圆形磁场中的几个典型问题
圆形磁场中的几个典型问题
许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．
一、最值问题的解题关键——抓弦长
1．求最长时间的问题
例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域，有一磁感应强度
为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度
v0=106m / s 从磁场边界上直径 ab 一端 a 点处射入磁场，已知该
粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场
时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以 v0与 Oa
的夹角 表示）最长运动时间多长？
小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．
2 ．求最小面积的问题
例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于 Ox 轴的
速度v从y轴上的a点射人如图 3 所示第一象限的区域．为了
使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度 v 射出，可在
适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁
场．若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求此圆形磁场区域的
最小面积，重力忽略不计．
小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．
上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．
二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入
射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒
子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所
有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点
的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
例3 如图5所示，x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向
上．在半径为 R 的圆形区域加一与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐
标原点 O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有
相同质量 m 、电荷量 q ( q > 0 ）且初速为v0的带电粒子，不计
重力．调节坐标原点 O 处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面不
断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x 轴上方，现要
求这些带电微粒最终都能平行于 x 轴正方向射出，则带电微粒的速
度必须满足什么条件？
小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题．
3.如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xoy平面有与y轴平行
的匀强电场，在半径为R的圆形区域加有与xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（）和初速为的带电粒子。已知重力加速度大小为g。
（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。
（2）调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
答案
三、边界交点问题的解题关键―抓轨迹方程
例 4 如图 7 所示，在 xoy平面 x＞0区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为 O，半径为 R =0.10m ，磁感应强度大小为 B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里．有一线状粒子源放在 y 轴左侧（图中未画出），并不断沿平行于 x 轴正方向释放出电荷量为q=+1.6×10-19C ，初速度 v0= 1.6 ×106m / s 的粒子，粒子的质量为 m =1.0×10-26kg ，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从 y 轴任意位置（0，y）入射的粒子离开磁场时的坐标．
点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法
相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维．
四、周期性问题的解题关键——寻找圆心角
1 ．粒子周期性运动的问题
例 5 如图 9 所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为
R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为
B ．现有一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子（不计重力）从 A 点
沿 aA 方向射出．求：
（1）若方向向外的磁场围足够大，离子自 A 点射出后在两个磁场
不断地飞进飞出，最后又返回 A 点，求返回 A 点的最短时间及对应
的速度．
（2）若向外的磁场是有界的，分布在以 O 点为圆心、半径为 R 和 2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从 A 点沿 QA 方向射出且粒子仍能返回 A 点，求其返回 A 点的最短时间．
2．磁场发生周期性变化
例 6 如图 12 所示，在地面上方的真空室，两块正对的平行金属板水平放置．在两板之间有一匀强电场，场强按如图 13 所
示规律变化（沿 y 轴方向为正方向）
在两板正中间有一圆形匀强磁场区
域，磁感应强度按图 14 所示规律变化，
如果建立如图 12 所示的坐标系，在
t=0时刻有一质量 m=9.0×10-9kg 、电
荷量 q =9.0×10-6C 的带正电的小球，
以v0=1m / s 的初速度沿 y 轴方向从 O 点射入，分析小球在
磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时
的位置坐标．
小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性．
五、磁场问题的规律
前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点．
（1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动．
（2）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解．（3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量．
（4）解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系；三是确定半径和周期，构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题．
【同步练习】
1．如图所示，在半径为R的圆形区域充满磁感应强度为B的匀强磁场，
MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的
带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说确的是（）D
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足
qBR
v
m
，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
2．如图所示，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e 为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四
