滑移线理论习题及答案

说明：

1．习题中符号与教材中的会有差异，但不影响理解解题思路。2．答案或提示在第11页。

解答

高中数学线面角与线线角例题、习题-学生

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈；（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。例3：如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P

涂层界面结合力的滑移线场的计算与分析

涂层界面结合力的滑移线场的计算与分析张焕周里群刘亚（湘潭大学机械工程学院，湘潭411105） The calculation and analysis by slip-line field for interfacial adhesion of electrodeposited nickel coating ZHANG Huan ，ZHOU Li-qun ，LIU Ya （Mechanical Engineering School of Xiangtan University ，Xiangtan 411105，China ）文章编号：1001-3997（2009）10-0027-03 【摘要】涂层-基体界面结合强度的好坏是评价涂层质量的关键指标，是保证涂层-基体满足力学、物理和化学等性能的基本前提。在所有测试方法中，划痕法是最成熟和应用最广的方法之一。通过李和谢费的滑移线场理论，建立了涂层-基体界面结合力的理论计算方法，计算出（0.01~0.09）mm 厚电沉积镍涂层的界面结合力，其数值为（5.4～48.6）N/mm ，并运用有限元软件对该涂层的划痕过程进行了仿真，两者结果比较发现该解析解和有限元数值解有较好的一致性，他们之间的界面结合力计算误差在5%以内。并且在有限元仿真过程中能够直观体现刮刀在行进过程中涂层-基体界面所发生的应力、应变情况。关键词：结合强度；界面结合力；滑移线场；有限元【Abstract 】The interfacial adhesion and bond strength between the coating and substrate is often the key parameter in determining the quality of coatings ，and is the basic precondition in guarantee the perfor －mance of mechanics 、physics and chemistry.Scratch test is one of the most widely applied methods in all tests.In this text ，the theoretical calculation method of the interfacial adhesion has been developed through the theory of Lee and Shaffer ’s slip-line field and the interfacial adhesion of nickel coating whose thick － ness is from 0.01mm to 0.09mm has been calculated ，and the results are from 5.4N/mm to 48.6N/mm ，and the courses of scratch test have been stimulated by finite element https://www.360docs.net/doc/7211442378.html,pared the analytic results with the numerical results ，we found that they were almost consistent and their errors were less than 5%.Further － more ，the stress and strain of the interface between the coating and substrate could be presented all in the process of simulation. Key words ：Bond strength ；Interfacial adhesion ；Slip-line field ；Finite element 中图分类号：TH12，TP274文献标识码：A ＊来稿日期：2008-12-01 随着涂层技术的广泛应用，人们对涂层应用的可靠性和使用寿命提出越来越高的要求，而涂层与基体的结合性能在很大程度上决定了涂层应用的可靠性和使用寿命，是得以发挥薄膜涂层作用的基本条件，也是涂层制造过程中普遍关心的问题，涂层与基体的结合强度是影响涂层质量的首要指标。测量涂层-基体界面结合强度的试验方法很多，有划痕法、压痕法、弯曲法、冲击法、拉伸法及断裂力学法等。在所有实用的涂层-基体界面结合强度检验方法中，尤其是硬质涂层-基体界面结合强度的检验方法中，仅划痕检验法得到广泛的应用。借用划痕法的力学模型，如图1所示。并采用冯爱新切向力法来确定临界切向载荷L C 。从图1中，很容易看出，只要把作用在刮刀上向下的压力改为对刮刀在垂直方向的约束，其图1可以等同于的刀具切削模型，如图2所示。而临界切向力L C 也就等同于主切削力F Z 的确定，其中图1和图2的α、 β分别表示刀具的前角和后角。此模型的改变有助于按照切削的原理和方法求解主切削力F Z 即临界切向载荷L C ，而不改变原来临界切向载荷L C 的值。并借助有限元软件ANSYS 对这一切削过程进行动态仿真与模拟。图1Xie 的划痕法示意图图2刀具切削示意图1主切削力的计算 1.1切削过程滑移线场模型和速矢图的建立采用前刀面为均布压力及库伦摩擦时的滑移线场。 Machinery Design ＆Manufacture 机械设计与制造第10期 2009年10月 27

线面角的计算方法

教师姓名余永奇学生姓名洪懿上课时间 2014.11.15 辅导学科数学学生年级高二教材版本人教版课题名称线面角，二面角的计算方法（文科）本次学生课时计划第（10）课时共（60）课时教学目标线面角的计算方法教学重点线面角的计算方法教学难点线面角的计算方法教师活动学生活动上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题二．回顾上次课辅导内容三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图（二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系：平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。典型例题：线面夹角的计算例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA ＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点． (1)证明：BD⊥平面APC； (43 3 ) (2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值； (3)若G满足PC⊥平面BGD，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直

线线角-线面角-二面角的一些题目.

