2016年湖南省中考数学压轴题汇编

1．【2016?长沙市中考压轴题（第25题）】若抛物线L ：2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且0abc ≠）与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与抛物线L 具有“一带一路”关系，此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线” ．

（1）若直线1y mx =+与抛物线22y x x n =-+具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；

（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数6

y x

=

的图象上，它的“带线” l 的解析式为24y x =-，求此“路线”L 的解析式；

（3）当常数k 满足

1

22

k ≤≤时，求抛物线22(321)y ax k k x k =+-++的“带线” l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．

2．【2016?长沙市中考压轴题（第26题）】如图，直线:1l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOQ 的周长；

（2）设AQ 0t =>，试用含t 的式子表示点P 的坐标；

（3）当动点PQ 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ=m ．若过点A 的二次函数2y ax bx c =++同时满足以下两个条件： ①6320a b c ++=②当2m x m ≤≤+时，函数的最大值等于2

m

．求二次项系数a 的值．

3．【2016?株洲市中考压轴题（第25题）】已知AB 是半径为1的圆O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．

（1）求证：△DFB 是等腰三角形；

（2）若，求证：CF ⊥AB ．

4．【2016?株洲市中考压轴题（第26题）】如图，已知二次函数22(21)(0)y x k x k k k =-+++>． （1）当1

2

k =

时，求这个二次函数的顶点坐标； （2）求证：关于x 的二次方程22(21)0(0)x k x k k k -+++=>有两个不相等的实数根； （3）如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：222

111QA AB AQ

+=．

5．【2016?湘潭市中考压轴题（第25题）】如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交BC，CD于点E，F．

（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC中点，探究线段

EC，CF与BC的数量关系；

②在顶点G运动的过程中，AC

t

CG

=，请直接写

出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：

如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=5

6

，当2

t>时，求EC的长度．

图甲图乙图丙

6．【2016?湘潭市中考压轴题（第26题）】如图，抛物线2

14

y x mx n =-

++的图象经过点A(2，3)，对称轴为1x =，一次函数y kx b =+的图象经过点A ，交x 轴于点P ，交抛物线于另一点B ，点AB 位于点P 的同侧． （1）求抛物线的解析式；

（2）若PA ：PB=3：1，求一次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，当0k >时，抛物线的对称轴上是否存在点C 使得☉C 同时与x 轴和直线AP 都相切，如果存在，请求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．

7．【2016?常德市中考压轴题（第25题）】已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，

过点作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．（1）如图（1），当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BE=EF；

（2）如图（2），当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．

8．【2016?常德市中考压轴题（第26题）】如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于C(0，2)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；

（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E 的坐标．

9．【2016?益阳市中考压轴题（第21题）】如图，顶点为A1）的抛物线经过坐标

原点，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点C，求证：△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

10．【2016?益阳市中考压轴题（第22题）】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（举行的四个顶点均在的边上）．

（1）计算矩形EFGH的面积；

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动，在平移过程中，当矩形

与△CBD重叠部分的面积为

16

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕点G1按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．

11．【2016?娄底市中考压轴题（第25题）】如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中,∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．

（1）求证：∠B=∠ACD；

（2）已知点E在AB上，且BC2=AB﹒BE．

①若tan∠ACD=3

4

，BC=10，求CE的长；

②试判定以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．

12．【2016?娄底市中考压轴题（第26题）】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点A(1-，0)，B(5，6-)，C(6，0)． （1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AB 的下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出使△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个？并请你求出其中某一个．．．点Q 的坐标．

13．【2016?岳阳市中考压轴题（第23题）】数学活动 旋转变换 （1）如图①，在△ABC 中，∠ABC=130°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到△A B C '''，连接BB '，求∠A B B ''的大小；

（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△A B C ''，连接BB '，以A '为圆心A B ''长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB '与⊙A '的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接A B '，求线段A B '的长度；

（3）如图③，在△ABC 中，∠ABC=(90180)αα<< ，AB=m ，BC=n ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转2β角度（02180β<< ）得△A B C ''，连接A B '和BB '，以A '为圆心，A B ''长为半径作圆．问：角α和角β满足什么条件时直线BB '与⊙A '相切，请说明理由，并求此条件下线段A B '的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m 、n 所组成的式子表示）