分之一圆弧组成的区域有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无
磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、
电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad
方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）
CD
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
3、一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间；
（3）点的坐标。
解：
（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
由图可知，
磁场区域最小半径
磁场区域最小面积
（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间，从a飞出磁场后做匀速直线运动
∵
∴
∴
（3）∵
∴
∴
故b点的坐标为（，0）
4、在xoy平面有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于平面向、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
5．如图所示，在坐标系xoy有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；
（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。
解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R，牛顿第二定律有
粒子自A点射出，由几何知识
解得
（2）粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为y1
得
所以在电场中最高点的坐标为（a，）
（3）粒子在磁场中做圆运动的周期
粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P点的出射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为θ1=60°
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=acosθ
粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间
粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，PO1QO3构成菱形，由几何知识可知Q点在x轴上，粒子由P到Q 的偏向角为θ2=120°
则
粒子先后在磁场中运动的总时间
粒子在场区之间做匀速运动的时间
解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间
【答案】
（1）；（2）；（3）；（4）轨迹如图。
【解析】（1）由题意可得粒子在磁场中的轨迹半径为r=a （1分）
（2分）
（1分）
（2）所有粒子在电场中做类平抛运动（1分）
从O点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点
（1分）
（1分）
从O点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点
圆形磁场中的几个典型问题
圆形磁场中的几个典型问题 许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明． 一、最值问题的解题关键——抓弦长 1．求最长时间的问题 例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速 度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与 Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？ 小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大． 2 ．求最小面积的问题 例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴 的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为 了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可 在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强 磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计． 小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径． 上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长． 二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入 射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电 粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等， 则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且 出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所 示。 【典型题目练习】 1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强 磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射 入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑 粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（） A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上 B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D．只要速度满足 qBR v m ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上 2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一 圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场) 磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷 量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且 垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（） A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度B的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角； （3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁
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高中物理《磁场》典型题(经典推荐) 一、单项选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．在静电场中电场强度为零的位置，电势也一定为零 B ．放在静电场中某点的检验电荷所带的电荷量q 发生变化时，该检验电荷所受电场力F 与其电荷量q 的比值保持不变 C ．在空间某位置放入一小段检验电流元，若这一小段检验电流元不受磁场力作用，则该位置的磁感应强度大小一定为零 D ．磁场中某点磁感应强度的方向，由放在该点的一小段检验电流元所受磁场力方向决定 2．物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系。如关系式U=IR ，既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也确定了V （伏）与A （安）和Ω（欧）的乘积等效。现有物理量单位：m （米）、s （秒）、N （牛）、J （焦）、W （瓦）、C （库）、F （法）、A （安）、Ω（欧）和T （特） ，由他们组合成的单位都与电压单位V （伏）等效的是( ) A ．J/C 和N/C B ．C/F 和/s m T 2? C ．W/A 和m/s T C ?? D ．ΩW ?和m A T ?? 3．如图所示，重力均为G 的两条形磁铁分别用细线A 和B 悬挂在水平的天 花板上，静止时，A 线的张力为F 1，B 线的张力为F 2，则（ ） A ．F 1 =2G ，F 2=G B ．F 1 =2G ，F 2>G C ．F 1<2G ，F 2 >G D ．F 1 >2G ，F 2 >G 4．一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，先保持线框的面积不变，将磁感应强度在1s 时间内均匀地增大到原来的两倍，接着保持增大后的磁感应强度不变，在1s 时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半，先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为（ ） A ．1/2 B ．1 C ．2 D ．4 5．如图所示，矩形MNPQ 区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示，由以上信息可知，从图中a 、b 、c 处进入
带电粒子在圆形磁场中运动的规律
带电粒子在磁场中的运动 例1.如图所示，在宽度为d磁感应强度为B、水平向外的匀强磁场矩形区域内，一带电粒子以初速度v入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的哪几个 A.带电粒子的比荷 B.带电粒子在磁场中运动的周期 C.带电粒子的质量 D.带电粒子在磁场中运动的半径 变式.若带电粒子以初速度v从A点沿直径入射至磁感应强度为B，半径为R的圆形磁场，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的哪几个 应用1、如图所示，长方形abcd 长ad = 0.6m ，宽ab = 0.3m , O、e分别是ad、bc 的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B＝。一群不计重力、质量m＝3 ×10-7 kg 、电荷量q＝＋2×10－3C 的带电粒子以速度v＝5×l02m/s 沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域( ) A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和ab边 D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边 应用2.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 （1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m； （2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少 例2.如图所示，一束电子流以不同速率，由边界为圆形的匀强磁场的边界上一点A，沿直 径方向射入磁场，已知磁感应强度方向垂直圆平面，则电子在磁场中运动时：（） A轨迹长的运动时间长B速率大的运动时间长
圆形磁场区域问题
圆形磁场区域问题延伸 1．在xOy 平面内有许多电子(质量为m ，电荷量为e )从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy 平面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x 轴向x 轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积． 解析：所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动， 由e v 0B ＝m v 20 R ，得半径为R ＝m v 0eB . 设与x 轴正向成α 角入射的电子从坐标为(x ，y )的P 点射出磁场， 则有 x 2＋(R －y )2＝R 2 ① ①式即为电子离开磁场的下边界b 的表达式，当α＝90°时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a ，其表达式为： (R －x )2＋y 2＝R 2 ② 由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示，其面积为 S ＝2????πR 2 4－R 2 2＝π－22????m v 0eB 2 . 【分析】电子在磁场中运动轨迹是圆弧，且不同方向射出的电子的圆形轨迹的半径相同(r=mv0/Be).假如磁场区域足够大，画出所有可能的轨迹如图3-6所示，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆，若要使电子飞出磁场时平行于x 轴，这些圆的最高点应是区域的下边界，可由几何知识证明，此下边界为一段圆弧将这些圆心连线(图中虚线O1O2)向上平移一段长度为r=mv0eB 的距离即图3-7中的弧ocb 就是这些圆的最高点的连线， 应是磁场区域的下边界.；圆O2的y 轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形的面积即为所求 图3-7中的阴影区域面积，即为磁场区域面积 S= 【解题回顾】数学方法与物理知识相结合是解决物理问题的一种有效途径.本题还可以用下述方法求出下边界.设P(x,y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x 轴夹角为，则由图3-8可知：x=rsin θ, y=r-rcos θ 得: x2+(y-r)2=r2 所以磁场区域的下边界也是半径为r ，圆心为(0,r)的圆弧 222 2022 (1)12()422m v r r e B ππ-- =
有界磁场习题汇总专题
有界磁场专题复习 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间． 例2、如图2，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36 ?=的粒子．已知α粒子质量 kg m 271064.6-?=，电量C q 19102.3-?=，试画出α粒子通过磁场 空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角． 二、带电粒子在半无界磁场中的运动 例3、如图3中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线, 在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子，粒子射入磁场时 的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用． (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔． 例4、如图4所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内， M N O , 图1 M N . . . . . . . . . . . . 图4 o cm x /cm y /p ??? ??? ? ????? ?? ? ? ?
专题3.16 圆形边界磁场问题(提高篇)(解析版)
2021年高考物理100考点最新模拟题千题精练（选修3-1） 第三部分 磁场 专题3.16 圆形边界磁场问题（提高篇） 一．选择题 1、（2020高考精优预测山东卷2）如图所示，半径为r 的圆刚好与正方形abcd 的四个边相切，在圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，一带负电粒子从ad 边的中点以某一初速度沿纸面且垂直ad 边方向射入磁场，一段时间后粒子从圆形磁场区域飞出并恰好通过正方形的d 点.设该粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ，运动时间为t ，若粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ，粒子重力不计.下列关系正确的是( ) A.2R r = B.(21)R r =- C.1 8t T = D.38 t T = 【参考答案】 BD 【名师解析】本题考查带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的基本规律.由题意可知粒子从Bd 方向射出磁场，由下图可知在OBd 中，2R r R =-，得(21)R r =-，A 错误，B 正确；粒子轨迹圆心角为3π 4 ，所以运动时间3 π 342π8 T t T ==，C 错误，D 正确.
