一个丢番图方程组的初等解法

丢番图方程整数解方法

实用标准文档 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?

不定方程

第六节 不定方程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理 数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 基础知识 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(； 定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成 ??? ????-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。 定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++ 2211，(N c a a a n ∈,,,,21 )有解的充要条件是c a a a n |),,,(21 . 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减

丢番图方程整数解方法

.. . … 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++= x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的围，就是利用限定条件将未知数限定在某一围，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-? 所以 25)259(107)2526(37=??+?-? 则特解为 ???=?=-=?-=225 259650252600y x 通解为 Z t t t y t t x ∈? ??++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为 .,3731078Z t t y t x ∈? ??+=--=

小学奥数 不定方程与不定方程组.教师版

不定方程与不定方程组 教学目标 1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数； ③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被2、 3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】求方程 2x－3y＝8的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 【解析】方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方 程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无 穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8 成立，y必为偶数， 当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即 原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 例题精讲

丢番图方程

丢番图方程 丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如，其中所有的a j、b j和c 均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...m n者则称之有整数解。 丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。 3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。 丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。 一次不定方程 一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + a n x n = c的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为： (a1,...,a n)须是c的因子，其中(a1,...,a n)表示a1,...,a n 的最大公因子。 若有二元一次不定方程ax+ by= c，且(a,b) | c，则其必有一组整数解x1,y1，并且还有以下关系式： ?x = x1 + [b / (a,b)]t ?y = y1? [a / (a,b)]t t为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。 丢番图分析 经典问题 ?有解答吗？ ?除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？ ?解答的数目是有限还是无限？ ?理论上，所有解答是否都能找到？ ?实际上能否计算出所有解答？ 希尔伯特第十问题

1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解，甚至，在任何兼容于 Peano 算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。 现代研究 ?丢番图集是递归可枚举集。 ?常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。 ?丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。

世界名人的墓志铭 名人经典墓志铭大全

世界名人的墓志铭名人经典墓志铭大全 马丁·路德·金：“我自由了!感谢万能的主，我终于自由了!” 玛丽莲·梦露：“37，22，35，” 萧伯纳：“我早就知道无论我活多久，这种事情还是一定会发生。” 海明威：“恕我不起来了!” 聂耳：“我的耳朵宛如贝壳，思念着大海的涛声。” 卢梭：“睡在这里的是一个热爱自然和真理的人。” 马克·吐温：“他观察着世态的变化，但讲述的却是人间的真理。” 拉伯雷：“拉下帷幕吧，喜剧已经结束了。” 贝多芬：“他总是以他自己的一颗人类的善心对待所有的人。” 普希金：“这儿安葬着普希金和他年轻的缪斯，爱情和懒惰，共同消磨了愉快的一生;他没有做过什么善事，可在心灵上，却实实在在是个好人。” 戴高乐：“夏尔·戴高乐。” 牛顿：“死去的人们应该庆贺自己，因为人类产生了这样伟大的装饰品。” 莎士比亚：“看在耶稣的份上，好朋友，切莫挖掘这黄

土下的灵柩;让我安息者将得到上帝祝福，迁我尸骨者将受亡灵诅咒。” 富兰克林：“印刷工富兰克林。” 保罗·巴斯蒂尔：“如果生活是一场盛宴，我已经填饱了。” 冯玉祥：“平民生，平民活，不讲美，不讲阔。只求为民，只求为国。旧志不懈，守诚守拙。此志不移，誓死抗倭。尽心尽力，我写我说，咬紧牙关，我便是我，努力努力，一点不错。” 叶慈：“对人生，对死亡，给予冷然之一瞥，骑士驰过。” 司汤达：“米兰人亨利·贝尔安眠于此。他曾经生存、写作、恋爱。” 伏尔泰：“诗人、历史学家、哲学家，他拓展了人类精神，并且使之懂得它应当是自由的。” 鲁道夫：“π=。” 阿里斯托芬：“美乐女神要寻找一所不朽的宫殿，终于在阿里斯托芬的灵府发现。” 马克劳林：“承蒙牛顿推荐。” 丢番图：“过路人，这里埋葬着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他的一生有多长。他生命的1/6是愉快的童年。在他生命的1/12，他的面颊上长了细细的胡须。如此，又过了一生的1/7，他结了婚。婚后五年，他获得了第一个

