四边形的性质及证明

儒洋教育学科教师辅导讲义

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一、多边形

多边形的内角和：

多边形内角和等于0180)2n (- 多边形的外角和： 多边形外角和等于3600

过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有2

)

3(-n n 条对角线．

过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．

二、平行四边形

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．

2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．

两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

3．平行四边形的性质：

文字表达：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分．

符号语言表达：

四边形ABCD 是平行四边形

4．平行四边形的判定：

文字表达：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言表达：

AB∥CD，BC∥AD?四边形ABCD是平行四边形

AB=CD，BC=AD?四边形ABCD是平行四边形．

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD?四边形ABCD是平行四边形．

OA=OC，OB=OD?四边形ABCD是平行四边形．

∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB?四边形ABCD是平行四边形．

三、矩形、菱形、正方形

1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③

具有平行四边形所有性质．

2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．

5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

四、梯形

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相等的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。

五、中位线

定义；

几何证明中经常用到中位线。

六、平面向量

定义：要素

加减法则。

七、常见辅助线用语：

1、连结XX

延长XX至X，使XX=XX

延长XX与XX，交于点X

2、过点X作XX∥XX

3、过点X作XX⊥XX于X

巩固练习：

一、填空题

1．六边形共有（）条对角线.

2．一个多边形内角和为540°，则其边数为（）.

3．一个多边形每一个外角都是30°，则这个多边形是（）边形.

4．从凸n边形一个顶点出发，有（）条对角线.

5．一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数，则边数为（）.

6．任意多边形的外角和为（）度.

二、选择题（把正确答案的序号字母填入括号中）

1．一个凸n边形的n个角中，至多有几个角是锐角.结论应该是至多有（）个.

（A）4个（B）3个（C）2个（D）不能确定

2．一个凸多边形内角和900°，则这个多边形边数为（）条.

（A）8 （B）5 （C）7 （D）10

3．如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形内角和为（）.

（A）1800°（B）2400°（C）3240°（D）4206°

4．平行四边形对角线将其分成全等三角形（）对.

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

三、求解题

1．一个多边形的内角和是其外角和的2倍，求边数.

2．多边形每一个内角都是150°，求对角线的条数.

3．两个角的两边分别垂直，且一个角是另一个角的4倍还少30°，求这两个角的度数.

4．一个多边形的各内角都相等，且内外角之差的绝对值为60°，求边数.

5．一个多边形的内角和与其一个外角的总和为1350°，求边数.

6．多边形的一个外角与其余各内角和为600°，求边数.

提高练习：

一、选择题

1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;

（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD

2．在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）

A.60°

B.80°

C.100°

D.120°

3．平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

4．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（）

A．外角和等于360° B．对角线互相平分

C．内角和等于360° D．有两条对角线

5．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）

A、①④⑤

B、②⑤⑥

C、①②③

D、①②⑤

6．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（）

A、小明、小亮都正确

B、小明正确，小亮错误

C、小明错误，小亮正确

D、小明、小亮都错误

7．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）

（A）邻角互补（B）内角和为360°（C）对角线相等（D）对角线互相垂直

图10D

C

B A

8．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

（A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分

（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等

9．下列命题中，真命题是（）

A、有两边相等的平行四边形是菱形

B、有一个角是直角的四边形是直角梯形

C、四个角相等的菱形是正方形

D、两条对角线相等的四边形是矩形

10．如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，那么它的四个内角按一定顺序的度数比可能为（）

A、3:4:5:6

B、4:5:4:5

C、2:3:3:2

D、2:4:3:3

二.填空题

1

．在中，，则度．

2

．在中，两邻边的差为4cm，周长为32cm，则两邻边长分别为________．

3．

在中，，

则的周长为________cm．4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm．

5．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为______cm．

6．对角线长为10 cm的正方形的边长是______cm，面积是______ cm2。

7．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm2。

8．如图，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行，

四边形需要增加一个条件是：_______。

三.解答题

1．在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm?的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？

2

．如图，中，E 为BC 上一点，

于，求的度数．

3.已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8。 求：梯形两腰AB 、CD 的长。

4. 如图，在四边形A B C D 中，点E 是线段A D 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是B E B C C E ，，的中点．

（1）证明四边形E G F H 是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12

E F B C =

，证明平行四边形E G F H 是正方形．

5. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．

（1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么

特殊四边形？并证明你的结论．

B G

A E

F

H

D

C

A

B

C

D

A

D F

6．已知：如图，ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、AB 上，DF ∥BE ，EF 交BD 于点O ．求证：EO=OF ．

7.如图，已知四边形ABCD 中，AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是菱形．

8.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F . 求证：BE =CF .

9. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段B A 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结A D ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结C E ，过点E 作E F C E ⊥，交B D 于F ． （1）求证：BF FD =；

A B

B E

C

（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形A C F E 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段D E 上存在点G ，满足条件14

D G D A =，并说明理由．

10. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF ．

11. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF.

课后练习

一、填空（每题3分，计15分）

1．若n 边形的每一个内角都是120°，则边数n 为_______。

2．平行四边形的周长为100cm ，两邻边之差为30cm ，则平行四边形较短的边长为________。 3．菱形两邻角之比为1∶5，高为1.5cm ，则菱形的周长为________。

4．一直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=5，两底差为12，则另一腰为CD=_____。 5．菱形两对角线长分别为24cm 和10cm ，则菱形的高为______。

A

B

C D F

E

M

二、选择题（每题3分，计15分）

1．下列各条件中，能判断四边形是平行四边形的是（）

A．一组对角相等B．两条对角线互相平分

C．一组对边相等D．两条对角线互相垂直

2．下列命题中正确的是（）

A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C．对角线垂直的四边形是矩形；D．对角线相等且垂直的四边形是矩形

3．下列图形中，是轴对称图形图形，而不是中心对称图形是（）

A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形

4．下列命题中，真命题是（）

A．四边相等的四边形是正方形；B．四角相等的四边形是正方形

C．对角线相等的菱形是正方形；D．对角线垂

5．在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（）

A．5 B．10 C．15 D．20

三、解答题（第1、2题11分，其余各12分，计70分）

1．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD点E、F为垂足，∠EAF=30°，AE=3cm，AF=2cm，求平行四边形ABCD的周长。

2．已知：如图，在平行四边形ABCD中，DM=BN，BE=DF，求证：四边形MENF是平行四边形。

3．在等腰梯形ABCD中，M、N分别为上、下两底AD．BC的中点，E、F分别为MB．CM的中点，求证：四边形MENF是菱形。

4．如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形。