2.（2020安徽阜阳期末）如图所示，一带电粒子从y轴上的a点以某一速度平行 于x轴射入圆形匀强磁场区域，该区域内的磁场方向垂直纸面向外、磁感应强度 大小为B0，粒子从x轴上b点射出磁场时，速度方向与x轴正方向夹角为60°， 坐标原点O在圆形匀强磁场区域的边界上，不计粒子重力，若只把匀强磁场的磁 感应强度大小改为某一确定值，使粒子经过Ob的中点后射出磁场，则改变后的 磁感应强度大小为（） A. B0 B. B0 C. 2B0 D. 4B0 【参考答案】B 【名师解析】设Ob长度为2L。粒子从x轴上b点射出磁场时，画出粒子运动的轨迹如图， 由几何知识：R==，由洛伦兹力提供向心力，得：qB0v=m 所以：B0=；根据图中几何关系可得Oa=R-R cos60°= 若只把匀强磁场的磁感应强度大小改为某一确定值，使粒子经过Ob的中点后射出磁场，如图所示； 根据几何关系可得r2=（Oa-r）2+L2，解得：r= 由洛伦兹力提供向心力，得：qBv=m，所以：B= 由=，得B=B0，故B正确、ACD错误。 【关键点拨】 画出运动的轨迹，根据几何关系求解半径，粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，即可求得磁感应强度的大小。该题考查带电粒子在磁场中的运动，正确地画出粒子运动的轨迹，根据几何关系找
磁场典型例题
磁场典型例题 【内容和方法】 本单元内容包括磁感应强度、磁感线、磁通量、电流的磁场、安培力、洛仑兹力等基本概念，以及磁现象的电本质、安培定则、左手定则等规律。 本单元涉及到的基本方法有，运用空间想象力和磁感线将磁场的空间分布形象化是解决磁场问题的关键。运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况是将力学知识与磁场问题相结合的切入点。 【例题分析】 在本单元知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：不能准确地再现题目中所叙述的磁场的空间分布和带电粒子的运动轨迹：运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况时出错；运用几何知识时出现错误；不善于分析多过程的物理问题。 例1 如图10-1，条形磁铁平放于水平桌面上，在它的正中央上方固定一根直导线，导线与磁场垂直，现给导线中通以垂直于纸面向外的电流，则下列说法正确的是：[ ] A．磁铁对桌面的压力减小 B．磁铁对桌面的压力增大 C．磁铁对桌面的压力不变 D．以上说法都不可能 【错解分析】错解：磁铁吸引导线而使磁铁导线对桌面有压力，选B。 错解在选择研究对象做受力分析上出现问题，也没有用牛顿第三定律来分析导线对磁铁的反作用力作用到哪里。 【正确解答】 通电导线置于条形磁铁上方使通电导线置于磁场中如图10-2所示，由左手定则判断通电导线受到向下的安培力作用，同时由牛顿第三定律可知，力的作用是相互的，磁铁对通电导线有向下作用的同时，通电导线对磁铁有反作用力，作用在磁铁上，方向向上，如图10-3。对磁铁做受力分析，由于磁铁始终静止，无通电导线时，N = mg，有通电导线后N+F′=mg，N=mg-F′，磁铁对桌面压力减小，选A。 例2 如图10-4所示，水平放置的扁平条形磁铁，在磁铁的左端正上方有一线框，线框平面与磁铁垂直，当线框从左端正上方沿水平方向平移到右端正上方的过程中，穿过它的磁通量的变化是：[ ] A．先减小后增大 B．始终减小 C．始终增大 D．先增大后减小
圆形有界磁场问题的分类及解析
圆形有界磁场问题的分类及解析 1、对心飞入问题 【例1】电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O ，半径为r 。当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。为了让电子束射到屏幕边缘，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少? 解析：如图2所示，电子在磁场中沿圆弧ab 运动，圆心为C ，半径为R 。 可证三角形△CaO ≌ △CbO ，则∠CbO ＝90°，电子离开磁场时速度的反向延长线经过O 点。 由几何关系可知 tan θ2＝r R 又有 eU ＝ 12mv 2 evB ＝m v 2 R 三式联立解 B ＝ 1 r 2mU e tan θ 2 点评：粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场，必沿半径方向飞出磁场。
2、圆心出发问题 【例2】 一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面，在xOy 平面上，磁场分布在以O 点为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 轴正方向。后来粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图3所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。 解析：如图4所示，粒子在磁场中轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外。粒子从A 点离开磁场区，设轨迹半径为r 。则 L ＝ r ＋r sin 30°＝3r 又 qvB ＝m v 2 r 可求得 B ＝3mv qL 磁场区域的半径 R ＝2rcos 30°＝3r ＝3 3L 点评：画轨迹时可先画一个完整的圆，然后分析粒子从圆周上哪一点离开，速度方向才会与题意相符，只要找到了离场点，问题就能解决了。
圆形有界磁场中磁聚焦