B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 线线角与线面角习题新泰一中闫辉一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 4 6 (B). 36 (C).62 (D).6 3 3.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是．三、典型例题例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο 角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. A C B A D C 1D 1 A 1 B 1C B D B P C D A C B F E

线面角的求法总结

线面角的三种求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ ,则sin θ =h ／AB=4／5

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

(完整版)：平面直角坐标系经典例题解析

【平面直角坐标系重点考点例析】考点一：平面直角坐标系中点的特征例1 在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是．思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．解：由第一象限点的坐标的特点可得： 20 m m > ? ? -> ? ，解得：m＞2．故答案为：m＞2．点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．例1 如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1）一定不在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．解：∵（m+1）-（m-4）=m+1-m+4=5， ∴点P的纵坐标一定大于横坐标， ∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标， ∴点P一定不在第四象限．故选D．点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．例2 如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（） A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）分析：利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．解答：解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面（） A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

高中数学线面角与线线角例题习题

线面角与线线角【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0, ]2 π θ∈；（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角答案：D 。解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为 2 2 。（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个答案：B 。解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o 答案：B 。解析将BC 1平移到E 1F 即可。（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。答案：AC ⊥BD 。解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 答案：16或64。解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1 ＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。

一线三等角典型例题

“　一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作 D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2如图8，若将①　中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

三角形中做辅助线的技巧及典型例题

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分 ∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。例2．已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠C AD ，D A=DB ，求证DC ⊥AC 例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 图1-2 D B C

一线三等角典型例题

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作 D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

平行线典型例题

例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．例、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．例、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。本题可分为AB ，CD 之间或之外。结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（） A 、80 B 、50 C 、30 D 、20 例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60° 例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（ 2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证：BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°；（3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2．试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P 5∠+的度数（不必写出过程）． A M C P 1 A M C P 1 A M C

直线与平面的平行垂直判定经典例题

、教学目标 1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定二、上课容 1、回顾上节课容 2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习三、课后作业见课后练习一、上节课知识点回顾 1. 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面. 2. 直线与直线的位置关系 (1) 位置关系的分类平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内 3. 直线与平面平行的判定与性质

4.面面平行的判定与性质二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾 1. 直线与平面垂直 (1) 判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也

垂直这个平面. (2 )直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平— ③垂直于同一条直线的两平面平行. 2. 斜线和平面所成的角斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3. 平面与平面垂直 (1) 平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线这两个平面垂直. (2 )平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 4. 二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2) 二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面分别作与棱垂直的射线, 则两射线所成的角叫做二面角的平面角. ［难点正本疑点清源］ 1. 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和a垂直的平面B,设pn a= l, 在p作直线a丄l，贝y a丄a

线段、角典型例题

基本的平面图形典型例题与强化训练典型例题：例1、已知线段AB ，延长线段AB 到C ，使BC=2 3 AB ，反向延长线段AB 至 D ，使AD=1 2 AB ，P 为线段CD 的中点，已知BP=15cm ，求线段AB 、CD 的长。例2、如图，C ，D ，E 将线段AB 分成2:3:4:5四部分，M ，P ，Q ，N 分别是AC ，CD ，DE ，EB 的中点，且MN=21，求线段PQ 的长度．例3、已知线段AB=14cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．例4、如图所示，∠AOB=90°, ∠BOC=30°,OE 平分∠AOC ，OD 平分∠BOC,求∠DOE 的度数。(1)若∠AOB=α，其他条件不变，∠DOE 等于多少？ (2)若∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少？ (3)若∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少？例5、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠BOC=80°，OE 平分∠BOC ．OF 为OE 的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF 是否为∠AOD 的平分线．例6、如图，由点O 引出六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，且∠AOB=90°，OF 平分 ∠BOC ，OE 平分∠AOD 。若∠EOF=170°，求∠COD 的度数。 A D E B F C