初中数学数学名师丢番图

丢番图 丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后． 丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭： 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道路． 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛． 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓． 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途． 这相当于方程 x=84．由此知他享年84岁． 丢番图的著作 确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传． 丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．

浅谈数论在密码学上的应用

硕士研究生《应用密码学》课程论文浅谈数论在密码学上的应用 指导教师：王玉柱 专业：计算机应用技术 学号：1010706 姓名：杨玖宏 日期：2011年6月30日

浅谈数论在密码学上的应用 摘要：众所周知．数论是数学中最古老、最纯粹、最优美的一个学科．不过鲜为人知的还是，数论同时也是一门应用性极强的应用数学学科．著名国际数学大师陈省身教授早在1992年精辟地指出：“数学中我愿意把数论看作应用数学。”我想数学中有两个很重要的数学部门，一个是数论，另一个是理论物理。在本文中我将先扼要介绍下数论中的一些基本概念、几个主要难题，紧接着我们要介绍数论在现代密码学与计算机科学中的应用。 关键词：数论；计算数论；密码学； 1 引言 随着现代计算机网络通信的广泛使用，传统密码受到很大挑战，它们已经不能完全适应网络环境下使用密码的需求。于是在上世纪七十年代，提出了公钥密码的概念，并且利用数论方法设计了第一个公钥密码体制（RSA公钥密码），经过二十多年的研究，RSA已得到了广泛的应用。在RSA密码体制中，使用了一个大整数（目前通常取这个数有1024比特长），它是两个素数的乘积，这个大整数是公开的，而它的两个素因子是保密的。如果有人能将这个大整数分解因子而得到它的两个素因子，就能破译这个密码体制，所以RSA的安全性是建立在大整数因子分解问题的基础之上的。这是一个经典的数论问题，RSA的提出大大推动了大整数因子分解算法的研究。在上世纪八十年代，人们又提出了椭圆曲线公钥密码，它应用了更深刻的数论知识，它的安全性也得到了密码界的公认，现在也正逐步推向应用。公钥密码的出现，使数学在密码研究中发挥了更加核心的作用。 2 数论概述 数论，顾名思义，就是关于数的理论，数学，顾名思义，就是关于数的学问．高斯曾说过一句名言：“数学是科学的女王，而数论是数学的女王”。基础数论作为一门古老的数学学科，在很常时间内都属于一种纯数学，随着现代科技的发展，数论在整个科学中的应用非常重要[1]。数论中许多基本内容，如同余理论、中国剩余定理（CRT）、高次剩余理论等，在现代密码体制、密钥分配与管理、数字签名、身份认证等方面有重要的应用。 1 数论概述 1.1 整除理论 1)整除：设 a 和 b 是两个整数，且 b≠0，如果存在一个整数 q，使等式a=bq 成立，那么我们称 a 能被 b 整除或 b 整除 a，记作 b— a，其性质有： (1) 若 b | a，a ≠0，则 | b | ? | a | ； (2) 若 b | a，a | b，a ≠0，则 a=b 或 b=a； (3) 若 c | b，b | a, 则 c | a；（c≠0） (4) 若 b | a，则 cb | ca（c≠0）； (5) 若 c | a，c | b,则 c | ma+nb，m，n∈Z（c≠0）。 2) 整除的基本定理：对于任意整数 a，b(b≠0)存在唯一的一对整数 q，r，

丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解已知方程可化为 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 从最后一个式子向上逆推得到 所以 则特解为 通解为 或改写为 (3)不等式估值法 先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?

不定方程的解法与应用

摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题

Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.