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习高三物理当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子规律一：图如甲的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行， 所示。圆规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果上磁场形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从边界乙，如平行的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向图所示。【典型题目 练习】 的匀强磁R的圆形区域内充满磁感应强度为B1．如图所示，在半径为场射入大P垂直磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点虑粒子间的粒子，不考量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v）（的相互作用力，关 于这些粒子的运动以下说法正确的是 ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上A B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长qBR上D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN v m ebbceadabOad、abed为圆心=0.6m，宽的中点，以=0.3m的长，分别是、2．如图所示，长方形e
OdO一圆弧组成为圆心为半径的四分之一圆弧和以为半径的四分之感应强度(边界上无磁场磁)的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B=-7-3、电荷量kgq=+2×100.25TC。一群不计重力、质量m=3×10adv2方向且垂直m/s的带正电粒子以速度=5×10于磁场射人沿垂直磁场区域，则下列判断正确的是（）OaOd边射入的粒子，出射点全部分布在A．从边abaO B．从边边射入的粒子，出射点全部分布在abOd C．从边边射入的粒子，出射点分布在bad D边射人的粒子，出射点全部通过．从点），圆内分布有垂直纸面向里的aO（，0如图所示，在坐标系3．xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为1，一质x轴负方向的匀强电场，场强大小为E的上方和直线y=ax=2a的左 侧区域内，有一沿匀强磁场，在直线轴方向时，粒子x）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当 入射速度方向沿>0+量为m、电荷量为q（q O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：恰好从1 B 的大小；1（）磁感应强度y（2）粒子离开第一象限时速度方向与轴正方向的夹角；轴正x点垂直于磁场 方向、并与O从v轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度y）若将电场方向变为沿3（． 0射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t=30。方向夹角θ4．如图所示的直角 坐标系中，从直线x=?2l到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界0匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，
1.2磁场典型例题.
磁场典型例题 类型题■ 分析求解磁感强度 磁感强度B 是磁场中的重要概念，求解磁感强度的方法一般有：定义式法、矢量叠加法等。 【例题1】如图中所示，电流从 A 点分两路通过对称的环形分路汇合于 B 点，在环形分路的中心 0处的 磁感强度（ ） A. 垂直环形分路所在平面，且指向“纸内”。 B. 垂直环形分路所在平面，且指向“纸外”。 C. 在环形分路所在平面内指向 B 。 D. 磁感强度为零。 【例题2】电视机显象管的偏转线圈示意图如图所示，某时刻电流方向如图所示。则环心 向为（ ） A .向下 B .向上 C.垂直纸面向里 D .垂直纸面向外 【例题3】安培秤如图所示，它的一臂下面挂有一个矩形线圈，线圈共有 N 匝，它的下部悬在均匀磁场 B 内，下边一段长为 L ,它与B 垂直。当线圈的导线中通有电流 I 时，调节砝码使两臂达到平衡；然后使电 流反向，这时需要在一臂上加质量为 m 的砝码，才能使两臂再达到平衡。求磁感强度 B 的大小。 专业、专心、成就学生梦想 个性化辅导学案 0处的磁场方
判别物体在安培力作用下的运动方向，常用方法有以下四种: 1、电流元受力分析法：即把整段电流等效为很多段直线电流元，先用左手定则判出每小段电流元受安 培力方向，从而判出整段电流所受合力方向，最后确定运动方向。 2、特殊值分析法：把电流或磁铁转到一个便于分析的特殊位置 从而确定运动方向。 3、等效分析法：环形电流可以等效成条形磁铁、条形磁铁也可等效成环形电流、通电螺线管可等效成 很多的环形电流来分析。 4、推论分析法： ⑴ 两电流相互平行时无转动趋势，方向相同相互吸引，方向相反相互排斥； （2）两 电 流不平行时有转动到相互平行且方向相同的趋势。 【例题1】如图所示，把一通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方，导线可 以自由移动，当导线通过电流 I 时，导线的运动情况是（ ）（从上往下看） （如转过90° ）后再判所受安培力方向 , A .顺时针方向转动，同时下降 B ?顺时针方向转动，同时上升 C.逆时针方向转动，同时下降 D .逆时针方向转动，同时上升 【例题2】如图所示，两平行光滑导轨相距为 L=20cm 金属棒MN 的质量为m=10g, 电阻R=8Q ，匀强磁场磁感应强度 B 方向竖直向下，大小为 B=0.8T ，电源电动势为 E=10V,内阻r=1 Q 。当电键S 闭合时，MN 处于平衡，求变阻器 R1的取值为多少?（设 0 =45°) 【例题3】长L=60cm 质量为m=6.0X 10-2 kg ，粗细均匀的金属棒，两端用完全相同的弹簧挂起，放在磁 感强度为B=0.4T ,方向垂直纸面向里的匀强磁场中， 如图8所示，若不计弹簧重力，问⑴ 要使弹簧不伸长, 金属棒中电流的大小和方向如何 ?（2）如在金属中通入自左向右、 大小为I=0.2A 的电流，金属棒下降X 1=1cm 若通入金属棒中的电流仍为 0.2A ，但方向相反，这时金属棒下降了多少 XS 分析导体在安培力作用下的运动 | N l S B
