少度？ ∠2= .∠3= .∠4= .∠5=
答案： 一、 1. 2,4,8 2. 平.180 3. 钝 4. 射线.顶点.边 5. 130度 6. 40度 7.钝 二、×××× 三、A C C B C B 四、 ∠2= 152度.∠3= 28度.∠4= 90度.∠5=62度
(完整word版)数字信号处理题库(附答案)
数字信号处理复习题 一、选择题 1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。 A.9.0 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 、填空题 1．序列x(n) sin(3 n / 5)的周期为10 。2．线性时不变系统的性质有交换律律结合律分配律。 3．从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率 f 与信号最高频率fs 关系为：f>=2fs 4．若正弦序列x(n)=sin(30n π/120) 是周期的，则周期是N= 8 。 5．序列x(n) sin(3 n / 5)的周期为10 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 7．因果序列x(n) ，在Z→∞时，X(Z)= x(0) 。二、单项选择题 1．δ (n)的傅里叶变换是( A ) A. 1 B.δ (ω ) C.2πδ (ω) D.2π 2．序列x1(n)的长度为4，序列x2( n)的长度为3，则它们线性卷积的长度是( C ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x(n)时，输出y( n)；输入为3x (n-2)，输出为( B ) A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n） D.y(n) 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是(D ) A. 时域为离散序列，频域为连续信号 B. 时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C. 时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D. 时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为( C ) A．当n>0 时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n) ≠0 6．下列哪一个系统是因果系统( 5．所谓采样，就是利用采样脉冲序列 p(t) 从连续时间信号 x a (t)中抽取一系列的离散样值。 ( 6．数字信号处理只有硬件方式实现。 ( × ) 7．对正弦信号进行采样得到的正弦序列一定是周期序列。 ( × ) 8．数字信号处理仅仅指的是数字处理器。 ( × ) 9．信号处理的两种基本方法：一是放大信号，二是变换信号。 ( × 10．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。 ( × ) 四、简答题 1．用 DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 答：混叠失真；截断效应(频谱泄漏) ；栅栏效应 2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 1 2 3 部分：按照预制要 求对数字信号处理加工； 第 4部分：数字信号变为模拟信号； 第 5 部分：滤除高频部分， 平滑模拟信号。 A.N ≥M B.N ≤M C.N ≤ 2M D.N ≥ 2M 10 ．设因果稳定的 LTI 系统的单位抽样响应 h(n) ， 在 n<0 时， h(n)= ( A ) A.0 B.∞ C. - ∞ D.1 三、 判断题 1． 序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是 2π。 ( √ ) 2 ． x(n)= sin (ω ( √ ) 0n) 所代表的序列不一定是周期 3． 卷积的计算过程包括翻转，移位，相乘，求和四个过程 ( √ ) 4． y(n)=cos[x(n)] 所代表的系统是非线性系统。 ( √ ) ) 则频域抽样点数 N 需满足的条件是 ( A C ．当 n<0 时， h(n)=0 D ．当 n<0 时， h(n) ≠0 A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7． A. x(n)= δ (n-3)的傅里叶变换为( A e 3jw B. e 3jw C.1 D.0 x(n) a n u(n),0 a 1 的傅里叶变换为 11 A. jw B. jw 1 ae 1-ae 8． C ) 1 C. -jw 1-ae 1 D.1 ae - jw 9．若序列的长度为 M ，要能够由频域抽样信号 X(k) 恢复原序列，而不发生时域混叠现象， √) 数字信号处理期末复习题 一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分） 1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。 (Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 ①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。 ①Ωs ②.Ωc ③.Ωc/2 ④.Ωs/2 3.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。 ①.R3(n) ②.R2(n) ③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1) 4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。 ①.有限长序列②.右边序列 ③.左边序列④.双边序列 5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。 ①当｜a｜<1时，系统呈低通特性 ②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性 ③.当0 6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。 ①.2 ②.3 ③.4 ④.5 7.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。 ①.FFT是一种新的变换 ②.FFT是DFT的快速算法 ③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 ④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数) 8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。 ①.横截型②.级联型 ③.并联型④.频率抽样型 9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ④ )。 ①.h［n］=-h［M-n］ ②.h［n］=h［M+n］ ③.h［n］=-h［M-n+1］ ④.h［n］=h［M-n+1］ 10.下列关于用冲激响应不变法设计IIR滤波器的说法中错误的是( ④ )。 ①.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 ②.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 ③.容易出现频率混叠效应 ④.可以用于设计高通和带阻滤波器 11.利用矩形窗函数法设计FIR滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( ① )。 ①.窗函数幅度函数的主瓣宽度 ②.窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半 第一章 第二章 11-=--m/2 m=-m -/2 12 m=--/2 -/21 2 m=-m=-()121.7DTFT[x(2n)]=(2n)e m=2n DTFT[x(2n)]=(m)e =[()(1) ()]e [()e e ()e ] [()()] j n n j m j m j m j m j m j j x x x m x m x m x m X e X e ωωωωπ ωωωπ∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞-+-=+ =+∑∑ ∑∑∑，为偶数 求下列序列的傅里叶变换（）x(2n) 令，于是 -n 1 1 121 z (1) 2u(n)()2 ()2 1,|(2)|11(2),||n n n n n n X z u n z z z z z z z +∞ --=-∞+∞ --=-∞ --=== <-=>-∑∑14.求出下列序列的变换及收敛域 3.3(1).()cos(),781() 8 (2).()5.25n 640() (5)()x n A n A j n x n e x n y n e πππω=--==判断下面的序列是否周期的是常数 试判断系统是否为线性时不变的（）y(n)=x (n)(7) y(n)=x(n)sin() .试判断系统是否为因果稳定系统（）y(n)=x(n-n ) -1 -1-2 -1 -1112 1-317.X(z)=,2-5+2105< | z | < 2x(n)(2) | z | > 2x(n) 11 X(z)= -1-z 1-2z 05< | z | < 2(n)=2(-n-1)+()(n) | z | > 2(n)=()(n)-2(n)n n n n z z z u u u u 已知分别求：（）收敛域.对应的原序列收敛域对应的原序列解：收敛域.时： x 收敛域时： x -1-1 -1 -1-1 -1 21.(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)h(n)(2)H(e )1+0.9(1)H(z)=,|z|>0.91-0.91+0.9F(z)=H(z)z =z 1-0.9n 1z=0.9(n j n n z z z z h ω≥已知线性因果网络用下面差分方程表示： y 求网络的系统函数及单位脉冲响应写出网络频率响应函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解： 令当时，有极点-1-1=0.9-112-1-1-1-1=0=0.9-1-1)=Res[F(z),0.9]1+0.9=z (z-0.9)|1-0.9=20.9(n)=0,n<0 n=0z =0,=0.9(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.91+0.9=z z|+z (z-0.9)|1-0.91-0.9=-1+2=1 h(n)=n z n z z z z z h z z z z ?∴因为系统是因果系统，所以有h 当时，有极点00000000=0n-m =0n -m =0 n n 20.9(n-1)+(n)+0.9 (2)H(e )=-0.9 (3)y(n)=h(n)*x(n) =(m)x(n-m) =(m)e =(m)e e =e H(e )+0.9=e -0.9 n j j j m j m j j m j j j j j u e e h h h e e ωω ω ωωωωωωωωδ∞ ∞ ∞ ?∑∑∑（ ）数字信号处理习题及答案
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