练习：1．下列说法中，错误的是（） A ．经过一点可以作无数条直线 B ．经过两点只能作一条直线 C ．一条直线只能用一个字母表示 D ．线段CD 和线段DC 是同一条线段 2．下列说法中，正确的是（） A ．射线A B 和射线BA 是同一条射线 B ．延长射线MN 到C C ．延长线段MN 到P 使NP ＝2MN D ．连结两点的线段叫做两点间的距离 3.平面上的三条直线最多可将平面分成（）部分。 A ．3 B ．6 C ．7 D ．9 4．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（） A. 2(a-b) B. 2a-b C. a+b D. a-b 5.如果点P 在AB 上，下列表达式中不能表示P 是AB 中点的是（） A ．AP=1 2 AB B ．AB=2BP C ．AP=BP D ．AP+BP ＝AB 6.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是( ) 1() 2 () 4() 3() A B C D 7.点P 在线段EF 上，现有四个等式：⑴PE=PF ；⑵PE= 12EF ；⑶1 2 EF=2PE ；⑷2PE=EF ；其中能表示点P 是EF 中点的有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8.如上图所示，从O 点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是（） A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．4个 9.下图中，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）。 10.已知∠1=17°18′，∠2=17.18°，∠3=17.3°，下列说法正确的是（）。 A ．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．没有相等的角 11．如右图，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地达到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地．则从A 地到C 地可供选择的方案有（） A ．20种 B ． 8种 C ． 5种 D ．13种 12. 一个人从A 点出发向北偏东60°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是( ) A 、75° B 、105° C 、45° D 、135° 13.往返于A 、B 两地的客车，中途停靠五个站，则共有种票价，要准备种车票。 14.（1）如图（1）的射线上，O 为端点，A 、B 、C 为任意三点，则图中有____条射线．（2）如图（2）直线m 上有4个点A 、B 、C 、D ，则图中共有____条射线． 15.已知平面内三个点A 、B 、C ，过其中每两个点画直线，可以画几条。 16.如图，AB ＝40，点C 为AB 的中点，点D 为CB 上的一点，点E 是BD 的中点，且EB ＝ 5，则CD 的长为． 17.已知点B 在直线AC 上，线段AB=8cm ，AC=18cm ，p 、Q 分别是线段AB 、AC 的中点，则线段PQ= ． 18.一跳蚤在一直线上从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O 点的距离是____个单位． 19．已知∠AOB=3∠BOC,若∠BO C=30°,则∠AOC 等于；已知∠AOB ＝60°，∠AOC ＝50°，∠BOC ＝________． 20.已知过m 边形的一个顶点有7条对角线，q 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则（m-p ）q 的值为 21、如图，OC 平分∠AOD ，OE 平分∠BOC ，如果∠AOB=135°，∠DOE=12°，求∠COE 度数。 O A B C D E O E D C B A 第8题图 A 1 F D O E A B D 1 C B A O C 1B A O B

《角》典型例题

《角的度量》典型例题例1 如图，你知道以A为顶点的角有哪些吗？除了以A为顶点的角外，图中还有哪些角？你会将它们表示出来吗？例2（1）下图中能用一个大写字母表示的角是___________．（2）以A为顶点的角有_____________个，它们是________________．例3（1）把25.72°分别用度、分、秒表示．（2）把45°12′30″化成度．例4计算：（1）53°39′＋36°40′；（2）92°3′－48°34′；（3）53°25′28″×5；（4）15°20′÷6．例5当时钟表面3时25分时，你知道时针与分针所夹角的度数是多少？

参考答案例1解：以A为顶点的角有 ∠ 、 ∠ 、、，其他的角有 ∠ 、 ∠、 DAE DAC ∠ BAC BAE BAD∠ EAC α∠ β 、2 、 1 C B．、 ∠ ∠ 、 ∠ ∠ ∠、说明：（1）在数以A为顶点的角的个数时，先选定一边为始边（如AB），确定以始边为一边的角的个数，再依次把后面的边看作起始边，数出角的个数，相加即可得角的总数．本题中以AB为始边的角有3个（如图1），以AD为始边的角有两个（如图2），以AE为始边的角有1个（如图3），在数角时注意要向同一个方向数，以免重复，这与线段的数法类似；（2）目前我们所说的角一般都是指小于平角的角．所以以D为顶点的平角和以E为顶点的平角不包括在内．（3）角的表示方法共有四种，可根据需求灵活选定；①用三个大写字母表示角，此时表示角的顶点的字母应写在中间（如∠BAD）；②用一个大写字母表示角，适用于以某一点为顶点的角只有一个（如∠B或∠C）；③用希腊字母α、 γ β 、等表示角，此时要在所表示的角的顶点处加上连接两边的弧线，以明确所表示的是图中的哪个角（如∠α或∠β）；④用数字表示角（如∠1或∠2）．图1 图2 图3 例2 分析：第（1）题中，能用一个大写字母表示的这个角必须是独立的一个角，所以只能是C ∠、；第（2）题中，以A为顶点的角，必须含A，而且A B∠ 为公共端点，这样的角有6个，以AC为一边的角：CAB ∠、、， ∠ CAE∠ CAD 以AE为边且不重复的角：EAB ∠． ∠、，以AD为边且不重复的角：DAB EAD∠ 答案：（1）C ∠、； B∠ （2）6个DAB ∠、 ∠ 、、． ∠ 、、 CAE∠ EAD EAB ∠ CAB CAD ∠ 说明：要正确写出答案，首先要弄清角的定义是什么，其次是熟悉表示角的

线面角与面面角同步练习题

线面角与面面角同步练习题 1.设集合A 、B 、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=B ?C (C)A ?B ?C (D) B ?A ?C. 2．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ?α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为 A ．有最小值θ，有最大值2π B ．无最小值，有最大值2 π 。 C ．有最小值θ，无最大值 D ．有最小值θ，有最大值π-θ。 3.∠ACB=90ο在平面α内,PC 与CA 、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60o ,则PC 与平面α所成的角为 . 4.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是． 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是． 6．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan ，则它的侧棱与底面所成的角为 7.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 8．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值． 9．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；（Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值. 10．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值． A C B

重点高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

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