专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有问题详解)
专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。 【典型题目练习】 1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ） A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上 B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D ．只要速度满足qBR v m ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一 圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T 。一群不计重力、质量m=3× 10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ） A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边 D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点 3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度B 的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角； （3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总
圆形有界磁场中磁聚焦0001
圆形有界磁场中"磁聚焦"的相关规律练习高三物理 半圆形磁场的半径 与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律：帶电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场.如果圆形磁场 的半径与圆轨迹半径相等，则粒子规律一：图如甲的出射速度方向与闘形磁场上入射点的切线方向平行， A 甲 所示。圆规律二：平行射入圆 形有界磁场的相同带电粒子，如果上磁场形磁场 的半径与圆轨迹半径相等, 则所有粒子都从边界 乙，如平行的同一点射出. X' X/ 练习】 的匀强磁R 的圆形区域内充满磁感应强度为B1 ?如图所示，在半径为场射入大 P 垂直磁场，MN 是一竖直放置的感光板?从圆形磁场最高点虑粒子间的粒子, 不考量的带正电，电荷量为q,质量为m,速度为v )(的相互作用力，关 于这些粒子的运动以下说法正确的是 ?只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上AB.对着圆心入射的粒子， 其岀射方向的反向延长线不一定过圆心C ?对着圆心入射的粒子，速度越大在 磁场中通过的弧长越长，时间也越长qER 上D.只要速度满足，沿不同方向入 射的粒子出射后均可垂直打在MN?v mebbceadabOad 、mbed 为圆心二0. 6m, 宽的中点，以二0?3m 的长，分别是、2?如图所示，长方形。 并且出射点的切线与入射速度方向图所示。【典型题目 X — x 冷x X 乙
b ------ X : ? ? / * * X X ? 1 t / V 5 X X : X X x B x :: ? 4 / X / ： 0%—圆弧组成为圆心为半径的四分之一圆弧和以为半径的四分之感应强度（边 界上无磁场磁）的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场Bj 电荷量kgq 二+2X 100. 25TCo 一群不计重力、质量m=3X lOac/r ：方向且垂直m/s 的带正电粒子以速 度=5X10于磁场射人沿垂直 磁场区域，则下列判断正确的是（ ）OaOd 边 射入的粒子，出射点全部分布在A.从边abaOB.从边边射入的粒子，出射点全 部分布在abOd C.从边边射入的粒子，出射点分布在 WD 边射人的粒子，出 射点全部通过.从点），圆内分布有垂直纸面向里的aO （, 0如图所示，在坐标系3. xOy 内有一半 径为Q 的圆形区域.圆心坐标为h —质x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E 的上方和直线｝-ax=2a 的左 侧区域内.有一沿匀强磁场.在直线轴方向时，粒子x ）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，、”| 入射速度方向沿＞0+虽为皿 电荷址为q （qO 点正上方的A 点射出磁场，不讣粒子重力?求：恰好从】B 的大小：1 ＜）磁感应强度y （2）粒子离开第一彖限时速度方向与轴正方向的夹角：轴正x 点垂直于磁场 方向.并与O 从v 轴负方向?电场强度大小不变，粒子以速度y ）若将电场方向变为沿3 （? o 射入第一彖限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t=30.方向夹角0 4.如图所示的直角 坐标系中，从直线x=?21到y 轴区域存在两个大小相等.方向相反的有界。匀强 电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，