人物简介 别具一格的墓志铭——丢番图

人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图 丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。 对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来： “过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。 他生命的1／6是幸福的童年； 再活过生命的1／12，他长出了胡须； 又过了生命的1／7，他才结婚； 再过了5年他有了一个儿子； 但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。 根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄： x 6＋ x 12＋ x 7＋5＋ x 2＋4＝x 解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。 丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。 丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。他远远超过了同时代的许多数学家。但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。

丢番图墓碑上的诗

丢番图墓碑上的诗： （微微攥住手心，很紧张的感觉）甲：最近快要期末考了，真紧张。 乙：是呀，我最近再做一些关于方程的怪题（难题）呢。 甲：我这儿倒是有一道怪题（难题）。“丢番图墓碑上的诗”你听说过吗？ （挠脑袋）乙：我还真没听说过。而且，丢番图是谁？ （得意）甲：嘿嘿，这你就不知道了吧。丢番图是古希腊著名的数学家。关于他的出身和生平，后人几乎一无所知，仅据他墓碑上的碑文才能略知一二。 （急切）乙：哎呀，你快把题告诉我吧！ （神秘）甲：别急，别急。“心急吃不了热豆腐”的道理你不会不明白吧？对了，这题我是用方程和分数来解的，方程和分数你学的好吗？ （自豪得意）乙：那是，我学得可好了！ 甲：那我就放心了。仔细听着：过路的人！这人埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知道他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的生命旅程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先于父亲四年而终，年龄不过父亲享年的一半，晚年丧子老人真可怜，悲惨之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多少岁才和死神见面？ （自豪得意）乙：这还不简单！我们把丢番图去世时的岁数设为x，六分之一是幸福的童年，也就是说童年占了丢番图生命旅程中的六分之一，用六分之一x 表示；十二分之一是无忧无虑的少年，那么少年就占了十二分之一，是十二分之一x；以此类推，七分之一的生命旅程，占七分之一，用七分之一x表示；五年后儿子出生，再加上五年；儿子先于父亲四年逝世，加四；年龄是父亲享年的一半，用二分之一x表示。答：丢番图结婚时是12岁，他儿子活了42岁，他活了84岁. 整个方程连起来就是：x=六分之一x+十二分之一x+七分之一x+5+二分之一x+4 x=84 然而，当时方程还没有应用，解这道题是相当麻烦的，需要进行许多的猜测和比较，才能得到正确的答案。 甲：其实，我国的数学家在很早以前就开始研究方程了。方程这个名词，最早是在《九章算术》里出现的。在《九章算术》中还专门有“方程章”一节。 乙：可见，中国的数学家对方程的研究是走在世界前列的。 （激动）甲：是呀，还是我们中国的数学家厉害呀！

丢番图和不定方程

丢番图和不定方程 ——兼谈中国人在这方面的工作 丢番图的工作 埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。 亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。 英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。” 编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。 在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。 这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。 这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。 如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。” 第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。” 第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。” 写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有： a2＋b2＝c2 a＋ b＋ c＝N3 这里就要考虑到三次方程了。

丢番图的《算术》(精)可编辑

丢番图的《算术》 《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书． 丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才． 《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果． 《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下： 第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(24 7)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是120 21、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法． 第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，7 8． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理． 第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个

拿破仑定论、勾股定理、数论与密码

一、简述拿破仑定理及其证明方法 拿破仑定理:以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。 如图8-27所示。在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。 求证：这3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？ 思路：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。 证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P 相交于O；连AO、CO、BO。 ∵ A、D、B、O四点共圆； A、F、C、O四点共圆 B、E、 C、O四点共圆 ∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°； ∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°； ∵ NP、MP、MN是连心线； BO、CO、AO是公共弦； ∴ BO⊥NP于X； CO⊥MP于Y； CO⊥MP于Z。 ∴ X、P、Y、O四点共圆； Y、M、Z、O四点共圆； Z、N、X、O四点共圆； ∴∠N=∠M=∠P=60°； 即△MNP是等边三角形。 结论：图中本没有圆，为了方便读图，我特地画出了三个等边三角形的外接圆：⊙N、⊙M、⊙P，而且还有三个四点共圆之辅助圆。一共六个圆。这是多么奇妙的构思啊！ 二、美国总统garfield如何证明勾股定理的 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积相等 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 5.0c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ‖BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2)(5.0b a +. ∴2)(5.0b a + =25.0c . ∴222c b a =+ 三、简介数论与密码 数论密码，顾名思义，就是基于数论的密码。密码是相对于明码而言的。这是一个矛盾的两个方面。所谓明码（plaintext ），就是人们可以直接识别或使用的代码（也就是人们通常所说的信息，如文字、声像等）；所谓密码（ciphertext ），就是将明码经过了一定处理，变换成一种外人（与此无关的人员）无法直接识别或使用的信息。 数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支。素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。数论的一个主要任务，就是研究整数（尤其是正整数）的性质（包括代数方程的整数解）。由于在研究这些整数的过程中，人们往往要用到别的数学分支的知识与技巧，这样就诞生出了解析数论、代数数论、组合数论、概率数论、几何数论甚至计算数论等分支学科。 由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。美国芝加哥大学著名数学家迪克森（L.E.Dickson ）就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污。20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科。哈代本人也则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”。 当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实。事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。 大家知道，密码设计长期以来一直是困扰军方的一个问题。要保证军方的密码不被敌方破译，不是件容易的事情。 比如在第二次世界大战期间，德军设计了一种性能优良的编制密码的机器，称之为爱尼格玛机器。德军指挥机关向其部队发布的军令都是通过爱尼格玛机器加密之后再往下发布的。当时英军就想到，要打败德军，就必须要破译德军的密码，掌握德军的军事动向（即所谓的知彼知己）。因此，英军迅速在伦敦北边不到一百公里处征集了一块空旷的土地（该地

