学高中数学三角恒等变形同角三角函数的基本关系教师用书教案北师大版必修

§１同角三角函数的基本关系

学习目标核

心素养

１．理解同角三角函数的基本关系式：sin２α＋cos ２α＝１，错误!＝tan α.（重点）

２．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．（难点）１．通过学习同角三角函数基本关系式，提升数学抽象素养．

２．通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养．

同角三角函数基本关系式

（１）关系式

１平方关系：sin２α＋cos２α＝__１__；

２商数关系：错误!＝tan α．

（２）文字叙述

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于１，商等于角α的正切．（３）变形形式

１１＝sin２α＋cos２α；

２sin２α＝１—cos２α；cos２α＝１—sin２α；

３sinα＝±_错误!；cosα＝±_错误!；

４sinα＝cos αtan α；

５（sin α±cos α）２＝１±２sin αcos α．

思考：sin２３0°＋cos２４５°等于１吗？

错误!有意义吗？

[提示] 不等于１，错误!分母为0，无意义．

１．已知sin α＝—错误!，α是第三象限角，则tan α等于（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!

C[因为sin α＝—错误!，且α是第三象限角．所以cos α＝—错误!＝—错误!.

所以tanα＝错误!＝错误!.]

２．已知３sin α＋cos α＝0，则tan α＝________．

—错误![因为３sin α＋cos α＝0，

所以cos α＝—３sin α，

所以tan α＝错误!＝错误!＝—错误!.]

３．已知sin θ＝错误!，cos θ＝错误!，则m＝________．

0或8 [由sin２θ＋cos２θ＝１得，m＝0或8．]

４．错误!cos２x＝（）

Ａ．tan xＢ．sin x

Ｃ．cos xＤ．错误!

D[原式＝错误!cos２x

＝错误!·cos２x＝错误!.]

利用同角基本关系式求值

【例１】已知cos α＝—错误!，求sin α，tan α的值．

[解] ∵cos α＝—错误!<0，∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝错误!＝错误!＝错误!，

tan α＝错误!＝错误!＝—错误!.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝—错误!＝—错误!，tanα＝错误!.

已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“１”的代换，如“１＝sin２α＋cos２α”．本题没有指出α

是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．

１．已知tan α＝错误!且α为第三象限角，求sin α，cos α的值．

[解] 由tan α＝错误!＝错误!，

得sin α＝错误!cos α. １

又sin２α＋cos２α＝１，２

由１２得错误!cos２α＋cos２α＝１，

即cos２α＝错误!，

又α是第三象限角，

∴cosα＝—错误!，sin α＝—错误!.

利用sin α±cos α，sin α，cos α之间的关系求值

【例２】已知0<α<π，sin α＋cos α＝错误!，求tan α的值．

[解] 由sin α＋cos α＝错误!，１

得sin α·cos α＝—错误!<0，

又0<α<π，

∴sin α>0，cos α<0，则sin α—cos α>0，

∴sin α—cos α＝错误!＝错误!

＝错误!＝错误!，２

由１２解得sin α＝错误!，cos α＝—错误!，

∴tan α＝错误!＝—错误!.

sin α＋cos α，sin α—cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sin α±cos α）２＝１±２sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α—cos α的值时，要注意判断它们的符号．

２．sin αcos α＝错误!，且错误!<α<错误!，则cos α—sin α的值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!

Ｃ．错误!Ｄ．—错误!

B[∵（cos α—sin α）２＝sin２α—２sinαcos α＋cos２α＝１—２×错误!＝错误!，∴cosα—sin α＝±错误!.

又错误!<α<错误!，sin α>cos α，

∴cos α—sin α＝—错误!.]

利用同角三角函数关系化简、证明

[探究问题]

１．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？

[提示] 平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋错误!（k∈Z）.２．证明三角恒等式常用哪些技巧？

[提示] 切弦互化，整体代换，“１”的代换．

３．证明三角恒等式应遵循什么样的原则？

[提示] 由繁到简．

【例３】（１）化简tan α·错误!，其中α是第二象限角；

（２）求证：错误!＝错误!.

[思路探究] （１）先确定sin α，cos α的符号，结合平方关系和商数关系化简．（２）逆用平方关系结合tan α＝错误!化简．

[解] （１）因为α是第二象限角，

所以sin α>0，cos α<0．

故tan α·错误!＝tanα·错误!

＝tanα错误!

＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝—１．

（２）证明：左边＝错误!

＝错误!

＝错误!

＝错误!＝右边．

所以原式成立．

１．将例３（１）变为“错误!”，试对该式进行化简．

[解] 原式＝错误!

＝错误!

＝错误!

＝错误!＝１．

２．将例３（２）变为试证“错误!＝错误!”．

[证明] 左边＝错误!＝错误!

＝错误!＝错误!＝右边，所以等式成立．

１．化简过程中常用的方法有：

（１）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．

（２）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

（３）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin２α＋cos２α＝１，以降低函数次数，达到化简的目的．

２．证明三角恒等式常用的方法有：

（１）从一边开始，证得它等于另一边；

（２）证明左右两边都等于同一个式子；

（３）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．

１．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin２３α＋cos２３α＝１等．

２．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．

３．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：

（１）“１”的代换．为了解题的需要，有时可以将１用“sin２α＋cos２α”代替．

（２）切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．

（３）整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系．

１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）sin２α＋cos２β＝１．（）

（２）对任意角α，错误!＝tan 错误!. （）

（３）利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．（）

（４）若sin α＝错误!，则cos α＝错误!. （）

[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×

２．若sin α＝错误!，且α是第二象限角，则tan α的值等于（）

Ａ．—错误!Ｂ．错误!

Ｃ．±错误!Ｄ．±错误!

A[α为第二象限角，sin α＝错误!，cos α＝—错误!，tan α＝—错误!.]

３．已知角A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝错误!，则这个三角形是（）

Ａ．锐角三角形Ｂ．钝角三角形

Ｃ．直角三角形Ｄ．等腰直角三角形

B[∵sin A＋cos A＝错误!，

∴１＋２sin A cos A＝错误!，

∴sin A cos A＝—错误!<0，

又∵A∈（0，π），sin A>0，

∴cos A<0，A为钝角．故选Ｂ．]

４．已知错误!＝错误!，求下列各式的值．（１）错误!；

（２）１—４sinθcos θ＋２cos２θ.

[解] 由已知错误!＝错误!，

∴错误!＝错误!，解得tan θ＝２．

（１）原式＝错误!＝错误!＝１．

（２）原式＝sin２θ—４sinθcos θ＋３cos２θ＝错误!

＝错误!

＝—错误!.