磁场典型题
磁场典型题 一、磁场的叠加 例1 已知长直通电导线在周围某点产生磁场的磁感应强度大小与电流大小成正比、与该点到导线的距离成反比。4根电流大小相同的长直通电导线a 、b 、c 、d 平行放置，它们的横截面的连线构成一个正方形，O 为正方形中心，a 、b 、c 中电流方向垂直纸面向里，d 中电流方向垂直纸面向外，则a 、b 、c 、d 长直通电导线在O 点产生的合磁场的磁感应强度 B ( ) A.大小为零 B.大小不为零，方向由O 指向d C.大小不为零，方向由O 指向c D.大小不为零，方向由O 指向a 例3[2017·湖南十三校联考] 如图所示，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 为半圆弧的圆心，∠MOP ＝60°，在M 、N 处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒 定电流，方向如图所示，这时O 点的磁感应强度大小为B 1，若将N 处长直导线移至 P 处，则O 点的磁感应强度大小为B 2，那么B 2与B 1之比为( ) A.1∶1 B ．1∶2 C.3∶1 D.3∶2 二、安培力的计算 例1 将长为l 的导线弯成16 圆弧，固定于垂直纸面向外、大小为B 的匀强磁场中，两端点A 、C 连线竖直，如图所示。若给导线通以由A 到C 、大小为I 的恒定电流，则导线所受安培力的大小和方向是( ) A.IlB ，水平向左 B ．IlB ，水平向右 C.3IlB π，水平向左 D.3IlB π ，水平向右 例2. 两条直导线相互垂直，如图所示，但相隔一小段距离，其中一条AB 是固定的，另一条CD 能自由转动，当电流按如图所示的方向通入两条导线时，CD 导线将( )
第五章 稳恒磁场典型例题
第五章 稳恒磁场 设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：如图所示 令 110A I H e r = 220A I H e r = 由稳恒磁场的边界条件知， 12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H = 所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律 H dl I ?=? 得 12I H H r π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得 ，
2112 0I I H r r μμμμπμμπ=? =?++ 01212 0I I H r r μμμμπμμπ= ? =?++ 故， 01110I B H e r θμμμμμπ==?+ 02220I B H e r θμμμμμπ== ?+ 212()M a n M M n M =?-=? 2 20 ( )B n H μ=?- 00()0I n e r θμμμμπ-= ???=+ 222()M M M J M H H χχ=??=??=?? 00 00(0,0,)z J Ie z μμμμδμμμμ--=?=?++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。 ？ 解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分 量，而与φ，z 无关。由2A ?的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ?=- 220A ?= 此即 1 01()A r J r r r μ??=-?? 2 1()0A r r r r ??=?? 通解为 21121 ln 4 A Jr b r b μ=-++
圆形磁场中的几个典型问题
圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明． 一、最值问题的解题关键——抓弦长 1．求最长时间的问题 例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？ 小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大． 2 ．求最小面积的问题 例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长． 二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
高中物理磁场经典计算题训练(有答案)
高中物理磁场经典计算题训练（有答案） 1.弹性挡板围成边长为L = 100cm 的正方形abcd ，固定在光滑的水平面上，匀强磁场竖直向下，磁感应强度为B = 0.5T ，如图所示. 质量为m =2×10-4kg 、带电量为q =4×10-3C 的小球，从cd 边中点的小孔P 处以某一速度v 垂直于cd 边和磁场方向射入，以后小球与挡板的碰撞过程中没有能量损失. （1）为使小球在最短的时间内从P 点垂直于dc 射出来，小球入射的速度v 1是多少？ （2）若小球以v 2 = 1 m/s 的速度入射，则需经过多少时间才能由P 点出来？ 2. 如图所示, 在区域足够大空间中充满磁感应强度大小为B 的匀强磁场,其方向垂直于纸面向里.在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L 的等边三角形框架DEF , DE 中点S 处有一粒子发射源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE 边向下，如图（a ）所示.发射粒子的电量为+q ,质量为m ,但速度v 有各种不同的数值.