丢番图的墓志铭(数学题)

丢番图的墓志铭(数学题) 简介 古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元246年到公元330年之间，距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。 丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以致后人把这类题目叫做丢番图问题。 但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用诗歌形式写成的： “过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多大， 才和死神见面？” 请你算一算，丢番图到底活到多少岁？ 算法 解：设丢番图x 岁。 x x x x x =+++++42157112161,x x =+92825,928 3=x ,84=x 答：丢番图的寿命为84岁。 如果将墓志铭中“只活到父亲岁数的一半”理解为儿子是丢番图当时年龄的一半，那就有了一个完全不同的解了。 解：设丢番图x 岁。 x x x x x =+-+++4)4(217112161,x x =+-922825,7283=x ,3 1653196==x 不过既然丢番图生前这么喜欢整数，我们还是给他的墓志铭一个整数解，让他活的更长一点吧。 其实还有一种更好的方法。因为个人的描述能力，如看不懂不要责怪。 这里要计算的是丢番图的寿命，不可能会有小数点的出现。前面有几个很显眼的分数出现“六分之一”、“十二分之一”、“七分之一”，要想用这些数求出整数，只能求他们的公倍数。其实丢番图所活的寿命就是这些数的最小公倍数。至于别的数字，我觉得都没什么用处。 12=3×2×2 6=2×3 7是素数， 相乘就是2×2×3×7=84 还有一种运用小学六年级知识的方法： 画图 从图中可以看出丢番图一生的的（二分之一-六分之一-十二分之一-七分之一）就是（4+5）岁， 那么可列式：9÷（二分之一-六分之一-十二分之一-七分之一）=84（岁），因此丢番图活了84年。

数学家的墓碑和墓志铭

数学家的墓碑和墓志铭 作者佚名提供人徐贻林 2011年6月17日如同国际数学大师陈省身生前设想的那样，一面“黑板”立在他的埋骨之地，上面写着他最爱的数学公式。在诞辰100周年之际，陈省身终于叶落归根，葬在其母校南开大学的校园里。没有葬礼，只有一个简单的揭幕仪式——6月18日，在南开大学出席“理论物理前沿讨论会”的诺贝尔奖得主杨振宁等众多著名学者将来到这面“黑板”前，向陈先生致意。 一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志。与那些英雄们的纪念碑或墓碑相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执著追求和闪光的业绩。 1.最古老的数学墓志铭 “过路的人！ 这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番活到多大， 才和死神见面？” 请你算一算，丢番图到底活到多少岁？ 解：设丢番x岁。

