矩阵的逆及其应用
广义逆矩阵
广义逆矩阵
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈广义逆矩阵 摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。abstract: the article introduces the concept of moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解 key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution 0 引言 在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+…… +a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……
矩阵的逆的研究及应用
矩阵的逆的研究及应用 摘要 本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。 关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信 Research and application of inverse matrix Summary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure
分块矩阵求逆
一、分4块的矩阵求逆 对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。 本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：
注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。 二、分9块的矩阵求逆 对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆
可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。
广义逆矩阵及其应用
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵
矩阵的逆及其应用教学内容
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若都是ｎ阶可逆矩阵，则 也可逆，且＝ . 2、若A可逆，则也可逆，且=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且 =； 4、若A可逆，则也可逆，且=； 5、=；
6、矩阵的逆是唯一的； 证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝Ｂ Ｅ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ 矛盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。 例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴存在
设＝，由定义知，∴ 由矩阵乘法得 由矩阵相乘可解得；； 故 ㈡、伴随矩阵法 ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当 ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵， 注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余 子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意 元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵 ，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
矩阵的分块求逆及解线性方程组
实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组 一、 问题 化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。 二、 实验目的 学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握 用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。 三、 预备知识 1． 线性代数知识： （1） 向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式： 设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2． 本实验所用Matlab 命令提示： （1）输入语句：input('输入提示')； （2）循环语句：for 循环变量=初始值 ：步长 ：终值 循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)； （5）求矩阵A 的秩：rank （A ）； （6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。
2-2广义逆矩阵
§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，??? ??=010001B ，??? ??=100001C 都是??? ? ??=010101A 的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 Q O O O I P A r ??? ? ?=， 或??? ? ??=--O O O I AQ P r 11
这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???= ??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 ???? ??=2221 1211G G G G QXP 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221121--??? ? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
矩阵及逆矩阵的求法
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
第六章 广义逆矩阵
第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间， m n C ?为复m n ?矩阵全体。设矩阵m n A C ?∈，考虑线性方程组 Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。 定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中 1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有 无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 () min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2） 成立，其中 代表任意一种向量范数，{} (),m n R A y C y Ax x C =∈=?∈。上述两 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中， G 是某个n m ?矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵m n A C ?∈，若存在矩阵n m X C ?∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =；
矩阵论知识点
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
第五章-广义逆矩阵
第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式 AA －1A =A A －1AA －1=A －1 (AA －1)H =AA －1 (A －1A )H =A －1A 若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有154 4342414=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记 号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。 如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。
线性代数的基本概念
《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置 中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这 个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促 成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线 性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数 学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封 信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解 伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具 使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明 了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年， 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列 式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学 的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数 行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几 何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重 要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为 了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列 式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了 关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩
分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
矩阵的逆及其应用
摘要 本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。 关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂
Abstract In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication. The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix； powers of a matrix ；Encrypted secure communications
目录 1 引言 (1) 2 可逆矩阵的定义和性质 (1) 2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1) 2.2可逆矩阵的相关性质 (2) 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4) 3.1定义法求矩阵的逆 (4) 3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5) 3.3特征值法判定矩阵的逆 (6) 3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6) 3.5初等变换法求矩阵的逆 (7) 3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10) 4 可逆矩阵的若干应用 (13) 4.1求方阵的幂 (13) 4.1.1方阵的幂及其运算律 (13) 4.1.2求方阵的幂 (13) 4.2 解矩阵方程 (15) 4.3构造通信模型 (16) 参考文献 (19)
分块矩阵的若干性质及其应用
分类号密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目分块矩阵的若干性质及其应用 学院数学与经济学院 专业名称应用统计学 年级 学生姓名 2017 年 4 月
文献综述 一、概述 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。 二、正文 通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。 林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。 蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ， 当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若Ａ １，Ａ ２ ，，Ａ ｍ 都是ｎ阶可逆矩阵，则 Ａ １Ａ ２ Ａ ｍ 也可逆，且（Ａ １ Ａ ２ Ａ ｍ ） １ ＝ （Ａ ｍ） １ （Ａ ２ ） １ （Ａ １ ） １ . 2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）= λ ； 4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）； 5、=； 6、矩阵的逆是唯一的；
证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛 盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉ ｎ 等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那 么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。 例１、求矩阵Ａ＝２２３ １１０ １２１ 的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴Ａ１ 存在
分块矩阵求逆公式及证明
分块矩阵求逆公式及证明 12:,1,2)()()i -??=???? ??+-==- ?-?? 1112ii 2122-1-1-1-1-11112221111112222211112-1221112A A A =A A A A I A F A A A A F A F A A A A F A A F 定理 如果（的逆存在，则，其中??=???? ??????=?=???????????? +=??+=???+=?+=?1112212211121112112122212222111112211111121222211122212112222222B B A B B A B B A A B B I 0AB I A A B B 0I A B A B I A B A B 0A B A B 0A B A B I 证明: 设的逆为，其中与分块形式相同，则：(1) (2)(3) (4) ? 11(4)(2)()--??-=?=-=-1-1-122111222221112222222221112A A A B A A B I B A A A A F 11121(3)(1)-??-=-?=--1-1-1-121112222111122211122211 A A A B A A A B A A B B A A 2 2(2)(1)()=-=+-122121112-1-121111*********B B A A F B B A I A F A A 将代入方程可以得到： 将代入方程可以得到： 证毕。 同理可得，A -1的另外一种表达形式为： 11,()()--??-==-??-+??-1-1-1111222111122221-1-122211 222221112F F A A A F A A A A A A F A I A F A 其中