若这些粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失,并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试求： （1）带电粒子的速度v 为多大时,能够打到E 点? （2）为使S 点发出的粒子最终又回到S 点,且运动时间最短,v 应为多大?最短时间为多少? （3）若磁场是半径为a 的圆柱形区域，如图（b ）所示(图中圆为其横截面)，圆柱的轴线通过等边三角形的中心O ，且a =)10 1 33( L .要使S 点发出的粒子最终又回到S 点，带电粒子速度v 的大小应取哪些数值？ 3.在直径为d 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外．一电荷量为q ， 质量为m 的粒子，从磁场区域的一条直径AC 上的A 点射入磁场，其速度大小为v 0,方向与AC 成α．若此粒子恰好能打在磁场区域圆周上D 点，AD 与AC 的夹角为β，如图所示．求该匀强磁场的磁感强度B 的大小． a b c d A C F D （a ） （b ）
2015高中物理磁场经典计算题一含详解
磁场综合训练（一） 1.弹性挡板围成边长为L = 100cm 的正方形abcd ，固定在光滑的水平面上，匀强磁场竖直向 下，磁感应强度为B = 0.5T ，如图所示. 质量为m =2×10-4kg 、带电量为q =4×10-3C 的小 球，从cd 边中点的小孔P 处以某一速度v 垂直于cd 边和磁场方向射入，以后小球与挡板 的碰撞过程中没有能量损失. （1）为使小球在最短的时间内从P 点垂直于dc 射出来，小球入射的速度v 1是多少？ （2）若小球以v 2 = 1 m/s 的速度入射，则需经过多少时间才能由P 点出来？ 2. 如图所示, 在区域足够大空间中充满磁感应强度大小为B 的匀强磁场,其方向垂直于纸面 向里.在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L 的等边三角形框架DEF , DE 中点S 处 有一粒子发射源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE 边向下，如图（a ）所示. 发射粒子的电量为+q ,质量为m ,但速度v 有各种不同的数值.若这些粒子与三角形框架碰撞 时均无能量损失,并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试求： （1）带电粒子的速度v 为多大时,能够打到E 点? （2）为使S 点发出的粒子最终又回到S 点,且运动时间最短,v 应为多大?最短时间为多少? （3）若磁场是半径为a 的圆柱形区域，如图（b ）所示(图中圆为其横截面)，圆柱的轴线 通过等边三角形的中心O ，且a =)10 1 33( L .要使S 点发出的粒子最终又回到S 点， 带电粒子速度v 的大小应取哪些数值？ a b c d B P v L B v E S F D （a ） a O E S F D L v （b ）
圆形磁场区域几题
圆形磁场区域几题 圆形磁场区域几题 甲乙丙丁 （1）对着圆心射入的粒子，背离圆心射出； （2）当r=R时，各方向入射的粒子从垂直于入射点与磁场圆心连线的垂线方向平行射出； （3）当r=R时，平行射入圆形磁场的粒子，会聚于磁场边界上某点，180°方向射出； （3）当r>R时，各方向入射的粒子中过直径的粒子轨迹偏转角最大。 题目: 1．（2012安徽19）．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（B ） A．Δt/2 B．2Δt C．Δ/t3 D．3Δt
2．（2013新课标18、）如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)，质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射人磁场区域，射入点与ab的距离为R/2。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)（B） A．qBR/2m B．qBR/m C．3qBR/2m D．2qBR/m 3．（2012新课标）如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O 到直线的距离为。现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律 处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。 规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。 规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。 以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子： 例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内 存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L 的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L = 2 12 1at L = ，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为 0v at v y ==，1tan 0 == v v y α 故045=α，粒 子在磁场中的速度为02v v = ，应用规律二，圆 心角为：0 902=α，画出的轨迹如图2所示， 由r m v Bqv 2 =，由几何关系得L r 2= 得： 2 v B E = （2）在磁场中运动的周期v r T π2= 粒子在磁场中运动时间为0 2241v L T t π== 图 2 图1