答：丢番图的寿命为84岁。 古希腊的大数学家丢番图（246—330），大约生活于公元246年到公元330年之间，距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。 丢番著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以致后人把这类题目叫做丢番问题。 这里要计算的是丢番的寿命，不可能会有小数点的出现。前面有几个很显眼的分数出现“六分之一”、“十二分之一”、“七分之一”，要想用这些数求出整数，只能求他们的公倍数。其实丢番所活的寿命就是这些数的最小公倍数。至12=3×2×2，6=2×3，7是素数，相乘就是2×2×3×7=84 2.阿基米德是物理家？不，他认为他是数学家 阿基米德是物理家？不，他认为他是数学家。因为在他的墓刻着圆柱容球的几何图形阿基米德(前287－前212) 是古希腊最伟大的数学家和物理学家，人们称他是“数学之神”。也是举世公认的最伟大的数学家之一。他的贡献大大超越了他所处的时代，在数学史上占有重要的位置，因此人们把他与牛顿、高斯并列为历史上三个最伟大的数学家。 在公元前212年，在阿基米德生命的最后时刻，也就是叙拉古城失陷之时，他还在潜心研究画在沙盘上的一个几何图形。当罗马士兵闯入他的房间，举剑向他刺去的一刹那，他还在喊：“不要动我的图!”但罗马的士兵并不认识这位不起眼的数学家，还是一剑刺了下去，伟大的数学家便倒在了血泊里…… 人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，就是在圆柱体容器里放了一个球，这个球要顶天立地，四周碰边。以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二。 3.王子与正十七边形 高斯（1777—1855），德国著名数学家。他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”。 在高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+……+100=？ 这时，其他同学正在埋头苦算，10岁的高斯却用下面的办法迅速算出正确答案： （1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050. 实际上解决了求等差数列前100项的和的问题

世界名人的墓志铭 名人经典墓志铭大全

世界名人的墓志铭名人经典墓志铭大全 /2017/0510/20170510103334939.jpg" width="560" alt="世界名人的墓志铭" /> 马丁路德金：我自由了!感谢万能的主，我终于自由了! 玛丽莲梦露：37，22，35，R.I.P 萧伯纳：我早就知道无论我活多久，这种事情还是一定会发生。 海明威：恕我不起来了! 聂耳：我的耳朵宛如贝壳，思念着大海的涛声。

卢梭：睡在这里的是一个热爱自然和真理的人。 马克吐温：他观察着世态的变化，但讲述的却是人间的真理。 拉伯雷：拉下帷幕吧，喜剧已经结束了。 贝多芬：他总是以他自己的一颗人类的善心对待所有的人。 普希金：这儿安葬着普希金和他年轻的缪斯，爱情和懒惰，共同消磨了愉快的一生;他没有做过什么善事，可在心灵上，却实实在在是个好人。 戴高乐：夏尔戴高乐。 牛顿：死去的人们应该庆贺自己，因为人类产生了这样伟大的装饰品。

莎士比亚：看在耶稣的份上，好朋友，切莫挖掘这黄土下的灵柩;让我安息者将得到上帝祝福，迁我尸骨者将受亡灵诅咒。 富兰克林：印刷工富兰克林。 保罗巴斯蒂尔：如果生活是一场盛宴，我已经填饱了。 冯玉祥：平民生，平民活，不讲美，不讲阔。只求为民，只求为国。旧志不懈，守诚守拙。此志不移，誓死抗倭。尽心尽力，我写我说，咬紧牙关，我便是我，努力努力，一点不错。 叶慈：对人生，对死亡，给予冷然之一瞥，骑士驰过。 司汤达：米兰人亨利贝尔安眠于此。他曾经生存、写作、恋爱。

伏尔泰：诗人、历史学家、哲学家，他拓展了人类精神，并且使之懂得它应当是自由的。 鲁道夫：=3.14159265358979323846264338327950288。 阿里斯托芬：美乐女神要寻找一所不朽的宫殿，终于在阿里斯托芬的灵府发现。 马克劳林：承蒙牛顿推荐。 丢番图：过路人，这里埋葬着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他的一生有多长。他生命的1/6是愉快的童年。在他生命的1/12，他的面颊上长了细细的胡须。如此，又过了一生的1/7，他结了婚。婚后五年，他获得了第一个孩子，感到很幸福。可是命运给这个孩子在世界上的光辉灿烂的生命，只有他父亲的一半。自从儿子死后，他在深切的悲痛中活了4年，也结束了尘世的生涯。