14．【2016?岳阳市中考压轴题（第24题）】如图①，直线4

43

y x =

+交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的抛物线F 1交x 轴另一点B(1，0)． （1）求抛物线F 1所示的二次函数的表达式；

（2）若点M 是抛物线F 1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC 和△BOC 的面积分别为MAOC S 四边形和BOC S ?，记BOC MAOC S S S ?=-四边形，求S 最大时点M 的坐标及S 的最大值；

（3）如图②，将抛物线F 1沿y 轴翻折并“复制”得到抛物线F 2，点A 、B 与（2）中所

求的点M 的对应点分别为A '、B '、M '，过点M '作M E x '

⊥轴于点E ，交直线A C '于点D ，在x 轴上是否存在点P ，使得以A '，D ，P 为顶点的AB C '?相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

15、【2016?衡阳市中考压轴题（第25题）】在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标

为A（0），B0），C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E(0，-1)的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式。

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以P．若⊙P 上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

16．【2016?衡阳市中考压轴题（第26题）】抛物线2y ax bx c =++经过△ABC 的三个顶

点，与y 轴相交于（0，

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），点A 的坐标为（–1，2），点B 是点A 关于y 轴的对称点，点C 在x 轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）点F 为线段AC 上一动点，过F 作FE ⊥x 轴，FG ⊥y 轴，垂足分别为E 、G ．当

四边形OEFG 为正方形时，求出F 点的坐标；

（3）将（2）中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ．当点E 和点C 重合时停止运动．设平移的距离为t ，正方形DEFG 的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ．连接DM ，是否存在这样的t ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

17．【2016?邵阳市中考压轴题（第25题）】尤秀同学遇到这样一个问题：如图（1）所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P．设BC=a，AC=b，AB=c，求证：a2+b2=c2．

该同学仔细分析后，得到如下解题思路：

线连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故

1

2 EP PF EF

BP PA BA

===．

设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△APB，Rt△BPE中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．

（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程；

（2）利用题中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，EF分别为线段AO，DO 的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于G，H，如图（2）所示，求证：MG2+MH2的值

18．【2016?邵阳市中考压轴题】已知抛物线24(0)y ax a a =->与x 轴交于A ，B 两点，（点A 在点B 的左侧），点P 是抛物线上一点，且PB=AB ，∠PBA=120°，如图所示． （1）求抛物线的解析式；

（2）设点M(m ，n )为抛物线上一个动点，且在曲线PA 上移动．

①当点M 在曲线PB 之间（含端点）移动时，是否存在点M 使△APM ？若存在，求点M 的坐标，若不存在，请说明理由；

②当点M 在曲线BA 之间（含端点）移动时，求||||m n +的最大值及取得最大值时点M 的坐标．

19．【2016?郴州市中考压轴题（第25题）】如图1，抛物线2y x bx c =-++经过点A （-1，0），B （4，0）两点，与y 轴相交于点C ，连接BC ，点P 为抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线l ，交直线BC 于点G ，交x 轴于点E ． （1）求抛物线的表达式；

（2）当点P 在位于y 轴右侧的抛物线上运动时，过点C 作CF ⊥直线l ，F 为垂足．当点P 运动到何处时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与△OBC 相似？并求出此时点P 的坐标； （3）如图2，当点P 位于直线BC 上方的抛物线上运动时，连接PC ，PB ．请问：△PBC 的面积能否取得最大值？若能，请求出最大面积S ，并求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．

20．【2016?郴州市中考压轴题（第26题）】如图1，矩形ABCD中，AB=7，AD=4，点E 为AD上一点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm．点P从A点出发，沿AB向点B 以2cm s的速度运动，连接PE，设点P运动的时间为t s，△PAE的面积为2

y cm，当01

t≤≤时，△PAE的面积2

()

y cm关于时间()

t s的函数图象如图2所示．连接PF，交CD 于点H．

（1）t的取值范围为，AE= cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连接AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm s 的速度运动．如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动．连接PQ，QH．

若

4

3

a cm

=，请问：△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不

能，请说明理由．

21．【2016?永州市中考压轴题（第26题）】已知抛物线3y ax bx =+-经过（-1，0），（3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y kx =与抛物线交于A ，B 两点． （1）写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；

（3）是否存在实数k 使得△ABC 的面积为2

？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．